高等數(shù)學(xué)-第七版-課件-12-4冪級數(shù)

1、第四講 冪級數(shù)冪級數(shù)冪級數(shù)一、函數(shù)項級數(shù)的概念二、冪級數(shù)及其收斂性三、冪級數(shù)的運算冪級數(shù)冪級數(shù)一、函數(shù)項級數(shù)的概念二、冪級數(shù)及其收斂性三、冪級數(shù)的運算函數(shù)項級數(shù)的概念函數(shù)項級數(shù)的概念函數(shù)項級數(shù)的收斂點和發(fā)散點函數(shù)項級數(shù)的收斂點和發(fā)散點對于定義在區(qū)間對于定義在區(qū)間I上的函數(shù)列上的函數(shù)列 123( ),( ),( ),( ),nu x u x u xux稱為定義在區(qū)間稱為定義在區(qū)間I上的上的(函數(shù)項函數(shù)項)無窮級數(shù)無窮級數(shù), 簡稱簡稱(函數(shù)項函數(shù)項)級數(shù)級數(shù).由這函數(shù)列構(gòu)成的表達式由這函數(shù)列構(gòu)成的表達式 123( )( )( )( )nu xu xu xux 對于每一個確定的值對于每一個確定的值

2、函數(shù)項級數(shù)成為常數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)成為常數(shù)項級數(shù)0,xI 1020300()()()()nu xu xu xu x 如果該級數(shù)收斂如果該級數(shù)收斂,就稱就稱 是函數(shù)項級數(shù)的是函數(shù)項級數(shù)的收斂點收斂點;如果該級數(shù)如果該級數(shù)0 x發(fā)散發(fā)散,就稱就稱 是函數(shù)項級數(shù)的是函數(shù)項級數(shù)的發(fā)散點發(fā)散點.0 x. 0)(lim xrnn函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)).()(1xuxsnn , )(xs的和函數(shù)的和函數(shù) , 并寫成并寫成在收斂域上在收斂域上, 函數(shù)項級數(shù)的和是函數(shù)項級數(shù)的和是x的函數(shù)的函數(shù) ,稱其為函數(shù)項級數(shù)稱其為函數(shù)項級數(shù) 即即l注注和函數(shù)的定義域即為收斂域和函數(shù)的定義域即為收斂域. 函數(shù)

3、項級數(shù)的余項函數(shù)項級數(shù)的余項為函數(shù)項級數(shù)的為函數(shù)項級數(shù)的余項余項.)()()(xsxsxrnn 稱稱l注注函數(shù)項級數(shù)的所有收斂點的全體稱為其函數(shù)項級數(shù)的所有收斂點的全體稱為其收斂域收斂域,函數(shù)項級數(shù)的收斂域和發(fā)散域函數(shù)項級數(shù)的收斂域和發(fā)散域所有發(fā)散點的全體稱為其所有發(fā)散點的全體稱為其發(fā)散域發(fā)散域 .lim( )( ).nnsxs x ( ),ns x函數(shù)項級數(shù)前函數(shù)項級數(shù)前n項和記作項和記作 則在收斂域上則在收斂域上冪級數(shù)冪級數(shù)一、函數(shù)項級數(shù)的概念二、冪級數(shù)及其收斂性三、冪級數(shù)的運算冪級數(shù)冪級數(shù)一、函數(shù)項級數(shù)的概念二、冪級數(shù)及其收斂性三、冪級數(shù)的運算各項都是常數(shù)乘冪函數(shù)的函數(shù)項級數(shù)稱為各項都是

4、常數(shù)乘冪函數(shù)的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù)冪級數(shù). 它的形式是它的形式是冪級數(shù)概念冪級數(shù)概念l注注20120,nnnnna xaa xa xa x 其中常數(shù)其中常數(shù) 叫做冪級數(shù)的系數(shù)叫做冪級數(shù)的系數(shù) .012,na a aa冪級數(shù)的一般形式是冪級數(shù)的一般形式是:2010200()()().nnaa xxaxxaxx 可以通過變量代換可以通過變量代換 將其化為上述標準形式將其化為上述標準形式.0txx ox發(fā) 散發(fā) 散收 斂收斂 發(fā)散阿貝爾阿貝爾( (Abel) )定理定理冪級數(shù)的收斂域冪級數(shù)的收斂域適合不等式適合不等式0 xx 的一切的一切 x 使這冪級數(shù)絕對收斂使這冪級數(shù)絕對收斂.如果級數(shù)如果級數(shù)當

5、當時收斂時收斂,那么那么) 0(00 xxx 0nnnxa 0nnnxa反之反之, 如果級數(shù)如果級數(shù)0 xx時發(fā)散時發(fā)散,0 xx 的一切的一切 x 使這冪級數(shù)發(fā)散使這冪級數(shù)發(fā)散 . 那么適合不等式那么適合不等式當當(R , R ) 加上收斂的端點加上收斂的端點收斂半徑收斂半徑 (R , R )ox發(fā) 散發(fā) 散收 斂收斂 發(fā)散R 收斂區(qū)間收斂區(qū)間.收斂域收斂域推論推論如果冪級數(shù)如果冪級數(shù) 不是僅在不是僅在 一點收斂一點收斂,也不是在整個也不是在整個0nnna x 0 x 數(shù)軸上都收斂數(shù)軸上都收斂,那么必有一個確定的正數(shù)那么必有一個確定的正數(shù)R存在存在,使得使得當當 時時,冪級數(shù)絕對收斂冪級數(shù)絕

6、對收斂;| |xR 當當 時時,冪級數(shù)發(fā)散冪級數(shù)發(fā)散;| |xR 當當 與與 時時,冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.xR xR l注注如果冪級數(shù)如果冪級數(shù) 不是僅在不是僅在 一點收斂一點收斂,也不是在整個也不是在整個(R , R ) 加上收斂的端點加上收斂的端點收斂半徑收斂半徑 (R , R )R 收斂區(qū)間收斂區(qū)間.收斂域收斂域推論推論0nnna x 0 x 數(shù)軸上都收斂數(shù)軸上都收斂,那么必有一個確定的正數(shù)那么必有一個確定的正數(shù)R存在存在,使得使得當當 時時,冪級數(shù)絕對收斂冪級數(shù)絕對收斂;| |xR 當當 時時,冪級數(shù)發(fā)散冪級數(shù)發(fā)散;| |xR 當當 與與 時時,冪級數(shù)可能收

7、斂也可能發(fā)散冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.xR xR l注注如果冪級數(shù)只在如果冪級數(shù)只在 處收斂處收斂,規(guī)定規(guī)定0 x 0R 如果冪級數(shù)對一切如果冪級數(shù)對一切x 都收斂都收斂,規(guī)定規(guī)定R ;!)2(;!1)1(00nnnnxnxn 冪級數(shù)收斂半徑的求法冪級數(shù)收斂半徑的求法定理定理11(3)( 1)nnnxnu例例1求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域:u例例2220(2 )!( !)nnnxn的收斂半徑的收斂半徑 .求冪級數(shù)求冪級數(shù)u例例31(1)2nnnxn求冪級數(shù)求冪級數(shù)的收斂域的收斂域 .其中其中 0nnnxa的相鄰兩項的系數(shù)的相鄰兩項的系數(shù),那么這冪級數(shù)的收斂半徑那

8、么這冪級數(shù)的收斂半徑,lim1nnnaa如果如果 1, nnaa是冪級數(shù)是冪級數(shù) R,1 0 , 0 0 冪級數(shù)冪級數(shù)一、函數(shù)項級數(shù)的概念二、冪級數(shù)及其收斂性三、冪級數(shù)的運算冪級數(shù)冪級數(shù)一、函數(shù)項級數(shù)的概念二、冪級數(shù)及其收斂性三、冪級數(shù)的運算設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù)nnnxa0nnnxb0及及的收斂半徑分別為的收斂半徑分別為,21RRnnnxa0)(0為常數(shù)nnnxa1Rx 令令,min21RRR nnnnnnxbxa00,)(0nnnnxbaRx ,0nnnxcRx 則有則有 : :nnnnnnxbxa00其中其中.0knnkknbac 四則運算四則運算定理定理逐項積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同

9、的收斂半徑逐項積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑. .分析運算分析運算性質(zhì)性質(zhì)1和函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的性質(zhì)冪級數(shù)冪級數(shù) 的和函數(shù)的和函數(shù) 在其收斂域在其收斂域I上連續(xù)上連續(xù). .0nnna x ( )s x性質(zhì)性質(zhì)2冪級數(shù)冪級數(shù) 的和函數(shù)的和函數(shù) 在其收斂域在其收斂域I上可積上可積, ,0nnna x ( )s x并有逐項積分公式并有逐項積分公式000( )ddxxnnns tta tt 10001dxnnnnnnaa ttxn (),xI l注注 逐項積分后所得到的冪級數(shù)在收斂區(qū)間端點可能收斂逐項積分后所得到的冪級數(shù)在收斂區(qū)間端點可能收斂. .逐項求導(dǎo)后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑逐項求導(dǎo)后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑. .分析運算分析運算性質(zhì)性質(zhì)3和函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的性質(zhì)0( )nnns xa x 101()nnnnnna xna x (|),xR 冪級數(shù)冪級數(shù) 的和函數(shù)的和函數(shù) 在其收斂區(qū)間在其收斂區(qū)間0nnna x ( )s x內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,且有逐項