高數下常數項級數

1、無窮級數 無窮級數無窮級數無窮級數是研究函數的工具無窮級數是研究函數的工具表示函數表示函數研究性質研究性質數值計算數值計算數項級數數項級數冪級數冪級數傅氏級數傅氏級數第十二章目錄 上頁 下頁 返回 結束 常數項級數的概念和性質 一、常數項級數的概念一、常數項級數的概念 二、無窮級數的基本性質二、無窮級數的基本性質 三、級數收斂的必要條件三、級數收斂的必要條件 *四、柯西審斂原理四、柯西審斂原理 第一節(jié) 第十二章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、常數項級數的概念一、常數項級數的概念 引例引例1. 用圓內接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內接正),2, 1,0(23nn邊形, 這個和逼近于圓的面

2、積 A .0a1a2ana設 a0 表示,時n即naaaaA210內接正三角形面積, ak 表示邊數增加時增加的面積, 則圓內接正邊形面積為n23目錄 上頁 下頁 返回 結束 引例引例2. (神秘的康托爾塵集) 把0,1區(qū)間三等分, 舍棄中間的開區(qū)間),(3231,31將剩下的兩個子區(qū)間分別三等分,并舍棄在中間的開區(qū)間, 如此反復進行這種“棄中”操作,問丟棄部分的總長和剩下部分的總長各是多少？丟棄的各開區(qū)間長依次為,232,3232,4332,321nn故丟棄部分總長nnl3232323231143322丟1323322323231)()()(1n1321131剩余部分總長01丟剩ll 剩余部

3、分總長雖然為0, 但康托爾證明了其成員和實數“一樣多”, 它們象塵埃一樣散落在0,1區(qū)間上, 人們稱其為康托爾塵集.01313291929798(此式計算用到后面的例1)目錄 上頁 下頁 返回 結束 引例引例3. 小球從 1 m 高處自由落下, 每次跳起的高度減問小球是否會在某時刻停止運動? 說明道理.由自由落體運動方程221tgs 知gst2則小球運動的時間為1tT 22t32tg21 2122)2(1 212g1263. 2( s )設 tk 表示第 k 次小球落地的時間, (此式計算用到 后面的例1)少一半,目錄 上頁 下頁 返回 結束 定義定義： 給定一個數列,321nuuuu將各項依

4、,1nnu即1nnunuuuu321稱上式為無窮級數， 其中第 n 項nu叫做級數的一般項,級數的前 n 項和nkknuS1稱為級數的部分和.nuuuu321次相加, 簡記為,lim存在若SSnn收斂收斂 ,則稱無窮級數并稱 S 為級數的和和, 記作目錄 上頁 下頁 返回 結束 1nnuS當級數收斂時, 稱差值21nnnnuuSSr為級數的余項余項.,lim不存在若nnS則稱無窮級數發(fā)散發(fā)散 .顯然0limnnr目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 討論等比級數 (又稱幾何級數)0(20aqaqaqaaqannn( q 稱為公比 ) 的斂散性. 解解: 1) 若,1q12nnqaqaqaaS

5、qqaan1時，當1q, 0limnnq由于從而qannS1lim因此級數收斂 ,;1 qa,1時當q,limnnq由于從而,limnnS則部分和因此級數發(fā)散 .其和為目錄 上頁 下頁 返回 結束 2). 若,1q,1時當qanSn因此級數發(fā)散 ;,1時當qaaaaan 1) 1(因此nSn 為奇數n 為偶數從而nnSlim綜合 1)、2)可知,1q時, 等比級數收斂 ;1q時, 等比級數發(fā)散 .則,級數成為,a,0不存在 , 因此級數發(fā)散.)0(,0aqann目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. 判別下列級數的斂散性: .) 1(1)2( ;1ln) 1 (11nnnnnn解解: (1)

6、12lnnSnnln) 1ln()2ln3(ln) 1ln2(ln) 1ln( n）n(所以級數 (1) 發(fā)散 ;技巧技巧:利用 “拆項相消拆項相消” 求和23ln34lnnn1ln目錄 上頁 下頁 返回 結束 (2) ) 1(1431321211nnSn211111n）n(1所以級數 (2) 收斂, 其和為 1 .31214131111nn技巧技巧:利用 “拆項相消拆項相消” 求和目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3. 判別級數2211lnnn的斂散性 .解解:211lnn221lnnn nnnln2) 1ln() 1ln(2211lnkSnkn2ln21ln3ln3ln22ln4lnln2

7、) 1ln() 1ln(nnn5ln4ln23ln 2lnnnln) 1ln(2ln)1ln(1n, 2lnlimnnS故原級數收斂 , 其和為.2ln目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、無窮級數的基本性質二、無窮級數的基本性質 性質性質1. 若級數1nnu收斂于 S ,1nnuS則各項乘以常數 c 所得級數1nnuc也收斂 ,證證: 令,1nkknuS則nkknuc1,nScnnlimSc這說明1nnuc收斂 , 其和為 c S . nnSclim說明說明: 級數各項乘以非零常數后其斂散性不變 .即其和為 c S .目錄 上頁 下頁 返回 結束 性質性質2. 設有兩個收斂級數,1nnuS1nn

8、v則級數)(1nnnvu 也收斂, 其和為.S證證: 令,1nkknuS,1nkknv則)(1knkknvu nnS)(nS這說明級數)(1nnnvu 也收斂, 其和為.S目錄 上頁 下頁 返回 結束 說明說明:(2) 若兩級數中一個收斂一個發(fā)散 , 則)(1nnnvu 必發(fā)散 . 但若二級數都發(fā)散 ,)(1nnnvu 不一定發(fā)散.例如例如, ,) 1(2nnu取,) 1(12 nnv0nnvu而(1) 性質2 表明收斂級數可逐項相加或相減 .(用反證法可證)目錄 上頁 下頁 返回 結束 性質性質3. 在級數前面加上或去掉有限項有限項, 不會影響級數的斂散性.證證: 將級數1nnu的前 k 項

9、去掉,1nnku的部分和為nllknu1knkSSnknS與,時由于n數斂散性相同. 當級數收斂時, 其和的關系為.kSS 類似可證前面加上有限項的情況 .極限狀況相同, 故新舊兩級所得新級數目錄 上頁 下頁 返回 結束 性質性質4. 收斂級數加括弧后所成的級數仍收斂于原級數的和.證證: 設收斂級數,1nnuS若按某一規(guī)律加括弧,)()(54321uuuuu則新級數的部分和序列 ), 2 , 1(mm為原級數部分和序列 ),2,1(nSn的一個子序列,nnmmS limlimS推論推論: 若加括弧后的級數發(fā)散, 則原級數必發(fā)散.注意注意: 收斂級數去括弧后所成的級數不一定收斂.,0) 11 (

10、) 11 (但1111發(fā)散.因此必有例如，用反證法可證用反證法可證例如目錄 上頁 下頁 返回 結束 三、級數收斂的必要條件三、級數收斂的必要條件 設收斂級數,1nnuS則必有.0limnnu證證: 1nnnSSu1limlimlimnnnnnnSSu0SS可見: 若級數的一般項不趨于若級數的一般項不趨于0 , 則級數必發(fā)散則級數必發(fā)散 .例如例如,1) 1(544332211nnn其一般項為1) 1(1nnunn不趨于0,因此這個級數發(fā)散.nun,時當目錄 上頁 下頁 返回 結束 注意注意:0limnnu并非級數收斂的充分條件.例如例如, 調和級數nnn13121111雖然，01limlimn

11、unnn但此級數發(fā)散 .事實上事實上 , 假設調和級數收斂于 S , 則0)(lim2nnnSSnn2nnnn21312111但nnSS2矛盾! 所以假設不真 .21目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4.判斷級數的斂散性:141141131131121121解解: 考慮加括號后的級數)()()(1411411311311211211111nnan12nnna2發(fā)散 ,從而原級數發(fā)散 .nn121目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例5. 判斷下列級數的斂散性, 若收斂求其和:;!e) 1 (1nnnnn解解: (1) 令;231)2(123nnnn.212)3(1nnn,!ennnnnu 則nnu

12、u1nn)1 (e1),2, 1(1n故e11uuunn從而,0limnnu這說明級數(1) 發(fā)散.111)1 (e)1 (nnnn11) 1(! ) 1(ennnnnnnn!e目錄 上頁 下頁 返回 結束 123231)2(nnnn因nnn23123)2)(1()2(21nnnnn)2)(1(1) 1(121nnnn),2, 1(nnknkkkS123231nkkkkk1)2)(1(1) 1(121進行拆項相消進行拆項相消,41limnnS這說明原級數收斂 ,.41)2)(1(1nnn其和為)2)(1(121121nn(2) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1212)3(nnn32252321

13、nSnn212 nnSS211432212252321nn2121221132121n1212nn21212111211n1212nn121121n1212nn,2122132nnnnSnn21225232132這說明原級數收斂, 其和為 3 .3limnnS故(3) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 的充要條件是:*四、柯西審斂原理四、柯西審斂原理 定理定理.收斂級數1nnu, 0,NNpnnnuuu21時，當Nn ,Np對任意有證證: 設所給級數部分和數列為),2, 1(nSn因為npnpnnnSSuuu21所以利用數列 ),2, 1(nSn的柯西審斂原理(第一章第六節(jié)) , 即得本定理的結論.目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例6. .112的斂散性nnpnnnuuu21解解: ,Np對任意有利用柯西審斂原理判別級數 222)(1)2