高二數(shù)學雙曲線的定義和標準方程1

1、一、回顧1 1、橢圓的定義是什么？、橢圓的定義是什么？ 2 2、橢圓的標準方程、焦點坐標、橢圓的標準方程、焦點坐標是什么？是什么？定義圖象方程焦點a.b.c的關系yoxF1F2yoF1F2 |MF1|+|MF2|=2a（2a|F1F2|）a2=b2+c2F ( c,0) F(0, c) oF1F2) 0( 12222babyax) 0( 12222 babxay1. 橢圓的定義橢圓的定義和和 等于常數(shù)等于常數(shù)2a ( 2a|F1F2|0) 的點的軌跡的點的軌跡.平面內(nèi)與兩定點平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的的距離的1F2F 0, c 0, cXYO yxM,2. 引入問題：引入問題：差差等于常

2、數(shù)等于常數(shù)的點的軌跡是什么呢？的點的軌跡是什么呢？平面內(nèi)與兩定點平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的的距離的 雙曲線兩條射線1、 2a |F1F2 | 無軌跡無軌跡|MF1| - |MF2|= 2a想一想？想一想？ 兩個定點兩個定點F1、F2雙曲線的雙曲線的焦點焦點; |F1F2|=2c 焦距焦距.oF2F1M 平面內(nèi)與兩個定點平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的距離的差等于常數(shù)等于常數(shù) 的點的軌跡叫做的點的軌跡叫做雙曲線雙曲線.的絕對值的絕對值（小于（小于F1F2）注意注意定義定義: | |MF1| - |MF2| | = 2a1. 建系設點建系設點.F2F1MxOy2. 寫出適合條件的點寫出

3、適合條件的點M的集合；的集合；3. 用坐標表示條件，列出方程；用坐標表示條件，列出方程；4. 化簡化簡.求曲線方程的步驟：求曲線方程的步驟：方程的推導方程的推導xyo設設M（x , y）,雙曲線的焦雙曲線的焦距為距為2c（c0）,F1(-c,0),F2(c,0)常數(shù)常數(shù)=2aF1F2M即即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = + 2a_以以F1,F2所在的直線為所在的直線為X軸，軸，線段線段F1F2的中點為原點建立直角的中點為原點建立直角坐標系坐標系1. 建系建系. .2.設點設點3.列式列式|MF1| - |MF2|= 2a如何求這如何求這優(yōu)美的優(yōu)美的曲線的方程？曲線的方

4、程？4.4.化簡化簡. .2222()()2 .xcyxcya 222222()2().xcyaxcy 222().cxaaxcy 22222222()().ca xa ya ca oF2FMyx1222.cab 22221(0,0)xyabab F1F2yxo焦點在焦點在y軸上的雙曲線軸上的雙曲線的標準方程的標準方程 想一想想一想F1(0,-c), F2(0,c)22221(0,0)yxabab 222cab 確定焦確定焦 點點 位置位置：橢圓看分母大小橢圓看分母大小雙曲看系數(shù)正負雙曲看系數(shù)正負12222byax12222bxayF2F1MxOyOMF2F1xy)00(ba，雙曲線的標準方程

5、雙曲線的標準方程F ( c, 0)12222 byax12222 bxayyxoF2F1MxyF2F1MF(0, c)1916. 122yx1916. 322xy1169. 222yx1169. 422xy判斷下列方程是否表示雙曲線？若是，求出判斷下列方程是否表示雙曲線？若是，求出 及焦點坐標。及焦點坐標。cba, 2222222211214222314(0,0)42xyxyxynxmymn mn 答案：答案： 12,2,6(6,0).( 6,0);abc 22,2,2( 2,0).(2,0);abc 32,2,6(0,6).(0,6);abc 4,(,0).(,0);am bn cmnmnm

6、n （1）先把非標準方程化成標準方程，再判斷焦點所在的坐標軸。）先把非標準方程化成標準方程，再判斷焦點所在的坐標軸。（2） 是否表示雙曲線？是否表示雙曲線？ 221(0)xymnmn 表示焦點在表示焦點在 軸上的雙曲線；軸上的雙曲線；x0;0mn 表示焦點在表示焦點在 軸上的雙曲線。軸上的雙曲線。y0;0mn 表示雙曲線，求表示雙曲線，求 的范圍。的范圍。m22121xymm 答案：答案： 。12mm 或或例例1 已知雙曲線的焦點為已知雙曲線的焦點為F1(-5,0),F2(5,0)，雙曲線上，雙曲線上一點一點P到到F1、F2的距離的差的絕對值等于的距離的差的絕對值等于8，求雙曲線，求雙曲線的標

7、準方程的標準方程.221.169xy)0, 0(12222 babyax解解: :小結：小結：求標準方程要做到先定型，后定量。求標準方程要做到先定型，后定量。Ex1求適合下列條件的雙曲線的標準方程。求適合下列條件的雙曲線的標準方程。 焦點在在軸焦點在在軸 上，上， ； 焦點在在軸焦點在在軸 上，經(jīng)過點上，經(jīng)過點 .xx4 ,3 .ab 15(2 ,3 ),(,2 ).3 答案答案: 221;169xy 22221(0,0).xyabab 設雙曲線的標準方程為設雙曲線的標準方程為代入點代入點 得得15(2,3),(,2).32222231.5213abab 令令2211,.mnab 則則231.

8、5213mnmn 解得解得1.13mn 故所求雙曲線的標準方程為故所求雙曲線的標準方程為221.3yx 223.1_.32xyEx 雙雙曲曲線線的的焦焦點點坐坐標標224.88(0,3)_Exkxkyk 雙雙曲曲線線的的一一個個焦焦點點為為則則實實數(shù)數(shù)2222.(_).351.56ExABCmDxymmm是方程是方程表示雙曲線的表示雙曲線的充分非必要條件必要非充分條件充分非必要條件必要非充分條件充要條件不充分也不必要條件充要條件不充分也不必要條件A(5,0) 1k 225.,.Exaxayba bAxBCyD 已已知知曲曲線線實實數(shù)數(shù)異異號號, ,則則它它表表示示的的曲曲線線是是( () )焦

9、焦點點在在 軸軸上上的的雙雙曲曲線線圓圓焦焦點點在在 軸軸上上的的雙雙曲曲線線橢橢圓圓2212126.1,6436,| 17,| ?xyExPF FPFPF 是是雙雙曲曲線線上上一一點點是是雙雙曲曲線線的的兩兩焦焦點點 若若則則C2| 133PF 或或2.2.已知已知A A，B B 兩地相距兩地相距800m800m，在，在A A地聽到炮彈爆炸聲比在地聽到炮彈爆炸聲比在B B地晚地晚2 2秒，秒，且聲速為且聲速為340m/s340m/s，求炮彈爆炸點的軌跡方程。，求炮彈爆炸點的軌跡方程。分析：爆炸點爆炸點P的軌跡是靠近的軌跡是靠近B處處的雙曲線的一支。的雙曲線的一支。2340.PAPB ABP假

10、設爆炸點為假設爆炸點為P P，爆炸點距，爆炸點距A A地比地比B B地遠地遠；解：建立如圖所示的直角坐標系建立如圖所示的直角坐標系 ，使，使 兩點在兩點在 軸上，并且坐標原軸上，并且坐標原點點 與線段與線段 的中點重合。的中點重合。xOyBA,xOAB設爆炸點設爆炸點 的坐標為的坐標為 ，則，則 ， P),( yx3402680.PAPB 即即2680,340.aa 又又800.AB 所以所以2222800,40044400.ccbca 因為因為34026800PAPB 所以所以0 x 因此炮彈爆炸點的軌跡（雙曲線）的因此炮彈爆炸點的軌跡（雙曲線）的方程為方程為221(0)1156004440

11、0 xyx xyOPAB222bac | |MF1|- -|MF2| | =2a（ 2a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2|MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a x2a2+y2b2=1橢橢 圓圓雙曲線雙曲線y2x2a2-b2= 1F（0，c）F（0，c）例例3:求適合下列條件的雙曲線的標準方程求適合下列條件的雙曲線的標準方程。1、4,5ac焦點在焦點在 軸上軸上y2、焦點為、焦點為( 5,0),(5,0)且且3b 221169yx221169xy3、4a 經(jīng)過點經(jīng)過點410(1,)3A)3m2，0（ 變式二變式二: :2m0m201m 1m2)

12、2m()1m(c2 )1m2,0( 焦焦點點為為分析分析: :11mym2x22 變式一變式一: :2m1m 或課后思考題：課后思考題：2222()()2 .xcyxcya 222)(ycxaacx) 0, 0( 12222babyax-(1)-(2)-(3)(1)(2)(3)有什么內(nèi)在有什么內(nèi)在 聯(lián)系？聯(lián)系？ 平面內(nèi)到兩個定點的距離之積為定值的點的軌跡 （2）可以利用電腦研究； （3）可以利用文曲星自編BASIC語言進行研究； （4）合作探究、相互學習、相互交流。建議：（1）可以進行理論研究；例例4 已知雙曲線的焦點在已知雙曲線的焦點在y軸上，并且雙曲線軸上，并且雙曲線上兩點上兩點P1、P2

13、的坐標分別為（的坐標分別為（3， ）、）、（9/4,5），求雙曲線的標準方程），求雙曲線的標準方程.24解：因為雙曲線的焦點在解：因為雙曲線的焦點在y軸上，所以設所軸上，所以設所求雙曲線的標準方程為：求雙曲線的標準方程為： 12222bxay因為點因為點P1、P2在雙曲線上，所以點在雙曲線上，所以點P1、P2的的坐標適合方程坐標適合方程.將將P1, P2 坐標分別代入方程坐標分別代入方程中，得方程組中，得方程組1)49(2513)24(2222222baba解得：解得：a2=16,b2=9.故所求雙曲線的標準方程故所求雙曲線的標準方程為：為：. 191622xy例例5 一炮彈在某處爆炸，在一炮彈在某處爆炸，在A處聽到爆炸聲處聽到爆炸聲的時間比在的時間比在B處晚處晚2 s.（1）爆炸點應在什么樣的曲線上？）爆炸點應在什么樣的曲線上？（2）已知）已知A、B兩地相距兩地相距800 m，并且此時，并且此時聲速為聲速為340 m/s，求曲線的方程，求曲線的方程.解（解（1）由聲速及）由聲速及A、B兩處聽到爆炸聲的時兩處聽到爆炸聲的時間差，可知間差，可知A、B兩處與爆炸點的距離的差，兩處與爆炸點的距離的差，因此爆炸點應位于以因此爆炸點應位于以A、B為