平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充復(fù)數(shù)的引入章末大盤點(diǎn)

1、2021/4/212021/4/222021/4/23一、數(shù)形結(jié)合思想一、數(shù)形結(jié)合思想向量的加、減、數(shù)乘等線性運(yùn)算有著豐富的幾何背景，向量的加、減、數(shù)乘等線性運(yùn)算有著豐富的幾何背景，同時(shí)，向量的坐標(biāo)表示又為向量運(yùn)算的代數(shù)化提供了可能同時(shí)，向量的坐標(biāo)表示又為向量運(yùn)算的代數(shù)化提供了可能.因此，向量融數(shù)、形于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的因此，向量融數(shù)、形于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份雙重身份”，自然處于中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要交匯點(diǎn)，自然處于中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要交匯點(diǎn).顯然，顯然，形成并自覺(jué)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法是解決向量與其他問(wèn)形成并自覺(jué)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法是解決向量與其他問(wèn)題的關(guān)鍵題的關(guān)

2、鍵.2021/4/24【示例示例1】已知向量已知向量a2b21，且，且ab求求(1)|ab|；(2)a與與(ba)的夾角的夾角.2021/4/25解解法一：法一：(數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合法)作作以以為鄰邊作為鄰邊作 ABCD，如圖所示，如圖所示.由由a2b21及及ab得得又又BAD0，180，BAD120.所以四邊形所以四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為為邊長(zhǎng)為1且一個(gè)內(nèi)角為且一個(gè)內(nèi)角為120的菱形，易的菱形，易得得(1)|ab|(2)a與與(ba)的夾角為的夾角為150.2021/4/26法二：法二：(數(shù)量積運(yùn)算法數(shù)量積運(yùn)算法)由于由于0180，150.所以所以a與與(ba)的夾角為的夾角為150.（2）設(shè)

3、）設(shè)a與與b（a-b）r的夾角為的夾角為2211,1.2a ba bab由于由于2021/4/27領(lǐng)悟領(lǐng)悟法一充分利用向量加法的平行四邊形法則轉(zhuǎn)化法一充分利用向量加法的平行四邊形法則轉(zhuǎn)化為平面幾何求解是直觀形象，法二利用向量的數(shù)量積運(yùn)為平面幾何求解是直觀形象，法二利用向量的數(shù)量積運(yùn)算及其變形公式更是簡(jiǎn)潔明快算及其變形公式更是簡(jiǎn)潔明快.2021/4/28二、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想二、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想等價(jià)轉(zhuǎn)化的實(shí)質(zhì)是將難解的問(wèn)題化為易解的問(wèn)題，將復(fù)等價(jià)轉(zhuǎn)化的實(shí)質(zhì)是將難解的問(wèn)題化為易解的問(wèn)題，將復(fù)雜問(wèn)題化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)處理雜問(wèn)題化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)處理.在本章中，可利用向量的坐在本章中，可利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則，

4、把向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的運(yùn)算，即將向量的標(biāo)運(yùn)算法則，把向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的運(yùn)算，即將向量的加、減、實(shí)數(shù)與向量的積和數(shù)量積的運(yùn)算，轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的加、加、減、實(shí)數(shù)與向量的積和數(shù)量積的運(yùn)算，轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的加、減、乘的運(yùn)算減、乘的運(yùn)算.把一些幾何問(wèn)題的證明轉(zhuǎn)化為向量的代數(shù)運(yùn)把一些幾何問(wèn)題的證明轉(zhuǎn)化為向量的代數(shù)運(yùn)算，無(wú)不體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想算，無(wú)不體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想.2021/4/29【示例示例2】已知正方形已知正方形ABCD，E、F分別是分別是CD、AD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，BE、CF交于點(diǎn)交于點(diǎn)P.求證：求證：(1)BECF；(2)APAB.2021/4/210證明證明如圖建立直角坐標(biāo)系如圖建立直角坐標(biāo)系xA

5、y，其中，其中A為原點(diǎn)，為原點(diǎn)，不妨設(shè)不妨設(shè)AB2，則則A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(xiàn)(0，1).(2，1)，1(2)2(1)0，即即BECF.2021/4/211(2)設(shè)設(shè)P(x，y)，則，則-X=-2(y-1)，即，即x=2y-2同理由同理由得得y2x4，代入，代入x2y2.解得解得2021/4/212領(lǐng)悟領(lǐng)悟本題為平面幾何問(wèn)題，證明過(guò)程中以直角坐標(biāo)系本題為平面幾何問(wèn)題，證明過(guò)程中以直角坐標(biāo)系為平臺(tái)，以向量為工具，較容易地完成了證明為平臺(tái)，以向量為工具，較容易地完成了證明.顯然，向量顯然，向量共線與向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，運(yùn)用得既巧妙而又必不可少，共線與向量垂直的坐

6、標(biāo)運(yùn)算，運(yùn)用得既巧妙而又必不可少，突出重點(diǎn)的同時(shí)更突破了難點(diǎn)突出重點(diǎn)的同時(shí)更突破了難點(diǎn).2021/4/213三、函數(shù)與方程的思想三、函數(shù)與方程的思想向量作為一種運(yùn)算工具，與函數(shù)和方程是密切相關(guān)的向量作為一種運(yùn)算工具，與函數(shù)和方程是密切相關(guān)的.例如，向量例如，向量a，b的坐標(biāo)中含有參數(shù)的坐標(biāo)中含有參數(shù)t時(shí)，計(jì)算時(shí)，計(jì)算ab時(shí)，即把時(shí)，即把a(bǔ)b視為關(guān)于視為關(guān)于t的函數(shù)；解決共線向量時(shí)，則常常借助的函數(shù)；解決共線向量時(shí)，則常常借助ba來(lái)確定來(lái)確定，求，求的方法即利用向量相等的充要條件列出方程的方法即利用向量相等的充要條件列出方程(組組)來(lái)求解來(lái)求解.2021/4/214【示例示例3】已知已知a是以點(diǎn)

7、是以點(diǎn)A(3，1)為起點(diǎn)，且與向量為起點(diǎn)，且與向量b(3,4)平行的單位向量，則向量平行的單位向量，則向量a的終點(diǎn)坐標(biāo)是的終點(diǎn)坐標(biāo)是.2021/4/215解析解析設(shè)向量設(shè)向量a的終點(diǎn)坐標(biāo)是的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)，則，則a(x3，y1)，由題意可知由題意可知答案答案或或 解得解得 故故 或填或填 或或2021/4/216領(lǐng)悟領(lǐng)悟利用方程的思想解決問(wèn)題時(shí)關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系，利用方程的思想解決問(wèn)題時(shí)關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系，建立方程建立方程.2021/4/2172021/4/2181.(2009遼寧高考遼寧高考)已知復(fù)數(shù)已知復(fù)數(shù)z12i，那么，那么()答案：答案：D解析：解析：由由2021/4/2192.

8、(2009北京高考北京高考)已知向量已知向量a、b不共線，不共線，ckab(kR)，dab.如果如果cd，那么，那么()A.k1且且c與與d同向同向B.k1且且c與與d反向反向C.k1且且c與與d同向同向D.k1且且c與與d反向反向2021/4/220解析：解析：不妨設(shè)不妨設(shè)a(1,0)，b(0,1).依題意依題意dab(1，1)，又，又ckab(k,1)，cd，12(1)k0，k1，又又k1時(shí)，時(shí)，c(1,1)d，c與與d反向反向.答案：答案：D2021/4/2213.(2009湖北高考湖北高考)投擲兩顆骰子，得到其向上的點(diǎn)數(shù)分別為投擲兩顆骰子，得到其向上的點(diǎn)數(shù)分別為 m和和n，則復(fù)數(shù)，則復(fù)

9、數(shù)(mni)(nmi)為實(shí)數(shù)的概率為為實(shí)數(shù)的概率為()2021/4/222解析：解析：(mni)(nmi)2mn(n2m2)i，它為實(shí)數(shù)的，它為實(shí)數(shù)的等價(jià)條件是等價(jià)條件是m2n2，又，又m，n均為正整數(shù)，均為正整數(shù)，mn.故問(wèn)故問(wèn)題事件所含基本事件有題事件所含基本事件有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)六個(gè)，基本事件空間中含有六個(gè)，基本事件空間中含有36個(gè)基本事件，所以個(gè)基本事件，所以答案：答案：C2021/4/2234.(2009全國(guó)卷全國(guó)卷)設(shè)非零向量設(shè)非零向量a、b、c滿足滿足|a|b|c|，a bc，則，則a，b()A.150B.120C.60D.3

10、02021/4/224解析：解析：abc，|c|2|ab|2a22abb2.又又|a|b|c|，2abb2，即即2|a|b|cosa，b|b|2.cosa，ba，b120.答案：答案：B2021/4/2255.(2010杭州質(zhì)檢杭州質(zhì)檢)設(shè)向量設(shè)向量a與與b的夾角為的夾角為，定義，定義a與與b的的“向向量積量積”：ab是一個(gè)向量，它的模是一個(gè)向量，它的模|ab|a|b|sin，若若a(，1)，b(1，)，則，則|ab|()A.B.2C.2D.42021/4/226答案：答案：B解析：解析：2021/4/2276.(2009福建高考福建高考)若若abi(i為虛數(shù)單位，為虛數(shù)單位，a，bR)，則，

11、則 ab.答案：答案：2即即1iabi，a1，b1，ab2.解析：解析：2021/4/2287.(2009湖南高考湖南高考)如圖，兩塊斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板拼在一如圖，兩塊斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板拼在一起，若起，若則則x，y.2021/4/229解析：解析：2021/4/230設(shè)設(shè)則由題意：則由題意：又又BED60，顯然顯然的夾角為的夾角為45.由由得：得：1cos45(x1)12.x同理，在同理，在兩邊與兩邊與取數(shù)量積可得取數(shù)量積可得y答案：答案：2021/4/2318.(2010常州模擬常州模擬)給出以下四個(gè)命題：給出以下四個(gè)命題：對(duì)任意兩個(gè)向量對(duì)任意兩個(gè)向量a，b都有都有|ab|a|b|；

12、若若a，b是兩個(gè)不共線的向量，且是兩個(gè)不共線的向量，且a2b(1，2R)，則，則A、B、C共線共線121；若向量若向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，則，則ab 與與ab的夾角為的夾角為90；若向量若向量a、b滿足滿足|a|3，|b|4，|ab|則則a，b 的夾角為的夾角為60.其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)是其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)是.2021/4/232解析：解析：命題左邊命題左邊|ab|a|b|cos(為為a、b夾角夾角)，當(dāng)，當(dāng)cos1時(shí)，時(shí)，|ab|a|b|故錯(cuò)誤；故錯(cuò)誤；命題若命題若A、B、C共線，共線，若若121，22021/4/233A、B、C共線，則正確共線，則正確.易知正確，易知

13、正確，命題命題|ab|兩邊平方兩邊平方|ab|13，即即a2b22ab13，2ab13|a|2|b|212，ab60，a與與b夾角為鈍角夾角為鈍角.答案答案:2021/4/2349.(2009浙江高考浙江高考)在在ABC中，角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為所對(duì)的邊分別為a， b，c，且滿足，且滿足(1)求求ABC的面積；的面積；(2)若若c1，求，求a的值的值.2021/4/235解：解：(1)因?yàn)橐驗(yàn)樗运杂钟捎钟傻玫胋ccosA3，所以，所以bc5.因此因此SABCbcsinA2.(2)由由(1)知，知，bc5.又又c1，所以，所以b5，由余弦定理，得由余弦定理，得a2b2c22bccosA20，所以所以122021/4/23610.(2010淮安模擬淮安模擬)已知：已知：A(5,0)，B(0,5)，C(cos，sin)， (0，).(1)若若，求，求sin2；(2)若若求求的夾角的夾角.2021/4/2372(1)(cos5,sin),(cos,sin5).,cos (cos5)(sin5)0,1sincos,51(sincos),2524sin2;25 ACBCACBCA