初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點(diǎn)歸納(1)

1、 函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)(掌握函數(shù)的定義、性質(zhì)和圖像)平面直角坐標(biāo)系1、定義：平面上互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，簡稱為直角坐標(biāo)系2、各個象限內(nèi)點(diǎn)的特征:第一象限：+，+ 點(diǎn)Px,y，那么x0,y0；第二象限：-，+ 點(diǎn)Px,y，那么x0,y0；第三象限：-，- 點(diǎn)Px,y，那么x0,y0；第四象限：+，- 點(diǎn)Px,y，那么x0,y0；3、坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征： x軸上的點(diǎn)，縱坐標(biāo)為零；y軸上的點(diǎn)，橫坐標(biāo)為零；原點(diǎn)的坐標(biāo)為0 , 0。兩坐標(biāo)軸的點(diǎn)不屬于任何象限。4、點(diǎn)的對稱特征：點(diǎn)P(m,n),關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)是(m,-n), 橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)反號關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)是(-m

2、,n) 縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)反號關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)坐標(biāo)是(-m,-n) 橫，縱坐標(biāo)都反號5、平行于坐標(biāo)軸的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：平行于x軸的直線上的任意兩點(diǎn)：縱坐標(biāo)相等；平行于y軸的直線上的任意兩點(diǎn)：橫坐標(biāo)相等。6、各象限角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：第一、三象限角平分線上的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)相等。 第二、四象限角平分線上的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。7、點(diǎn)Px,y的幾何意義：點(diǎn)Px,y到x軸的距離為 |y|，點(diǎn)Px,y到y(tǒng)軸的距離為 |x|。點(diǎn)Px,y到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為8、兩點(diǎn)之間的距離：X軸上兩點(diǎn)為A、B |AB|Y軸上兩點(diǎn)為C、D |CD|A、B AB|=9、中點(diǎn)坐標(biāo)公式：A、B M為AB的中點(diǎn),那么：M

3、=( , )10、點(diǎn)的平移特征： 在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)x,y向右平移a個單位長度，可以得到對應(yīng)點(diǎn) x-a，y；將點(diǎn)x,y向左平移a個單位長度，可以得到對應(yīng)點(diǎn)x+a ，y；將點(diǎn)x,y向上平移b個單位長度，可以得到對應(yīng)點(diǎn)x，yb；將點(diǎn)x,y向下平移b個單位長度，可以得到對應(yīng)點(diǎn)x，yb。注意：對一個圖形進(jìn)行平移，這個圖形上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都要發(fā)生相應(yīng)的變化；反過來，從圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)的加減變化，我們也可以看出對這個圖形進(jìn)行了怎樣的平移。函數(shù)的根本知識：根本概念1、變量：在一個變化過程中可以取不同數(shù)值的量。 常量：在一個變化過程中只能取同一數(shù)值的量。2、函數(shù)：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和

4、y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數(shù)。 *判斷A是否為B的函數(shù)，只要看B取值確定的時候，A是否有唯一確定的值與之對應(yīng)3、 定義域和值域：定義域：一般的，一個函數(shù)的自變量允許取值的范圍，叫做這個函數(shù)的定義域。值域：一般的，一個函數(shù)的因變量所得的值的范圍，叫做這個函數(shù)的值域。4、確定函數(shù)定義域的方法： 1關(guān)系式為整式時，函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)； 2關(guān)系式含有分式時，分式的分母不等于零； 3關(guān)系式含有二次根式時，被開放方數(shù)大于等于零； 4關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時，底數(shù)不等于零； 5實(shí)際問題中，函數(shù)定義域還要和實(shí)際情況相符

5、合，使之有意義。5、函數(shù)的圖像一般來說，對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象6、 函數(shù)解析式：用含有表示自變量的字母的代數(shù)式表示因變量的式子叫做解析式。7：增減性單調(diào)性：增減性又叫單調(diào)性，分兩種情況：單調(diào)增、單調(diào)減單調(diào)增：y隨x的增大而增大 單調(diào)減：y隨x的增大而減小 口訣：“同增異減，注意：單調(diào)性只適用于單調(diào)區(qū)間，即有一個X只有唯一確定的y與之對應(yīng)時。8、描點(diǎn)法畫函數(shù)圖形的一般步驟第一步：列表表中給出一些自變量的值及其對應(yīng)的函數(shù)值；第二步：描點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表

6、格中數(shù)值對應(yīng)的各點(diǎn)；第三步：連線按照橫坐標(biāo)由小到大的順序把所描出的各點(diǎn)用平滑曲線連接起來。9、函數(shù)的表示方法列表法：一目了然，使用起來方便，但列出的對應(yīng)值是有限的，不易看出自變量與函數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)律。解析式法：簡單明了，能夠準(zhǔn)確地反映整個變化過程中自變量與函數(shù)之間的相依關(guān)系，但有些實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系，不能用解析式表示。圖象法：形象直觀，但只能近似地表達(dá)兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系。一次函數(shù)圖象和性質(zhì)【知識梳理】一、一次函數(shù)的根底知識1、定義：一般地，形如y=kxb(k,b是常數(shù)，k0)，那么y叫做x的一次函數(shù)當(dāng)b=0時，y=kxb即y=kx，稱為正比倒函數(shù)，所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).一

7、次函數(shù)的一般形式： y=kx+b (k0) 說明： k不為零 x指數(shù)為1 b取任意實(shí)數(shù)2、解析式：y=kx+b(k、b是常數(shù)，k0)3、圖像：一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過0，b和-，0兩點(diǎn)的一條直線，我們稱它為直線y=kx+b, 4、增減性單調(diào)性： k>0，y隨x的增大而增大單調(diào)增；k<0，y隨x而增大而減小單調(diào)減5、必過點(diǎn)：0，b和-，0：理由如下：y=kx+b中，當(dāng)x=o,時，y= 所以，該函數(shù)經(jīng)過 ， 點(diǎn)當(dāng)y=o,時，x=所以，該函數(shù)經(jīng)過 ， 點(diǎn)所以，一次函數(shù)的圖象是必經(jīng)過，0和0，b兩點(diǎn)的一條直線.，注：兩點(diǎn)確定一條直線。畫圖時，可通過這兩點(diǎn)來確定直線。6、一次函數(shù)圖像

8、的畫法：兩點(diǎn)法 計算必過點(diǎn)0，b和-，0 描點(diǎn)有小到大的順序 連線從左到右光滑的直線7、增減性： k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小.8、傾斜度(只與k相關(guān))：|k|越大，圖象越接近于y軸；|k|越小，圖象越接近于x軸. 9、截點(diǎn)與b有關(guān)：直線與y軸的交點(diǎn)，該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做截距當(dāng)b>0時直線與y軸交于原點(diǎn)上方即y軸的正半軸；當(dāng)b<0時，直線與y軸交于原點(diǎn)的下方。即y軸的負(fù)半軸10、圖像的上下平移只與b相關(guān)：直線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個單位長度得到. 當(dāng)b>0時，將直線y=kx的圖象向上平移b個單位；口訣“正上當(dāng)b&l

9、t;0時，將直線y=kx的圖象向下平移b個單位. 口訣“負(fù)下例如：y=2x+3, 將直線 y=2x 的圖象向 上 平移 3 個單位 y=2x-3, 將直線 y=2x 的圖象向 下 平移 3 個單位 練習(xí)：y=5x-6,將直線 y=5x 的圖象向 下 平移 6 個單位注：一次函數(shù)y=kx+b圖像的平移，只與b有關(guān)，將y=kx的圖像平移，平移方向： b正上移，b負(fù)下移11、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)b>0b<0b=0正比例函數(shù)k>0經(jīng)過：第一、二、三象限不經(jīng)過：第四象限經(jīng)過：第一、三、四象限不經(jīng)過：第二象限經(jīng)過：第一、三象限不經(jīng)過：第二、四象限增減性單調(diào)性：圖象從左到右上升，y隨x的增

10、大而增大，單調(diào)增k<0經(jīng)過第一、二、四象限不經(jīng)過：第三象限經(jīng)過第二、三、四象限不經(jīng)過：第一象限經(jīng)過第二、四象限不經(jīng)過：第一、三象限增減性單調(diào)性：圖象從左到右下降，y隨x的增大而減小，單調(diào)減必過點(diǎn)：經(jīng)過，0和0，b兩點(diǎn)，正比例函數(shù)即是經(jīng)過原點(diǎn)0，0 12、兩直線之間的位置關(guān)系平行或相交：平行：相交：將兩直線方程聯(lián)立成一個方程組， ，解得結(jié)果，即為交點(diǎn)。13、二元一次方程組與一次函數(shù)的關(guān)系：兩元一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)的坐標(biāo)即為所對應(yīng)方程組的解。14、 應(yīng)用：要點(diǎn)是1會通過圖象得信息；2能根據(jù)題目中所給的信息寫出表達(dá)式。15、【思想方法】數(shù)形結(jié)合 。穩(wěn)固練習(xí)：試試畫出y=x, y=x+1, y=-

11、x, y=-x+1的圖像 反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)【知識梳理】一、反比例函數(shù)的根底知識1、定義：一般地，形如為常數(shù)，的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。還可以寫成2、解析式：為常數(shù)，注：反比例函數(shù)解析式的特征：等號左邊是函數(shù)，等號右邊是一個分式。分子是不為零的常數(shù)也叫做比例系數(shù)，分母中含有自變量，且指數(shù)為1.比例系數(shù)自變量的取值為一切非零實(shí)數(shù)。反比例函數(shù)有意義的條件：分母0函數(shù)的取值是一切非零實(shí)數(shù)。3、增減性單調(diào)性： k>0，y隨x的增大而減小單調(diào)減；k<0，y隨x增大而增大單調(diào)增4、反比例函數(shù)的圖象：雙曲線1圖像的畫法：描點(diǎn)法 列表應(yīng)以O(shè)為中心，沿O的兩邊分別取三對或以上互為相反的數(shù) 描點(diǎn)有小到大

12、的順序 連線從左到右光滑的曲線3反比例函數(shù)為常數(shù)，中自變量，函數(shù)值，所以雙曲線是不經(jīng)過原點(diǎn)，斷開的兩個分支稱為左、右支，延伸局部逐漸靠近坐標(biāo)軸，但是永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交。4比例系數(shù)的幾何含義右圖：反比例函數(shù)y (k0)中比例系數(shù)k的幾何意義，即過雙曲線y (k0)上任意一點(diǎn)P作x軸、y軸垂線，設(shè)垂足分別為A、B，那么所得矩形OAPB的面積(陰影面積)為 .由y變形可得：k=xy 因?yàn)槊娣e為正數(shù)，所以k取絕對值。5、反比例函數(shù)性質(zhì)如下表：k的符號oyxk0yxok0圖像的大致位置經(jīng)過象限第 象限第 象限增減性單調(diào)性：單調(diào)區(qū)間內(nèi)討論在每一象限內(nèi)，從左到右看，y隨x的增大而減小 ；-，0U0，+區(qū)間內(nèi)

13、，單調(diào)減 在每一象限內(nèi),從左到右看y隨x的增大而增大 -，0U0，+區(qū)間內(nèi)，單調(diào)增 圖像的對稱性中心稱圖形，對稱中心是原點(diǎn)；同時，也是軸對稱圖形，對稱軸是直線y=x 和直線y=-x6、【思想方法】：數(shù)形結(jié)合7、 二次函數(shù)圖象和性質(zhì)【知識梳理】一、二次函數(shù)的根底知識：1定義：一般地，形如是常數(shù)，的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。 這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)，而可以為零二次函數(shù)的定義域x的取值范圍：全體實(shí)數(shù)，R2. 解析式表達(dá)式：一般式：，是常數(shù)：說明： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2 是常數(shù)，是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)補(bǔ)充：二次函數(shù)解析式的表示方法三種一

14、般式：，為常數(shù)，；頂點(diǎn)式：，為常數(shù)，；拋物線的頂點(diǎn)Ph，k 兩根式交點(diǎn)式：，是拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo).僅限于與x軸有兩個交點(diǎn)Ax1，0和 Bx2，0的拋物線，即0 其中 (即一元二次方程求根公式)注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系: 注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與軸有交點(diǎn)，即時，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.二次函數(shù)與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中3、二次函數(shù)解析式確實(shí)定：根據(jù)條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求

15、二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡便一般來說，有如下幾種情況：1. 拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大小值，一般選用頂點(diǎn)式；3. 拋物線與軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4. 拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式4、二次函數(shù)圖象的畫法五點(diǎn)繪圖法： 利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定其開口方向、對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo); 然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)，假設(shè)與軸沒有交點(diǎn)，那么取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn).畫草圖時應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對稱軸，頂點(diǎn)，與軸

16、的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn).4、 二次函數(shù)的圖像：拋物線1對稱性：拋物線是軸對稱圖形。對稱軸：直線,對稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。特別地，當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸即直線x=02拋物線有一個頂點(diǎn)P，當(dāng)=0時，P在y軸上；當(dāng)= =0時，P在x軸上。5、 a.b.c與拋物線的關(guān)系是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)y=5x2y=x2xy1a決定拋物線的開口方向和大?。洪_口方向：a為正(a0)，開口朝上，有最小值；a為負(fù)(a0)，開口朝下，有最大值；開口大小：a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。2a、b共同決定的符號決定對稱軸的位置，分兩種情況：當(dāng)a與b同號時即ab0，對稱軸在y軸左側(cè)；當(dāng)

17、a與b異號時即ab0，對稱軸在y軸右側(cè)。概括的說就是“左同右異 3常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。拋物線與y軸交于0，c，分三種情況： 當(dāng)時，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng)時，拋物線與軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為； 當(dāng)時，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸下方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù) 總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的6、拋物線與x軸交點(diǎn)個數(shù)= 0時，拋物線與x軸有2個交點(diǎn)。Ax1,0和Bx2,0=0時，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)。頂點(diǎn)P= 0時，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。y=0x0yx0yxABP配圖：開口向上(開口向下，情況類似)7、類比一元二次方

18、程的根的情況：特別地，二次函數(shù)以下稱函數(shù)當(dāng)y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程以下稱方程，即此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。 8、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)0yxO0圖 象開 口對 稱 軸頂點(diǎn)坐標(biāo)最 值當(dāng)x 時，y有最 值，y當(dāng)x 時，y有最 值，y增減性在對稱軸左側(cè)y隨x的增大而 y 隨x的增大而 在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而 y隨x的增大而 9. 應(yīng)用：1最大面積；2最大利潤；3其它10、二次函數(shù)圖象的平移 1. 平移步驟：方法一： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下： 2. 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的根底上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移概括成八個字“左加右減，上加下減 方法二：沿軸平移:向上下平移個單位，變成或沿軸平移：向左右平移個單位，變成或