《微分幾何》教學大綱09

1、微分幾何課程教學大綱課程名稱微分幾何Differential geometry課程編碼10011500210課程類型專業(yè)選修課課程性質專業(yè)主干課適用范圍數學與應用數學（教師教育）專業(yè)學分數3先修課程數學分析、線性代數、空間解析幾何、常微分方程學時數54實驗/實踐學時無課外學時無考核方式考試一、教學大綱說明（一）課程的地位、作用和任務微分幾何是本科數學與應用數學（教師教育）專業(yè)的專業(yè)選修課程之一。通過本課程的學習，要求掌握三維空間的曲線和曲面的局部理論以及向量分析研究曲線與曲面的基本方法,培養(yǎng)學生的幾何素養(yǎng)，為今后探索現代微分幾何打下基礎。本課程要求掌握微分幾何的基本內容和研究方法。（二）課程教

2、學的目的和要求：微分幾何是本科數學與應用數學專業(yè)的專業(yè)必修課程之一。學習及考試重點是空間曲線的基本三菱形、曲率、撓率和伏雷內（Frenet）公式；曲面的第一、第二基本形式及由他們所表示的曲面的內蘊性質、外蘊性質以及可展曲面和測地線。本課程的主要目的是培養(yǎng)學生的幾何素養(yǎng)，為今后探索現代微分幾何打好基礎，使之具備一定的科學研究能力，并獨立攥寫小論文。要求學生掌握：曲線的概念，空間曲線，一般螺線，曲面的概念，曲面的第一基本形式，曲面的第二基本形式 ，直紋曲面和可展曲面 ，曲面論的基本定理。 理解：貝特朗曲線，曲面上的測地線了解：常高斯曲率的曲面。（三）課程教學方法與手段采用理論與習題相結合的教學方法

3、。（四）課程與其它課程的聯(lián)系本課程是后續(xù)專業(yè)課，它需要具備解析幾何、數學分析、微分方程等課程的基本知識、基本理論，和與本課程平行開設拓撲學有一定聯(lián)系。本課程是學生將來進行專業(yè)學習時學習整體微分幾何、微分流形等課程的基礎；又是現代實、復分析的重要基礎。（五）教材與教學參考書教材：梅向明、黃敬之，  微分幾何 (第三版)， 高等教育出版社，2003年12月參考書： 1、 梅向明、黃敬之，微分幾何，人民教育出版社2、吳大任，微分幾何講義3、陳維桓等，微分幾何講義2006年6月二、 課程教學內容、重點和難點本課程主要講授三維空間中經典的曲線和曲面的局部理論。教學重點與難點

4、：本課程的重點是空間曲線和曲面論的基本概念、技巧、方法和理論。難點是抽象性及用微分方程解決幾何問題。第一章 曲線論第一節(jié) 向量函數1、 教學內容向量函數的極限、連續(xù)、微分、Taylor展式及積分、向量函數具有固定長的充要條件等。2、教學目的及要求1)、理解向量函數的基本概念以及向量函數與實函數之間的關系；幾種具有特殊性質的向量函數的性質及幾何意義；幾種具有特殊性質的向量函數的性質的證明方法；2)、熟練掌握有關向量函數的各種微分、積分運算；泰勒公式向量函數的微積分運算，具有特殊條件的向量函數的性質。3、教學重點與難點向量函數的微積分學，基本運算及其性質。 第二節(jié) 曲線的概念1、教學內容曲線的基本

5、概念、切線和法面的求法，曲線的弧長，自然參數的引進。2、教學目的及要求1)、理解有關曲線的基本概念；理解弧長參數的幾何意義2)、掌握曲線方程的各種表達形式；曲線的切線和法面的求法；曲線的弧長的計算方法。3、教學重點與難點基本概念及其幾何意義，切線、法面、弧長的計算。第三節(jié) 空間曲線1、 教學內容曲線的密切面、基本三棱形，曲率、撓率、Frenet公式，曲線的局部結構和基本定理。2、教學目的及要求1）、理解有關曲線的密切面、單位切向量、主法向量、副法向量的概念、幾何意義以及它們之間的關系和計算方法；曲線的基本三棱形；空間曲線在一點鄰近的結構的幾何意義及表達形式；空間曲線的曲率和撓率的概念及幾何意義

6、；空間曲線論基本定理的實質含義和證明方法；2）、熟練掌握有關曲線的切線、主法線、副法線、密切面、從切面、法面、單位切向量、主法向量、副法向量的表達形式；熟練掌握空間曲線的曲率和撓率的計算公式；柱面螺線的幾個特殊性質的證明方法及幾何意義。  熟練掌握空間曲線論的基本公式。3、教學重點與難點密切面、曲率、撓率的計算，Frenet公式的運用，曲線的局部結構和基本定理的理解。 第二章 曲面論第一節(jié) 曲面的概念1、教學內容簡單曲面的參數表示，曲面的法線、切面，曲面的曲線（族）網。2、教學目的及要求1）理解曲面的切平面及法線的概念并掌握其各種表達形式；曲面的參數變換及定向；2）掌握曲面方程及曲面

7、上的曲線的各種表達形式；曲面上的曲線族和曲線網的概念。3、教學重點與難點簡單曲面及其上面曲線族（網）的特征，曲面的法線、切面的求法等。 第二節(jié) 曲面的第一基本形式1、 教學內容曲面的第一基本形式，曲面上曲線的弧長、兩相交曲線的交角、曲面域面積的計算，等距（角）變換等。2、教學目的及要求1）理解曲面的第一基本量和第一基本形式的概念及表達形式；曲面上正交曲線網的概念及表達形式；解曲面間的映射的概念；曲面的內蘊量及內蘊性。2）掌握曲面上曲線的弧長、夾角、曲面域的面積的計算方法；曲面間等距映射和等角映射的的充要條件及幾何意義。3、教學重點與難點曲面第一基本形式及相關量的計算，第一基本形式幾何意義的理解

8、等。 第三節(jié) 曲面的第二基本形式1、 教學內容曲面的第二基本形式，曲面上曲線的曲率、曲面的漸進（線）方向、共扼方向、主方向和曲率線，主曲率、Gauss曲率和平均曲率，曲面的局部結構等。2、教學目的及要求1）理解曲面第二基本形式的概念及幾何意義；法曲率的概念、幾何意義以及和法截線曲率的關系；杜邦指標線的概念及幾何意義；主曲率的幾何意義、主曲率和法曲率之間的關系；漸近曲線網、共軛曲線網、曲率線網的概念、幾何意義并掌握它們的表達形式及計算方法；漸近曲線、曲率線的概念及幾何意義并掌握它們的表達形式及計算方法；曲面在一點鄰近的結構及其研究方法；高斯映射的幾何意義及表達形式；2）掌握曲面第二基本形式的各種

9、表達形式、第二基本量的計算方法；法曲率的幾種表達形式；漸近方向、共軛方向、 主方向的各種表達形式及計算方法，并理解它們的幾何意義及相互關系；主曲率、高斯曲率、平均曲率的計算方法及它們之間的相互關系；第三基本形式的表達方法以及它與第一基本形式、第二基本形式的關系。3、教學重點與難點理解曲面第二基本形式，曲面上曲線的曲率、曲面的漸進（線）方向、共扼方向、主方向和曲率線，主曲率、Gauss曲率和平均曲率等意義，會進行它們的計算。 第四節(jié) 直紋面與可展曲面1、 教學內容直紋面、可展曲面。2、教學目的及要求。1）掌握直紋面的方程及性質；可展曲面的分類；有關可展曲面的幾個重要定理；2）理解可展曲面可作為單

10、平面組參數的包絡面的幾何意義。3、教學重點與難點直紋面和可展曲面的定義與基本特征及判定定理，包絡線（面）的求法。 第五節(jié) 曲面論的基本定理1、 教學內容曲面論的基本定理及相關概念。2、教學目的及要求1）理解本節(jié)中所采用的幾種符號的表示方法；Gauss方程和Codazzi-Mainardi方程的實質意義及推倒過程；2）掌握Gauss公式和Weingarten公式兩組基本公式；Gauss方程和Codazzi-Mainardi方程的獨立形式；3）了解高斯曲率的另外兩種表達形式，記住當F=0時，高斯曲率的計算公式及高斯曲率是內蘊量的性質；基本定理的意義及證明。3、教學重點與難點曲面的第一、二類基本量滿

11、足的方程，曲率張量等符號的記法與特點，曲面論的基本定理的內容等。 第六節(jié) 曲面上的測地線1、教學內容曲面上曲線的測地曲率與測地線，測地線的特征，半測地坐標網，Gauss-Bonnet公式，極小曲面等。2、教學目的及要求1）理解曲面上曲線的測地曲率的概念和幾何意義；曲面上測地線的概念、幾何意義及短程性；半測地坐標網及幾種特殊形式；曲面上向量場的概念和向量場絕對微分的概念及絕對微分的表達形式；平行移動的概念及其與普通平移的關系；2）掌握曲面上曲線的測地曲率的計算公式，記住F=0時的Liouville公式測地線的微分方程；Gauss-Bonnet公式及特殊情況平行向量場的充要條件和存在唯一性定理，并

12、理解其幾何意義；3）了解極小曲面的概念、性質及幾何特征。3、教學重點與難點地曲率和測地線、半測地坐標網的定義及其幾何意義， Gauss-Bonnet公式及曲面上向量的平行移動，極小曲面的特征等。 第七節(jié) 常Gauss曲率的曲面1、 教學內容常Gauss曲率曲面，偽球面，羅巴切夫斯基幾何簡介。2、教學目的及要求1）了解幾種常高斯曲率曲面的概念及其性質；2）了解偽球面的概念及其性質。三、 建議學時分配：教學內容各教學環(huán)節(jié)學時分配采用何種多媒體教學手段章節(jié)主要內容講授實驗討論習題課外其它小計第一章§1向量函數3   3§2曲線的概念6   6§3空間曲線7 2 9第二章§1曲面的