歷年考研數(shù)學(xué)一真題及答案(1987-2015)

1、歷年考研數(shù)學(xué)一真題1987-2014（經(jīng)典珍藏版）1987年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)當(dāng)=_時,函數(shù)取得極小值.(2)由曲線與兩直線及所圍成的平面圖形的面積是_.(3)與兩直線及都平行且過原點的平面方程為_.(4)設(shè)為取正向的圓周則曲線積分= _.(5)已知三維向量空間的基底為則向量在此基底下的坐標(biāo)是_.二、(本題滿分8分)求正的常數(shù)與使等式成立.三、(本題滿分7分)(1)設(shè)、為連續(xù)可微函數(shù)求(2)設(shè)矩陣和滿足關(guān)系式其中求矩陣四、(本題滿分8分)求微分方程的通解,其中常數(shù)五、選擇題(本題共4小題,每小題

2、3分,滿分12分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)設(shè)則在處(A)的導(dǎo)數(shù)存在,且(B)取得極大值(C)取得極小值 (D)的導(dǎo)數(shù)不存在(2)設(shè)為已知連續(xù)函數(shù)其中則的值(A)依賴于和(B)依賴于、和(C)依賴于、,不依賴于(D)依賴于,不依賴于(3)設(shè)常數(shù)則級數(shù)(A)發(fā)散 (B)絕對收斂 (C)條件收斂(D)散斂性與的取值有關(guān) (4)設(shè)為階方陣，且的行列式而是的伴隨矩陣，則等于(A)(B)(C) (D) 六、（本題滿分10分）求冪級數(shù)的收斂域，并求其和函數(shù). 七、（本題滿分10分）求曲面積分76其中是由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面,其法向量與軸正向

3、的夾角恒大于 八、（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上可微,對于上的每一個函數(shù)的值都在開區(qū)間內(nèi),且1,證明在內(nèi)有且僅有一個使得九、（本題滿分8分）問為何值時,現(xiàn)線性方程組有唯一解,無解,有無窮多解?并求出有無窮多解時的通解.十、填空題(本題共3小題,每小題2分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)(1)設(shè)在一次實驗中,事件發(fā)生的概率為現(xiàn)進行次獨立試驗,則至少發(fā)生一次的概率為_;而事件至多發(fā)生一次的概率為_.(2)有兩個箱子,第1個箱子有3個白球,2個紅球, 第2個箱子有4個白球,4個紅球.現(xiàn)從第1個箱子中隨機地取1個球放到第2個箱子里,再從第2個箱子中取出1個球,此球是白球的概率為_.已知上述從第2

4、個箱子中取出的球是白球,則從第一個箱子中取出的球是白球的概率為_.(3)已知連續(xù)隨機變量的概率密度函數(shù)為則的數(shù)學(xué)期望為_,的方差為_.十一、（本題滿分6分）設(shè)隨機變量相互獨立,其概率密度函數(shù)分別為 , , 求的概率密度函數(shù).1988年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分)(1)求冪級數(shù)的收斂域.(2)設(shè)且,求及其定義域.(3)設(shè)為曲面的外側(cè),計算曲面積分二、填空題(本題共4小題,每小題3分,滿分12分.把答案填在題中橫線上)(1)若則= _.(2)設(shè)連續(xù)且則=_.(3)設(shè)周期為2的周期函數(shù),它在區(qū)間上定義為 ,則的傅里葉級數(shù)在處收斂于_.(4)設(shè)4

5、階矩陣其中均為4維列向量,且已知行列式則行列式= _.三、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)設(shè)可導(dǎo)且則時在處的微分是(A)與等價的無窮小(B)與同階的無窮小(C)比低階的無窮小(D)比高階的無窮小(2)設(shè)是方程的一個解且則函數(shù)在點處(A)取得極大值 (B)取得極小值 (C)某鄰域內(nèi)單調(diào)增加(D)某鄰域內(nèi)單調(diào)減少(3)設(shè)空間區(qū)域則(A) (B)(C)(D) (4)設(shè)冪級數(shù)在處收斂,則此級數(shù)在處(A)條件收斂(B)絕對收斂(C)發(fā)散(D)收斂性不能確定 (5)維向量組線性無關(guān)的充要條件是(A)存在一組

6、不全為零的數(shù)使(B)中任意兩個向量均線性無關(guān)(C)中存在一個向量不能用其余向量線性表示(D)中存在一個向量都不能用其余向量線性表示四、(本題滿分6分)設(shè)其中函數(shù)、具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),求五、(本題滿分8分)設(shè)函數(shù)滿足微分方程其圖形在點處的切線與曲線在該點處的切線重合,求函數(shù)六、（本題滿分9分）設(shè)位于點的質(zhì)點對質(zhì)點的引力大小為為常數(shù)為質(zhì)點與之間的距離),質(zhì)點沿直線自運動到求在此運動過程中質(zhì)點對質(zhì)點的引力所作的功.七、（本題滿分6分）已知其中求八、（本題滿分8分）已知矩陣與相似.(1)求與(2)求一個滿足的可逆陣九、（本題滿分9分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),且在內(nèi)有證明:在內(nèi)存在唯一的使曲線與兩直線所圍平面

7、圖形面積是曲線與兩直線所圍平面圖形面積的3倍.十、填空題(本題共3小題,每小題2分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)(1)設(shè)在三次獨立試驗中,事件出現(xiàn)的概率相等,若已知至少出現(xiàn)一次的概率等于則事件在一次試驗中出現(xiàn)的概率是_.(2)若在區(qū)間內(nèi)任取兩個數(shù),則事件”兩數(shù)之和小于”的概率為_.(3)設(shè)隨機變量服從均值為10,均方差為0.02的正態(tài)分布,已知則落在區(qū)間內(nèi)的概率為_.十一、（本題滿分6分）設(shè)隨機變量的概率密度函數(shù)為求隨機變量的概率密度函數(shù)1989年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)已知則= _.(2)設(shè)是連

8、續(xù)函數(shù),且則=_.(3)設(shè)平面曲線為下半圓周則曲線積分=_.(4)向量場在點處的散度=_.(5)設(shè)矩陣則矩陣=_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)當(dāng)時,曲線(A)有且僅有水平漸近線(B)有且僅有鉛直漸近線(C)既有水平漸近線,又有鉛直漸近線(D)既無水平漸近線,又無鉛直漸近線(2)已知曲面上點處的切平面平行于平面則點的坐標(biāo)是(A) (B) (C)(D) (3)設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解是任意常數(shù),則該非齊次方程的通解是(A)(B)(C)(D) (4)設(shè)函數(shù)而其中則等于(A)(

9、B) (C)(D) (5)設(shè)是階矩陣,且的行列式則中(A)必有一列元素全為0(B)必有兩列元素對應(yīng)成比例(C)必有一列向量是其余列向量的線性組合(D)任一列向量是其余列向量的線性組合三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分)(1)設(shè)其中函數(shù)二階可導(dǎo)具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù),求(2)設(shè)曲線積分與路徑無關(guān),其中具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),且計算的值.(3)計算三重積分其中是由曲面與所圍成的區(qū)域.四、(本題滿分6分)將函數(shù)展為的冪級數(shù).五、(本題滿分7分)設(shè)其中為連續(xù)函數(shù),求六、（本題滿分7分）證明方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個不同實根.七、（本題滿分6分）問為何值時,線性方程組有解,并求出解的一般形式.八、（本題滿分8

10、分）假設(shè)為階可逆矩陣的一個特征值,證明(1)為的特征值.(2)為的伴隨矩陣的特征值.九、（本題滿分9分）設(shè)半徑為的球面的球心在定球面上,問當(dāng)為何值時,球面在定球面內(nèi)部的那部分的面積最大?十、填空題(本題共3小題,每小題2分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)(1)已知隨機事件的概率隨機事件的概率及條件概率則和事件的概率=_.(2)甲、乙兩人獨立地對同一目標(biāo)射擊一次,其命中率分別為0.6和0.5,現(xiàn)已知目標(biāo)被命中,則它是甲射中的概率為_.(3)若隨機變量在上服從均勻分布,則方程有實根的概率是_.十一、（本題滿分6分）設(shè)隨機變量與獨立,且服從均值為1、標(biāo)準(zhǔn)差(均方差)為的正態(tài)分布,而服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

11、.試求隨機變量的概率密度函數(shù).1990年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上) (1)過點且與直線垂直的平面方程是_. (2)設(shè)為非零常數(shù),則=_.(3)設(shè)函數(shù) ,則=_.(4)積分的值等于_.(5)已知向量組則該向量組的秩是_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)設(shè)是連續(xù)函數(shù),且則等于(A)(B)(C)(D) (2)已知函數(shù)具有任意階導(dǎo)數(shù),且則當(dāng)為大于2的正整數(shù)時的階導(dǎo)數(shù)是(A) (B) (C)(D) (3)設(shè)為常數(shù),則

12、級數(shù)(A)絕對收斂(B)條件收斂(C)發(fā)散(D)收斂性與的取值有關(guān) (4)已知在的某個鄰域內(nèi)連續(xù),且則在點處(A)不可導(dǎo)(B)可導(dǎo),且(C)取得極大值(D)取得極小值 (5)已知、是非齊次線性方程組的兩個不同的解、是對應(yīng)其次線性方程組的基礎(chǔ)解析、為任意常數(shù),則方程組的通解(一般解)必是(A)(B) (C)(D) 三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分)(1)求(2)設(shè)其中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù),求(3)求微分方程的通解(一般解).四、(本題滿分6分)求冪級數(shù)的收斂域,并求其和函數(shù).五、(本題滿分8分)求曲面積分其中是球面外側(cè)在的部分.六、（本題滿分7分）設(shè)不恒為常數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開

13、區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且證明在內(nèi)至少存在一點使得七、（本題滿分6分）設(shè)四階矩陣且矩陣滿足關(guān)系式其中為四階單位矩陣表示的逆矩陣表示的轉(zhuǎn)置矩陣.將上述關(guān)系式化簡并求矩陣八、（本題滿分8分）求一個正交變換化二次型成標(biāo)準(zhǔn)型.九、（本題滿分8分）質(zhì)點沿著以為直徑的半圓周,從點運動到點的過程中受變力作用(見圖).的大小等于點與原點之間的距離,其方向垂直于線段且與軸正向的夾角小于求變力對質(zhì)點所作的功.十、填空題(本題共3小題,每小題2分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)(1)已知隨機變量的概率密度函數(shù)則的概率分布函數(shù)=_.(2)設(shè)隨機事件、及其和事件的概率分別是0.4、0.3和0.6,若表示的對立事件,那么積事件的概

14、率=_.(3)已知離散型隨機變量服從參數(shù)為2的泊松分布,即則隨機變量的數(shù)學(xué)期望=_.十一、（本題滿分6分）設(shè)二維隨機變量在區(qū)域內(nèi)服從均勻分布,求關(guān)于的邊緣概率密度函數(shù)及隨機變量的方差1991年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上) (1)設(shè) ,則=_.(2)由方程所確定的函數(shù)在點處的全微分=_.(3)已知兩條直線的方程是則過且平行于的平面方程是_.(4)已知當(dāng)時與是等價無窮小,則常數(shù)=_.(5)設(shè)4階方陣則的逆陣=_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項

15、前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)曲線(A)沒有漸近線(B)僅有水平漸近線 (C)僅有鉛直漸近線(D)既有水平漸近線又有鉛直漸近線 (2)若連續(xù)函數(shù)滿足關(guān)系式則等于(A) (B) (C)(D) (3)已知級數(shù)則級數(shù)等于(A)3(B)7(C)8(D)9(4)設(shè)是平面上以、和為頂點的三角形區(qū)域是在第一象限的部分,則等于(A)(B) (C)(D)0 (5)設(shè)階方陣、滿足關(guān)系式其中是階單位陣,則必有(A)(B) (C)(D) 三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分)(1)求(2)設(shè)是曲面在點處的指向外側(cè)的法向量,求函數(shù)在點處沿方向的方向?qū)?shù).(3)其中是由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與平面所圍城的立體

16、.四、(本題滿分6分)過點和的曲線族中,求一條曲線使沿該曲線從到的積分的值最小.五、(本題滿分8分)將函數(shù)展開成以2為周期的傅里葉級數(shù),并由此求級數(shù)的和.六、（本題滿分7分）設(shè)函數(shù)在上連續(xù)內(nèi)可導(dǎo),且證明在內(nèi)存在一點使七、（本題滿分8分）已知及(1)、為何值時不能表示成的線性組合?(2)、為何值時有的唯一的線性表示式?寫出該表示式.八、（本題滿分6分）設(shè)是階正定陣是階單位陣,證明的行列式大于1.九、（本題滿分8分）在上半平面求一條向上凹的曲線,其上任一點處的曲率等于此曲線在該點的法線段長度的倒數(shù)(是法線與軸的交點),且曲線在點處的切線與軸平行.十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿分6分.把答

17、案填在題中橫線上)(1)若隨機變量服從均值為2、方差為的正態(tài)分布,且則=_.(2)隨機地向半圓為正常數(shù))內(nèi)擲一點,點落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比,則原點和該點的連線與軸的夾角小于的概率為_.十一、（本題滿分6分）設(shè)二維隨機變量的密度函數(shù)為 求隨機變量的分布函數(shù).1992年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上) (1)設(shè)函數(shù)由方程確定,則=_.(2)函數(shù)在點處的梯度=_.(3)設(shè) ,則其以為周期的傅里葉級數(shù)在點處收斂于_.(4)微分方程的通解為=_.(5)設(shè)其中則矩陣的秩=_.二、選擇題(本題共5小題,每小題

18、3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)當(dāng)時,函數(shù)的極限(A)等于2(B)等于0(C)為(D)不存在但不為(2)級數(shù)常數(shù)(A)發(fā)散 (B)條件收斂 (C)絕對收斂(D)收斂性與有關(guān) (3)在曲線的所有切線中,與平面平行的切線(A)只有1條(B)只有2條(C)至少有3條(D)不存在(4)設(shè)則使存在的最高階數(shù)為(A)0(B)1 (C)2(D)3 (5)要使都是線性方程組的解,只要系數(shù)矩陣為(A)(B) (C)(D) 三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分)(1)求(2)設(shè)其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求(3)設(shè) ,求四、(本題滿分6分)

19、求微分方程的通解.五、(本題滿分8分)計算曲面積分其中為上半球面的上側(cè).六、（本題滿分7分）設(shè)證明對任何有七、（本題滿分8分）在變力的作用下,質(zhì)點由原點沿直線運動到橢球面上第一卦限的點問當(dāng)、取何值時,力所做的功最大?并求出的最大值. 八、（本題滿分7分）設(shè)向量組線性相關(guān),向量組線性無關(guān),問:(1)能否由線性表出?證明你的結(jié)論.(2)能否由線性表出?證明你的結(jié)論.九、（本題滿分7分）設(shè)3階矩陣的特征值為對應(yīng)的特征向量依次為又向量(1)將用線性表出.(2)求為自然數(shù)).十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)(1)已知則事件、全不發(fā)生的概率為_.(2)設(shè)隨機變量服從參

20、數(shù)為1的指數(shù)分布,則數(shù)學(xué)期望=_.十一、（本題滿分6分）設(shè)隨機變量與獨立服從正態(tài)分布服從上的均勻分布,試求的概率分布密度(計算結(jié)果用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表示,其中.1993年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上) (1)函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間為_.(2)由曲線 繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)面在點處的指向外側(cè)的單位法向量為_.(3)設(shè)函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式為則其中系數(shù)的值為_.(4)設(shè)數(shù)量場則=_.(5)設(shè)階矩陣的各行元素之和均為零,且的秩為則線性方程組的通解為_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中

21、,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)設(shè)則當(dāng)時是的(A)等價無窮小(B)同價但非等價的無窮小(C)高階無窮小(D)低價無窮小(2)雙紐線所圍成的區(qū)域面積可用定積分表示為(A)(B)(C)(D)(3)設(shè)有直線與 則與的夾角為(A)(B)(C)(D)(4)設(shè)曲線積分與路徑無關(guān),其中具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且則等于(A)(B) (C)(D) (5)已知為三階非零矩陣,且滿足則(A)時的秩必為1(B)時的秩必為2 (C)時的秩必為1(D)時的秩必為2 三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分)(1)求(2)求(3)求微分方程滿足初始條件的特解.四、(本題滿分6分)計算其中是由曲面

22、與所圍立體的表面外側(cè).五、(本題滿分7分)求級數(shù)的和.六、(本題共2小題,每小題5分,滿分10分)(1)設(shè)在上函數(shù)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且證明在內(nèi)有且僅有一個零點.(2)設(shè)證明七、（本題滿分8分）已知二次型通過正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)形求參數(shù)及所用的正交變換矩陣.八、（本題滿分6分）設(shè)是矩陣是矩陣,其中是階單位矩陣,若證明的列向量組線性無關(guān).九、（本題滿分6分）設(shè)物體從點出發(fā),以速度大小為常數(shù)沿軸正向運動.物體從點與同時出發(fā),其速度大小為方向始終指向試建立物體的運動軌跡所滿足的微分方程,并寫出初始條件.十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)(1)一批產(chǎn)品共有10個正品和2個次品,

23、任意抽取兩次,每次抽一個,抽出后不再放回,則第二次抽出的是次品的概率為_.(2)設(shè)隨機變量服從上的均勻分布,則隨機變量在內(nèi)的概率分布密度=_.十一、（本題滿分6分）設(shè)隨機變量的概率分布密度為(1)求的數(shù)學(xué)期望和方差(2)求與的協(xié)方差,并問與是否不相關(guān)?(3)問與是否相互獨立?為什么?1994年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上) (1)= _.(2)曲面在點處的切平面方程為_.(3)設(shè)則在點處的值為_.(4)設(shè)區(qū)域為則=_.(5)已知設(shè)其中是的轉(zhuǎn)置,則=_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的

24、四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)設(shè)則有(A)(B) (C)(D)(2)二元函數(shù)在點處兩個偏導(dǎo)數(shù)、存在是在該點連續(xù)的(A)充分條件而非必要條件(B)必要條件而非充分條件 (C)充分必要條件(D)既非充分條件又非必要條件 (3)設(shè)常數(shù)且級數(shù)收斂,則級數(shù)(A)發(fā)散(B)條件收斂 (C)絕對收斂(D)收斂性與有關(guān) (4)其中則必有(A)(B) (C)(D) (5)已知向量組線性無關(guān),則向量組1994年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上) (1)= _.(2)曲面在點處的切平面方程為_.

25、(3)設(shè)則在點處的值為_.(4)設(shè)區(qū)域為則=_.(5)已知設(shè)其中是的轉(zhuǎn)置,則=_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)設(shè)則有(A)(B) (C)(D)(2)二元函數(shù)在點處兩個偏導(dǎo)數(shù)、存在是在該點連續(xù)的(A)充分條件而非必要條件(B)必要條件而非充分條件 (C)充分必要條件(D)既非充分條件又非必要條件 (3)設(shè)常數(shù)且級數(shù)收斂,則級數(shù)(A)發(fā)散(B)條件收斂 (C)絕對收斂(D)收斂性與有關(guān) (4)其中則必有(A)(B) (C)(D) (5)已知向量組線性無關(guān),則向量組(A)線性無關(guān)(B)線性無關(guān)

26、 (C)線性無關(guān)(D)線性無關(guān) 三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分)(1)設(shè) ,求、在的值. (2)將函數(shù)展開成的冪級數(shù).(3)求四、(本題滿分6分)計算曲面積分其中是由曲面及兩平面所圍成立體表面的外側(cè).五、(本題滿分9分)設(shè)具有二階連續(xù)函數(shù)且為一全微分方程,求及此全微分方程的通解.六、(本題滿分8分)設(shè)在點的某一鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且證明級數(shù)絕對收斂.七、（本題滿分6分）已知點與的直角坐標(biāo)分別為與線段繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面為求由及兩平面所圍成的立體體積.八、（本題滿分8分）設(shè)四元線性齊次方程組()為 ,又已知某線性齊次方程組()的通解為(1)求線性方程組()的基礎(chǔ)解析. (2

27、)問線性方程組()和()是否有非零公共解?若有,則求出所有的非零公共解.若沒有,則說明理由.九、（本題滿分6分）設(shè)為階非零方陣是的伴隨矩陣是的轉(zhuǎn)置矩陣,當(dāng)時,證明十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)(1)已知、兩個事件滿足條件且則=_.(2)設(shè)相互獨立的兩個隨機變量具有同一分布率,且的分布率為01則隨機變量的分布率為_.十一、（本題滿分6分）設(shè)隨機變量和分別服從正態(tài)分布和且與的相關(guān)系數(shù)設(shè)(1)求的數(shù)學(xué)期望和方差.(2)求與的相關(guān)系數(shù)(3)問與是否相互獨立?為什么?1995年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分

28、.把答案填在題中橫線上) (1)=_.(2)= _.(3)設(shè)則=_.(4)冪級數(shù)的收斂半徑=_.(5)設(shè)三階方陣滿足關(guān)系式且則=_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)設(shè)有直線 ,及平面則直線(A)平行于(B)在上 (C)垂直于(D)與斜交(2)設(shè)在上則或的大小順序是(A)(B) (C)(D) (3)設(shè)可導(dǎo)則是在處可導(dǎo)的(A)充分必要條件(B)充分條件但非必要條件(C)必要條件但非充分條件(D)既非充分條件又非必要條件(4)設(shè)則級數(shù)(A)與都收斂(B)與都發(fā)散 (C)收斂,而發(fā)散(D)收斂,而發(fā)

29、散(5)設(shè)則必有(A)(B) (C)(D) 三、(本題共2小題,每小題5分,滿分10分)(1)設(shè)其中都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且求(2)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),并設(shè)求四、(本題共2小題,每小題6分,滿分12分)(1)計算曲面積分其中為錐面在柱體內(nèi)的部分.(2)將函數(shù)展開成周期為4的余弦函數(shù).五、(本題滿分7分)設(shè)曲線位于平面的第一象限內(nèi)上任一點處的切線與軸總相交,交點記為已知且過點求的方程.六、(本題滿分8分)設(shè)函數(shù)在平面上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),曲線積分與路徑無關(guān),并且對任意恒有求七、（本題滿分8分）假設(shè)函數(shù)和在上存在二階導(dǎo)數(shù),并且試證:(1)在開區(qū)間內(nèi)(2)在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點使八、（本題滿分7分）

30、設(shè)三階實對稱矩陣的特征值為對應(yīng)于的特征向量為求九、（本題滿分6分）設(shè)為階矩陣,滿足是階單位矩陣是的轉(zhuǎn)置矩陣求十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)(1)設(shè)表示10次獨立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù),每次射中目標(biāo)的概率為0.4,則的數(shù)學(xué)期望=_.(2)設(shè)和為兩個隨機變量,且則_.十一、（本題滿分6分）設(shè)隨機變量的概率密度為 ,求隨機變量的概率密度1996年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上) (1)設(shè)則=_.(2)設(shè)一平面經(jīng)過原點及點且與平面垂直,則此平面方程為_.(3)微分方程的通解為_.(4

31、)函數(shù)在點處沿點指向點方向的方向?qū)?shù)為_.(5)設(shè)是矩陣,且的秩而則=_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)已知為某函數(shù)的全微分,則等于(A)-1(B)0(C)1(D)2(2)設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且則(A)是的極大值(B)是的極小值 (C)是曲線的拐點(D)不是的極值也不是曲線的拐點 (3)設(shè)且收斂,常數(shù)則級數(shù)(A)絕對收斂(B)條件收斂(C)發(fā)散(D)散斂性與有關(guān)(4)設(shè)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)且當(dāng)時與是同階無窮小,則等于(A)1(B)2(C)3(D)4(5)四階行列式的值等于(A)(B) (C)(D)

32、 三、(本題共2小題,每小題5分,滿分10分)(1)求心形線的全長,其中是常數(shù).(2)設(shè)試證數(shù)列極限存在,并求此極限.四、(本題共2小題,每小題6分,滿分12分)(1)計算曲面積分其中為有向曲面其法向量與軸正向的夾角為銳角.(2)設(shè)變換 可把方程簡化為求常數(shù)五、(本題滿分7分)求級數(shù)的和.六、(本題滿分7分)設(shè)對任意曲線上點處的切線在軸上的截距等于求的一般表達式.七、（本題滿分8分）設(shè)在上具有二階導(dǎo)數(shù),且滿足條件其中都是非負常數(shù)是內(nèi)任意一點.證明八、（本題滿分6分）設(shè)其中是階單位矩陣是維非零列向量是的轉(zhuǎn)置.證明(1)的充分條件是(2)當(dāng)時是不可逆矩陣.九、（本題滿分8分）已知二次型的秩為2,(

33、1)求參數(shù)及此二次型對應(yīng)矩陣的特征值.(2)指出方程表示何種二次曲面.十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿分6分.把答案填在題中橫線上)(1)設(shè)工廠和工廠的產(chǎn)品的次品率分別為1%和2%,現(xiàn)從由和的產(chǎn)品分別占60%和40%的一批產(chǎn)品中隨機抽取一件,發(fā)現(xiàn)是次品,則該次品屬生產(chǎn)的概率是_.(2)設(shè)是兩個相互獨立且均服從正態(tài)分布的隨機變量,則隨機變量的數(shù)學(xué)期望=_.十一、（本題滿分6分）設(shè)是兩個相互獨立且服從同一分布的兩個隨機變量,已知的分布率為又設(shè)(1)寫出二維隨機變量的分布率: 123123(2)求隨機變量的數(shù)學(xué)期望1997年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每

34、小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上) (1)=_.(2)設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為3,則冪級數(shù)的收斂區(qū)間為_.(3)對數(shù)螺線在點處切線的直角坐標(biāo)方程為_.(4)設(shè)為三階非零矩陣,且則=_.(5)袋中有50個乒乓球,其中20個是黃球,30個是白球,今有兩人依次隨機地從袋中各取一球,取后不放回,則第二個人取得黃球的概率是_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)二元函數(shù) ,在點處(A)連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)存在(B)連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)不存在(C)不連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)存在(D)連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)不存在(2)設(shè)在區(qū)間上令則(A)

35、(B) (C) (D) (3)設(shè)則(A)為正常數(shù)(B)為負常數(shù)(C)恒為零(D)不為常數(shù)(4)設(shè)則三條直線(其中)交于一點的充要條件是(A)線性相關(guān)(B)線性無關(guān)(C)秩秩(D)線性相關(guān)線性無關(guān)(5)設(shè)兩個相互獨立的隨機變量和的方差分別為4和2,則隨機變量的方差是(A)8(B)16 (C)28(D)44 三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分)(1)計算其中為平面曲線 繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面與平面所圍成的區(qū)域.(2)計算曲線積分其中是曲線 從軸正向往軸負向看的方向是順時針的.(3)在某一人群中推廣新技術(shù)是通過其中掌握新技術(shù)的人進行的,設(shè)該人群的總?cè)藬?shù)為在時刻已掌握新技術(shù)的人數(shù)為在任意時刻已

36、掌握新技術(shù)的人數(shù)為將視為連續(xù)可微變量),其變化率與已掌握新技術(shù)人數(shù)和未掌握新技術(shù)人數(shù)之積成正比,比例常數(shù)求四、(本題共2小題,第(1)小題6分,第(2)小題7分,滿分13分)(1)設(shè)直線 在平面上,而平面與曲面相切于點求之值.(2)設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),而滿足方程求五、(本題滿分6分)設(shè)連續(xù)且為常數(shù)),求并討論在處的連續(xù)性.六、(本題滿分8分)設(shè)證明(1)存在.(2)級數(shù)收斂.七、(本題共2小題,第(1)小題5分,第(2)小題6分,滿分11分)(1)設(shè)是秩為2的矩陣是齊次線性方程組的解向量,求的解空間的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基.(2)已知是矩陣的一個特征向量.1)試確定參數(shù)及特征向量所對應(yīng)的特征值.2

37、)問能否相似于對角陣?說明理由.八、（本題滿分5分）設(shè)是階可逆方陣,將的第行和第行對換后得到的矩陣記為(1)證明可逆.(2)求九、（本題滿分7分）從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個交通崗,假設(shè)再各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的,并且概率都是設(shè)為途中遇到紅燈的次數(shù),求隨機變量的分布律、分布函數(shù)和數(shù)學(xué)期望.十、（本題滿分5分）設(shè)總體的概率密度為 其中是未知參數(shù)是來自總體的一個容量為的簡單隨機樣本,分別用矩估計法和極大似然估計法求的估計量.1998年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上) (1)=_.(2)設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)

38、,則=_.(3)設(shè)為橢圓其周長記為則=_.(4)設(shè)為階矩陣為的伴隨矩陣為階單位矩陣.若有特征值則必有特征值_.(5)設(shè)平面區(qū)域由曲線及直線所圍成,二維隨機變量在區(qū)域上服從均勻分布,則關(guān)于的邊緣概率密度在處的值為_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)設(shè)連續(xù),則=(A)(B)(C)(D)(2)函數(shù)不可導(dǎo)點的個數(shù)是(A)3 (B)2 (C)1 (D)0 (3)已知函數(shù)在任意點處的增量且當(dāng)時是的高階無窮小,則等于(A)(B)(C)(D) (4)設(shè)矩陣是滿秩的,則直線與直線(A)相交于一點(B)重合(C

39、)平行但不重合(D)異面(5)設(shè)是兩個隨機事件,且則必有(A)(B)(C)(D)三、(本題滿分5分)求直線在平面上的投影直線的方程,并求繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面的方程.四、(本題滿分6分)確定常數(shù)使在右半平面上的向量為某二元函數(shù)的梯度,并求五、(本題滿分6分)從船上向海中沉放某種探測儀器,按探測要求,需確定儀器的下沉深度從海平面算起)與下沉速度之間的函數(shù)關(guān)系.設(shè)儀器在重力作用下,從海平面由靜止開始鉛直下沉,在下沉過程中還受到阻力和浮力的作用.設(shè)儀器的質(zhì)量為體積為海水密度為儀器所受的阻力與下沉速度成正比,比例系數(shù)為試建立與所滿足的微分方程,并求出函數(shù)關(guān)系式六、(本題滿分7分)計算其中為下半平面的上側(cè)

40、為大于零的常數(shù).七、(本題滿分6分)求八、（本題滿分5分）設(shè)正向數(shù)列單調(diào)減少,且發(fā)散,試問級數(shù)是否收斂?并說明理由.九、（本題滿分6分）設(shè)是區(qū)間上的任一非負連續(xù)函數(shù).(1)試證存在使得在區(qū)間上以為高的矩形面積,等于在區(qū)間上以為曲邊的曲邊梯形面積.(2)又設(shè)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且證明(1)中的是唯一的.十、（本題滿分6分）已知二次曲面方程可以經(jīng)過正交變換化為橢圓柱面方程求的值和正交矩陣十一、（本題滿分4分）設(shè)是階矩陣,若存在正整數(shù)使線性方程組有解向量且證明:向量組是線性無關(guān)的.十二、（本題滿分5分）已知方程組() 的一個基礎(chǔ)解析為試寫出線性方程組() 的通解,并說明理由.十三、（本題滿分6分）設(shè)兩個隨

41、機變量相互獨立,且都服從均值為0、方差為的正態(tài)分布,求隨機變量的方差.十四、（本題滿分4分）從正態(tài)總體中抽取容量為的樣本,如果要求其樣本均值位于區(qū)間內(nèi)的概率不小于0.95,問樣本容量至少應(yīng)取多大?附:標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表1.281.6451.962.330.9000.9500.9750.990十五、（本題滿分4分）設(shè)某次考試的學(xué)生成績服從正態(tài)分布,從中隨機地抽取36位考生地成績,算得平均成績?yōu)?6.5分,標(biāo)準(zhǔn)差為15分.問在顯著性水平0.05下,是否可以認為這次考試全體考生的平均成績?yōu)?0 分?并給出檢驗過程.附:分布表0.950.975351.68962.0301361.68832.0281199

42、9年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)=_.(2)=_.(3)的通解為=_.(4)設(shè)階矩陣的元素全為1,則的個特征值是 _.(5)設(shè)兩兩相互獨立的三事件和滿足條件:且已知則=_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)設(shè)是連續(xù)函數(shù)是的原函數(shù),則(A)當(dāng)是奇函數(shù)時必是偶函數(shù)(B)當(dāng)是偶函數(shù)時必是奇函數(shù)(C)當(dāng)是周期函數(shù)時必是周期函數(shù) (D)當(dāng)是單調(diào)增函數(shù)時必是單調(diào)增函數(shù)(2)設(shè),其中是有界函數(shù),則在處(A)極限不存在(

43、B)極限存在,但不連續(xù)(C)連續(xù),但不可導(dǎo)(D)可導(dǎo)(3)設(shè),其中 ,則等于(A) (B)(C)(D) (4)設(shè)是矩陣,是矩陣,則(A)當(dāng)時,必有行列式(B)當(dāng)時,必有行列式(C)當(dāng)時,必有行列式 (D)當(dāng)時,必有行列式(5)設(shè)兩個相互獨立的隨機變量和分別服從正態(tài)分布和,則(A)(B)(C)(D)三、(本題滿分6分)設(shè)是由方程和所確定的函數(shù),其中和分別具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求四、(本題滿分5分)求其中為正的常數(shù),為從點沿曲線到點的弧.五、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)二階可導(dǎo)且過曲線上任意一點作該曲線的切線及軸的垂線,上述兩直線與軸所圍成的三角形的面積記為,區(qū)間上以為曲線的曲邊梯形面積記為

44、,并設(shè)恒為1,求曲線的方程.六、(本題滿分7分)論證:當(dāng)時,七、(本題滿分6分)為清除井底的淤泥,用纜繩將抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(見圖).已知井深30m,抓斗自重400N,纜繩每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度為3m/s,在提升過程中,污泥以20N/s的速率從抓斗縫隙中漏掉.現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升至井口,問克服重力需作多少焦耳的功?(說明:1N1m=1Jm,N,s,J分別表示米,牛,秒,焦.抓斗的高度及位于井口上方的纜繩長度忽略不計.)八、(本題滿分7分)設(shè)為橢球面的上半部分,點為在點處的切平面,為點到平面的距離,求九、(本題滿分7分)設(shè)(1)求的值.(2)試證:對任

45、意的常數(shù)級數(shù)收斂.十、(本題滿分8分)設(shè)矩陣其行列式又的伴隨矩陣有一個特征值,屬于的一個特征向量為求和的值.十一、(本題滿分6分)設(shè)為階實對稱矩陣且正定,為實矩陣,為的轉(zhuǎn)置矩陣,試證為正定矩陣的充分必要條件是的秩十二、(本題滿分8分)設(shè)隨機變量與相互獨立,下表列出了二維隨機變量聯(lián)合分布率及關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布率中的部分?jǐn)?shù)值,試將其余數(shù)值填入表中的空白處.X Y1十三、(本題滿分6分)設(shè)的概率密度為,是取自總體的簡單隨機樣本(1)求的矩估計量.(2)求的方差2000年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)=_.(2)曲面在點的法線方程為_.(3)微分方程的通解為_.(4)已知方程組無解,則= _.(5)設(shè)兩個相互獨立的事件和都不發(fā)生的概率為,發(fā)生不發(fā)生的概率與發(fā)生不發(fā)生的概率相等,則=_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)設(shè)、是恒大于零的可導(dǎo)函數(shù),且,則當(dāng)時,有(A)(B)(C)(D)(2)設(shè)為在第一卦