控制工程基礎(chǔ)(系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型)2

1、控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)第第2 2章章系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)1 1、為什么要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型？、為什么要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型？ 研究一個(gè)自動(dòng)控制系統(tǒng)，除了對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行定性分析外，還必須研究一個(gè)自動(dòng)控制系統(tǒng)，除了對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行定性分析外，還必須 進(jìn)定量分析，進(jìn)而探討改善系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)性能的具體方法。進(jìn)定量分析，進(jìn)而探討改善系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)性能的具體方法。 2 2、什么是數(shù)學(xué)模型？、什么是數(shù)學(xué)模型？ 描述系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、輸入、輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。根據(jù)數(shù)學(xué)模型描述系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、輸入、輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。根據(jù)數(shù)學(xué)模型 所描述的系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性的不同分為：所描述的系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性的不同分為：

2、動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型和靜態(tài)數(shù)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型和靜態(tài)數(shù) 學(xué)模型。學(xué)模型。3 3、機(jī)械工程控制中常用的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型的幾種形式、機(jī)械工程控制中常用的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型的幾種形式: :時(shí)域數(shù)學(xué)模型：時(shí)域數(shù)學(xué)模型：微分方程、狀態(tài)方程和差分方程；微分方程、狀態(tài)方程和差分方程；復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型：復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型：傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖：傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖： ( (傳遞函數(shù)框圖和信號(hào)流圖傳遞函數(shù)框圖和信號(hào)流圖) )；頻域數(shù)學(xué)模型：頻域數(shù)學(xué)模型：頻率特性等。頻率特性等?，F(xiàn)代控制理論中：現(xiàn)代控制理論中：基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊理論而建立的模型等?；谏窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊理論而建立的模型等。 2.0 2.0 本章概述本章概述控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)本章基本

3、要求本章基本要求： 1 1、掌握列寫(xiě)微分方程的一般方法。、掌握列寫(xiě)微分方程的一般方法。 2 2、掌握非本質(zhì)非線性微分方程的性線化處理方法。、掌握非本質(zhì)非線性微分方程的性線化處理方法。 3 3、熟悉典型信號(hào)的拉普拉斯變換，掌握較復(fù)雜控制信號(hào)、熟悉典型信號(hào)的拉普拉斯變換，掌握較復(fù)雜控制信號(hào)的分解計(jì)算。的分解計(jì)算。 4 4、熟記拉普拉斯變換的基本定理，并掌握運(yùn)用拉普拉斯、熟記拉普拉斯變換的基本定理，并掌握運(yùn)用拉普拉斯變換解微分方程的方法；變換解微分方程的方法； 5 5、正確理解傳遞函數(shù)的定義、性質(zhì)和意義。、正確理解傳遞函數(shù)的定義、性質(zhì)和意義。 6 6、正確理解由傳遞函數(shù)派生出來(lái)的系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)、

4、正確理解由傳遞函數(shù)派生出來(lái)的系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)、對(duì)控和對(duì)干擾的傳遞函數(shù)、誤差傳遞、閉環(huán)傳遞函數(shù)、對(duì)控和對(duì)干擾的傳遞函數(shù)、誤差傳遞函數(shù)以及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)等概念。函數(shù)以及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)等概念。 7 7、掌握結(jié)構(gòu)變換的基本法則，并能正確較熟練地運(yùn)用。、掌握結(jié)構(gòu)變換的基本法則，并能正確較熟練地運(yùn)用?？刂乒こ袒A(chǔ)控制工程基礎(chǔ)2.1 2.1 系統(tǒng)微分方程系統(tǒng)微分方程 一、建立數(shù)學(xué)模型的方法：機(jī)理分析法機(jī)理分析法 依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理或依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律列寫(xiě)出相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，建立模型。化學(xué)規(guī)律列寫(xiě)出相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，建立模型。實(shí)驗(yàn)辯識(shí)法實(shí)驗(yàn)

5、辯識(shí)法 人為地對(duì)系統(tǒng)施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄其輸人為地對(duì)系統(tǒng)施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行逼近。這種出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行逼近。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識(shí)。方法也稱為系統(tǒng)辨識(shí)。機(jī)理分析和實(shí)驗(yàn)辯識(shí)相結(jié)合的方法機(jī)理分析和實(shí)驗(yàn)辯識(shí)相結(jié)合的方法 控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)二、列寫(xiě)微分方程式的一般方法：二、列寫(xiě)微分方程式的一般方法：1 1、確定系統(tǒng)的輸入量、輸出量。、確定系統(tǒng)的輸入量、輸出量。（給定輸入量和擾動(dòng)量）（給定輸入量和擾動(dòng)量）2 2、按照信號(hào)的傳遞順序，列寫(xiě)出各個(gè)環(huán)節(jié)的微分方程。、按照信號(hào)的傳遞順序，列寫(xiě)出各個(gè)環(huán)節(jié)的微分方程。3 3、消去中間變量，得到只包含輸入量和輸

6、出量的微分方程；、消去中間變量，得到只包含輸入量和輸出量的微分方程；4 4、變換成標(biāo)準(zhǔn)形式。將與輸入有關(guān)的項(xiàng)寫(xiě)在微分方程的右、變換成標(biāo)準(zhǔn)形式。將與輸入有關(guān)的項(xiàng)寫(xiě)在微分方程的右邊，與輸出有關(guān)的項(xiàng)寫(xiě)在微分方程的左邊，并且各階導(dǎo)數(shù)邊，與輸出有關(guān)的項(xiàng)寫(xiě)在微分方程的左邊，并且各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降冪排列。項(xiàng)按降冪排列。 控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)三、機(jī)械系統(tǒng)的機(jī)理分析法建模三、機(jī)械系統(tǒng)的機(jī)理分析法建模質(zhì)量元件：質(zhì)量元件：彈性元件：彈性元件：阻尼元件：阻尼元件：. .機(jī)械平移運(yùn)動(dòng)：機(jī)械平移運(yùn)動(dòng)：元件間通過(guò)力聯(lián)系，系統(tǒng)遵循牛頓定律。元件間通過(guò)力聯(lián)系，系統(tǒng)遵循牛頓定律?？刂乒こ袒A(chǔ)控制工程基礎(chǔ)例例2-12-1：質(zhì)量、彈

7、簧、阻尼器的機(jī)械位移系統(tǒng)，試列寫(xiě)質(zhì)量：質(zhì)量、彈簧、阻尼器的機(jī)械位移系統(tǒng)，試列寫(xiě)質(zhì)量m m在外力在外力f f作用下，位移作用下，位移x x的運(yùn)動(dòng)方程。的運(yùn)動(dòng)方程。1 1、明確系統(tǒng)的輸入和輸出：、明確系統(tǒng)的輸入和輸出：輸入為輸入為f f，輸出為，輸出為x x。2 2、根據(jù)牛頓第二定律列出原始微分方程：、根據(jù)牛頓第二定律列出原始微分方程：3 3、整理（化成標(biāo)準(zhǔn)形式）：、整理（化成標(biāo)準(zhǔn)形式）：控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ). .機(jī)械旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)：機(jī)械旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)：元件間通過(guò)力矩聯(lián)系，系統(tǒng)遵循轉(zhuǎn)動(dòng)定理。元件間通過(guò)力矩聯(lián)系，系統(tǒng)遵循轉(zhuǎn)動(dòng)定理。質(zhì)量元件：質(zhì)量元件：彈性元件：彈性元件：阻尼元件：阻尼元件：)(12 kT)(

8、)(1212ccTJMJM MJ JTMJTMJM MJ JT Tk kM MJ JT Tc c控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)K K i i( (t t) ) o o( (t t) )0 00 0T TK K( (t t) )T TC C( (t t) )C C粘性液體粘性液體齒輪齒輪J JJ J 旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；K K 扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)；扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)；C C 粘性阻尼系數(shù)粘性阻尼系數(shù)柔性軸柔性軸例例2-2 2-2 齒輪通過(guò)柔性軸驅(qū)動(dòng)機(jī)械旋轉(zhuǎn)體運(yùn)動(dòng)。齒輪通過(guò)柔性軸驅(qū)動(dòng)機(jī)械旋轉(zhuǎn)體運(yùn)動(dòng)。控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ))()()()()()()()(22tTtTtdtdJtdtdCtTttKtTCK

9、ooCoiK)()()()(22tKtKtdtdCtdtdJiooo控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)例例2-32-3：試列出如圖所示機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的微分方程。：試列出如圖所示機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的微分方程。 1 1、明確系統(tǒng)的輸入和輸出：、明確系統(tǒng)的輸入和輸出：輸入為輸入為T(mén) T，輸出為，輸出為x x（t t）。）。2 2、列出原始微分方程：、列出原始微分方程：3 3、消除中間變量，并整理得：、消除中間變量，并整理得：J J 旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；K K1 1 扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù); ; K K2 2 剛度系數(shù)剛度系數(shù)B B1 1、粘性阻尼系數(shù)粘性阻尼系數(shù); ; B B2 2、粘性阻尼系數(shù)粘性阻尼

10、系數(shù);r:;r:旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)動(dòng)半徑旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)動(dòng)半徑1()oTKrxrTxrkxrBBxmrJ22.221.2)()(JrfBK101)(xxmxKBf22輸入輸入T輸出輸出x0TfT1BT控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)四、電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)機(jī)理分析建模四、電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)機(jī)理分析建模 容性元件：容性元件：感性元件：感性元件：阻性元件：阻性元件：dttiCtu)(1)(dttdiLtu)()()()(tRitu元件間相互連接后，系統(tǒng)遵循基爾霍夫定理。元件間相互連接后，系統(tǒng)遵循基爾霍夫定理。12)(vvtu其中：其中：控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)例例2-42-4：試列出如圖所示電氣系統(tǒng)的微分方程。：試列出如圖所示電氣系統(tǒng)的微分

11、方程。 1 1、明確系統(tǒng)的輸入和輸出：、明確系統(tǒng)的輸入和輸出：輸入為輸入為u ui i（t t），輸出為），輸出為u uo o（t t）。）。2 2、列出原始微分方程、列出原始微分方程3 3、消除中間變量，并整理得：、消除中間變量，并整理得：dttiCiRdtdiLtui)(1)(u uo o( (t t) )L LR RC Cu ui i( (t t) )i i( (t t) )R-L-CR-L-C無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)dttiCtuo)(1)(dttduCio)(或或)()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)例例2-52-5：試列出如圖所示電

12、氣系統(tǒng)的微分方程。：試列出如圖所示電氣系統(tǒng)的微分方程。 1 1、明確系統(tǒng)的輸入和輸出、明確系統(tǒng)的輸入和輸出輸入為輸入為u ui i，輸出為，輸出為u uo o。2 2、列出原始微分方程、列出原始微分方程負(fù)載效應(yīng)負(fù)載效應(yīng)dtducdtducRuuoi21111ouRiu221dtducio223 3、消除中間變量，并整理得：、消除中間變量，并整理得：ioouudtduCRCRCRdtudCRCR2212211222211)(本例中如果看成兩個(gè)電路本例中如果看成兩個(gè)電路, R, R1 1C C2 2反映了反映了兩回路兩回路L1L1和和L2L2間的相互影響。間的相互影響。 1ciL1L2控制工程基礎(chǔ)

13、控制工程基礎(chǔ)五、機(jī)電系統(tǒng)機(jī)理分析建模五、機(jī)電系統(tǒng)機(jī)理分析建模例例2-42-4：電樞控制直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。：電樞控制直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。 1 1、明確系統(tǒng)的輸入和輸出、明確系統(tǒng)的輸入和輸出輸入為輸入為u ua a，干擾輸入為，干擾輸入為M ML L, ,輸出為輸出為。2 2、列出原始微分方程、列出原始微分方程電樞回路電壓平衡方程為電樞回路電壓平衡方程為: : daaaaedtdiLiRuddkek kd d為電動(dòng)機(jī)的反電動(dòng)勢(shì)系數(shù)為電動(dòng)機(jī)的反電動(dòng)勢(shì)系數(shù) daaaakdtdiLiRu.1 1M Mde輸入輸入輸出輸出控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)設(shè)設(shè)J J為轉(zhuǎn)動(dòng)部分折算到軸上的總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：為

14、轉(zhuǎn)動(dòng)部分折算到軸上的總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：力矩平衡方程為力矩平衡方程為: : LMMdtdJamikM K Km m為電動(dòng)機(jī)電磁力矩系數(shù)。為電動(dòng)機(jī)電磁力矩系數(shù)。LamMikdtdJdtdkJMkimLma1daaaakdtdiLiRu3 3、消除中間變量，得電機(jī)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程為、消除中間變量，得電機(jī)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程為: :解出電流解出電流iadmLmmLmaakdtdtdkJMkdLdtdkJMkRu)1()1(電樞回路電壓平衡方程為電樞回路電壓平衡方程為: :消除變量消除變量M代入代入.1：M M為電動(dòng)機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩：為電動(dòng)機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩：控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)4 4、整理得：、整理得：Ld

15、maLdmaddmadmMkkRdtdMkkLukdtdkkJRdtdkkLJ1225 5、標(biāo)準(zhǔn)形式：、標(biāo)準(zhǔn)形式：LmLamadmmaMCdtdMTCuCdtdTdtdTT22aaRRdmLmmLmaakdtdtdkJMkdLdtdkJMkRu)1()1(mCmTaTmaC TdC22aaLaLdmmmRJRdMdLLJ duMkkkdtkdtkdtmk控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)dmamkkRC ddKC1dmamkkJRTLmLamadmmaMCdtdMTCuCdtdTdtdTT226 6、直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：、直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：在工程應(yīng)用中，由于電樞電路電感在工程應(yīng)用中，由

16、于電樞電路電感L L 較小，通常忽略不計(jì)，因而上式較小，通常忽略不計(jì)，因而上式可簡(jiǎn)化為：可簡(jiǎn)化為： 這時(shí)，電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速這時(shí)，電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速與電樞電壓與電樞電壓 成正比，于是電動(dòng)機(jī)可作為成正比，于是電動(dòng)機(jī)可作為測(cè)速發(fā)電機(jī)使用。測(cè)速發(fā)電機(jī)使用。auLmadmMCuCdtdT 如果電樞電阻如果電樞電阻 和電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 都很小而忽略不計(jì)時(shí)，都很小而忽略不計(jì)時(shí)， aduC控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)六、線性六、線性微分方程的增量化表示微分方程的增量化表示：例例2-42-4：直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。：直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。 LmLamadmmaMCdtdMTCuCdtdTdtdTT22電機(jī)處于平衡狀

17、態(tài)，對(duì)應(yīng)的輸入量和電機(jī)處于平衡狀態(tài)，對(duì)應(yīng)的輸入量和輸出量分別表示為：輸出量分別表示為： 000;LLaaMMuu000LmadMCuC若某一時(shí)刻，輸入量發(fā)生變化，其變化值為：若某一時(shí)刻，輸入量發(fā)生變化，其變化值為： ，電機(jī)的平衡狀態(tài)，電機(jī)的平衡狀態(tài)被破壞，輸出亦發(fā)生變化，其變化量為：被破壞，輸出亦發(fā)生變化，其變化量為： ，這時(shí)，輸入量和輸出量可表，這時(shí)，輸入量和輸出量可表示為增量形式：示為增量形式： LaMu 、000,LLLaaaMMMuuuau控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ))()()()()()(00000202LLmLLamaadmmaMMCdtMMdTCuuCdtdTdtdTT化簡(jiǎn)并整理得：

18、化簡(jiǎn)并整理得： )()()()()()(00022LLmLamaadmmaMMCdtMdTCuuCdtdTdtdTTLmLamadmmaMCdtMdTCuCdtdTdtdTT22000LmadMCuC考慮到考慮到于是有：于是有： 控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)討論討論1 1：LmLamadmmaMCdtdMTCuCdtdTdtdTT22LmLamadmmaMCdtMdTCuCdtdTdtdTT221 1、增量方程與實(shí)際坐標(biāo)方程形式相同；、增量方程與實(shí)際坐標(biāo)方程形式相同； 2 2、當(dāng)平衡點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)兩者等價(jià)，否則兩者不等價(jià)；、當(dāng)平衡點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)兩者等價(jià)，否則兩者不等價(jià)； 3 3、增量方程式的意義是

19、：對(duì)于定值控制系統(tǒng)，總是工作在、增量方程式的意義是：對(duì)于定值控制系統(tǒng)，總是工作在設(shè)定值即穩(wěn)態(tài)或平衡點(diǎn)附近，將變量的坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在該平衡設(shè)定值即穩(wěn)態(tài)或平衡點(diǎn)附近，將變量的坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在該平衡點(diǎn)，則微分方程轉(zhuǎn)換為增量方程，它同樣描述了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)點(diǎn)，則微分方程轉(zhuǎn)換為增量方程，它同樣描述了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，但它由于不考慮初始條件，求解及分析時(shí)方便了許多。特性，但它由于不考慮初始條件，求解及分析時(shí)方便了許多。 控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)討論討論2 2：LmLamadmmaMCdtMdTCuCdtdTdtdTT22若若M ML L=0=0：研究：研究隨輸入電壓隨輸入電壓u ua a變化的情況：變化的情況：022a

20、dmmauCdtdTdtdTT若若u ua a=0=0：研究：研究隨負(fù)載轉(zhuǎn)矩隨負(fù)載轉(zhuǎn)矩M ML L變化的情況：變化的情況：)(22LLammmaMdtMdTCdtdTdtdTT 線性系統(tǒng)同時(shí)具有二種輸入作用的情況下，該線性系統(tǒng)遵循線性系統(tǒng)同時(shí)具有二種輸入作用的情況下，該線性系統(tǒng)遵循疊加原理。疊加原理。控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)（1 1）線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)：）線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)：線性定常系統(tǒng)：線性定常系統(tǒng)：線性時(shí)變系統(tǒng)：線性時(shí)變系統(tǒng)：非線性系統(tǒng)：非線性系統(tǒng)： 能用線性微分方程描述的系統(tǒng)是線性系統(tǒng)否則是能用線性微分方程描述的系統(tǒng)是線性系統(tǒng)否則是非線性系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)。例：例：K-M-CK-M-C

21、系統(tǒng)：系統(tǒng)：)()()()(tftkytyctym七、線性系統(tǒng)的基本概念與性質(zhì)：七、線性系統(tǒng)的基本概念與性質(zhì)：控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)（2 2）線性系統(tǒng)的性質(zhì)）線性系統(tǒng)的性質(zhì): :線性系統(tǒng)的齊次性和疊加性：線性系統(tǒng)的齊次性和疊加性： 線性系統(tǒng)在多個(gè)輸入的作用下，線性系統(tǒng)在多個(gè)輸入的作用下，其總輸出等于各個(gè)輸入單獨(dú)作用其總輸出等于各個(gè)輸入單獨(dú)作用下所產(chǎn)生的輸出之和。下所產(chǎn)生的輸出之和。滿足疊加原理的系統(tǒng)是線屬系統(tǒng)，即滿足：滿足疊加原理的系統(tǒng)是線屬系統(tǒng)，即滿足：)()()(2121xfxfxxf 可加性：可加性：)()(xfxf 齊次性：齊次性：)()()(2121xfxfxxf或：或：控制工程基

22、礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)線性系統(tǒng)的微分特性：線性系統(tǒng)的微分特性：線性系統(tǒng)的積分特性：線性系統(tǒng)的積分特性：線性系統(tǒng)的頻率保持性：線性系統(tǒng)的頻率保持性： 信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)后不會(huì)產(chǎn)生新的頻率分量，盡管分量的大小信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)后不會(huì)產(chǎn)生新的頻率分量，盡管分量的大小和相位會(huì)發(fā)生變化。和相位會(huì)發(fā)生變化。控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)線性系統(tǒng)的時(shí)不變性線性系統(tǒng)的時(shí)不變性: :控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)（3 3）線性系統(tǒng)的性質(zhì)的應(yīng)用舉例）線性系統(tǒng)的性質(zhì)的應(yīng)用舉例: :)1 (21)(22TtoeTTtttx若某線性系統(tǒng)在輸入信號(hào)若某線性系統(tǒng)在輸入信號(hào) 作用下的響應(yīng)為：作用下的響應(yīng)為：求輸入信號(hào)為求輸入信號(hào)為 時(shí)的響應(yīng)。時(shí)的響應(yīng)。22

23、1)(ttfttg)()1 (21)(22TtoeTTtttxTtoTeTtt：x)(于是有控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ) 非線性系統(tǒng)舉例：常液體系統(tǒng)非線性系統(tǒng)舉例：常液體系統(tǒng)節(jié)流閥節(jié)流閥節(jié)流閥節(jié)流閥q qi i( (t t) )q qo o( (t t) )H H( (t t) )設(shè)液體不可壓縮，通過(guò)節(jié)流設(shè)液體不可壓縮，通過(guò)節(jié)流閥的液流是湍流。閥的液流是湍流。 )()()()()(tHtqtqtqdttdHAooiA A：箱體截面積；：箱體截面積；)()()(tqtHtHdtdAi為非線性微分方程，即此液位控制系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。為非線性微分方程，即此液位控制系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。 ：由節(jié)流閥通流面積和

24、通流口的結(jié)構(gòu)形式?jīng)Q定的系數(shù)，：由節(jié)流閥通流面積和通流口的結(jié)構(gòu)形式?jīng)Q定的系數(shù)，通流面積不變時(shí)，通流面積不變時(shí)， 為常數(shù)。為常數(shù)?？刂乒こ袒A(chǔ)控制工程基礎(chǔ)八、非線性系統(tǒng)的線性化八、非線性系統(tǒng)的線性化1 1、 線性化問(wèn)題的提出線性化問(wèn)題的提出 線性化：在一定條件下作某種近似或縮小系統(tǒng)工作范圍，線性化：在一定條件下作某種近似或縮小系統(tǒng)工作范圍， 將非線性微分方程近似為線性微分方程進(jìn)行處理。將非線性微分方程近似為線性微分方程進(jìn)行處理。 非線性現(xiàn)象：機(jī)械系統(tǒng)中的高速阻尼器，阻尼力與速度的非線性現(xiàn)象：機(jī)械系統(tǒng)中的高速阻尼器，阻尼力與速度的 平方成反比；齒輪嚙合系統(tǒng)由于間隙的存在導(dǎo)致的非線性平方成反比；齒輪嚙

25、合系統(tǒng)由于間隙的存在導(dǎo)致的非線性 傳輸特性；具有鐵芯的電感，電流與電壓的非線性關(guān)系等。傳輸特性；具有鐵芯的電感，電流與電壓的非線性關(guān)系等。 2 2、非線性方程線性化條件：、非線性方程線性化條件： 系統(tǒng)在預(yù)定的工作點(diǎn)附近作小偏差運(yùn)動(dòng)，即變量的變化范圍系統(tǒng)在預(yù)定的工作點(diǎn)附近作小偏差運(yùn)動(dòng)，即變量的變化范圍很小。很小。非線性函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，即函數(shù)中各個(gè)變量在平衡點(diǎn)處各階非線性函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，即函數(shù)中各個(gè)變量在平衡點(diǎn)處各階導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)存在。導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)存在。 控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ) 泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法 函數(shù)函數(shù)y y= =f f( (x x) )在其平衡點(diǎn)（在其平衡點(diǎn)（x x0 0, , y

26、 y0 0）附近的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式為：）附近的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式為： 3003320022000)()(! 31)()(! 21 )()()()(xxxxdxxfdxxxxdxxfdxxxxdxxdfxfxfy略去含有高于一次的增量略去含有高于一次的增量 x x= =x x- -x x0 0的項(xiàng)，則：的項(xiàng)，則：)()()(000 xxxxdxxdfxfy0)(xxdxxdfK或：或：y y - - y y0 0 = = y y = = K K x x，其中：，其中：3 3、非線性方程線性化方法：、非線性方程線性化方法：控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ) 上式上式 y y = = K K x x，即為非線性系統(tǒng)

27、的線性化模型，稱為增，即為非線性系統(tǒng)的線性化模型，稱為增量方程。量方程。y y0 0 = =f f( (x x0 0) )稱為系統(tǒng)的靜態(tài)方程；稱為系統(tǒng)的靜態(tài)方程；對(duì)多變量系統(tǒng)，如：對(duì)多變量系統(tǒng)，如：y y = = f f ( (x x1 1, , x x2 2) )，同樣可采用泰勒級(jí)，同樣可采用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)獲得線性化的增量方程。數(shù)展開(kāi)獲得線性化的增量方程。 )()(),(202210112010202101202101xxxfxxxfxxfyxxxxxxxx22110 xKxKyyy增量方程：增量方程：),(20100 xxfy 靜態(tài)方程：靜態(tài)方程：2021012021012211,xxxxx

28、xxxxfKxfK其中：其中：控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ) 滑動(dòng)線性化滑動(dòng)線性化切線法切線法 0 0 x xy y= =f f( (x x) )y y0 0 x x0 0 x x yy y y非線性關(guān)系線性化非線性關(guān)系線性化A A線性化增量增量方程為：線性化增量增量方程為： y y y y = = x x tgtg 切線法是泰勒級(jí)數(shù)法的特例。切線法是泰勒級(jí)數(shù)法的特例。4 4、非線性方程線性化步驟：、非線性方程線性化步驟： 確定預(yù)定工作點(diǎn)。確定預(yù)定工作點(diǎn)。在工作點(diǎn)附近將非線性方程中的非線性項(xiàng)展開(kāi)成在工作點(diǎn)附近將非線性方程中的非線性項(xiàng)展開(kāi)成TaylorTaylor級(jí)的形式。級(jí)的形式。 忽略忽略高階項(xiàng)。

29、高階項(xiàng)。表示成增量方程的形式。表示成增量方程的形式?？刂乒こ袒A(chǔ)控制工程基礎(chǔ) 實(shí)例實(shí)例1 1：液位系統(tǒng)的線性化：液位系統(tǒng)的線性化 0000,ioiqHqq解：動(dòng)力學(xué)方程：解：動(dòng)力學(xué)方程：)(tH非線性項(xiàng)非線性項(xiàng)的泰勒展開(kāi)為：的泰勒展開(kāi)為：節(jié)流閥節(jié)流閥節(jié)流閥節(jié)流閥q qi i( (t t) )q qo o( (t t) )H H( (t t) )()()(tqtHtHdtdAi穩(wěn)態(tài)時(shí)的平衡點(diǎn)：穩(wěn)態(tài)時(shí)的平衡點(diǎn)：20022000)(! 21)(HHHdHHdHHHdHHdHHHHHHHHdHHdHH0000021)(則：則：iiqqHHHHHdtdA000021)(增量形式方程：增量形式方程：控制工

30、程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)注意到：注意到：HdtdHHdtd)(0)(1)(21)(0tqAtHHAtHdtdi所以：所以：)(1)(21)(0tqAtHHAtHdtdi實(shí)際使用中，常略去增量符號(hào)而寫(xiě)成：實(shí)際使用中，常略去增量符號(hào)而寫(xiě)成：此時(shí)，上式中此時(shí)，上式中H H( (t t) )和和q qi i( (t t) )均為平衡工作點(diǎn)的增量。均為平衡工作點(diǎn)的增量。 線性化方程的系數(shù)與平衡工作點(diǎn)的選擇有關(guān)。線性化方程的系數(shù)與平衡工作點(diǎn)的選擇有關(guān)。 線性化是有條件的，必須注意線性化方程適用的工作范圍。線性化是有條件的，必須注意線性化方程適用的工作范圍。 5 5、線性化處理的注意事項(xiàng)、線性化處理的注意事項(xiàng) 控

31、制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ) 某些典型的本質(zhì)非線性，如繼電器特性、間隙、死區(qū)、摩擦等，某些典型的本質(zhì)非線性，如繼電器特性、間隙、死區(qū)、摩擦等，由于存在不連續(xù)點(diǎn)，不能通過(guò)泰勒展開(kāi)進(jìn)行線性化，只有當(dāng)它們對(duì)由于存在不連續(xù)點(diǎn)，不能通過(guò)泰勒展開(kāi)進(jìn)行線性化，只有當(dāng)它們對(duì)系統(tǒng)影響很小時(shí)才能忽略不計(jì)，否則只能作為非線性問(wèn)題處理。系統(tǒng)影響很小時(shí)才能忽略不計(jì)，否則只能作為非線性問(wèn)題處理。 ininoutout0 0近似特近似特性曲線性曲線真實(shí)特性真實(shí)特性飽和非線性飽和非線性ininoutout0 0死區(qū)非線性死區(qū)非線性ininoutout0 0繼電器非線性繼電器非線性ininoutout0 0間隙非線性間隙非線性控制工

32、程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ) 實(shí)例實(shí)例2 2：液壓伺服機(jī)構(gòu)：液壓伺服機(jī)構(gòu)1 1、系統(tǒng)的輸入為、系統(tǒng)的輸入為x x，輸出為，輸出為y y：設(shè)設(shè)p=pp=p1 1-p-p2 2，則作用在負(fù)載上的力：，則作用在負(fù)載上的力：ApycymyAq由流量連續(xù)性方程得：由流量連續(xù)性方程得： 對(duì)于負(fù)載對(duì)于負(fù)載m m有有: : ),(pxqq 油流量是關(guān)于油流量是關(guān)于x,px,p的非線性函數(shù)：的非線性函數(shù)： 2 2、列寫(xiě)原始方程：、列寫(xiě)原始方程：)(21ppAAp穩(wěn)態(tài)時(shí)的平衡點(diǎn)：穩(wěn)態(tài)時(shí)的平衡點(diǎn)：（y y0 0，x x0 0，p p0 0，q q0 0），），p p0 0=0=0，q q0 0=0=0?？刂乒こ袒A(chǔ)控制工程基

33、礎(chǔ)3 3、非線性函數(shù)線性化：、非線性函數(shù)線性化：、確定系統(tǒng)的預(yù)定工作點(diǎn)：設(shè)為、確定系統(tǒng)的預(yù)定工作點(diǎn)：設(shè)為（x x0 0，p p0 0，q q0 0）、展開(kāi)成、展開(kāi)成TaylorTaylor級(jí)數(shù)形式：級(jí)數(shù)形式：.),(),(000000ppqxxqpxqpxqxxppxxpp0000 xxppxxpppqkxqkcqqCqKxKp qk：流量增益系數(shù)：流量增益系數(shù)ck：流量壓力系數(shù)：流量壓力系數(shù)?。喝。?、表示成增量化形式：、表示成增量化形式：顯然，顯然，q, q, p, p, x x 三者是一個(gè)線性關(guān)系。三者是一個(gè)線性關(guān)系?？刂乒こ袒A(chǔ)控制工程基礎(chǔ)增量形式的方程：增量形式的方程：)()()(00

34、022ppAyydtdcyydtdmpAApydtdcydtdm022qCqKxKp )(1qAxkkpqc)1(22ydtdAxkAydtdcydtdmc由：由：代入上式得：代入上式得：得：得：, )(00yydtdAqqydtdAq略去增量符號(hào)整理得：略去增量符號(hào)整理得：xkAKyKAcymcqc)(2控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)象象=船在水中的刻度船在水中的刻度=石頭石頭九、九、LaplaceLaplace變換和變換和LaplaceLaplace反變換反變換1 1、曹沖稱象的故事：、曹沖稱象的故事： 雙變量函數(shù)雙變量函數(shù)f(s,t)f(s,t)在給定區(qū)間對(duì)某一個(gè)變量的有限積分在給定區(qū)間對(duì)某一

35、個(gè)變量的有限積分是另外一個(gè)變量的函數(shù)，即變?yōu)閱巫兞亢瘮?shù)。是另外一個(gè)變量的函數(shù)，即變?yōu)閱巫兞亢瘮?shù)。例如：設(shè)函數(shù)例如：設(shè)函數(shù)f(s,t)=2st。1102102),(ttststdtdttsf變換的原則與目的：變換的原則與目的：02dttest22s核心思想：核心思想：以象為變量問(wèn)題難以求解，以以象為變量問(wèn)題難以求解，以石頭為變量問(wèn)題石頭為變量問(wèn)題可解。可解。又：函數(shù)又：函數(shù)f(t)=2t,求求 ？02tdtq變換是等價(jià)的，可逆的。變換是等價(jià)的，可逆的。q變換使問(wèn)題的性質(zhì)更清楚變換使問(wèn)題的性質(zhì)更清楚q變換使問(wèn)題的求解更方便。變換使問(wèn)題的求解更方便。控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)2 2、拉氏變換、拉氏變換

36、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f f( (t t) () (t t 0)0)在任一有限區(qū)間上分段連續(xù)，在任一有限區(qū)間上分段連續(xù)，且存在一正實(shí)常數(shù)且存在一正實(shí)常數(shù) ，使得：，使得：0)(limtfett則函數(shù)則函數(shù)f f( (t t) )的拉普拉氏變換存在，并定義為：的拉普拉氏變換存在，并定義為：式中：式中：s s= = + +j j （ ， 均為實(shí)數(shù)均為實(shí)數(shù), ,且且 00）；即）；即Re(Re()0)0。0)()()(dtetftfLsFst0dtest稱為拉普拉氏積分；稱為拉普拉氏積分；F F( (s s) )稱為函數(shù)稱為函數(shù)f f( (t t) )的拉普拉氏變換或象函數(shù)，它是一個(gè)復(fù)的拉普拉氏變換或象函數(shù)

37、，它是一個(gè)復(fù)變函數(shù)；變函數(shù)；f f( (t t) )稱為稱為F F( (s s) )的原函數(shù)；的原函數(shù)；L L為拉氏變換的符號(hào)。為拉氏變換的符號(hào)?？刂乒こ袒A(chǔ)控制工程基礎(chǔ)3 3、幾種典型函數(shù)的拉氏變換、幾種典型函數(shù)的拉氏變換 q 單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)1(1(t t) ) 1 10 0t tf f( (t t) )單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)0100)( 1ttt0)(1)(1dtettLst01stes0)(1steds)0)(Re(1ss控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)q 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)atetf)(（a a為常數(shù)）為常數(shù)）指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)0 0t tf f( (t t) )1 10dteeeLs

38、tatat0)( dtetas0)()()(1tasedas)0)(Re(,1asas0)(1taseas控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)q 正弦函數(shù)與余弦函數(shù)正弦函數(shù)與余弦函數(shù) 正弦及余弦函數(shù)正弦及余弦函數(shù)1 10 0t tf f( (t t) )f f( (t t)=sin)=sin t tf f( (t t)=cos)=cos t t-1-10sinsindtettLst0coscosdtettLst由歐拉公式，有：由歐拉公式，有： tjtjtjtjeeteejt21cos21sin控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)0021sindteedteejtLsttjsttj從而：從而：22cossstL同理：同

39、理：0)Re(112122ssjsjsj控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)q 單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù) ( (t t) ) 0 0t tf f( (t t) )單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù) 1 1 )0(1lim)0(0)(0tttt且)()1 (lim)1 (1lim00seesss由洛必達(dá)法則：由洛必達(dá)法則：1lim)(0setL所以：所以：dtetLst1)(00lim001limdtest001limstes)1 (1lim0ses控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)q 單位速度函數(shù)（斜坡函數(shù)）單位速度函數(shù)（斜坡函數(shù)） 1 10 0t tf f( (t t) )單位速度函數(shù)單位速度函數(shù)1 1000)(ttttf

40、0)(dttetfLststdest01dtsesetstst000)Re(12ss控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)q 單位加速度函數(shù)單位加速度函數(shù)02100)(2ttttf0221)(dtettfLst單位加速度函數(shù)單位加速度函數(shù)0 0t tf f( (t t) ) 函數(shù)的拉氏變換及反變換通常可以由拉氏函數(shù)的拉氏變換及反變換通常可以由拉氏變換表直接或通過(guò)一定的轉(zhuǎn)換得到。變換表直接或通過(guò)一定的轉(zhuǎn)換得到。 200212121t dsesetstst02121stdest0)Re(13ssdttesst01控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)4、常用拉氏變換表、常用拉氏變換表控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)5 5、拉氏變換的

41、主要定理、拉氏變換的主要定理 疊加定理疊加定理 q 齊次性：齊次性：L L afaf( (t t)=)=aLaL f f( (t t)，a a為常數(shù)；為常數(shù)；q 疊加性：疊加性：L L afaf1 1( (t t)+)+bfbf2 2( (t t)=)=aLaL f f1 1( (t t)+)+bLbL f f2 2( (t t) a a，b b為常數(shù)；為常數(shù)；顯然，拉氏變換為線性變換。顯然，拉氏變換為線性變換。 實(shí)微分定理實(shí)微分定理 0)()0( ),0()()(ttfffssFdttdfL若若L L f f( (t t)=)=F Fss；則：則：控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)00)(0)()(d

42、tsedttdfsetfdtetfststst證明：由于證明：由于dttdfLssfsF)(1)0()(即：即：)0()()(fssFdttdfL所以：所以：)0()0()0()()()0()0()()()1(21222nnnnnnffsfssFsdttfdLfsfsFsdttfdL同樣有：同樣有：若u(t)= ，則dttdf)()0()()()(fssFdttdfLsU)()(sUtuL)0()()()(2ussUdttduLdttfdL控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ))()()()()()(222sFsdttfdLsFsdttfdLssFdttdfLnnn當(dāng)當(dāng)f f( (t t) )及其各階導(dǎo)數(shù)在

43、及其各階導(dǎo)數(shù)在t t=0=0時(shí)刻的值均為零時(shí)時(shí)刻的值均為零時(shí)（零初始條件）：（零初始條件）：原函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)原函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) 像函數(shù)中像函數(shù)中s s的高次代數(shù)式的高次代數(shù)式控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)拉氏變換的微分性質(zhì)可以用來(lái)求解微分方程：拉氏變換的微分性質(zhì)可以用來(lái)求解微分方程：例如：求解微分方程例如：求解微分方程)0(, 0)0(, 0)()(2 yytyty解：對(duì)方程兩邊取拉氏變換：解：對(duì)方程兩邊取拉氏變換：0)()0()0()(22sYysysYs22)(ssY整理得：整理得：22s所以：所以：tsYLtfsin)()(10)()(2 tytyL0)()(2 tyLtyL控制工程基礎(chǔ)控制工程

44、基礎(chǔ) 積分定理積分定理 0)()0(,)0()()()1()1(tdttffsfssFdttfL)(1)(sFsdttfL當(dāng)初始條件為零時(shí)：當(dāng)初始條件為零時(shí)：若若L L f f( (t t)=)=F Fss；控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)證明：證明： 001)()()(ststdesdttfdtedttfdttfL00)()(dtsetfsedttfststssFsf)()0()1(0)(10)(1dtetfstdttfsst)0(1)0(1)(1)()()1(1nnnnfsfssFsdttfL同樣：同樣：)(1)(sFsdttfLnn當(dāng)初始條件為零時(shí)：當(dāng)初始條件為零時(shí)：控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ) 延

45、遲定理延遲定理 )()(sFetfLs設(shè)當(dāng)設(shè)當(dāng)t t00時(shí)，時(shí)，f f( (t t)=0)=0，且，且Lf(t)=F(s),Lf(t)=F(s),則對(duì)任意則對(duì)任意0 0，有：有：函數(shù)函數(shù) f f( (t t- - ) )0 0t tf f( (t t) ) f f( (t t) )f f( (t-t- ) )dtetftfLst0)()(1)(011)(dtetftsdtetfst)()(sFes1011)(dtetfests令：令：1tt原函數(shù)平移原函數(shù)平移 像函數(shù)乘以像函數(shù)乘以 e e- -s s 控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ) 位移定理位移定理 )()(asFtfeLat例：例：2222cos

46、sinsstLstL2222)()(cos)(sinasasteLasteLatat)()()(0)(0asFdtetfdtetfetasstat若若L L f f( (t t)=)=F Fss；則：；則：原函數(shù)乘以指數(shù)函數(shù)原函數(shù)乘以指數(shù)函數(shù) 像函像函數(shù)在復(fù)數(shù)域中作位移數(shù)在復(fù)數(shù)域中作位移 atea控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)6、用位移定理擴(kuò)展常用拉氏變換表、用位移定理擴(kuò)展常用拉氏變換表控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)證明：證明：( )limsdf tLdt又又: :lim( )(0 )ssF sf0( )limstsdf tedtdtlim( )(0 )0ssF sf 初值定理初值定理 )(lim)0()

47、(lim0ssFftfst一方面一方面: :0( )( )limlimstssdf tdf tLedtdtdt00( )( )lim00stsdf tdf tedtdtdtdt控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)初值定理建立了函數(shù)初值定理建立了函數(shù)f f( (t t) )在在t t=0=0+ +處的初值與函數(shù)處的初值與函數(shù)sFsF( (s s) )在在s s趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處的終值間的關(guān)系。趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處的終值間的關(guān)系。 )(lim)0(ssFfs即： 終值定理終值定理 若若sFsF( (s s) )的所有極點(diǎn)位于左半的所有極點(diǎn)位于左半s s平面，平面， 即：即：)(limtft存在。則：存在。則：)(lim)(

48、)(lim0ssFftfst控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)證明：證明：)0()(lim)0()(lim)(lim000fssFfssFdttdfLsss)0()()()(lim)(lim0000ffdtdttdfdtedttdfdttdfLstss又由于：又由于：)(lim)(0ssFfs)0()(lim)0()(0fssFffs即：即：控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)(1)110(1)(1)110(1)( )( )( )( )( )( )( )( )nnooonnonnmmiiimmimmd xtdxtdxtaaaa xtdtdtdtdx tdx tdx tbbbb x tdtdtdt7 7、求解拉氏反變

49、換的部分分式法、求解拉氏反變換的部分分式法 對(duì)于線性微分方程對(duì)于線性微分方程 方程兩邊同時(shí)取拉氏變換內(nèi)里得一代數(shù)方程（方程兩邊同時(shí)取拉氏變換內(nèi)里得一代數(shù)方程（0 0初始條件）初始條件）)()(01110111sXasasasabsbsbsbsXinnnnmmmmo 求響應(yīng)函數(shù)求響應(yīng)函數(shù) 的問(wèn)題即為拉氏反變換的問(wèn)題的問(wèn)題即為拉氏反變換的問(wèn)題)(txo控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ) 部分分式法部分分式法如果如果f f( (t t) )的拉氏變換的拉氏變換F F( (s s) )已分解成為下列分量：已分解成為下列分量：F F( (s s)=)=F F1 1( (s s)+)+F F2 2( (s s)+)

50、+F Fn n( (s s) )假定假定F F1 1( (s s), ), F F2 2( (s s), ), ，F(xiàn) Fn n( (s s) )的拉氏反變換的拉氏反變換可以容易地求出，則：可以容易地求出，則：L L-1-1 F F( (s s) = ) = L L-1-1 F F1 1( (s s)+)+F F2 2( (s s) +) + F Fn n( (s s)= = f f1 1( (t t) + ) + f f2 2( (t t) + + ) + + f fn n( (t t) )= = L L-1-1 F F1 1( (s s)+)+L L-1-1 F F2 2( (s s)+)+

51、L L1 1 F Fn n( (s s)控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)1011012( )()()()mmmnc sc scscF sspspsp為了應(yīng)用上述方法，將為了應(yīng)用上述方法，將F F( (s s) )寫(xiě)成下面的形式：寫(xiě)成下面的形式：式中，式中，- -p p1 1，- -p p2 2，- -p pn n為方程為方程A A( (s s)=0)=0的根，稱為的根，稱為F F( (s s) )的極點(diǎn)；的極點(diǎn)；c ci i= =b bi i / /a a0 0 ( (i i = 0,1,= 0,1,m m) )。此時(shí)，即可將此時(shí)，即可將F F( (s s) )展開(kāi)成部分分式。展開(kāi)成部分分式。 nii

52、innpsApsApsApsAsAsBsF12211)()()(控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ) F F( (s s) )只含有不同的實(shí)數(shù)極點(diǎn)只含有不同的實(shí)數(shù)極點(diǎn)niiinnpsApsApsApsAsAsBsF12211)()()(式中，式中，A Ai i為待定常數(shù)。為待定常數(shù)。所以稱常數(shù)所以稱常數(shù)A Ai i為為s s = -= -p pi i極點(diǎn)處的留數(shù)。極點(diǎn)處的留數(shù)。111innp tiiiiiALAesp)()()()()(2211inniiipspsApsApsAApssAsBpssF111212( )( )nnAAAf sLF sLspspsptipsiipssFA)()(怎么求待定常數(shù)怎

53、么求待定常數(shù)A Ai i？控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)例：求例：求)6(2)(22ssssssF的原函數(shù)。的原函數(shù)。解：解：23)2)(3(2)6(2)(321222sAsAsAsssssssssssF31)2)(3(2)(0201ssssssssFA158)2(2)()3(3232sssssssFsA54)3(2)()2(2223sssssssFsA215431158131)(ssssF即：即：)0(5415831)()(231teesFLtftt其反變換為：其反變換為：控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)例例 求所示象函數(shù)的原函數(shù)求所示象函數(shù)的原函數(shù)f f（t t）s10s7s1s2) s (F23解：解

54、：322121( )710(2)(5)ssF sssss ss1110221( )()|0.1710spSsAF s spss同理：同理：A A2 2=0.5=0.5、A A3 30.60.65s6 . 02s5 . 0s1 . 0) s (Ft5t2e6 . 0e5 . 01 . 0) t (f其反變換為：其反變換為：52321sAsAsA控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ) F F( (s s) )含有共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)含有共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn) 設(shè)共軛復(fù)數(shù)根設(shè)共軛復(fù)數(shù)根 -p-p1 1+j+j、 -p-p2 2j j jjjjjjeAAeAA|,|1211tjjtjjeAeAtf)(2)(1)(2211)()()(

55、psApsAsAsBsFjjjsjsFjsA)()(1jsjsFjsA)()(2)cos(|2)()( |1)()(11teAeeeAeeeeeeAtjtjjtjtjtjtjtjjtjtjjjtjjjeeAeeA)(1)(1控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)例例 求所示象函數(shù)的原函數(shù)求所示象函數(shù)的原函數(shù): :523)(2ssssF解：解：-p-p1 11+j21+j2、-p-p2 21 1j2j2)21()(21(3523)(2jsjssssssF21211)21(3)21()(jsjsjjssjssFA4225 . 0jjeA)cos(|2)(1teAtftj)21()21(21jsAjsAjj)42

56、cos(2tet425 . 05 . 05 . 0422)21(21(321jejjjjjj同樣可求得：同樣可求得：控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ) F F( (s s) )含有重極點(diǎn)含有重極點(diǎn) 設(shè)設(shè)F F( (s s) )存在存在r r重極點(diǎn)重極點(diǎn)- -p p0 0，其余極點(diǎn)均不同，則：，其余極點(diǎn)均不同，則： 101101( )() ()()mmmmrrnb sbsbs bF sspspsp式中，式中，A Ar r+1+1，A An n利用前面的方法求解。利用前面的方法求解。)()()()()(11001002001nnrrrrrpsApsApsApsApsA控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)2323( )(

57、1)ssF ss考慮：考慮：F(s)F(s)的部分展開(kāi)式包括的部分展開(kāi)式包括3 3項(xiàng)：項(xiàng)：201020333223( )(1)(1)(1)1bbbssF sssss用用(s+1)(s+1)3 3乘上述方程兩邊得：乘上述方程兩邊得：32010203(1)( )(1)(1)sF sbbsbs3101(1)( )ssF sb31020302(1)( )2(1)ssdsF sbbsbd231032(1)( )2sdsF sbds0102032,0,1bbb2( )0ttf tt ee233223201( )(1)(1)(1)1ssF sssss2303121(1)( )2sdbsF sds控制工程基礎(chǔ)

58、控制工程基礎(chǔ)0)(001pspssFAr0)(002pspssFdsdAr0)(! 2102203pspssFdsdAr0)()!1(10110pspssFdsdrArrrr可歸納出求多重實(shí)極點(diǎn)處留數(shù)的公式：可歸納出求多重實(shí)極點(diǎn)處留數(shù)的公式：控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)tpnnentpsL0)!1()(1101注意到：注意到：)0( )!2()!1()()(10102021011teAeAeAtrAtrAsFLtftpntprtprrrnr對(duì)于：對(duì)于：)()()()()()(11001002001nnrrrrrpsApsApsApsApsAsF可求得：可求得：控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)例例 求所示象

59、函數(shù)的原函數(shù)求所示象函數(shù)的原函數(shù)23s) 1s (1) s (F解：解：p p1 11 1的三重根、的三重根、p p2 20 0的二重根，所以的二重根，所以F F（s s）, ,可以展開(kāi)為：可以展開(kāi)為：2212231121213sKsK) 1s (K) 1s (K1sK) s (F231)() 1(ssFs3s1dsd21K2|s1dsdK1|s1K222131s2121s21132) 1s (1) s (Fs3|) 1s (1dsdK1|) 1s (1K0s3220s321tetteetfssssssFttt32123)(13) 1(1) 1(213)(2232從而：從而：故有故有：控制工程

60、基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)例：求例：求的原函數(shù)。的原函數(shù)。) 1()2(3)(2ssssF解：解：12)2()(302201sAsAsAsF12132)2)(201ssssssFA20223( )(2)122(3) (1)(3)(1) 2(1)2ddsAF s sdsdssssssssss 21) 1)(3sssFA1222)2(1)(2ssssF12( ) ( )(2)2(0)ttf tLF steet 于是：于是：控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)8 8、 應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程 求解步驟求解步驟q 將微分方程通過(guò)拉氏變換變?yōu)閷⑽⒎址匠掏ㄟ^(guò)拉氏變換變?yōu)?s s 的代數(shù)的代數(shù)方程；