數(shù)學(xué)科普資料：阿基米德與圓周長圓面積

1、阿基米德與圓周長圓面積Bill Casselman關(guān)鍵詞： 阿基米德定理，歐幾里得幾何，圓面積，直角三角形面積，正多邊形阿基米德的論文圓的測(cè)定雖然常被引用，但我估計(jì)很少有人真正閱讀過。今天人們最熟悉的莫過于用足夠多邊數(shù)的正多邊形去逼近圓周率的方法，以及為此而發(fā)展出來的遞歸法。遞歸法曾世界流傳，在人們熟悉用級(jí)數(shù)表示之前，這是人們用來計(jì)算圓周率的唯一有效方法。阿基米德的程序與常見描述并不完全一致。就我所知，用現(xiàn)代語言對(duì)此最好的介紹是 unleashed一書2。然而，阿基米德的論文有許多細(xì)微之處似乎還未獲得廣泛的理解。原因之一在于他的算法是在古希臘通用的笨拙系統(tǒng)中完成的，該系統(tǒng)包

2、含了來自古埃及奇怪的分?jǐn)?shù)處理方法i。另一導(dǎo)致阿基米德的論文難讀的原因是當(dāng)時(shí)沒有代數(shù)學(xué)為其所用。這一點(diǎn)已經(jīng)引起了許多注解，但在本專題中我將討論更為基本的數(shù)學(xué)問題。阿基米德定理的內(nèi)容阿基米德的論文由兩部分組成。第一部分是圓面積與其周長之間關(guān)系的論斷及其證明。在第二部分中作者應(yīng)用前一部分證明過程中所奠定的技術(shù)來逼近圓周率。雖然第二部分內(nèi)容最引人關(guān)注，但我將只考慮第一部分的內(nèi)容。我們現(xiàn)有的圓的測(cè)定版本中，開篇斷言：任意圓的面積，與兩條直角邊長分別為該圓半徑和周長的直角三角形的面積相等。粗略地說，該定理成立是因?yàn)槲覀兛梢詫A與三角形都分別剖分為面積很接近的小區(qū)域?，F(xiàn)存版本中，該定理的證明緊隨其論斷之后。

3、下面我將概述其證明，略加解釋，并再附一些圖片。其基本思路幾乎與證明歐幾里得XII.2ii相同。按照現(xiàn)代語言，歐幾里得XII.2稱圓面積正比于其半徑的平方。在歐幾里得的證明中，圓面積的上、下界分別為邊數(shù)漸增的外切、內(nèi)接正多邊形的面積，而阿基米德的證明中，圓周長也有類似的上下界。阿基米德與歐幾里得的證明有所重疊并不奇怪，因?yàn)闅W幾里得XII.2是阿基米德定理的直接推論。定理的論述本身也是有趣的。用代數(shù)語言來描述，圓面積為r2，圓周長為2r。這與阿基米德所稱一致：r2=12r2r.但是古希臘人沒有代數(shù)學(xué)，也沒有我們現(xiàn)在所用的實(shí)數(shù)概念。對(duì)歐幾里得而言，沒有任何意義。事實(shí)上，阿基米德的一個(gè)創(chuàng)新即在于其與現(xiàn)

4、代想法很接近的思想。注意到希臘人用量之比，他們的所有“公式”都是如此，總是斷言兩個(gè)面積相等。一個(gè)典型的例子是，他們不說平行四邊形的面積等于底乘高，而是說平行四邊形與同底等高的矩形有相同的面積。阿基米德的論證與其它應(yīng)用窮竭法的論證思路相同，即展開一個(gè)可能無窮的過程，直到某些事情發(fā)生而終止。（窮竭法來自希臘，但這個(gè)術(shù)語是幾百年之后的歐洲人提出來的。）阿基米德將此技術(shù)的發(fā)明權(quán)含蓄地歸功于他似乎唯一尊敬的前輩歐克多斯(Eudoxus)。一般認(rèn)為歐克多斯創(chuàng)造了一種極其復(fù)雜的方式，依此而使得歐幾里得能證明可能涉及不可比數(shù)iii的結(jié)果。窮竭法和“比”的理論是古希臘數(shù)學(xué)中兩個(gè)最微妙的部分。好幾個(gè)世紀(jì)里，它們是

5、古希臘數(shù)學(xué)嚴(yán)密性的試金石。但應(yīng)用它們卻相當(dāng)困難，因?yàn)橐话愣悦恳粋€(gè)問題都需要不同的處理技巧。雖然復(fù)雜，希臘人的這套絕技一直獨(dú)霸到十九世紀(jì)初期，直到柯西引入他的代數(shù)不等式開啟現(xiàn)代數(shù)學(xué)推理的新時(shí)代。阿基米德定理的證明設(shè)C為一圓，T為一三角形，其高為圓半徑、底為圓周長。如同所有的窮竭法一樣，接下來的證明也分為兩部分。首先證明C的面積不可能大于T的面積，然后再證明它又不可能小于三角形面積。因此余下來的可能性只能是兩者相等。第一部分將證明圓的面積不比三角形的面積大。下面的論證中我們需要三個(gè)斷言，其證明將延后給出。斷言1：任何圓內(nèi)接多邊形的面積小于C的面積。以如下方式定義4,8等一系列圓內(nèi)接多邊形：4為圓

6、內(nèi)接正方形，8為平分4各邊對(duì)應(yīng)弧所得的圓內(nèi)接正八邊形，一般地，2n為將n各對(duì)應(yīng)弧平分所得的邊數(shù)為2n的圓內(nèi)接正多邊形。由斷言1知n的面積比C的面積小。設(shè)n=C的面積n的面積>0.在上圖中，n即紅色部分的面積。我們還要用到斷言2：2n<n/2，以及斷言3：任何圓內(nèi)接正多邊形的面積小于前面定義的三角形T的面積。這一點(diǎn)稍難證明。因?yàn)閳A內(nèi)接正多邊形和三角形T都可被細(xì)分，如下圖情形，斷言3源于以下兩個(gè)事實(shí)：· 弧長PBQ大于線段PAQ，· 線段OA短于OB。其中第二條得自歐幾里得III.2，即線段PQ位于圓內(nèi)。第一條雖然從圖觀察很明顯，但是我們將看到要相信我們之所見還有些

7、問題。我們先假設(shè)這三條斷言為真。我們使用反證法，即假設(shè)C的面積大于T的面積：d=C的面積T的面積>0.根據(jù)阿基米德原理（即歐幾里得X.1），由斷言2我們可取充分大的n使得n<d。我們現(xiàn)在有n的面積<T的面積<C的面積.這表明d=C的面積T的面積<C的面積n的面積=n,但這與n的選取矛盾。第二部分將證明三角形的面積不比圓的面積大。在第二部分的證明中，我們還是用反證法，即假設(shè)C的面積小于T的面積來得出矛盾。這次我們將要求助外切多邊形。在這一部分中，我們?cè)O(shè)4為圓C的外切正方形，以及一般地從n出發(fā)，找到n個(gè)等分弧的中點(diǎn)，再作圓的n個(gè)切線，得到邊數(shù)為2n的圓外切正多邊形。在

8、這種情形，2n嚴(yán)格位于n之內(nèi)。令n=n的面積C的面積>0.同理可證明2n<n/2。代替上頁斷言3的是：斷言4：T的面積小于n的面積。之后的證明與第一部分很相似：從C的面積小于T的面積這個(gè)假設(shè)得出矛盾。剩下來需驗(yàn)證斷言14。其中最簡單的是斷言1。若我們知道由割圓線段所構(gòu)造的多邊形含于圓內(nèi)，則該結(jié)論可從幾何原本第一卷公理5(即“整體大于部分”)直接得到。這恰為歐幾里得III.2的結(jié)論。斷言2是歐幾里得證明X.2的關(guān)鍵，X.2稱圓的面積正比于半徑的平方，這在希斯版的幾何原本中有很好的解釋，因此我不再贅述。但斷言3與4確實(shí)不在幾何原本中，事實(shí)上這正是阿基米德的杰出創(chuàng)新。關(guān)鍵問題是，如何定義

9、曲線的長度？什么是圓周長？除了線段長，歐幾里得從不談及任何其它長度。其實(shí)這是一個(gè)很困難的問題，因?yàn)槠矫嫔洗嬖谟袩o窮長度的連續(xù)曲線。問題可如下提出：如何比較平面上兩條曲線的長度，或比較三維空間中兩個(gè)曲面的面積？“在什么條件下，我們可以判斷一條曲線比另一條更長或更短？”阿基米德如何處理這些問題呢？問題最早可能出現(xiàn)于阿基米德最著名的作品論球與圓柱I之中，其中他通過內(nèi)接圓柱計(jì)算了球的面積。這比圓周長更復(fù)雜，但原理卻是相似的。在論球與圓柱I的介紹中，他得出的兩個(gè)引理正是我們這里需要的。聰明的阿基米德并未給出引理的太多細(xì)節(jié)，也沒有提供證明。阿基米德的第一個(gè)引理是兩條可能的曲線最簡單的比較。引理1 

10、;兩點(diǎn)間的直線段短于任何其它連接此兩點(diǎn)的軌道。第二條要更細(xì)致些。引理2 給定兩點(diǎn)P和Q。假設(shè)有兩條從P到Q的凹軌道都處于線段PQ的同一邊。若其中一條軌道處于另一條軌道和線段PQ之間，則它的長度更短。一條連接P和Q且處于PQ一邊的軌道是凹的，那么該軌道和線段PQ所圍區(qū)域是凸的。就我所知，阿基米德是第一個(gè)在數(shù)學(xué)上使用凸區(qū)域概念的人。我將稍后討論這些引理，先看看如何從這些引理得到斷言3。在本文一開始的圖形中，n=4的三角形T被分割為4個(gè)小三角形，其中每一個(gè)小三角形有相同的長為弧PBQ長的底，以及相等的高OP。然而，按照引理1，弧PBQ的長度大于PQ長，同時(shí)，由歐幾里得III.2得OB大于O

11、A。根據(jù)對(duì)稱性，由此可知斷言3在此情形成立，一般情形n也可如此推理。引理2在阿基米德定理證明的第二部分中需要使用。接下來的問題是，阿基米德是如何證明上述引理的呢？如何解釋阿基米德的引理？實(shí)事求是地說，據(jù)我所知，阿基米德從沒在任何地方給出過即使是最輕微的提示來回答這個(gè)問題。我將提出一些他可能用過的合情推理。首先，因?yàn)槲覀冎皇菍で蠛锨樾?，我們可以將問題簡化，假設(shè)所考慮的軌道都是多邊形。我們先看引理1。其最簡單情形即說三角形中任意一條邊小于另外兩條邊之和，見下圖中。此即歐幾里得I.21，也是歸納法進(jìn)行證明的基礎(chǔ)。歐幾里得在非正式基礎(chǔ)上已經(jīng)熟悉歸納法。假設(shè)我們有一由三條線段組成的、連接P與Q的多邊形軌

12、道PP1P2P3，其中最后一個(gè)點(diǎn)P3是Q，見下圖中。作輔助線PP2，并應(yīng)用歐幾里得I.21，我們得到PQ<PP2+P2Q<(PP1+P1P2)+P2Q.這樣我們可如歐幾里得那樣以此類推，得到引理1。引理2更為有趣。同樣，我們考慮一個(gè)簡單情形：內(nèi)部曲線由兩條線段組成。我們需要證明內(nèi)部軌道之長小于外部軌道之長：PQ1+Q1Q<PP1+P1P2+P2Q.應(yīng)用引理1兩次我們得到PR<PP1+P1P2+P2R,    Q1Q<Q1R+RQ,由此可得到：PQ1+Q1Q<<=PQ1+Q1R+RQ=PR+RQ(PP1+P1P2+

13、P2R)+RQPP1+P1P2+P2Q.這就證明了內(nèi)部曲線是兩條線段的情形。更廣泛地，比如下左圖所示，我們可以對(duì)內(nèi)部軌道的線段數(shù)使用歸納法。上述證明可行是因?yàn)槲覀円呀?jīng)假設(shè)內(nèi)部軌道是凹的。這可保證點(diǎn)R位于上方軌道PP1P2Q的線段P2Q上，如果沒有凹的假設(shè)，比如內(nèi)部軌道有轉(zhuǎn)折，如上右圖所示，內(nèi)部軌道可能會(huì)更長，那么引理2就不成立了。i 譯者注：古埃及分?jǐn)?shù)是不同的單位分?jǐn)?shù)的和。單位分?jǐn)?shù)是分子為1，分母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù)。例如我們現(xiàn)在用的2/3古埃及分?jǐn)?shù)表示為1/2+1/6。ii 譯者注：即歐幾里得幾何原本1第十二卷命題2，下類似。iii 譯者注：原文為irrational

14、 ratios，指現(xiàn)今所說的無理數(shù)。iv 譯者注：該命題稱在一圓的圓周上任取兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)的線段落在圓內(nèi)。進(jìn)一步閱讀資料1. 1 阿基米德, Sphere and cylinder I和Measurement of the circle, 由希斯（T. L. Heath）翻譯。劍橋大學(xué)出 版社1897年原版, Dover出版社重印。2. 海伯格所得的阿基米德關(guān)于圓的論文有些紊亂（希斯版譯自海伯格的希臘文版）。據(jù)稱阿基米德Codex中有此工 作的另一文本正由Reviel Netz（緩慢地）編輯，但我不知道其中是否與海伯格、希斯的版本有太大的差別。3. 希斯版阿基米德作品見（http:

15、//details/worksofarchimede029517mbp）。更多關(guān)于阿基米德的作 品的鏈接可以在紐約大學(xué)的網(wǎng)頁“阿基米德有關(guān)的書”中見到（/crorres/Archimedes/Books/ArchimedesInternet.html）。4. 2 Jörg Arndt 與 Christoph Haenel, unleashed, Springer-Verlag, 2000.5. 3 Judith Grabiner, The origins of Cauchy's rigorous calculus, MIT出版社，1981。 Dover出版社重印。這本書有助于重握柯西貢獻(xiàn)的起始風(fēng)味。6. 4 Euclid, The Elements. Translated into English by T. L. Heath，劍橋大學(xué)出版社原版， Dover出版社重譯。 這個(gè)版本的價(jià)值在于其大量注釋，雖然有些陳舊。7. 5 Ott