高等數(shù)學(xué)2017年最新課件正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其收斂法

1、第二節(jié)第二節(jié) 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其收斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其收斂法u 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其收收斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法1.1.定義定義: :，中中各各若若01 nnnuu則稱(chēng)此級(jí)數(shù)為則稱(chēng)此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù). .對(duì)對(duì)正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，有有2.2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要充分必要條件條件: :正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的基本定理基本定理.部部分分和和數(shù)數(shù)列列有有界界正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂 nsss21注：注：正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的本質(zhì)本質(zhì) un 0 0足夠足夠快?？?。. 11nnnnnnvuvu 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，且且為為、正項(xiàng)3.比較審斂法比較審斂法則則 收收斂斂1nnv 發(fā)發(fā)

2、散散1nnu;1收收斂斂 nnu.1發(fā)發(fā)散散 nnv重要參照級(jí)數(shù)重要參照級(jí)數(shù): :等比級(jí)數(shù)等比級(jí)數(shù), , p- -級(jí)數(shù)。級(jí)數(shù)。極限形式極限形式: :. lim 11lvuvunnnnnnn 同同上上，且且和和則則 收收斂斂nv;收收斂斂 nu)1(時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) l 收收斂斂nu;收收斂斂 nv)2(時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) 0 l收收斂斂 nu.收收斂斂 nv)3(時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) 0 l注注: :須有參照級(jí)數(shù)須有參照級(jí)數(shù). 比較審斂法的不方便比較審斂法的不方便 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收斂收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù),1,1ppp結(jié)論結(jié)論:（2 2）等比級(jí)數(shù)等比級(jí)數(shù)( (幾何級(jí)數(shù)幾何級(jí)數(shù)) ) )0( a .,1;,10發(fā)散發(fā)

3、散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收斂收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)qqaqnn nnnaqaqaqaaq20的收斂性的收斂性. . 解解)1(nnnn3131lim nnn11sinlim , 1 發(fā)散發(fā)散.)2(nnn1sinlim nnn311lim , 1 ,nn收收斂斂而而 131故原級(jí)數(shù)收斂故原級(jí)數(shù)收斂.5 5. .比比值值審審斂斂法法( (達(dá)達(dá)朗朗貝貝爾爾判判別別法法) )： 設(shè)設(shè) 1nnu是是正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), , )(lim1 為為數(shù)數(shù)或或 nnnuu, , 則則1 時(shí)時(shí), ,收收斂斂; ; 6.6.根值審斂法根值審斂法 ( (柯西判別法柯西判別法) )： 設(shè)設(shè) 1nnu是是正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), , nnnulim)(

4、 為為數(shù)數(shù)或或 , , 則則1 時(shí)時(shí), ,收收斂斂; ; 1 時(shí)時(shí), ,發(fā)發(fā)散散. . 由項(xiàng)的比值或根值的極限值確定級(jí)數(shù)的收斂性由項(xiàng)的比值或根值的極限值確定級(jí)數(shù)的收斂性. . 比值審斂法、比值審斂法、根值審斂法根值審斂法的優(yōu)點(diǎn)的優(yōu)點(diǎn): :1 時(shí)時(shí), ,發(fā)發(fā)散散. . ( ( 1 時(shí)失效時(shí)失效) ) （1 時(shí)失效）時(shí)失效） 注意注意:當(dāng)當(dāng)1 時(shí)時(shí)比比值值（根根值值）審審斂斂法法失失效效。 ,11 npnp 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)例例nnnuu1 lim 總總有有nnnu lim . 1 例例 5 5 判別收斂性判別收斂性: (1) 1!1nn; 解解!1)!1(11nnuunn 11 n0.收斂收斂1 !

5、1010)!1(11nnuunnnn 101 n.發(fā)發(fā)散散(2) 110!nnn; 解解(3) 11nnn; nnnulim0 nn1lim.收斂收斂解解.)12(21 )4(1 nnn解解)22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值審斂法失效比值審斂法失效.根值審斂法也一定失效根值審斂法也一定失效.改用比較審斂法改用比較審斂法,12)12(12nnn nnnn2) 12(1 lim 2 或或4/1 .收斂收斂第三節(jié)第三節(jié) 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)u 交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其收收斂法u 絕對(duì)收斂與條收收收斂一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱(chēng)為正、負(fù)項(xiàng)

6、相間的級(jí)數(shù)稱(chēng)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù). .萊布尼茨定理萊布尼茨定理 如果如果交錯(cuò)交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿(mǎn)足條件級(jí)數(shù)滿(mǎn)足條件: : ( () ) ),3,2,1(|1 nuunn; ; ( () ) 0lim nnu, , 則級(jí)數(shù)收斂則級(jí)數(shù)收斂, ,且和的絕對(duì)值且和的絕對(duì)值 |u|s|1 , ,余項(xiàng)的余項(xiàng)的 絕對(duì)值絕對(duì)值 |u|rnn1 . . nnSSr稱(chēng)為級(jí)數(shù)余項(xiàng)稱(chēng)為級(jí)數(shù)余項(xiàng) nn1) 1(41312111,.)2 , 1( ;111).(1nunnuinn01limlim).(nuiinnn收斂且收斂且S0,使得當(dāng)使得當(dāng) |x|R 時(shí)它發(fā)散時(shí)它發(fā)散注注:三種收斂情形三種收斂情形:(1) 僅在僅在 x = 0

7、處收斂處收斂;(2) 在在 內(nèi)處處收斂?jī)?nèi)處處收斂;),(3) 在在(R,R )內(nèi)收斂?jī)?nèi)收斂,端點(diǎn)另外討論端點(diǎn)另外討論收斂區(qū)間收斂區(qū)間R收斂半徑收斂半徑R= 0R= + 2.收斂半徑的求法收斂半徑的求法定理定理21limnnnaaR(證明略證明略)例例 求收斂半徑和收斂域求收斂半徑和收斂域11) 1().1 (nnnnx1limnnnaaR1111limnnnx =1 時(shí)時(shí)111) 1(nnn收斂收斂； x =1時(shí)時(shí))1(1nn收斂域是收斂域是(1，1發(fā)散發(fā)散1limnnnaaR1limnnnaaR1!).3(nnxn0!).2(nnnx0)!1(!limnnn)!1(1!1limnnn 收斂域

8、是收斂域是(，）僅在僅在 x =0 點(diǎn)收斂點(diǎn)收斂11)2() 1().4(nnnnx設(shè)設(shè) x2 t ,由由(1)知知11) 1(nnnnt收斂域是收斂域是(1,3收斂域是收斂域是(1,1023).5(nnnx令令2xt 00233nnnnnntx1limnnnaa33131lim1nnnt =3 時(shí)時(shí)t =3時(shí)時(shí)11n發(fā)散發(fā)散1) 1(nn發(fā)散發(fā)散收斂域是收斂域是(3,3)收斂域是收斂域是)3,3(0123).6(nnnx缺少偶次項(xiàng)缺少偶次項(xiàng),無(wú)法用公式，可以用無(wú)法用公式，可以用比值法比值法求求Rnnnuu1lim212132|3133limxxxnnnnn1時(shí)時(shí),發(fā)散發(fā)散.則收斂區(qū)間為則收斂

9、區(qū)間為3x時(shí)時(shí),發(fā)散發(fā)散.)3,3(注注:缺少奇次項(xiàng)缺少奇次項(xiàng),也可以用此方法也可以用此方法.1)2(31).7(nnnnnx31) 1(3213321lim) 1()2(3)2(3lim111nnnnnnnnnnnn.31211)2(3331處發(fā)散所以原級(jí)數(shù)在點(diǎn)發(fā)散，且時(shí)，因?yàn)楫?dāng)xnnnxnnnn.31)2(32) 1(,1)2(321) 1(1)2(3)3(311處收斂點(diǎn)都收斂，所以原級(jí)數(shù)在與且時(shí)，由于當(dāng)xnnnnnxnnnnnnnnnnnnn)3 , 3(, 3收斂區(qū)間為所以收斂半徑為1limnnnuu1R因?yàn)槿?冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)1.四則運(yùn)算性質(zhì)四則運(yùn)算性質(zhì)0)(nnn

10、xgxb)(0 xfxannn設(shè)設(shè)收斂半徑分別為收斂半徑分別為 和和 ,記記1R2R,min21RRR 則對(duì)于任意的則對(duì)于任意的 , 有有),(RRx)()()().1 (000 xgxfxbaxbxannnnnnnnnn)()()()().(2(0011000 xgxfxbababaxbxannnnnnnnnnn 利用乘法可以定義除法利用乘法可以定義除法000)()(nnnnnnnnnxcxbxa000nnnnnnnnnxcxbxa則則注意注意,商級(jí)數(shù)的收斂半徑可能比原來(lái)要小得多商級(jí)數(shù)的收斂半徑可能比原來(lái)要小得多2. 分析運(yùn)算性質(zhì)分析運(yùn)算性質(zhì))(0 xSxannn設(shè)設(shè)收斂半徑為收斂半徑為R,

11、 則則(1) S(x) 在收斂域內(nèi)連續(xù)在收斂域內(nèi)連續(xù);(2) S(x) 在在(-R,R)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),且且0100)()()(nnnnnnnnnxnaxaxaxS即冪級(jí)數(shù)在即冪級(jí)數(shù)在(-R,R)內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo),所得到的冪級(jí)數(shù)所得到的冪級(jí)數(shù)收斂半徑不變收斂半徑不變.可推廣到任意階導(dǎo)數(shù)可推廣到任意階導(dǎo)數(shù)(3) S(x)在在(-R,R)內(nèi)可積內(nèi)可積,且且 01000001)(nnnnxnnxnnnxxnadxxadxxadxxS即冪級(jí)數(shù)在即冪級(jí)數(shù)在(-R,R)內(nèi)可以逐項(xiàng)積分內(nèi)可以逐項(xiàng)積分,所得到的冪級(jí)數(shù)所得到的冪級(jí)數(shù)收斂半徑不變收斂半徑不變.注意注意:(2),(3)中端點(diǎn)需要另外討論中端點(diǎn)需要另外討論.例例 求和函數(shù)求