第22章一元二次方程

1、第第2222章一元二次方程章一元二次方程歡迎提出寶貴意見和建議，這里表示歡迎提出寶貴意見和建議，這里表示衷心的感謝衷心的感謝.如有不便之處如有不便之處,敬請(qǐng)?jiān)従凑?qǐng)?jiān)?引入的例子：引入的例子：某中學(xué)在操場(chǎng)中間要建造面積為20 平方米矩形的花壇，且矩形的長(zhǎng)比寬長(zhǎng)1米，問矩形的長(zhǎng)與寬分別是多少米？x+1米x米 則矩形的長(zhǎng)為（x+1）米，02020)1(2xxxx分析：設(shè)矩形的寬這x米,由題意得：?jiǎn)枺哼@個(gè)方程以前我們是否學(xué)習(xí)過？若沒有學(xué)過？它有什么特征？ x x2x2 + x 20=0觀察這個(gè)方程，問：此方程有幾個(gè)未知數(shù)？ 2 + 20=0一個(gè)未知數(shù)：x問：這個(gè)方程中的未知數(shù)的最高次數(shù)是幾次？ x

2、 + x 20 = 0最高次數(shù)：2引入一元二次方程的概念：引入一元二次方程的概念： 只含有只含有一個(gè)一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)最高次數(shù)是是2的方程的方程叫做一元二次方程。叫做一元二次方程。說明：未知數(shù)個(gè)數(shù)1個(gè)。未知數(shù)的最高次數(shù)是2次。我們將按此流程學(xué)習(xí)一元二次方程我們將按此流程學(xué)習(xí)一元二次方程一元二次方程的定義一元二次方程的定義一元二次方程的解法一元二次方程的解法一元二次方程的應(yīng)用一元二次方程的應(yīng)用可化為一元二次方程可化為一元二次方程的方程的方程直接開平方法直接開平方法配方法配方法公式法公式法因式分解法因式分解法一元二次方程的根的判別式一元二次方程的根的判別式一元二次方程

3、的根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系二次三項(xiàng)式的因式分解二次三項(xiàng)式的因式分解列方程解應(yīng)用題列方程解應(yīng)用題可化為一元二次方程的分式方可化為一元二次方程的分式方程的解法及應(yīng)用程的解法及應(yīng)用簡(jiǎn)單的二元二次方程組的解法簡(jiǎn)單的二元二次方程組的解法 定義定義一般形式15052 xx015052xx7)3(2x0262xx0532xx01212x042x下面給出一些常見的一元二次方程下面給出一些常見的一元二次方程3522x5 xx0322yx12322xxx（不是整式方程）（不是整式方程）（不是整式方程）（不是整式方程）（不是一元方程）（不是一元方程）.16126222xxxx合并同類項(xiàng)：去括號(hào)：下

4、面給出一些常見的方程下面給出一些常見的方程,不是一元二次方程不是一元二次方程(一元二次方程是整式方程一元二次方程是整式方程) 一元二次方一元二次方程的一般形式程的一般形式 ax2+bx+c=0 (a0)完全的一元二次方程完全的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0, b0, c0) 特殊的特殊的一元二次方程一元二次方程ax2+c=0 (a0,c0)ax2+bx=0 (a0,b0)ax2=0 (a0)82213xxx解：去括號(hào)，得解：去括號(hào)，得 3x2-3x=2x+4+8.移項(xiàng)，得移項(xiàng)，得 3x2-3x-2x-4-8=0.合并同類項(xiàng)，得合并同類項(xiàng)，得 3x2-5x-12=0.原方程是一元二次

5、方程；二次項(xiàng)系數(shù)是原方程是一元二次方程；二次項(xiàng)系數(shù)是，一次項(xiàng)系數(shù)是一次項(xiàng)系數(shù)是 - 5- 5，常數(shù)項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)是 12 12. .02cax.2cax.2acx.acx當(dāng)ac=b2-4ac=0 =b2-4ac0 =ab22244aacb 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根沒有實(shí)數(shù)根沒有實(shí)數(shù)根其中 叫做一元二次方程根的判別式acb42例10若關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是 （ ）A m 0 B m 0 C m 0 且m1 D m 0且m1解：由題意，得 m-10 =（2m)2-4（m-1）m0解之得，m0且

6、m1，故應(yīng)選DD 練習(xí)1 選擇題1 不解方程，判斷方程0.2x2-5=1.5x的根的情況是（ ）A )有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B) 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C) 沒有實(shí)數(shù)根 D)無法確定2 . 若關(guān)于的一元二次方程（k-1）x2+2kx+k+3=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）A)k 1.5 B)k 1.5 C) k 1.5 且k1 D)k1.5 AC練一練練一練例11求證：不論m取何值，關(guān)于x的一元二次方程9x2-（m+7）x+m-3=0都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根證明：=-（m+7）2-49（m-3） =m2+14m+49-36m+108 =m2-22m+157 =（m-11）2+36不論m取何值，均

7、有（m-11）20（m-11）2+360，即0不論m取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根練習(xí)2 一、填空題1、關(guān)于x的方程x+2kx+k-0的根的情況是 _ 二、求證:不論a為任何實(shí)數(shù),2x2+3(a-1)+a2-4a-7=0必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根例12已知關(guān)于x的一元二次方程 沒有實(shí)數(shù)根，求k的最小整數(shù)值。解：將原方程整理，得（2 k-1）x2-8x+6=0 根據(jù)題意，得 =（-8）2-4（2k-1）6 k的最小整數(shù)值是2068222xxkx611練習(xí)3若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x-m+1=0沒有實(shí)數(shù)根，求證關(guān)于y的方程y2+my+12m=1一定有

8、兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。提示：將y2+my+12m=1化為一般形式 y2+my+12m-1=0達(dá)標(biāo)練習(xí)達(dá)標(biāo)練習(xí)一、選擇題： 1、已知關(guān)于X的一元二次方程kx2-2x+1=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）k）k）k0 ，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根, 8k+9 0 , 即即 89k(2).當(dāng)當(dāng) = 0 ，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根方程有兩個(gè)相等的實(shí)根, 8k+9 =0 , 即即 89k(3).當(dāng)當(dāng) 0 ，方程有沒有實(shí)數(shù)根方程有沒有實(shí)數(shù)根, 8k+9 03、證明方程根的情況說明：說明：此類題目要先把方程化成一般形式，再計(jì)算出，如果不能直接判斷情況，就利用配方法把配成含用完全平方的形式，根據(jù)完

9、全平方的非負(fù)性，判斷的情況，從而證明出方程根的情況4)2(2 m練習(xí)練習(xí)：1、不解方程，判別下列方程的根的情況不解方程，判別下列方程的根的情況（1）035422 xx（3）yy4 . 209. 042（2）0114mm2、已知關(guān)于、已知關(guān)于x 的方程：的方程： 有兩個(gè)有兩個(gè) 不相等的實(shí)數(shù)根，不相等的實(shí)數(shù)根，k為實(shí)數(shù)，求為實(shí)數(shù)，求k 的取值范圍。的取值范圍。0112212xkxk3、設(shè)關(guān)于、設(shè)關(guān)于x 的方程：的方程： ，證明，不論，證明，不論m為何為何 值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。04222mmxx212121 20,0,xbx cax xbcx xxxa

10、a 如 果 a的 兩 個(gè) 根 是那 么二、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系二、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以兩個(gè)數(shù)以兩個(gè)數(shù)x1、x2為根的一元二次方程為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是）是 212120 xxxxx x設(shè)設(shè) x1 、 x2是下列一元二次方程的兩個(gè)根，填寫下表是下列一元二次方程的兩個(gè)根，填寫下表 x1 x2 x1 + x2一元二次方程0652 xx03522 xx0262 xx5625233161的值求它的另一個(gè)根及，的一個(gè)根是：已知方程：例kkxx2,06512解：設(shè)方程的另一個(gè)根為x1，那么1162535325535275375xxkkk 又所 以 ， 方 程 的

11、另 一 根 是，的 值 是。例例2、利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程、利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程 兩個(gè)根的；（兩個(gè)根的；（1）平方和；（）平方和；（2）倒數(shù)和）倒數(shù)和01322xx解：設(shè)方程的兩個(gè)根是解：設(shè)方程的兩個(gè)根是x1 x2，那么，那么 121 22221211 22222212121 212121 231,22123113()2222411312322xxx xxxxx xxxxxxx xxxxxx x 例例3 已知方程已知方程x2-5x-2=0，作一個(gè)新方程，作一個(gè)新方程， 使它的根分別是已知方程各根平方的倒數(shù)使它的根分別是已知方程各根平方的倒數(shù)解：設(shè)解：設(shè)x1、x2為方程

12、為方程x2-5x-2=0的兩根，則的兩根，則 x1+x2=5 x1x2=-2設(shè)所求方程兩根為設(shè)所求方程兩根為y1、y2則：則：2212122222121211xxyyxxx x221212221225222942xxx xx x 12221211142y yx x22910291044xxx 2所求新方程為即:4x例例6 .已知方程已知方程x22(m2)xm240有兩個(gè)實(shí)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)根的平方和比兩根的積大數(shù)根，且這兩個(gè)根的平方和比兩根的積大21，求，求m的值的值解：設(shè)解：設(shè)x x1 1、x x2 2為方程的兩根為方程的兩根方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，04142222mm解得解

13、得m0依題意，得 21321221xxxx即21432222mm1,17:21mm解這個(gè)方程得m0，m1(x12+x22)-x1x2=21例例7. 試確定試確定m的值，使關(guān)于的值，使關(guān)于x的方程的方程8x2(2m2m6)x2m10的兩根互為相反數(shù)的兩根互為相反數(shù)解：設(shè)此方程的兩個(gè)根為解：設(shè)此方程的兩個(gè)根為x1、x2,要使方程的兩個(gè)要使方程的兩個(gè)根互為相反數(shù)根互為相反數(shù),必需滿足條件必需滿足條件: :x1x20,x1x200,得2m2m602,2321mm, 081221mxx, 012m得,21,m解得,231舍去故m22m0此時(shí)當(dāng)m2時(shí)，原方程的兩根互為相反數(shù)2122608mmxx1、下列方

14、程中，兩根的和與兩根的積各是多少？、下列方程中，兩根的和與兩根的積各是多少？013. 12 xx 223 .22 xx 032 .32 xx xx214 .42 2、已知方程、已知方程 的一個(gè)根是的一個(gè)根是 1， 求它的另一個(gè)根和求它的另一個(gè)根和m的值。的值。01932mxx 3、設(shè)、設(shè) x1 、 x2是方程是方程 利用利用 根與系數(shù)的根與系數(shù)的 關(guān)系，求下列各式的值：關(guān)系，求下列各式的值： 03422xx11).1 (21xx2112).2(xxxx三、二次三項(xiàng)式的因式分解三、二次三項(xiàng)式的因式分解2122()()0axbxca xxxxaxbxc12其中x、x 是方程的兩根中的因式中的因式

15、千萬不能忽略。千萬不能忽略。2.在分解二次三項(xiàng)式在分解二次三項(xiàng)式cbxax2的因式時(shí)，可先用求根公式求出方程的因式時(shí)，可先用求根公式求出方程02cbxax的兩個(gè)根的兩個(gè)根x1,x2然后然后,寫成寫成)(212xxxxacbxaxa例題講解例題講解例例1 把把8652 xx分解因式分解因式1014610196652)8(5466086522xxx的根是解：方程2,5421xx即：)2)(54(58652xxxx)2)(45(xx此步的目的是去掉括號(hào)內(nèi)的分母例例2分解因式把22582yxyx22)5(24)8(805822222yyyxyxyxx的根是的方程解：關(guān)于yyy2644628)264)(

16、264(258222yxyxyxyx本題是關(guān)于本題是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，所以應(yīng)把的二次三項(xiàng)式，所以應(yīng)把y看作常數(shù)看作常數(shù) 在長(zhǎng)方形鋼片上沖去一個(gè)在長(zhǎng)方形鋼片上沖去一個(gè)長(zhǎng)方形，制成一個(gè)四周寬相等的長(zhǎng)方形，制成一個(gè)四周寬相等的長(zhǎng)方形框。已知長(zhǎng)方形鋼片的長(zhǎng)長(zhǎng)方形框。已知長(zhǎng)方形鋼片的長(zhǎng)為為30cm，寬為，寬為20cm,要使制成的要使制成的長(zhǎng)方形框的面積為長(zhǎng)方形框的面積為400cm2，求這，求這個(gè)長(zhǎng)方形框的框邊寬。個(gè)長(zhǎng)方形框的框邊寬。 XX30cm20cm解解:設(shè)長(zhǎng)方形框的邊寬為設(shè)長(zhǎng)方形框的邊寬為xcm,依題意依題意,得得3020(302x)(202x)=400整理得整理得 x2 25+100=0得得 x1=20, x2=5當(dāng)當(dāng)=20時(shí)時(shí),20-2x= -20(舍去舍去);當(dāng)當(dāng)x=5時(shí)時(shí),20-2x=10答答:這個(gè)長(zhǎng)方形框的框邊寬為這個(gè)長(zhǎng)方形框的框邊寬為5cm四.應(yīng)用題1月的數(shù)量為月的數(shù)量為A，3月的數(shù)量為月的數(shù)量為B，經(jīng)過兩，經(jīng)過兩個(gè)月，求增長(zhǎng)率個(gè)月，求增長(zhǎng)率x。某季度數(shù)量為某季度數(shù)量為B，頭一個(gè)月數(shù)量為，頭一個(gè)月數(shù)量為A，求后兩個(gè)月的增長(zhǎng)率求后兩個(gè)月的增長(zhǎng)率x.1月的數(shù)量月的數(shù)量A，經(jīng)過兩個(gè)月后數(shù)，經(jīng)過兩個(gè)月后數(shù)量增加量增加m%，求增長(zhǎng)率，求增長(zhǎng)率. 比較比較A1月月A(1+x)2月月A(1+x)23月月AA(1+m%)增加增加m%=