二次根式講義

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 教學(xué)情況記錄表課程類別同步 串講 其他 （請(qǐng)注明類別:_）本次課授課目標(biāo)1、 了解二次根式和最簡二次根式的概念2、 理解二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)實(shí)數(shù)的簡單四則運(yùn)算3、 會(huì)確定二次根式有意義的條件教學(xué)重點(diǎn)二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)實(shí)數(shù)的簡單四則運(yùn)算教學(xué)難點(diǎn)二次根式的混合運(yùn)算教學(xué)步驟及內(nèi)容1、 錯(cuò)題回顧2、 知識(shí)總結(jié)1、 二次根式的概念（例1）一般地，我們把形如的式子叫做二次根式.在二次根式中，可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)代數(shù)式，但不管是什么形式，作為被開方數(shù)的必須滿足，當(dāng)時(shí)，二次根式無意義.也就是說，當(dāng)被開方數(shù)時(shí)，二次根

2、式才有意義.注意：二次根式的兩個(gè)基本特征：一是根指數(shù)為2，二是被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).比如等均是二次根式，而像等均不是二次根式.2、 二次根式的性質(zhì)（例2）（1） 二次根式的非負(fù)性，即，這一性質(zhì)也是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根.（2） 一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方是它本身，即.把公式反過來就得到了式子，也就是說，逆用這一性質(zhì)，可以把任何一個(gè)非負(fù)數(shù)寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式.（3） 任意一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于它本身的絕對(duì)值，即.3、 積的算術(shù)平方根的性質(zhì)（例3）積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積，即注意：（1）在這個(gè)性質(zhì)中，可以是實(shí)數(shù)，也可以是代數(shù)式，但不管是實(shí)數(shù)，還是代數(shù)式，

3、都必須使二次根式有意義，即.要防止出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤.（2） 另外該性質(zhì)并非局限于被開方數(shù)為兩個(gè)因數(shù)，它可以推廣到更多個(gè)，如.(3) 如果一個(gè)二次根式的被開方數(shù)比較大，可以運(yùn)用該性質(zhì)將其分解為若干個(gè)，再分別運(yùn)用化簡二次根式.4、 商的算術(shù)平方根的性質(zhì)（例4）商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：商的算術(shù)平方根等于被除數(shù)的算術(shù)平方根與除數(shù)的算術(shù)平方根的商，即可以簡單地說：商的算術(shù)平方根等于算術(shù)平方根的商.注意：（1）在運(yùn)用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)解決有關(guān)計(jì)算時(shí)，一定要準(zhǔn)確把握性質(zhì)成立的條件，即被開方數(shù)的分子為非負(fù)數(shù)，而分母大于0.(2)如果被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先化成假分?jǐn)?shù)，如必須先化成，注意；如果被開方數(shù)是小數(shù)，應(yīng)先化

4、成分?jǐn)?shù)，如必須先化成5、最簡二次根式（例5）定義：一般地，如果一個(gè)二次根式滿足下面兩個(gè)條件，那么，我們把這樣的二次根式叫做最簡二次根式.(1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式如都是最簡二次根式.要注意分母中不能含有根號(hào)，如不是最簡二次根式.把二次根式化為最簡二次根式時(shí)，當(dāng)被開方數(shù)為小數(shù)或分?jǐn)?shù)時(shí)，可運(yùn)用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)變形，使被開方數(shù)化為整數(shù)；當(dāng)被開方數(shù)為整數(shù)時(shí)，可以把它分解因數(shù)，再運(yùn)用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)變形，化為最簡二次根式.6、 二次根式的乘法和除法（例6）（1） 把積的算術(shù)平方根的性質(zhì)反過來寫為，則為二次根式的乘法法則，即二次根式相乘，把被

5、開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變.二次根式的乘法法則可推廣到多個(gè)二次根式進(jìn)行相乘的運(yùn)算，如.二次根式前面有系數(shù)時(shí)，可類比單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算，即系數(shù)之積作為積的系數(shù)，被開方數(shù)之積作為被開方數(shù).（2) 把商的算術(shù)平方根的性質(zhì)反過來寫為，則為二次根式的除法法則，即二次根式相除，就是把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.注意：二次根式的乘、除法法則和積的算術(shù)平方根、商的算術(shù)平方根的性質(zhì)互為逆運(yùn)算，在計(jì)算和化簡二次根式時(shí)可結(jié)合題目靈活運(yùn)用，但始終要注意法則與性質(zhì)成立的條件.7、 分母有理化(例7）定義：把分母中的二次根式化去，叫做分母有理化.例如注意：（1）有理化因式：兩個(gè)含有根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有

6、根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式.(2） 分母有理化的依據(jù)：分式的基本性質(zhì).(3） 分母有理化的方法：將分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的二次根式.(4） 分母有理化因式不唯一，但以運(yùn)算最簡便為宜，如的有理化因式是.8、 二次根式的合并（例8）合并被開方數(shù)相同的二次根式，把系數(shù)相加減，根指數(shù)和被開方數(shù)不變.方法與整式加減運(yùn)算中的合并同類項(xiàng)類似，例如.二次根式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的要化成假分?jǐn)?shù)的形式.9、 二次根式的加減法（例9)二次根式的加減法法則：二次根式的加減運(yùn)算，就是將被開方數(shù)相同的項(xiàng)進(jìn)行合并。為此，首先應(yīng)將每個(gè)二次根式化為最簡二次根式，然后將被開方數(shù)相同的最簡二次根式的項(xiàng)進(jìn)行合

7、并.可簡單地概括為：先化簡，后合并.注意：（1） 二次根式的加減實(shí)際上就是合并被開方數(shù)相同的二次根式，因此在進(jìn)行二次根式加減時(shí)，能否準(zhǔn)確化簡二次根式是關(guān)鍵.化成最簡二次根式后，被開方數(shù)不同的二次根式不能合并，如就是最簡結(jié)果，不能再合并.（2） 二次根式的加法也滿足加法交換律和結(jié)合律.10、 二次根式的混合運(yùn)算（1） 運(yùn)算順序：與數(shù)、整式和分式的混合運(yùn)算一樣，二次根式的混合運(yùn)算，也應(yīng)先算乘除，后算加減；有括號(hào)時(shí)，先算括號(hào)內(nèi)的.（2） 二次根式混合運(yùn)算的結(jié)果應(yīng)寫為最簡形式，這個(gè)形式可以是最簡二次根式，也可以是幾個(gè)非同類最簡二次根式的和或差.（3） 在運(yùn)算過程中，每個(gè)二次根式都可以看成是一個(gè)“單項(xiàng)式

8、”，因此實(shí)數(shù)運(yùn)算中的運(yùn)算律（結(jié)合律、交換律、分配律等）和所有的乘法公式（平方差公式、完全平方公式等）在二次根式的運(yùn)算中仍然適用.三、例題講解 1、下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？（1） ；（2）；（3） （4）2、 化簡：（1）；（2）；（3）；（4）3、 化簡：（1）；（2）4、 化簡：（1）；（2）5、 化簡6、 計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）7、 把下列各式分母有理化：（1） ；（2）.8、 合并被開方數(shù)相同的二次根式：（1） ； （2）9、 （1）；（2)10、 （1）（ （2）4、 中考鏈接1、 若實(shí)數(shù)滿足，則_2、 計(jì)算=_3、 計(jì)算_4、 計(jì)算_5、 計(jì)算：_6、 _7、 _8、先化簡，再求值：，其中9、計(jì)算：（1) (2)10、計(jì)算：（1） （2）5、 鞏固提高1、化簡的結(jié)果是（ )A.10 B.2 C. D.202、計(jì)算_3、計(jì)算_4、計(jì)算_5、計(jì)算：_6、計(jì)算：_7、計(jì)算_8、計(jì)算：（1）（2）9、（岳陽）下列二次根式中屬于最簡二次根式的是（ ）A B C D10、如果，那么（ ）Ax0 Bx6 C0x6 Dx為一