高等數(shù)學(xué)級(jí)數(shù)

1、第十一章第十一章 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)第二節(jié)第二節(jié) 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法無(wú)無(wú)窮窮級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂與與發(fā)發(fā)散散一一、 收收斂斂，則則稱(chēng)稱(chēng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，若若 1 limnnnnuSS. 1SuSnn 記記為為稱(chēng)稱(chēng)為為該該級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和，且且.1發(fā)散發(fā)散則稱(chēng)級(jí)數(shù)則稱(chēng)級(jí)數(shù) nnu級(jí)數(shù)收斂：級(jí)數(shù)收斂：、 1級(jí)數(shù)發(fā)散：級(jí)數(shù)發(fā)散：、 2不不存存在在，若若極極限限nnS lim兩兩個(gè)個(gè)特特殊殊級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性、 3.1 1)1(11時(shí)發(fā)散時(shí)發(fā)散當(dāng)當(dāng)時(shí)收斂，時(shí)收斂，當(dāng)當(dāng)?shù)缺燃?jí)數(shù)等比級(jí)數(shù) qqaqnn.lim 1存在存在收斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)說(shuō)明：說(shuō)明：nnnnSu .lim1不不存存在在發(fā)發(fā)散散級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)

2、nnnnSu .1 11)2(1時(shí)發(fā)散時(shí)發(fā)散當(dāng)當(dāng)時(shí)收斂，時(shí)收斂，當(dāng)當(dāng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) ppnpnp級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的基基本本性性質(zhì)質(zhì)二二、 , )( 2111 SvuSvunnnnnnn且且其其和和為為也也收收斂斂，則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，、收收斂斂且且和和為為、設(shè)設(shè)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)、，且且和和為為收收斂斂，則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，收收斂斂且且和和為為設(shè)設(shè)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)、kSkuSunnnn 111 . 0 11的斂散性相同的斂散性相同與與級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)說(shuō)明：說(shuō)明： nnnnkuuk.11 nnnnukku即即. )(111 nnnnnnnvuvu即即. 3其其和和一一般般是是改改變變的的但但在在收收斂斂時(shí)時(shí)，的的斂斂散散性性，不不改

3、改變變級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)，增增加加或或改改變變級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的有有限限去去掉掉、. , 4且且其其和和不不變變級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)仍仍收收斂斂收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)加加括括弧弧后后所所得得、. 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)未未必必收收斂斂收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)去去括括弧弧后后所所得得說(shuō)說(shuō)明明：. 則則原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散，若若加加括括弧弧后后所所得得的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)推推論論：級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂的的必必要要條條件件三三、 . 0lim 11 nnnnuu則則收收斂斂，設(shè)設(shè)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)必必要要條條件件：、. 0lim 21發(fā)散發(fā)散則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)，設(shè)設(shè)推論：推論：、 nnnnuau兩兩點(diǎn)點(diǎn)說(shuō)說(shuō)明明：、 3.0lim)2(1收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)由由 nnnnuu

4、.(1)斷級(jí)數(shù)發(fā)散的方法斷級(jí)數(shù)發(fā)散的方法上述推論給出了一個(gè)判上述推論給出了一個(gè)判有有界界部部分分和和數(shù)數(shù)列列收收斂斂正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)1nnnSu 正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的審審斂斂法法四四、 收收斂斂的的充充分分必必要要條條件件、 1，且且均均為為正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，和和設(shè)設(shè)nnnnnnvuvu 11也收斂；也收斂；則則收斂，收斂，若若 11 )1(nnnnuv. )2(11也發(fā)散也發(fā)散則則發(fā)散，發(fā)散，若若 nnnnvu比比較較判判別別法法、 2收斂收斂收斂收斂 11)1(nnnnvu發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散 11)2(nnnnuv.1 111 npnnnpaq級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)、等等比比級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)參參考考級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)：注注

5、：反反過(guò)過(guò)來(lái)來(lái)不不成成立立，即即，則則且且均均為為正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，和和設(shè)設(shè)lvuvunnnnnnn lim 11斂散性相同；斂散性相同；與與級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 11 0(1)nnnnvul收收斂斂；級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂時(shí)時(shí)，且且當(dāng)當(dāng) 11 0)2(nnnnuvl. )3(11發(fā)發(fā)散散級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)，且且當(dāng)當(dāng) nnnnuvl比比較較判判別別法法的的極極限限形形式式、 3發(fā)發(fā)散散；級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)，且且或或當(dāng)當(dāng) 11 0nnnnvul. 11收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂時(shí)時(shí)，且且或或當(dāng)當(dāng) nnnnvul.1 111 npnnnpaq級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)、等等比比級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)參參考考級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)：第十一章第十一章

6、 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)第二節(jié)第二節(jié) 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法得得由由為非負(fù)數(shù)時(shí)，為非負(fù)數(shù)時(shí)，當(dāng)當(dāng)證：證： lim 1luulnnn ，有有時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)， luuNnNnn 1 0,1 luulnn收斂；收斂；級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 1 1 )1(nnul. 1 )3(不不能能確確定定其其斂斂散散性性時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) l,1 )1(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) l,10l 取取，使使1 lq ,12 NNquu,1223 NNNuqquu，發(fā)散；發(fā)散；級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)時(shí)，時(shí)，或或當(dāng)當(dāng) 1 )(1 )2(nnull)( 4達(dá)朗貝爾判別法達(dá)朗貝爾判別法比值判別法比值判別法、則則，且且為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，設(shè)設(shè) lim 11luuunn

7、nnn .)()(1nnnuluul 即即,1 )1(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) l,10l 取取，使使1 lq ,1111 nNNnnNquuqu,12 NNquu,1223 NNNuqquu，)( 4達(dá)朗貝爾判別法達(dá)朗貝爾判別法比值判別法比值判別法、則則，且且為為正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，設(shè)設(shè) lim 11luuunnnnn ，收斂收斂又又 111 nnNqu收斂，收斂，所以所以 1nnNu. 1收斂收斂故故 nnu收斂；收斂；級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 1 1 )1(nnul. 1 )3(不不能能確確定定其其斂斂散散性性時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) l發(fā)散；發(fā)散；級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)時(shí)，時(shí)，或或當(dāng)當(dāng) 1 )(1 )2(nnull,1 luulnn.

8、)()(1nnnuluul 即即)( 4達(dá)朗貝爾判別法達(dá)朗貝爾判別法比值判別法比值判別法、則則，且且為為正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，設(shè)設(shè) lim 11luuunnnnn 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 )2( l, 10 l 取取，使使1 lq,1111 nNNnnNquuqu,12 NNquu，1223 NNNuqquu，發(fā)散發(fā)散又又 111 nnNqu發(fā)散，發(fā)散，所以所以 1nnNu. 1發(fā)散發(fā)散故故 nnu收斂；收斂；級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 1 1 )1(nnul. 1 )3(不不能能確確定定其其斂斂散散性性時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) l發(fā)散；發(fā)散；級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)時(shí)，時(shí)，或或當(dāng)當(dāng) 1 )(1 )2(nnull,1 luulnn.)()(1

9、nnnuluul 即即)( 4達(dá)朗貝爾判別法達(dá)朗貝爾判別法比值判別法比值判別法、則則，且且為為正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，設(shè)設(shè) lim 11luuunnnnn 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) l )2(，有有時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)，取取MuuNnNMnn 1 1，,1111 nNNnnNMuuMu,12 NNMuu，1223 NNNuMMuu，發(fā)散發(fā)散又又 111 nnNMu發(fā)散，發(fā)散，所以所以 1nnNu. 1發(fā)散發(fā)散故故 nnu，有有，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)取取1 1)3(1 lnpnp.故不能確定其斂散性故不能確定其斂散性收斂；收斂；級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 1 1 )1(nnul. 1 )3(不不能能確確定定其其斂斂散散性性時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) l發(fā)散；

10、發(fā)散；級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)時(shí)，時(shí)，或或當(dāng)當(dāng) 1 )(1 )2(nnull)( 4達(dá)朗貝爾判別法達(dá)朗貝爾判別法比值判別法比值判別法、則則，且且為為正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，設(shè)設(shè) lim 11luuunnnnn 幾點(diǎn)說(shuō)明：幾點(diǎn)說(shuō)明：. )1(不不必必找找參參考考級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)比比值值判判別別法法優(yōu)優(yōu)點(diǎn)點(diǎn)：.1 )2(時(shí)時(shí)無(wú)無(wú)法法判判斷斷其其斂斂散散性性當(dāng)當(dāng)比比值值判判別別法法缺缺點(diǎn)點(diǎn)： l. 1)3(1 lunn收斂收斂由由.lim )4(11可可能能不不存存在在收收斂斂時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)nnnnnuuu .2)1(2 1 nnn例、例、收斂；收斂；級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 1 1 )1(nnul. 1 )3(不不能能確確定定其其斂斂

11、散散性性時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) l發(fā)散；發(fā)散；級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)時(shí)，時(shí)，或或當(dāng)當(dāng) 1 )(1 )2(nnull，判判斷斷下下列列級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性、例例 2)1( 11 nnnnnn212 nnnnnnnnuul2/2/ )1(limlim (1) 11 因?yàn)橐驗(yàn)榻猓航猓簄nn21lim 21 , 1 .21收收斂斂故故級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnn.3212 nnn）（2211/3)1/(3limlim (2)nnuulnnnnnn 因因?yàn)闉?23lim22 nnnn3 , 1 .312發(fā)散發(fā)散故級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù) nnn2213nnn nnnn2/12/lim nnlim22/1/3limnnnn nn3limnnn332 .

12、1 0 0 21的的斂斂散散性性判判別別級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，設(shè)設(shè)、例例 nnnabba)1/()1/(limlim 111nnnnnnnnababuul 解解：11)1(lim nnnaab 1 10 aabab，若若10)1( a時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)當(dāng)1 b 11 11，級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) nnab.故級(jí)數(shù)發(fā)散故級(jí)數(shù)發(fā)散 1)2(，若若 a時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)當(dāng)ab 時(shí)級(jí)數(shù)收斂；時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)當(dāng)10 b時(shí)級(jí)數(shù)收斂；時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)當(dāng)ab 1 1，級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) nnnaaab 011lim得得由由 nnnaa.級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散.) 0(! 31的的斂斂散散性性，判判別別級(jí)級(jí)數(shù)

13、數(shù)、例例eaannannn nnnnnnnnnnannauul/ !)1/()!1(limlim 111 解解：nnnnan)1(lim nnna)11(lim ，ea ，時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 0 lea.!1收斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nnnnna，時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 lea.!1發(fā)散發(fā)散級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nnnnna根值判別法根值判別法、 5則則，且且為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，設(shè)設(shè) lim 1luunnnnn 收斂；收斂；級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 1 1 )1(nnul. 1 )3(不不能能確確定定其其斂斂散散性性時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) l發(fā)散；發(fā)散；級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)時(shí)，時(shí)，或或當(dāng)當(dāng) 1 )(1 )2(nnull得得由由為非負(fù)數(shù)時(shí)，為非負(fù)數(shù)時(shí)，當(dāng)

14、當(dāng)證：證： lim lulnnn ，有有時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)， luNnNnn 0. lulnn,1 )1(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) l，取取l 10 ，使使1 lq ,11 NNqu，22 NNqu，nNnNqu ，收斂收斂又又 1 nnNq收斂，收斂，所以所以 1nnNu. 1收斂收斂故故 nnu時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 )2( l，取取10 l ，使使1 lq,nNnNqu ,11 NNqu，22 NNqu，發(fā)發(fā)散散又又 1 nnNq發(fā)散，發(fā)散，所以所以 1nnNu. 1發(fā)散發(fā)散故故 nnu. lulnn得得由由為非負(fù)數(shù)時(shí)，為非負(fù)數(shù)時(shí)，當(dāng)當(dāng)證：證： lim lulnnn ，有有時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)， luNnNnn 0根值判別法根值判

15、別法、 5則則，且且為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，設(shè)設(shè) lim 1luunnnnn 收斂；收斂；級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 1 1 )1(nnul. 1 )3(不不能能確確定定其其斂斂散散性性時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) l發(fā)散；發(fā)散；級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)時(shí)，時(shí)，或或當(dāng)當(dāng) 1 )(1 )2(nnull時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) l )2(，有有時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)，取取MuNnNMnn 1，,nNnNMu ,11 NNMu，22 NNMu，發(fā)發(fā)散散又又 1 nnNM發(fā)散，發(fā)散，所以所以 1nnNu. 1發(fā)散發(fā)散故故 nnu，有有，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)取取1 1)3(1 lnpnp.故不能確定其斂散性故不能確定其斂散性根值判別法根值判別法、 5則則，且且為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，為正項(xiàng)級(jí)

16、數(shù)，設(shè)設(shè) lim 1luunnnnn 收斂；收斂；級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 1 1 )1(nnul. 1 )3(不不能能確確定定其其斂斂散散性性時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) l發(fā)散；發(fā)散；級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)時(shí)，時(shí)，或或當(dāng)當(dāng) 1 )(1 )2(nnull幾點(diǎn)說(shuō)明：幾點(diǎn)說(shuō)明：. )1(不必找參考級(jí)數(shù)不必找參考級(jí)數(shù)根值判別法優(yōu)點(diǎn)：根值判別法優(yōu)點(diǎn)：.1 )2(時(shí)時(shí)無(wú)無(wú)法法判判斷斷其其斂斂散散性性當(dāng)當(dāng)根根值值判判別別法法缺缺點(diǎn)點(diǎn)： l. 1)3(1 lunn收斂收斂由由. )()4(采用根值判別法簡(jiǎn)單采用根值判別法簡(jiǎn)單時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)nnnfu 根值判別法根值判別法、 5則則，且且為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，設(shè)設(shè) lim 1luunnnnn

17、收斂；收斂；級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 1 1 )1(nnul. 1 )3(不不能能確確定定其其斂斂散散性性時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) l發(fā)散；發(fā)散；級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)時(shí)，時(shí)，或或當(dāng)當(dāng) 1 )(1 )2(nnull判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性、例例 4， 112 )1(nnnn.32 )2(1ln nnnnnnul lim (1) 解解：12lim nnn21 ，1 .12 1收斂收斂故故 nnnnnnnul lim 2)(nnnln32lim 032 2 ，1 .32 1ln發(fā)發(fā)散散故故 nnn的的斂斂散散性性判判斷斷時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)、例例 1)1( 0 5nnnana的的斂斂散散性性判判斷斷級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)、例例

18、 1)1( 0 5nnnanannnul lim 解解：nannn1lim1 .1a ，時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 1 la.)1(1收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnnan，時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 1 la.)1(1發(fā)散發(fā)散級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nnnan， nnnnnnu)11(limlim時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 a.)1(1發(fā)散發(fā)散級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nnnan第十一章第十一章 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)第三節(jié)第三節(jié) 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)交交錯(cuò)錯(cuò)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)及及其其審審斂斂法法一一、 . 1交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)正負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱(chēng)為正負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱(chēng)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)：交錯(cuò)級(jí)數(shù)：、 )1( 11，記記為為nnnu . 0 nu其其中中，或或 )1( 1nnnu .)1( 11收斂的判別法

19、收斂的判別法下面考慮下面考慮nnnu 萊萊布布尼尼茲茲判判別別法法、 2，0lim )2( ) 2 1( )1(1 nnnnunuu. )1(1111 nnnnnuruSu余余項(xiàng)項(xiàng)，且且其其和和收收斂斂，則則)()()(21243212nnnuuuuuuS ，證：證：0 1 nnuu.2單單調(diào)調(diào)增增加加數(shù)數(shù)列列nS，)1(22 nnSS:)0()1(11滿(mǎn)滿(mǎn)足足若若交交錯(cuò)錯(cuò)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnnnuu萊萊布布尼尼茲茲判判別別法法、 2，0lim )2( ) 2 1( )1(1 nnnnunuu. )1(1111 nnnnnuruSu余余項(xiàng)項(xiàng)，且且其其和和收收斂斂，則則.2單單調(diào)調(diào)增增加加數(shù)數(shù)列列nS

20、，)1(22 nnSS:)0()1(11滿(mǎn)滿(mǎn)足足若若交交錯(cuò)錯(cuò)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnnnuunnnnuuuuuuS212223212)()( 又又，1u 收收斂斂，故故2nS，0lim12 nnu有有界界，數(shù)數(shù)列列2nS)(limlim12212 nnnnnuSS，S . )1( 111uSSunnn 且且，收收斂斂于于故故，余項(xiàng)余項(xiàng))(21 nnnuur.1 nnur故故. 收斂收斂nS，設(shè)設(shè)SSnn 2lim.1uS 則則單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，函數(shù)函數(shù)1 xx.1 nnuu故故1limlim nnunnn又又. 0 ，又又01lim nn.)1( 11收收斂斂 nnn， 11)1( )1(nnn.1)

21、1( )2(2 nnnn. 1 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性、例例，解：解：111 )1( nn2)1()1(21)1( )2( xxxxxx.1)1(2收收斂斂故故 nnnn.)1(1收斂收斂 nnn2)1(2)1( xxx. 0)1( 2 xxx時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)，證：令證：令)(21nnnuuv ，則則0 nv，且且nnuv 收斂，收斂， 1nnv收斂，收斂，)2(1 nnnuv.1收斂收斂即即 nnu.)1( 12絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)例例、 nnn.)1( 1條條件件收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)例例、 nnn絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂和和條條件件收收斂斂二二、 1 絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂：、. 11絕絕對(duì)

22、對(duì)收收斂斂則則稱(chēng)稱(chēng)收收斂斂，若若 nnnnuu 2 條條件件收收斂斂：、. 111條條件件收收斂斂則則稱(chēng)稱(chēng)發(fā)發(fā)散散，但但收收斂斂，若若 nnnnnnuuu絕對(duì)收斂的性質(zhì)絕對(duì)收斂的性質(zhì)、 3. )1(11收斂收斂則則收斂，收斂，若若 nnnnuu. 2 判判斷斷下下列列級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性、例例.3)1()2(1 nnnn，解解：221sin)1(nnn 收收斂斂，又又 121nn.sin 12 nnn收收斂斂，收斂收斂絕對(duì)絕對(duì)即即 12sinnnn.sin12 nnn收收斂斂故故， 12sin)1(nnn.31收斂收斂 nnnnnnnn331lim)2(1 nnn31lim 31 ，1 收

23、收斂斂，絕絕對(duì)對(duì)即即 13)1(nnnn.3)1(1收斂收斂故故 nnnn. )2(1且且其其和和不不變變的的新新級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)也也絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂，序序所所得得則則任任意意改改變變其其各各項(xiàng)項(xiàng)的的次次絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂，設(shè)設(shè) nnu絕對(duì)收斂，絕對(duì)收斂，例、例、 2222212161514131211)1( nnn.121101518161314121122222222也也絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) .且兩個(gè)級(jí)數(shù)的和一樣且兩個(gè)級(jí)數(shù)的和一樣.)2( 1不不成成立立條條件件收收斂斂時(shí)時(shí)，性性質(zhì)質(zhì)當(dāng)當(dāng)說(shuō)說(shuō)明明： nnu絕對(duì)收斂的性質(zhì)絕對(duì)收斂的性質(zhì)、 3. )1(11收斂收斂則則收斂，收斂，若若 nnnnu

24、u. )2(1且且其其和和不不變變的的新新級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)也也絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂，序序所所得得則則任任意意改改變變其其各各項(xiàng)項(xiàng)的的次次絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂，設(shè)設(shè) nnu.)2( 1不不成成立立條條件件收收斂斂時(shí)時(shí)，性性質(zhì)質(zhì)當(dāng)當(dāng)說(shuō)說(shuō)明明： nnu絕對(duì)收斂的性質(zhì)絕對(duì)收斂的性質(zhì)、 3. )1(11收斂收斂則則收斂，收斂，若若 nnnnuu條條件件收收斂斂，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)例例、 61514131211)1( 11nnn.S設(shè)其和為設(shè)其和為，即即 61514131211 S， 1211018161412121S條條件件收收斂斂，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)例例、 61514131211)1( 11nnn.S設(shè)其和為設(shè)其和為，即即 615141

25、31211 S， 1211018161412121S，上上述述兩兩式式相相加加得得： 4171512131123S.即即兩兩個(gè)個(gè)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和不不同同次次序序得得到到的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，改改變變項(xiàng)項(xiàng)的的是是由由顯顯然然 11)1(41715121311 nnn.23 SS而是而是，它的和不是它的和不是. 0 )1()2( )0( )cos1()1()1( . 112121收收斂斂，其其中中，還還是是絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂若若收收斂斂是是條條件件收收斂斂，判判別別下下列列級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性、 nnnnnnnanan . 5 2)1( 2111211的和的和求求，已知級(jí)數(shù)已知級(jí)數(shù)、 nnnnnnnaaa 2sin2cos1 )1( 2，解解nn ，又又222122sin2 nn 12cos1 22，n