開(kāi)題報(bào)告 淺談泰勒公式及其應(yīng)用

1、附件7論文（設(shè)計(jì)）管理表一昌吉學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）開(kāi)題報(bào)告論文（設(shè)計(jì)）題目 淺談泰勒公式及其應(yīng)用系（院）數(shù)學(xué)系專業(yè)班級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)B1002學(xué)科理學(xué)學(xué)生姓名馬尚紅指導(dǎo)教師姓名馬園媛學(xué)號(hào)職稱講師一、 選題的根據(jù)（1、內(nèi)容包括：選題的來(lái)源及意義，國(guó)內(nèi)外研究狀況，本選題的研究目標(biāo)、內(nèi)容創(chuàng)新點(diǎn)及主要參考文獻(xiàn)等。2、撰寫(xiě)要求：宋體、小四號(hào)。）1. 選題的來(lái)源及意義 泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中非常重要的內(nèi)容，是一個(gè)用函數(shù)在某點(diǎn)的信息描述其附近取值的公式。如果函數(shù)足夠光滑的話，在已知函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值的情況之下，泰勒公式可以用這些導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)近似函數(shù)在這一點(diǎn)的鄰域中值。泰勒公式還給出了

2、這個(gè)多項(xiàng)式和實(shí)際的函數(shù)值之間的偏差。泰勒公式的初衷是用多項(xiàng)式來(lái)近似表示函數(shù)在某點(diǎn)周?chē)那闆r。比如說(shuō)，指數(shù)函數(shù)在的附近可以用以下多項(xiàng)式來(lái)近似地表示：稱為指數(shù)函數(shù)在0處的階泰勒展開(kāi)公式。這個(gè)公式只對(duì)0附近的有用，離0越遠(yuǎn)，這個(gè)公式就越不準(zhǔn)確。實(shí)際函數(shù)值和多項(xiàng)式的偏差稱為泰勒公式的余項(xiàng)。對(duì)于一般的函數(shù)，泰勒公式的系數(shù)的選擇依賴于函數(shù)在一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值，這個(gè)想法的原由可以由微分的定義開(kāi)始。微分是函數(shù)在一點(diǎn)附近的最佳線性近似：，其中高階的無(wú)窮小。也就是說(shuō)注意到和 在 處的零階導(dǎo)數(shù)和一階導(dǎo)數(shù)都相同。對(duì)足夠光滑的函數(shù)，如果一個(gè)多項(xiàng)式在 處的前次導(dǎo)數(shù)值都與函數(shù)在處的前 次導(dǎo)數(shù)值重合，那么這個(gè)多項(xiàng)式應(yīng)該能很好地

3、近似描述函數(shù)在附近的情況。對(duì)于多元函數(shù)，也有類(lèi)似的泰勒公式。設(shè)是歐幾里得空間中的開(kāi)球，是定義在的閉包上的實(shí)值函數(shù)，并在每一點(diǎn)都存在所有的次偏導(dǎo)數(shù)。這時(shí)的泰勒公式為：對(duì)所有，其中的是多重指標(biāo)。其中的余項(xiàng)也滿足不等式：對(duì)所有滿足 泰勒公式也是大學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要知識(shí)，由此本文將總結(jié)幾種泰勒公式的證明及其應(yīng)用。其泰勒公式在近似計(jì)算，求極限，判斷函數(shù)凸凹性等方面的應(yīng)用，除此之外，它還可應(yīng)用于行列式，證明不等式，判斷無(wú)窮級(jí)數(shù)、無(wú)窮積分的收斂性，求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的中值估計(jì)、求曲面的漸進(jìn)線方程，高階求導(dǎo)等等。2.國(guó)內(nèi)外研究狀況 重要數(shù)學(xué)公式對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的作用是不可估量的，泰勒定理對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響，可以說(shuō)是貫穿古今，

4、泰勒公式起源于牛頓插值的有限差分，1715年泰勒出版了增量法及其逆一書(shū)，在這本書(shū)中載有現(xiàn)在微積分教程中以他的名字命名的一元函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)公式，當(dāng)時(shí)他是通過(guò)對(duì)格雷戈里牛頓插值公式求極限而得到的，一百多年后，柯西對(duì)無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂性給出了一個(gè)嚴(yán)格的證明。1755年，歐拉把泰勒級(jí)數(shù)用于他的“微分學(xué)”時(shí)才認(rèn)識(shí)到其價(jià)值，后來(lái)拉格朗日用帶余項(xiàng)的級(jí)數(shù)作為其函數(shù)理論的基礎(chǔ)，從而進(jìn)一步確認(rèn)了泰勒級(jí)數(shù)的重要地位勒也以函數(shù)的泰勒展開(kāi)而聞名于后世泰勒定理在數(shù)學(xué)發(fā)展史上有著重要的作用。 泰勒公式的證明與應(yīng)用方面的研究對(duì)于科研者來(lái)說(shuō)一直具有強(qiáng)大的吸引力，許多研究者已在此領(lǐng)域獲得許多研究成果，例如：湖南科技學(xué)院數(shù)學(xué)系的唐仁

5、獻(xiàn)在文章泰勒公式的新證明及其推廣中在推廣了羅爾定理的基礎(chǔ)上重新證明了泰勒公式；洛陽(yáng)工業(yè)高等?？菩Ｓ?jì)算機(jī)系王素芳、陶容、張永勝在所著的文章泰勒公式在計(jì)算及證明中的應(yīng)用中研究了泰勒公式在極限運(yùn)算、等式及不等式證明中的應(yīng)用，解決了用其它方法較難解決的問(wèn)題，于此類(lèi)似的研究成果還有湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)系的蔡澤林、陳琴的定積分不等式的幾種典型證法和濰坊高等?？茖W(xué)校的陳曉萌所著的泰勒公式在不等式中的應(yīng)用等等。3.研究目標(biāo) 泰勒公式在數(shù)學(xué)研究中有著廣泛應(yīng)用，泰勒公式的研究有很重要的現(xiàn)實(shí)意義。泰勒公式在微積分的領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用，集中體現(xiàn)了微積分的核心。本文將對(duì)泰勒公式在證明不等式、理解無(wú)窮小替換的實(shí)質(zhì)、在計(jì)算中的

6、體現(xiàn)、在函數(shù)中的應(yīng)用、在級(jí)數(shù)中的應(yīng)用 進(jìn)行舉例說(shuō)明。4. 本文創(chuàng)新點(diǎn) 本文將詳細(xì)介紹泰勒公式不同余項(xiàng)的原理及其應(yīng)用，同時(shí)對(duì)其進(jìn)行了相應(yīng)的舉例和說(shuō)明，總結(jié)概括了泰勒公式及其應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)；此外，還將不同余項(xiàng)的泰勒公式的應(yīng)用進(jìn)行了相應(yīng)的歸類(lèi)。5.主要參考文獻(xiàn)1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析M.北京：高等教育出版社，2001.2 陳傳璋.金福臨，朱學(xué)炎，等.數(shù)學(xué)分析M.北京：高等教育出版社，1983.3 齊成輝.泰勒公式的應(yīng)用J.陜西師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2003（SI）：2325.4 趙文強(qiáng).關(guān)于含參量廣義積分一致收斂性的教學(xué)研究J.重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011,28（5）：458-

7、462.5 陳守信.數(shù)學(xué)分析選講M.北京;機(jī)械工業(yè)出版社，1984.6 吉米多維奇.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集M.北京；高等教育出版社，1984.7 復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析M.北京；高等教育出版社.8 陳麗.泰勒公式的應(yīng)用J.廊坊師范學(xué)院學(xué)報(bào)；自然科學(xué)版，2009,9（2）： 20-23.9 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法M.北京；高等教育出版社，2006.10 李永樂(lè)，范培華.數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書(shū)M,北京；國(guó)家行政學(xué)院出版社，2008.11 劉景忠，王國(guó)政.公式在證明不等式方面的幾個(gè)應(yīng)用，高等數(shù)學(xué)研究函數(shù)，2006.9（2）.12 劉玉蓮，楊奎元，劉偉，呂鳳.數(shù)學(xué)分析講義學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書(shū)下冊(cè)M，北京；高等教育出

8、版社，2003.二、 采用的研究方法及手段（1、內(nèi)容包括：選題的研究方法、手段及實(shí)驗(yàn)方案的可行性分析和已具備的實(shí)驗(yàn)條件等。2、撰寫(xiě)要求：宋體、小四號(hào)。） 查詢法：通過(guò)文獻(xiàn)調(diào)研有目的有計(jì)劃有系統(tǒng)地收集并整理資料，了解圖論在數(shù)學(xué) 模型中的應(yīng)用。分析法：通過(guò)對(duì)圖論的研究，發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)。文獻(xiàn)研究法：調(diào)研文獻(xiàn)，整理文章，獲取所需材料。 歸納法：總結(jié)并整理論文。3、 論文的框架結(jié)構(gòu)（宋體、小四號(hào)） 淺談泰勒公式及其應(yīng)用引言1.不同形式的泰勒定理及其證明 1.1 帶 1.2 1.3 帶積分型余項(xiàng)的泰勒定理 1.4 帶柯西型余項(xiàng)的泰勒定理2. 泰勒公式的應(yīng)用 2.1 利用泰勒公式證明不等式 2.2 利用泰勒公式

9、理解無(wú)窮小替換的實(shí)質(zhì) 2.3 泰勒公式在計(jì)算中的體現(xiàn) 2.3.1利用泰勒公式求極限 2.3.2 利用泰勒公式進(jìn)行近似計(jì)算 2.3.3 利用泰勒公式計(jì)算定積分 2.3.4 利用泰勒公式計(jì)算行列式 2.3.5利用泰勒公式求曲面的漸進(jìn)方程 2.4泰勒公式在函數(shù)中的應(yīng)用 2.4.1 利用泰勒公式證明根的唯一性 2.4.2 利用泰勒公式求初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式 2.4.3 利用泰勒公式判斷函數(shù)極值 2.4.4利用泰勒公式判斷函數(shù)的凸凹性和拐點(diǎn) 2.4.5泰勒公式在高階導(dǎo)數(shù)和高階偏導(dǎo)數(shù)方面的應(yīng)用 2.5 泰勒公式在級(jí)數(shù)中的應(yīng)用 3. 結(jié)論4. 參考文獻(xiàn)5. 致謝四論文寫(xiě)作的階段計(jì)劃（宋體、小四號(hào)）第一階段：2013年7月1日2014年11月10日，完成初稿第二階段：2014年11月11日2014年12月10日，完成二