專(zhuān)題拋物線與圓綜合探究題(含答案)

1、專(zhuān)題：拋物線與圓綜合探究題拋物線與圓綜合探究題，綜合性強(qiáng)，難度較大，通常都作為“壓軸題”，解此類(lèi)題通常需要熟練掌握拋物線與圓相關(guān)的基本知識(shí)和基本技能，求解時(shí)注意運(yùn)用有關(guān)性質(zhì)，進(jìn)行綜合、分析、探究解題思路。例1、拋物線交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn),已知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為，,， 求二次函數(shù)的解析式；在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)，使點(diǎn)到、兩點(diǎn)距離之差最大？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； 平行于軸的一條直線交拋物線于兩點(diǎn)，若以為直徑的圓恰好與軸相切，求此圓的半徑解：（1）將代入，得 將，代入，得 是對(duì)稱(chēng)軸，將（2）代入（1）得， 二次函數(shù)得解析式是（2）與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為到的距離之差最大的點(diǎn)點(diǎn)的坐

2、標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為， 直線的解析式是，又對(duì)稱(chēng)軸為， 點(diǎn)的坐標(biāo) （3）設(shè)、，所求圓的半徑為r，則 ，.(1) 對(duì)稱(chēng)軸為， .(2)由（1）、（2）得：.(3) 將代入解析式，得 ，.(4)整理得： 由于 r=±y，當(dāng)時(shí)，解得， ， （舍去），當(dāng)時(shí)，解得， ， （舍去）所以圓的半徑是或 例2、已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=kx-4k的圖象與x軸交于點(diǎn)A，拋物線經(jīng)過(guò)O、A兩點(diǎn)。 試用含a的代數(shù)式表示b； 設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，以D為圓心，DA為半徑的圓被x軸分為劣弧和優(yōu)弧兩部分。若將劣弧沿x軸翻折，翻折后的劣弧落在D內(nèi)，它所在的圓恰與OD相切，求D半徑的長(zhǎng)及拋物線的解析式； 設(shè)點(diǎn)

3、B是滿足中條件的優(yōu)弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，拋物線在x軸上方的部分上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。（1）解法一：一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A 點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）拋物線經(jīng)過(guò)O、A兩點(diǎn) 解法二：一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A 點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）拋物線經(jīng)過(guò)O、A兩點(diǎn) 拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線 （2）解：由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知，DODA點(diǎn)O在D上，且DOADAO 又由（1）知拋物線的解析式為點(diǎn)D的坐標(biāo)為（） 當(dāng)時(shí)， 如圖1，設(shè)D被x軸分得的劣弧為，它沿x軸翻折后所得劣弧為，顯然所在的圓與D關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)它的圓心為D' 點(diǎn)D'與點(diǎn)D也關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)O在D

4、'上，且OD與D'相切 點(diǎn)O為切點(diǎn)D'OOD DOAD'OA45°ADO為等腰直角三角形點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為 拋物線的解析式為 當(dāng)時(shí)， 同理可得： 拋物線的解析式為 綜上，D半徑的長(zhǎng)為，拋物線的解析式為或 （3）解答：拋物線在x軸上方的部分上存在點(diǎn)P，使得 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），且y0 當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上時(shí)（如圖2） 點(diǎn)B是D的優(yōu)弧上的一點(diǎn) 過(guò)點(diǎn)P作PEx軸于點(diǎn)E 由解得：（舍去） 點(diǎn)P的坐標(biāo)為 當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上時(shí)（如圖3） 同理可得， 由解得：（舍去） 點(diǎn)P的坐標(biāo)為 綜上，存在滿足條件的點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 或例3、如圖，在直角坐標(biāo)系中，C過(guò)原點(diǎn)O，交x軸

5、于點(diǎn)A（2，0），交y軸于點(diǎn)B（0，）。 求圓心的坐標(biāo)； 拋物線yax2bxc過(guò)O、A兩點(diǎn)，且頂點(diǎn)在正比例函數(shù)yx的圖象上，求拋物線的解析式； 過(guò)圓心C作平行于x軸的直線DE，交C于D、E兩點(diǎn)，試判斷D、E兩點(diǎn)是否在中的拋物線上； 若中的拋物線上存在點(diǎn)P（x0，y0），滿足APB為鈍角，求x0的取值范圍。解：（1）C經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O， AB為C的直徑。 C為AB的中點(diǎn)。ABCDEFOHxy過(guò)點(diǎn)C作CH垂直x軸于點(diǎn)H，則有CHOB，OHOA1。圓心C的坐標(biāo)為（1，）。（2）拋物線過(guò)O、A兩點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x1。拋物線的頂點(diǎn)在直線yx上， 頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，）把這三點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線拋物線yax2bx

6、c，得解得拋物線的解析式為。 （3）OA2，OB2，.即C的半徑r2。D（3，），E（1，）代入檢驗(yàn)，知點(diǎn)D、E均在拋物線上（4）AB為直徑，當(dāng)拋物線上的點(diǎn)P在C的內(nèi)部時(shí)，滿足APB為鈍角。1x00，或2x03。例4、如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(1,4)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(2,3)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C。 求拋物線的解析式及點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)； 若直線y=kx+t經(jīng)過(guò)C、M兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)D，試證明四邊形CDAN是平行四邊形； 點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x=1上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)?zhí)剿鳎涸趚軸上方是否存在這樣的P點(diǎn)，使以P為圓心的圓經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，并且與直線CD相切，若存在，

7、請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：（1）由拋物線的頂點(diǎn)是M（1，4），設(shè)解析式為 又拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)N（2，3），所以 解得a1 所以所求拋物線的解析式為y令y0，得解得：得A（1，0） B（3，0） ；令x0，得y3，所以 C（0，3）.（2）直線y=kx+t經(jīng)過(guò)C、M兩點(diǎn)，所以即k1，t3 直線解析式為yx3. 令y0，得x3，故D（3，0） CD 連接AN，過(guò)N做x軸的垂線，垂足為F. 設(shè)過(guò)A、N兩點(diǎn)的直線的解析式為ymxn， 則解得m1，n1 所以過(guò)A、N兩點(diǎn)的直線的解析式為yx1 所以DCAN. 在RtANF中，AN3，NF3，所以AN 所以DCAN。 因此四邊形CDAN是平行

8、四邊形.（3）假設(shè)在x軸上方存在這樣的P點(diǎn)，使以P為圓心的圓經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，并且與直線CD相切，設(shè)P（1，u） 其中u0，則PA是圓的半徑且過(guò)P做直線CD的垂線，垂足為Q，則PQPA時(shí)以P為圓心的圓與直線CD相切。由第（2）小題易得：MDE為等腰直角三角形，故PQM也是等腰直角三角形， 由P（1，u）得PEu， PM|4-u|， PQ由得方程：，解得，舍去負(fù)值u ，符合題意的u，所以，滿足題意的點(diǎn)P存在，其坐標(biāo)為（1，）.例5、已知：如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，ACB90°， 求m的值及拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)； 過(guò)A、B、C的三點(diǎn)的M交y軸于另一點(diǎn)D，連結(jié)DM并延長(zhǎng)交M

9、于點(diǎn)E，過(guò)E點(diǎn)的M的切線分別交x軸、y軸于點(diǎn)F、G，求直線FG的解析式； 在條件下，設(shè)P為上的動(dòng)點(diǎn)（P不與C、D重合），連結(jié)PA交y軸于點(diǎn)H，問(wèn)是否存在一個(gè)常數(shù)k，始終滿足AH·APk，如果存在，請(qǐng)寫(xiě)出求解過(guò)程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：由拋物線可知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m），且m0.設(shè)A（x1，0），B（x2，0）.則有x1·x23m又OC是RtABC的斜邊上的高，AOCCOB，即x1·x2m2m23m，解得m0或m3而m0， 故只能取m3這時(shí)，故拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，4）解法一：由已知可得：M（，0），A（，0），B（3，0），C（0,3），D（0， 3）拋物

10、線的對(duì)稱(chēng)軸是x，也是M的對(duì)稱(chēng)軸，連結(jié)CEDE是M的直徑，DCE90°，直線x，垂直平分CE，E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3），AOCDOM90°，ACOMDO30°，ACDE ACCB，CBDE又FGDE，F(xiàn)GCB由B（3，0）、C（0，3）兩點(diǎn)的坐標(biāo)易求直線CB的解析式為：y3可設(shè)直線FG的解析式為yn，把（2，3）代入求得n5故直線FG的解析式為y5解法二：令y0，解30得x1，x23 ，即A（，0），B（3，0）根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性，易知：M半徑為2， M（，0）在RtBOC中，BOC90°，OB3，OC3CBO30°，同理，ODM30°。而B(niǎo)

11、MEDMO，DOM90°，DEBCDEFG，BCFGEFMCBO30°在RtEFM中，MEF90°，ME2，F(xiàn)EM30°，MF4，OFOMMF5，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，0）在RtOFG中，OGOF·tan30°5×5G點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，5）直線FG的解析式為y5（解法二的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)參照解法一酌定）解法一：存在常數(shù)k12，滿足AH·AP12連結(jié)CP由垂徑定理可知，PACH（或利用PABCACO）又CAHPAC，ACHAPC即AC2AH·AP在RtAOC中，AC2AO2OC2（）23212（或利用AC2AO·

12、;AB×412AH·AP12解法二：存在常數(shù)k12，滿足AH·AP12設(shè)AHx，APy由相交弦定理得HD·HCAH·HP即化簡(jiǎn)得：xy12即AH·AP12例6、拋物線()交x軸于點(diǎn)A(-1,0)、B（3,0）,交y軸于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,以BD為直徑的M恰好過(guò)點(diǎn)C. (1)求頂點(diǎn)D的坐標(biāo) (用的代數(shù)式表示) ；(2)求拋物線的解析式； (3)拋物線上是否存在點(diǎn)P使PBD為直角三角形？若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在,說(shuō)明理由.解：（1）（方法一）由題意：設(shè)拋物線的解析式為點(diǎn)C（0，3a），D（1,4a）（方法二）由題意：，解得（下同方法一

13、）（2）（方法一）過(guò)點(diǎn)D作DEy軸于點(diǎn)E，易證DECCOB故拋物線的解析式為：（方法二）過(guò)點(diǎn)D作DEy軸于點(diǎn)E，過(guò)M作MGy軸于點(diǎn)G，設(shè)M交x軸于另一點(diǎn)H，交y軸于另一點(diǎn)F，可先證四邊形OHDE為矩形，則OHDE1，再證OFCEa，由OH·OBOF·OC得：， （下同法一）（3）符合條件的點(diǎn)P存在，共3個(gè)若BPD90°，P點(diǎn)與C點(diǎn)重合，則P1（0，3）（P1表示第一個(gè)P點(diǎn)，下同）若DBP90°，過(guò)點(diǎn)P2作P2Rx軸于點(diǎn)R，設(shè)點(diǎn)P2由BP2RDBH得，即，解得或（舍去）故若BDP90°，設(shè)DP3的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N，可證EDN HDB，求得EN，

14、N（0，）求得DN的解析式為求拋物線與直線DN的交點(diǎn)得P3（），綜上所述：符合條件的點(diǎn)P為（0，3）、（）例7、已知拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸交于不同的兩點(diǎn)A和B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，8），其對(duì)稱(chēng)軸為x=1. 求此拋物線的解析式； 過(guò)A、B、C三點(diǎn)作O與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)D,求經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O且與直線AD垂直（垂足為E）的直線OE的方程； 設(shè)O與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為P，直線OE與直線BC的交點(diǎn)為Q，直線x=m與拋物線的交點(diǎn)為R，直線x=m與直線OE的交點(diǎn)為S。是否存在整數(shù)m，使得以點(diǎn)P、Q、R、S為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：(1)

15、由已知，有解得 拋物線的解析式是 y=-x2+2x+8 . (2)令y=0，得方程-x2+2x+80，解得x1=-2，x2=4. 點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2，0).在O中，由相交弦定理，得OA|·|OB|=|OC|·|OD|， 即2×4=8×|OD|，|OD|=1. 點(diǎn)D在y軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，-1). 在RtAOD中，|OA|=2，|OD|=1，OEAD，由勾股定理，有AD=. 又|OA|·|OD|=|AD|·|OE|，|OE|=. |OA|2=|AE|·|AD|，即22=|AE|，|AE|=.同理，由|OD|2=|D

16、E|·|AD|，得|DE|=.設(shè)點(diǎn)E(x，y)，且x<0，y<0. 在RtAOE中，|AE|·|OE|=|y|·|OA|， |y|=，y=-. 在RtDOE中，|DE|·|OE|=|x|·|OD|，|x|=，x=-.點(diǎn)E的坐標(biāo)是(-，-). 設(shè)直線OE的方程為y=kx (k0). 直線OE經(jīng)過(guò)點(diǎn)E(-，-)，-=-k，K=2. 直線OE的方程為y=2x. (3)在O中，對(duì)稱(chēng)軸x=1垂直平分弦AB，由垂徑定理的推論知直線x=1經(jīng)過(guò)圓心O.C(0，8)，由對(duì)稱(chēng)當(dāng)?shù)命c(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，8).設(shè)直線BC的方程為y=kx+b (k0). 則有

17、解得直線BC的方程為y=-2x+8. 聯(lián)立方程組 解得 點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，4). 點(diǎn)P(2，8)，點(diǎn)Q(2，4)， PQRS. 設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為(m，-m2+2m+8)，點(diǎn)S的坐標(biāo)的(m，2m). 要使四邊形PQRS為平行四邊形，已知PQRS，尚需條件|RS|=|PQ|. 由|(-m2+2m+8)-2m|=|8-4|=4， 得|-m2+8|=4，解得m=±2，或m=±.而m=2, ±不合題意，應(yīng)舍去. 存在整數(shù)m=-2，使得以P、Q、R、S為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形. 例8、如圖3已知拋物線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，5)和點(diǎn)B（3 ，2） (1)求拋物線的解析式：(2)現(xiàn)有一

18、半徑為l，圓心P在拋物線上運(yùn)動(dòng)的動(dòng)圓，問(wèn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在P與坐標(biāo)軸相切的情況？若存在，請(qǐng)求出圓心P的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若Q的半徑為r，點(diǎn)Q 在拋物線上、Q與兩坐軸都相切時(shí)求半徑r的值解析 (1)由題意，得； 拋物線的解析式為 (2)當(dāng)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在P與坐標(biāo)軸相切的情況設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為()，則則當(dāng)P與y軸相切時(shí)，有|x0|=1，x0=±1由，得， 由，得當(dāng)P與x軸相切時(shí)有 拋物線開(kāi)口向上，且頂點(diǎn)在x軸的上方 由，得，解得y0=2，B(2，1) 綜上所述，符合要求的圓心P有三個(gè)，其坐標(biāo)分別為： (3)設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為(x，y)，則當(dāng)Q與兩條坐標(biāo)軸都相切時(shí)，有y= 由

19、y=x得，解得 由，得，此方程無(wú)解 O的半徑為 例9、已知：如圖，拋物線的圖象與軸分別交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn)，點(diǎn)是劣弧上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與不重合）（1）求拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求的面積；（3）連交于點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使，試探究當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，直線與相切，并請(qǐng)說(shuō)明理由解 （1）拋物線的坐標(biāo)為（說(shuō)明：用公式求點(diǎn)的坐標(biāo)亦可）（2）連；過(guò)為的直徑而（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，直線與相切理由：在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，在中，為等邊三角形又為直徑，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，為的切線例10、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，以為邊在軸下方作正方形，點(diǎn)是線段與正方形的外接圓除點(diǎn)以外的另一個(gè)交點(diǎn)，連結(jié)與相交于點(diǎn)（1）求證：；（

20、2）設(shè)直線是的邊的垂直平分線，且與相交于點(diǎn)若是的外心，試求經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的拋物線的解析表達(dá)式；（3）在（2）的條件下，在拋物線上是否存在點(diǎn)，使該點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在軸上？若存在，求出所有這樣的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由AEODCBGFxyl解 （1）在和中，四邊形是正方形，又，（2）由（1），有，點(diǎn)是的外心，點(diǎn)在的垂直平分線上點(diǎn)也在的垂直平分線上為等腰三角形，而，設(shè)經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的拋物線的解析表達(dá)式為拋物線過(guò)點(diǎn)，把點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，得即解得拋物線的解析表達(dá)式為（3）假定在拋物線上存在一點(diǎn)，使點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在軸上是的平分線，軸上的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)必在直線上，即點(diǎn)是拋物線與直線的交點(diǎn)AEODCBG

21、FxylQ設(shè)直線的解析表達(dá)式為，并設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，則由是等腰直角三角形把點(diǎn)，點(diǎn)代入中，得直線的解析表達(dá)式為設(shè)點(diǎn)，則有把代入，得，即解得或當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在拋物線上存在點(diǎn)，它們關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)都在軸上例11、若拋物線y=x2-(m+3)x+m+1與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，以O(shè)A、OB為直徑分別作O1、O2。(1)試證：無(wú)論m取何實(shí)數(shù)，拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；(2)當(dāng)兩圓相等時(shí)，求m的值；(3)如果兩圓外切，求m的范圍；(4)點(diǎn)B能否在原點(diǎn)的左側(cè)？請(qǐng)說(shuō)明理由；(5)兩圓內(nèi)切時(shí)，求m的范圍；(6)若兩圓內(nèi)切時(shí)，當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0)，試證：OAOM OB；(7)如果兩圓外切

22、,且O1、O2的周長(zhǎng)之比為2:1，求m的值；(8)若兩圓面積之和為，求m的值；(9)若兩圓外切時(shí)，外公切線長(zhǎng)為3，求m之值。分析 若設(shè)y=x2-(m+3)x+m+1與x軸交于A(x1，0)、B(x2,0)，顯然x1x2。(1) 因?yàn)閽佄锞€y=x2-(m+3)x+m+1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即為所對(duì)應(yīng)的一元二次方程x2-(m+3)x+m+1=0的兩根。所以，要證明拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)，就是要證明方程x2-(m+3)x+m+1=0的根的判別式0=-(m+3)2-4(m+1)=m2+2m+5=(m+1)2+40顯然，問(wèn)題可證。(2)由(1)可知，點(diǎn)A、點(diǎn)B是兩個(gè)不同的點(diǎn)，若兩圓相等，則OA=OB，且點(diǎn)A，點(diǎn)B分布在原點(diǎn)的兩側(cè)，又因?yàn)閤1x2 x10，x20則OA=|x1|=-x1 OB=|x2|=x2-x1=x2 即x1+x2=0則