第14不定問題分析

1、網(wǎng)學(xué)天地（）提供第十四章靜不定問題分析§14-1引言§14-2用力法分析靜不定問題§14-3對稱與稱靜不定問題分析§14-4平面剛間受力分析§14-5位移法概念簡介）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供§14-1引言回顧：我們解決過的簡單靜不定問題：特點與解法特點: 一根桿件 桿件存在多余的外部約束，而且通常是1度靜不定解法: 解除多余約束，代之以約束反力，明確變形協(xié)調(diào)條件； 利用計算桿件變形的疊加法，將變形協(xié)調(diào)條件表示為外載和多余約束反力之間的協(xié)調(diào)條件，得到補充方程。）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供復(fù)雜的靜不定問題：

2、結(jié)構(gòu)復(fù)雜，桁架、梁桿結(jié)合體等 多余約束數(shù)目較多，靜不定度高 多余約束的類型（靜不定形式）多樣。復(fù)雜靜不定問題的分類：外力靜不定（僅在結(jié)構(gòu)外部存在多余約束）內(nèi)力靜不定（僅在結(jié)構(gòu)內(nèi)部存在多余約束）混合(一般)靜不定）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供¾外力靜不定FqFq外1度（平面）約束力分量個數(shù)：外3度（平面）外6度（空間）平面固定鉸2平面活動鉸1空間球形鉸3平面固定端3空間固定端6）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供¾(平面桁架)內(nèi)力靜不定FF內(nèi)1度內(nèi)2度= m - ( 2n 3 )靜不定度m : 桿數(shù)；n ：節(jié)點數(shù)）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供&#

3、190;(平面剛架)內(nèi)力靜不定qq內(nèi)3度FN斷開：內(nèi)力靜定剛性連接：多了三個內(nèi)部約束FF內(nèi)6度單閉口的平面剛架或曲桿內(nèi)3度靜不定網(wǎng)學(xué)天地（）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（）提供FF6度內(nèi)力靜不定FF5度內(nèi)力靜不定加一中間鉸減少一度靜不定F2度內(nèi)力靜不定FFF4度內(nèi)力靜不定,加一根二力桿增加一度靜不定）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供¾混合靜不定FF1（內(nèi)）1（外） 2 度3（內(nèi)）3（外） 6 度梁：外3環(huán)：內(nèi)3梁環(huán)接觸：13+3+1=7 度F圓環(huán)）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供¾梁桿結(jié)構(gòu)的靜不定問題(a)(b)(a): 內(nèi)2度(b): 內(nèi)1度(c): 2度(c)

4、）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供§14-2用力法分析靜不定問題¾幾個概念：44基本系統(tǒng)： 解除多余約束后的靜定結(jié)構(gòu)（靜定基）相當(dāng)系統(tǒng)： 作用有載荷和多余反力的基本系統(tǒng)。¾力法分析要點：1、去除多余（內(nèi)外）約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)（靜定）,明確變形協(xié)調(diào)條件2、根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件建立補充方程3、確定多余未知力(多余內(nèi)力和多余外力)）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供一、外力靜不定結(jié)構(gòu)分析相當(dāng)系統(tǒng)1.解除多余的外部約束，代之以支反力在解除約束處，建立變形協(xié)調(diào)條件qqqMlARCllBFByC相當(dāng)系統(tǒng)變形協(xié)調(diào)條件：D B= 0, f B= 0網(wǎng)學(xué)天地（q Af A

5、= 0= 0）提供北航951AFBxAlB網(wǎng)學(xué)天地（）提供2. 利用載荷法和變形協(xié)調(diào)條件，得到補充方程qqAlB1BFBy載荷系統(tǒng)1相當(dāng)系統(tǒng)A變形協(xié)調(diào)條件：D B= 0, f B= 0B12載荷系統(tǒng)）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（AFBxAlB網(wǎng)學(xué)天地（）提供例 1 ： 已 知 外 力 偶 M0 ， 求 水 D平BH位移。RM0B解：（1）先求支反力qAODBV=0構(gòu)造相當(dāng)系統(tǒng)，確定 變形協(xié)調(diào)條件F(a)B配置法）彎矩載荷（本題第一次利用載荷M (q) = FB R (1 - cos q) - M0M (q) = R (1 - cos q)RqBAO1péF R (1 - cos q) -

6、 Mù R (1 - cos q) Rdq1òD=ë0 û(b)BVBEI0æ Fö13 p - M2M 0=R p=F=R 320EI ç÷B0Bè2ø3R）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供(2)求 DBH（本題第二次利用載荷法）RM0BqAO討論：選取哪種載荷系統(tǒng)?FBRRqq11AOBAOBFB'(a)(b)）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供方法1:載荷加在靜定基上M (q) = 2M0 R (1 - cos q) - M03R= - (1 + 2cos q) MR

7、q031M(q) = -R sinqB端的水平位移為AOB(c)()p éùM-R sin qRdq+ q1 2cos 3= 1 òD-êë0 úBHEI0ûR2Mpò=sin q + sin 2q Rdq 03EI02= 2M0R）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供方法2:載荷加在載非靜定基上載荷系統(tǒng)的 F '解靜不定問題，求RBq41F='AOBB3pFB'(d)4()()R(1-cosq) - RsinqMq = F R 1-cosq - Rsinq =''B3p

8、(1+ 2cosq)2MM(q) =R(1-cosq) - M= - 03RM003）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供例2：已知EI為常數(shù)，求qA1、去除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)MMAlBAB2、利用變形協(xié)調(diào)條件載荷法求Hc和lM ( x ) = æ M - Hö xHCDCCC= 0çC ÷11lèøM ( x ) = - x11lABM ( x ) = - xM ( x ) = - Hx2C222lx1éùl æ H- M ö x1lòòxD=*x dx +Hx *

9、x dxçC÷111ê2 ú21CC22EIèløMëû00CD= 0H=CC2l）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供載荷法求qA 。結(jié)構(gòu)的彎矩方程為：2. 第二次利用1AlBM ( x ) = - MMxM ( x ) =x12212l2llx1x2M ( x ) = 1 x - 1M ( x ) = 0C211lMx *æ 1 x- 1ö dx = -1Mllòq=由1法：載荷1ç l1÷1AEI2l12EIèø0lAB自行驗證將基上，

10、應(yīng)用力偶載荷加在非靜定載荷法求qA的結(jié)果lC）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供二、內(nèi)力靜不定結(jié)構(gòu)分析切開提供多余內(nèi)部約束的桿件，代之以截面上的內(nèi)力相當(dāng)系統(tǒng)利用切開截面的相對廣義位移為零，利用立變形協(xié)調(diào)條件載荷法建FFmDf= 0= 0= 0m / m 'mm / m 'qm / m '）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供例3：圖示桁架，各桿EA相同，求各桿軸力。a4a解：靜不定度：21P87a538 - 2´5 + 3 = 1內(nèi)力靜不定度：61、去除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)4m21N7P2、建立補充方程(找變形協(xié)調(diào)條件)N7853m6Dm / m&

11、#162;= 0）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供421NP7N78536412118536）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（liNiNi12a- 2P02aP03a- 2 N- P27- 224a- 2 N27-225a- 2 N27- 226a- 2 N- P27-2272aN7182aN7 +2P1網(wǎng)學(xué)天地（）提供8= åNi Ni liDm / m¢a4aEA(2 +i =1a21=2 )N+ (2 +2 )P = 0P877EAa532 P6= -N721114442121218 38 385553666）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供思考2：求BD桿的

12、轉(zhuǎn)角，正確的載荷系統(tǒng)是 DDAA1aF1aBBCC( A)DADADA221a2a2a1a22BCCC2a2aBB( B)(C )( D)答：C、D）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供分析（1）載荷法求解的是原結(jié)構(gòu)在原載荷下的BD轉(zhuǎn)角,而不是靜定基（C或D）在載荷下的BD轉(zhuǎn)角。DA1 22a622aCB(C )DA122a622aCB( D)（2）盡管不同的靜定基在同樣位載荷法計算出的BD轉(zhuǎn)角卻是相同的網(wǎng)學(xué)天地（載荷作用下的內(nèi)力FNi不同，但按單6å1 + 2 21q=F F l = -NiNi iEAi =1 北航951）提供iliFN iF Ni1a3 -2 F4 1 2a

13、22a2 - 32 F403a3 -2 F4- 1 2a42a2 +2 F4- 22a5a3 -2 F412a6a- 1 +2 F4 1 2ailiFN iF Ni1a3 -2 F4022a2 - 32 F422a3a3 -2 F4- 1a42a2 +2 F405a3 -2 F406a- 1 +2 F40網(wǎng)學(xué)天地（）提供例4：已知I=Aa2/10,求桿CH的軸力以及節(jié)點H的垂直位移aa解：¾求CH桿的軸靜不定度：DBCEAHFEIEIa組合梁：1度內(nèi)力靜不定去除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)AEI1、2、建立補充方程(找變形協(xié)調(diào)條件)DBD= 0Cm / m¢FNFNAHP）提供北

14、航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供x2x1建立相當(dāng)系統(tǒng)：DBCFN= FNR= RFRBANBD2RDFM (x ) = FNM (x ) =Nx ,xHF112222x3M (x ) = (F- F )x ,3N3載荷狀態(tài)：DBC11M ( x1 ) = 2 x1M ( x2 ) = 2 x211HM ( x ) = x33Aa3a31FaDm-m'=2 ´ N ´+ (FN- F ) ´ +FNEI433EAF= 5 FD= 0Nm / m¢9）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供aaØ 求節(jié)點H的垂直位移：DBCEAHFEIE

15、Ia將載荷加在基本系統(tǒng)上AEIM ( x ) = 0M ( x ) = 012M ( x3 ) = - x3DBCAH1a4Fa31fH = EI ò (FN - F )=27EI30）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供作業(yè)分析：1320DqDqBAF MeA,B橫截面上加何種外力使二截面恰好密合？一般地，設(shè)需要在AB截面上加在集中力F和集中力偶Me使AB面密合兩個條件需同時滿足方能密合：Dq ´ R（1）AB相對位移為Dq（1）A網(wǎng)B相學(xué)天對地轉(zhuǎn)（）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（）提供DqDqDqBABABA11F Me= R (

16、1- cosq )M (q ) = Me+ FR (1- cosq )Mq = 1MF12p1EI ò02pq =M (q )M (q )RdqD =ò0M (q )MF (q ) Rdq EIq 1 EI2p1* éM+ FR (1- cosq )ùRdq= 1 EIò2p=éM+ FR (1- cosq )ùR (1- cosq ) Rdqòëëûûee00=EIDqF = 0=Me2p R）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供§14-3對稱與稱靜不定問題分

17、析 高度靜不定問題的求解較為繁瑣 如果研究對象是對稱結(jié)構(gòu)，加在對稱結(jié)構(gòu)上的載荷又是對稱或稱的，那么靜不定問題的求解將會簡化¾基本概念4對稱結(jié)構(gòu)：形狀、截面、材料性質(zhì)、支持方式等沿對稱面對稱。對稱面）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供4對稱載荷：作用位置、方位與指向?qū)ΨQ，數(shù)值相等的載荷作用在對稱面上的集中載荷是對稱載荷稱載荷：作用位置與方位對稱，數(shù)值相等，指向4稱的載荷作用在對稱面上的集力偶荷是稱載荷PPPMMMMFFFF沿對稱面對折后， 載荷完全重合網(wǎng)學(xué)天地（沿對稱面對折后，載荷大小相同，方向相反）提供北航951PMP網(wǎng)學(xué)天地（）提供¾對稱定律FFF）提供北航951網(wǎng)

18、學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供4對稱載荷作用時對稱面上的變形與受力特點：aaaaFFFF對稱面變形特征：DC = 0 , qC = 0SC = 0對稱面內(nèi)力特征：Fz利用對稱性，可直接確定某（些）多余未知力，簡化計算.D C = 0,qC= 0, 可以唯一確定對稱內(nèi)力z利用對稱變形條件FN C , MC .，（例如取左半結(jié)構(gòu)為研究對象)）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（CAC ¢BCAMCFN CMCFN CB網(wǎng)學(xué)天地（）提供稱作用時對稱面上的變形與受力特點：MMCMCMC ¢FS CABABFS Cf C = 0內(nèi)力特征： F NC = 0 , MC = 0變形特征：z利用稱變形條件f

19、 C = 0 ，可以唯一確定稱內(nèi)力FSCz在結(jié)構(gòu)對稱點C，對稱加載情形，可直接確定一個內(nèi)力，稱加載情形，可直接確定兩個內(nèi)力。）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供F例：已知圓環(huán)EI，求B、D相對位移dBAC解：（1）建立相當(dāng)系統(tǒng)R結(jié)構(gòu)和載荷關(guān)于AC對稱，故A、C截面上剪力為零；又A、C關(guān)于載荷對稱，故A、C截面上的內(nèi)力相等（其中軸力F/2)DFF2BjFBBRoAoAACMM AAF2F2qq=0= 0）提供北航951q= 0BAA網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供載荷法，計算MB解：（2）利用F2BjM BF2M (j ) = MR sin j-BM (j ) = 1oApæj 

20、46;1- FòqR sin÷ Rdj =2 ç MB0BEIè2ø0B1R æ p- 1 FR ö = 0MEI ç 2÷Bè2øjoAFR æ 1 - sin j öM= FR , M (j ) =ç p÷pBè2ø）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供（3）計算 DBDF2B1利用 4 圓環(huán)MB- sin j öM (j ) = FR æ 1jç p÷Rè2ø

21、;oAM (j ) = - R sin jD B= 2D BD1Bpsinj öæ 122 (- R sinj ) FR ç-ò÷ Rdj=è pEI2ø0jRFR34p EIFR3(p 2- 8) = 0.149=oAEI）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供例：小曲率圓環(huán)，B端固定，A端受力F已知R,EI.求A截面內(nèi)力.F2F2AFFAARRRBBBF2F2F2FR2FRF2A稱軸AB上FSjMA = 0,FNA = 0,f A = 0）提供北航951FS內(nèi)力特征未知力B變形特征:網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供F2ARs

22、inj -1FR(1-cosj)M(j)= FFSjS2M(j)= RsinjBp1j )M(j )Rdj= 0M(òEI 0AR3 p111j3×-FR ×2)=0(FSEI22= 2FFSpB）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供F例：對稱還是稱問題？a2雙對稱軸問題FFa2雙稱軸問題a2a22F- 2F cos45° = 0F FS2 FFSF=S2F一類雙稱軸問題可僅用平衡條件求解FS）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供例：對稱還是稱問題？FF2對稱問題F2稱問題F中間桿的內(nèi)力是多少？）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供結(jié)構(gòu)對稱、

23、載荷不對稱的問題F2FFF222F+=FxFFxFyFy結(jié)論:結(jié)構(gòu)對稱、載荷不對稱的平面結(jié)構(gòu)問題可分解為一個對稱與一個網(wǎng)學(xué)天地（稱問題。）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（）提供結(jié)構(gòu)不對稱、載荷也不對稱的問題F2F2FF+=）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（2F2網(wǎng)學(xué)天地（）提供改錯 ：求C點支反力與鉛垂位移 DcvF2F 1CFNx1aa22x214a=FFNF1414對不對？不對！配置( x 1 ) =) =12F a -Mx 1 , M( xF x222) =) =1M( xx, M ( xa112的載荷11211aaòòD=Fx2dx +- Fax dx )( Fa28Fa3系統(tǒng)必須

24、能夠靜力平衡CH122EIEI8003= Fa111+-) =(網(wǎng)學(xué)E天I 地4（8）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（）提供F21x1a2x2a121414( x ) =, M ( x ) =Fa -MFxFx1122( x ) = 1 a -12( x ) =Mx, Mx11222a20112FaòòD=Fx 2 dx+( a - x) 2 dxCV 1122EI 8 EI 0Fa 3=網(wǎng)學(xué)天1地6（E）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（）提供對稱與稱靜不定問題的幾個要點 對稱與稱靜不定問題都是基于對稱結(jié)構(gòu)而言的，對稱結(jié)構(gòu)上作用一般載荷往往可以分解為對稱載荷和的疊加稱載荷 利用內(nèi)力的對稱與

25、稱性，直接確定對稱面上的若干內(nèi)力為零，以部分結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)建立相當(dāng)系統(tǒng)，以對稱面的變形特點為協(xié)調(diào)條件，求解對稱面上剩余的未知內(nèi)力 利用對稱與稱性，只是簡化了對稱結(jié)構(gòu)靜不定問題的求解過程，并沒有降低結(jié)構(gòu)的靜不定度）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供§14-4平面剛間受力分析 平面剛架軸線位于同一平面的剛架 面內(nèi)加載外載荷位于剛架軸線平面內(nèi)（已研究） 面外加載外載荷位于垂直于剛架軸線平面ABqqAFBMMCDCDF（a）平面剛架面內(nèi)加載（b）平面剛架面外加載）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供面外加載時變形與受力的特點:qEAAAyyFM

26、MMFFeeeSySyMzxxTTBBBBCFNzSzMyDzC位移小變形時,橫截面形心在軸線平面內(nèi)的位移（軸線的面內(nèi)變形）忽略不計內(nèi)力六個內(nèi)力分量中, 凡面內(nèi)的內(nèi)力分量（軸力FN、面內(nèi)剪力 FSz與面內(nèi)彎矩My）忽略不計反力作用在軸線平面內(nèi)的支反力與支反力偶矩忽略不計）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（CD網(wǎng)學(xué)天地（）提供一般載荷分解及面內(nèi)、面外內(nèi)力分量:*MyFy*F *MzzMF *MxxM yFSyFNTMxFSF面外內(nèi)力與面外約束力分量面內(nèi)內(nèi)力與面內(nèi)約束力分量一般載荷的分解結(jié)論：作用于平面結(jié)構(gòu)的載荷總可分解為面內(nèi)與面外載荷，分別引起面內(nèi)與面外內(nèi)力，可以解耦計算。）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天

27、地（）提供面外載荷與面內(nèi)載荷對稱問題的比較面內(nèi)載荷對稱問題aaFFSC = 0對稱面上內(nèi)力特征： F）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（CABMCFNCMCFNC網(wǎng)學(xué)天地（）提供面外載荷對稱問題zAFBFsz M xFszM xTyaFyoTTeeTyxMeMe= 0, M zC= 0, FS Cx = 0對稱面上的面內(nèi)內(nèi)力：FN C= 0,TC = 0FS Cz對稱面上的面外內(nèi)力特征：q Cx= 0變形特征：）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供例：已知EI，GIP，求C點內(nèi)力MCx 及鉛垂位移zAFBFaa2yoCCMCxa 2a 2a 2x分析：待求未知量MCx變形條件：qCx = 0）提供北

28、航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供1).求MCXF2ax2x1MCX1C- 1 FxM( x ) =- 1 Fx- 1 Fa4M( x ) = MT( x ) = M1M ( x1 ) = 1CX1222CX22M ( x) = 0T( x ) = 122a 2òM( xaT ( x11q=)dx +)T ( x )dx= 0)M ( xò111222CXEIGI0p 0(GI+4EI )Fa=pMCX8(GI p +2EI )）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供D C V2).求鉛垂位移F2a1x2x1MCXCM(x )= M-1FxM(x )=-1FxT(x )=

29、 M-1Fa1Cx1222Cx224()M( x )=-xT(x )=-a2M x=-x12212a 2ò (Ma 1 Fxa(M- 1 Fx- 1 Fa)×1adx1112dx -D= -)x dx +EI òEI2òCx11122CxCV2242GI00p 0= -( 1 +1)M 8EI2GI pa2 +( 3+1)Fa3 16EI8GI pCx）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供面外載荷的稱問題zABaaM0yToCCa 2a 21a 2M20xFCz=對稱面上面內(nèi)內(nèi)F0 , M0 ,F0NCz CSCx力：對稱面上面外內(nèi)力特征：= 0MC x DCz = 0, qCy = 0變形特征：）提供北航951網(wǎng)學(xué)天地（網(wǎng)學(xué)天地（）提供例：求圖示結(jié)構(gòu)C點內(nèi)力aa22CTCM 0M 0yFsczxz=分析：面內(nèi)內(nèi)力F0, F0, M0N C S C yc z面外內(nèi)力M0(稱)cy未知力（偶） F scz