奧本信號課件

1、與主 講 教 師： 趙 仕 良第2章線性時不變系統(tǒng)Linear Time-Invariant Systems系統(tǒng)信號信號與系統(tǒng)主 講 教 師： 趙 仕 良本章主要內(nèi)容：信號的時域分解用d (n)表示離散時間信號；用 d (t) 表示連續(xù)時間信號。LTI系統(tǒng)的時域分析卷積與卷積和。LTI系統(tǒng)的微分方程及差分方程表示。LTI系統(tǒng)的框圖結(jié)構(gòu)表示。奇異函數(shù)。信號與系主講教由于LTI系統(tǒng)滿足齊次性和可加性，并且具有時不變性的特點(diǎn)，因而為建立信號與系統(tǒng)分析的理論與方法奠定了基礎(chǔ)。師： 趙 仕 良基本思想：如果能把任意輸入信號分解成基本信號的線性組合，那么只要得到了LTI系統(tǒng)對基本信號的響應(yīng)，就可以利用系統(tǒng)

2、的線性特性，將系統(tǒng)對任意輸入信號產(chǎn)生的響應(yīng)表示成系統(tǒng)對基本信號的響應(yīng)的線性組合。統(tǒng)2.0 引言 ( Introduction )信號與系統(tǒng)主 講 教 師： 趙 仕 良問題的實(shí)質(zhì)：（1）.研究信號的分解：即以什么樣的信號作為構(gòu)成任意信號的基本信號單元，如何用基本信號單元的線性組任意信號；（2）. 如何得到LTI系統(tǒng)對基本單元信號的響應(yīng)。要求：（1）.本身盡可能簡單，并且用它的線性組合能夠表示（）盡可能廣泛的其它信號；（2）.LTI系統(tǒng)對這種信號的響應(yīng)易于求得。信號與系統(tǒng)如果解決了信號分解的問題，即：若有主 講 教 師： 趙 仕 良x(t) = å a x (t)xi (t) ®

3、; yi (t)ii¯iy(t) = å ai yi (t)則i分析方法：將信號分解可以在時域進(jìn)行，也可以在頻域或變換域進(jìn)行，相應(yīng)地就產(chǎn)生了對LTI系統(tǒng)的時域分析法、頻域分析法或變換域分析法。信號與系統(tǒng)主 講 教 師： 趙 仕 良（Discrete-Time LTI Systems:The ConvolutionSum）一.用脈沖表示離散時間信號離散時間信號中,最簡單的是d (n ),可以由它的線u (n)，即：性組合¥u(n) = åd (n - k)k =0對任何離散時間信號 x(n) ,如果每次從其中取出一個點(diǎn)，就可以將信號拆開來，每次取出的一個點(diǎn)

4、都可以表示為不同、不同位置的脈沖。2.1離散時間LTI系統(tǒng)：卷積和信號與主 講 教 師： 趙 仕 良系統(tǒng)信號與系統(tǒng)¥x(n) = å x(k)d (n - k)于是有：主 講 教 師： 趙 仕 良k =-¥表明：任何信號x(n)都可以被分解成移位位脈沖信號的線性組合。的單卷積和（Convolution sum）二.1.數(shù)學(xué)上卷積和（卷和）的定義：（Theconvolution sum）¥¥f1n* f2 n = å f1k f2n - k = å f2 k f1n - k k =-¥f1n 和k =-¥的

5、卷積和（卷和）將上式稱為f2n信號與系統(tǒng)h(n)( impulse response2.脈沖響應(yīng))主 講 教 師： 趙 仕 良離散LTI系統(tǒng)對 d (n)的響應(yīng)稱為脈沖響應(yīng)。3.如果一個線性系統(tǒng)對 d (n - k) 的響應(yīng)為 hk (n)，x(n)的響應(yīng)為由線性特性就有系統(tǒng)對任何輸入y(n) = å x(k )hk (n)k =-¥若系統(tǒng)具有時不變性，即：¥d (n - k ) ® h(n - k )若 d (n) ® h(n) ，則¥因此，y(n) = å x(k)h(n - k) = x(n) * h(n)k =-&#

6、165;信號與系統(tǒng)三.卷積和的計算主 講 教 師： 趙 仕 良計算方法：有圖解法、列表法、法（包括數(shù)值解法）、用公式和性質(zhì)來計算卷和、利用Z變換來計算卷和有限序列相卷用列表的方法。運(yùn)算過程：將一個信號 x(k)不動，另一個信號經(jīng)反轉(zhuǎn)后成為 h(-k ),再隨參變量 n 移位。在每個 n值的情況h(n - k)對應(yīng)點(diǎn)相乘，再把乘積的下，將 x(k) 與各點(diǎn)值累加，即得到 n 時刻的y(n)。h(n) = u(n)例1： x(n) = a nu(n)0 < a < 1信號與y(n) = x(n) * h(n)主 講 教 師： 趙 仕 良¥¥= å x(k)

7、h(n - k) = å a k u(n - k)u(k)k =-¥k=-¥= 1-a n+1u(n)n= åk =0a k1-ax(k ) = a ku (k )1h(n - k ) = u (n - k )kn00系統(tǒng)1.k信號與系統(tǒng)0 £ n £ 4otherwisex(n) = ì1主 講 教 師： 趙 仕 良例2：íî0a > 1, 0 £ n £ 6otherwiseìa nh(n) = íî 0h(n - k ) = a n-kx(k

8、)knn - 60401k信號與系統(tǒng)n < 0y(n) = 0y(n) = åa n-k時，主 講 教 師： 趙 仕 良nn= a n åa - k0 £ n £ 4時，k =0k =01- a -(n +1)1- a n +1= a×n=1- a -11- a4 £ n £ 61- a -54時，y(n) = åan -k= a×1- a -1nk =0= a n- 4 - a n+11- aa n-4-a 746 £ n £ 10 時，å a n- ky(n) =1

9、 -ak =n -6y(n) = 0n > 10時，信號與系統(tǒng)通過圖形幫助確定反轉(zhuǎn)移位信號的區(qū)間表示，對于確定卷積和計算的區(qū)段及各區(qū)段求和的上下限是很有用的。主 講 教 師： 趙 仕 良例3.列表法（或借助于數(shù)學(xué)的乘法）分析卷積和的過程，可以發(fā)現(xiàn)有如下特點(diǎn)：x(n)與 h(n)的所有各點(diǎn)都要遍乘一次；¥å x(k )h(n - k ) ，在遍乘后，各點(diǎn)相加時，根據(jù)k =-¥x(k) 與 h(n - k)的宗量之參與相加的各點(diǎn)都具有和為 n的特點(diǎn)。信號與系統(tǒng)x(0)1x(1)0x(2)2x(3)1主 講 教 師： 趙 仕 良h(n)x(n)h(-1)h(0)h

10、(1)h(2)h(3)12031y(4)00002406120312031y(-1)y(0)y(1)y(2)y(3)021y(5)y(6)優(yōu)點(diǎn)：計算非常簡單。缺點(diǎn)：只適用于兩個有限長序列的卷積和；一般情況下，無法寫出 y(n)的封閉表達(dá)式。信號與系統(tǒng)四、卷積和常用公式主 講 教 師： 趙 仕 良n n+1 -n n+1n nu(n) *n nu(n) = 12u(n)2n -n112n nu(n) *n nu(n) = (n +1)n nu(n)五、h(n) 的計算方法利用Z變換來計算用算符法來計算信號與系統(tǒng)連續(xù)時間LTI系統(tǒng)：卷2.2主 講 教 師： 趙 仕 良一.用沖激信號表示連續(xù)時間信號

11、與離散時間信號分解的思想相一致，連續(xù)時間信號應(yīng)該可以分解成一系列移位的沖激信號的線性組合。至少t階躍與沖激之間有這¥òt )dt = ò0d (t - t )dtd (u (t ) =種關(guān)系：-¥對一般信號 x(t)，可以將其分成很多D 寬度的區(qū)x(t)。當(dāng) D®0段，用一個階梯信號xD (t) 近似表示xD (t ) ® x(t )時，有（Continuous-Time LTI Systems:The convolution integral ）信號與系統(tǒng)x(t)主 講 教 師： 趙 仕 良x(kD)xD (t)tDkD(k +1)

12、D0(t) = ì1/ D0 < t < Dotherwise，即：dd(t)íDD0î0 < t < Dotherwise(t) = ì1則有： Ddí0Dî信號與系統(tǒng)第k個矩形可表示為：x(kD)dD (t - kD) ×D主 講 教 師： 趙 仕 良這些矩形疊加起來就成為階梯形信號xD (t)，¥即： x (t) = å x(kD)d (t - kD) × DDDk =-¥D ® dtå® òD ® 0kD

13、 ® t當(dāng)時，dD (t - kD) ®d (t -t )xD (t) ®x(t)¥òx(t)d(t -t)dtx(t) =于是：-¥表明：任何連續(xù)時間信號 x(t )都可以被分解成移位的沖激信號的線性組合（連續(xù)分解）。信號與系統(tǒng)*二.卷積（The convolution integral）主 講 教 師： 趙 仕 良與離散時間系統(tǒng)的分析類似，如果一個線性系統(tǒng)對d (t -t )的響應(yīng)為 h (t)，則該系統(tǒng)對x(t)的響應(yīng)可t¥òx(t )h (t )dt表示為：(=y t)t-¥若系統(tǒng)是時不變的，即：

14、若 d (t) ® h(t)，則有:d (t -t ) ® h(t -t )于是系統(tǒng)對任意輸入x(t)的響應(yīng)¥可表示為： y(t) = ò-¥ x(t )h(t - t )dt = x(t) * h(t)沖激響應(yīng)h(t)表明:LTI系統(tǒng)可以完全由它的來表征。這種求得系統(tǒng)響應(yīng)的運(yùn)算關(guān)系稱為卷積（The convolution integral）。信號與系統(tǒng)三.卷積的計算主 講 教 師： 趙 仕 良卷積的計算與卷積和很類似，也有圖解法、法和數(shù)值解法、利用公式和性質(zhì)、利用FT和LT來計算、微分沖擊法。運(yùn)算過程的實(shí)質(zhì)也是：參與卷積的兩個信號中， 一個不

15、動，另一個反轉(zhuǎn)后隨參變量 t 移動。對每一個 tx(t )和h(t -t )對應(yīng)相乘，再計算相的值，將乘后曲線所包圍的面積。通過圖形幫助確定用的。區(qū)間和上下限是很有信號與系統(tǒng)x(t) = e-atu(t) ,a > 0h(t) = u(t)例1:主 講 教 師： 趙 仕 良¥y(t) = x(t) * h(t) = ò-¥ x(t )h(t -t )¥= ò-¥ e-atu(t )u(t -t )dt1atò-at-att =(1 - eed)u(t)0u(t -t )ttt0011x(t )信號與系統(tǒng)例2 :主 講

16、教 師： 趙 仕 良0 < t < 2Totherwise0 < t < Totherwiseì1ìth(t) = íx(t) = í0î0î¥y(t) = x(t) * h(t) = ò-¥ x(t )h(t -t )dt= ò-¥ x(t -t )h(t )dt¥x(t -t )h(t )t - T002T2Tt1tt信號與系統(tǒng)y(t) = 0當(dāng) t < 0時，主 講 教 師： 趙 仕 良t1y(t) =t dt =t2ò當(dāng) 0 &

17、lt; t < T時時，201t當(dāng)T < t < 2T 時，y(t) = òt dt = Tt -T22t -T2T- 1 (t - T )22Tòt dt =y(t) =2當(dāng) 2T <t <3T 時，2t -Ty(t) = 0當(dāng) t > 3T時，3212t0T2T3TT 2T 2y(t)信號與系統(tǒng)主 講 教 師： 趙 仕 良四、常用卷積的公式el1t - el2tl1 - l2el1tu(t)* el2tu(t) =u(t)eltu(t)*eltu(t) = teltu(t)五、h(t)計算方法利用算符法來計算利用傅立葉變換和拉氏變換來

18、信號與系統(tǒng)主 講 教 師： 趙 仕 良一.卷積與卷積和的性質(zhì)1. 交換律：y (n ) = x (n ) * h (n ) =¥åx (k )h (n - k )k = -¥¥åk = -¥=x (n - k )h (k ) = h( n) * x( n)¥òx (t )h (t - t )dty (t ) = x (t ) * h (t ) =-¥¥= ò-¥x(t - t )h (t )dt= h (t ) * x (t )2.3線性時不變系統(tǒng)的性質(zhì)（ Propertie

19、s of Linear Time-Invariant Systems ）信號與系統(tǒng)主 講 教 師： 趙 仕 良h(n)x(n)h(t)y(t)x(t)y(t)Þx(n)y(n)h(n)y(n)結(jié)論：一個沖激響應(yīng)是h(t)的LTI系統(tǒng)對輸入信號x(t)所產(chǎn)生的響應(yīng)，與一個沖激響應(yīng)是x(t)的LTI系統(tǒng)對輸入信號h(t)所產(chǎn)生的響應(yīng)相同。x(t)h(t)信號與系統(tǒng)2. 分配律：主 講 教 師： 趙 仕 良x(n) *h (n) + h (n) = x(n)* h (n)+ x(n)* h (n)1212x(t) *h (t) + h (t) = x(t) * h (t) + x(t) *

20、 h (t)1212y(n) = x(n) *h (n) + h (n)x(n)12x(t )y(t) = x(t) *h (t) + h (t)12h1(t) + h2(t)Þh (t)x(n)*h1(n)1x(n)y(n)Åy(t)x(t)x(n)*h (n)h2 (t)2h2 (n)h1(n)h1(n) + h2(n)信號與系統(tǒng)結(jié)論：兩個LTI系統(tǒng)并聯(lián)，其總的脈沖(沖激)響主 講 教 師： 趙 仕 良應(yīng)等于各子系統(tǒng)脈沖(沖激)響應(yīng)之和。3.結(jié)合律:x(n) * h1(n)* h2 (n) = x(n) *h1(n) * h2 (n)x(t) * h1(t)* h2 (

21、t ) = x(t ) *h1 (t ) * h2 (t )x(t) *h1(t)y(t) =x(t)*h1(t)*h2(t)y(n) =x(n)*h1(n)*h2 (n)x(t)x(n)h (n)h (n)12h2 (t)h1(t)信號與系統(tǒng)Þx(t)主 講 教 師： 趙 仕 良y(t) = x(t) *h1 (t) * h2 (t)y(n) = x(n) *h1 (n) * h2 (n)x(n)h (n) * h (n)12結(jié)論：兩個LTI系統(tǒng)級聯(lián)時，系統(tǒng)總的沖激(脈沖)響應(yīng)等于各子系統(tǒng) 由于卷積運(yùn)算滿次序可以調(diào)換。沖激(脈沖)響應(yīng)的卷積。換律，因此，系統(tǒng)級聯(lián)的先后h1(t )

22、* h2 (t)信號與系統(tǒng)x(n) * h1 (n) * h2 (n) = x(n)* h2 (n)* h1 (n)主 講 教 師： 趙 仕 良x(t) * h (t) * h (t) = x(t) * h (t) * h (t)1x(n)221y (n)x(t )y (t )h (t )h (t)12x(n)y(n)=x(t)y(t )h2 (t )h1 (t )產(chǎn)生以上結(jié)論的前提條件：系統(tǒng)必須是LTI系統(tǒng)；所有涉及到的卷積運(yùn)算必須收斂。h1 (n)h2 (n)h2 (n)h1 (n)信號與系統(tǒng)y(t) = 2x2 (t)如： x(t)主 講 教 師： 趙 仕 良若交換級聯(lián)次序，即成為：y(

23、t) = 4x2(t)x(t)顯然與原來是不等價的。因?yàn)橄到y(tǒng)不是LTI系統(tǒng)。h1(n) = d (n) - d (n -1),h2 (n) = u( n)又如：若，雖然系統(tǒng)都是LTI系統(tǒng)。當(dāng)x(n) = 1時，如果交換級聯(lián)次序，則由于 x(n) * u(n)不收斂，因而也是不x(n) = 1y (n) = 0的。0h2 (n )h1 (n )平方乘2乘2平方信號與系統(tǒng)4. 卷積運(yùn)算還有如下性質(zhì)：主 講 教 師： 趙 仕 良卷積滿足微分、及時移特性：若 x(t) * h(t) = y(t) ，則x¢(t) * h(t) = x(t) * h¢(t) = y¢(t)t

24、ttòòòt )dt * h(t ) = x(t) *t )dt = t )dt x(h(y(-¥-¥-¥推廣情況若 x(t)*h(t) = y(t) ，則x(t -t0)*h(t) =x(t)*h(t -t0) = y(t -t0)推廣情況信號與系統(tǒng)卷積和滿足差分、求和及時移特性：主 講 教 師： 趙 仕 良若x(n) * h(n) = y(n)，則x(n) - x(n - 1)* h(n) = y(n) - y (n - 1)nnn å x(k) * h(n) = x(n) * å h(k) = å

25、y(k)k =-¥k =-¥k =-¥若x(n) * h(n) = y(n)，則x(n - n0 ) * h(n) = x(n)* h(n - n0 ) = y(n - n0 )推廣情況恰當(dāng)?shù)乩镁矸e的性質(zhì)可以簡化卷積的計算：信號與系統(tǒng)例如：2.2 中的例2微分沖擊法主 講 教 師： 趙 仕 良x¢(t) = d (t) - d (t - T )將x(t)微分一次有:h(t)x¢(t)(1)T*t0(-1)02T根據(jù)微分特性有:y¢(t ) = x¢(t ) *h(t ) = h(t ) *d (t ) - d (t -T

26、)= h(t ) - h(t -T )2Tt信號與系統(tǒng)y¢(t)主 講 教 師： 趙 仕 良2TTt2T0T3T-T-2T32利用特性即可得:tòy¢(t )dty(t ) =12-¥t03TT2TT 2T 2y(t)信號與系統(tǒng)計算：主 講 教 師： 趙 仕 良e-t+1u(t +1) * e-2tu(t - 3) = 2-n+1u(n +1) *3n u(n -1) = Pt (t)* Pt (t) =微分沖擊法的條件：（1） 相卷信號的幾次微分出現(xiàn)沖擊和沖擊的微分信號（2） 相卷信號的幾次微分出現(xiàn)和原來信號相似的波形信號與系統(tǒng)二.LTI系統(tǒng)的性質(zhì)和沖

27、擊（脈沖）響應(yīng)的主 講 教 師： 趙 仕 良沖激響應(yīng)是系統(tǒng)本質(zhì)的一種描述，現(xiàn)在研究系統(tǒng)某種特性（記憶性、可逆性、因果性、穩(wěn)定性）所對應(yīng)的沖激/脈沖響應(yīng)的體現(xiàn)。1. 記憶性：¥根據(jù) y(n) = å x(k )h(n - k )，如果系統(tǒng)是無記憶的，k =-¥則在任何時刻 n ， y(n) 都只能和 n時刻的輸入有關(guān)，和式中只能有k = n 時的一項(xiàng)為非零，因此必須有：h(n - k ) = 0,k ¹ n 即：h(n) = 0,n ¹ 0信號與系統(tǒng)脈沖/沖激響應(yīng)為：所以，無記憶系統(tǒng)的主 講 教 師： 趙 仕 良此時，x(n) * h(n) =

28、kx(n)x(t)* h(t) = kx(t)當(dāng)k = 1時系統(tǒng)是恒等系統(tǒng)。如果LTI系統(tǒng)的沖激/脈沖響應(yīng)不滿足上述要求，則系統(tǒng)是記憶的。2. 可逆性：如果LTI系統(tǒng)是可逆的，一定存在一個逆系統(tǒng)，且逆系統(tǒng)也是LTI系統(tǒng)，它們級聯(lián)起來統(tǒng)。一個恒等系h(n) = kd (n)h(t) = kd (t)信號與系統(tǒng)x(t)x(t)g(t )h(t)主 講 教 師： 趙 仕 良因此有：h(t) * g(t) = d (t)h(n) * g( n) = d( n)例如：延時器是可逆的LTI系統(tǒng)， h(t) = d (t - t0 )其逆系統(tǒng)是 g(t) = d (t + t0 )，顯然有：h(t) * g

29、 (t) = d (t - t0 )*d (t + t0 ) = d (t ) 累加器是可逆的LTI系統(tǒng)，其 h(n) = u(n) ，其逆系統(tǒng)是g(n) = d (n) - d (n -1) ，顯然也有：，h(n) * g(n) = u(n) *d (n) - d (n -1)= u(n) - u(n -1) = d (n)信號與系統(tǒng)但差分器是不可逆的。主 講 教 師： 趙 仕 良3. 因果性：¥åy (n) =x(k )h(n - k ) ，當(dāng)LTI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)由k =-¥時，在任何時刻 n ， y(n)都只能取決于n 時刻及其以前的輸入，即和式中所有k &

30、gt; n 的項(xiàng)都必須為零，h(n - k) = 0,k > n即：或:對連續(xù)時間系統(tǒng)有:這是LTI系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件。h(t) = 0,t < 0h(n) = 0,n < 0信號與系統(tǒng)4. 穩(wěn)定性：根據(jù)穩(wěn)定性的定義，由主 講 教 師： 趙 仕 良¥y(n) = å h(k )x(n - k)，k =-¥若系統(tǒng)穩(wěn)定，則要若 x(n) 有界，則 x(n - k)£ A求 y(n) 必有界，由¥¥¥å h(k) x(n - k) £ åx(n - k) £ A

31、åk =-¥y(n) =h(k)h(k)k =-¥k =-¥可知，必須有:¥-¥òh(t ) dt < ¥對連續(xù)時間系統(tǒng)，相應(yīng)有:這是LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。¥å h( n) < ¥n = -¥信號與系統(tǒng)5. LTI系統(tǒng)的階躍響應(yīng)：主 講 教 師： 趙 仕 良在工程實(shí)際中，也常用階躍響應(yīng)來描述LTI階躍響應(yīng)就是系統(tǒng)對 u(t)或 u(n)所產(chǎn)生系統(tǒng)。的響應(yīng)。因此有:s(t) = u(t) * h(t)s(n) = u(n) * h(n)LTI系統(tǒng)的特性也可以

32、用它的階躍響應(yīng)來描述。ns(n) = å h(k )h(n) = s(n) - s(n -1)k =-¥tds(t) = ò-¥ h(t )dth(t) = dt s(t )信號與系統(tǒng)主 講 教 師： 趙 仕 良( Causal LTI Systems Described by Difference Equations )Differential and在工程實(shí)際中有相當(dāng)普遍的一類系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型可以用線性常系數(shù)微分方程或線性常系數(shù)差分方程來描述。分析這類LTI系統(tǒng)，就是要求解線性常系數(shù)微分方程或差分方程。一.線性常系數(shù)微分方程（Linear Const

33、ant-Coefficient DifferentialEquation）dk y(t) =dk x(t)NMåakk =0åbkk =0a, b,均為常數(shù)kkdt kdt k2.4 用微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)信號與系統(tǒng)通常是求出通解 yh (t)和一個特主 講 教 師： 趙 仕 良經(jīng)(t)，則 y(t) = y(t) + y (t)解y。特解 y(t)是與輸pphp同類型的函數(shù)，通解 yh (t) 是齊次方程的x(t)入d k y(t)N解，即 åak= 0的解。欲求得齊次解，可根dtkk =0N據(jù)齊次方程建立一個特征方程：åa l= 0k求

34、出kk = 0其特征根。在特征根均為單階根時，可得出齊次解l的形式為：稱為系統(tǒng)的特征根或極點(diǎn)kNåk =1l t(t ) =yC e,其中C 是待定的常數(shù)。khkk信號與系統(tǒng)要確定系數(shù) Ck ，需要有一組條件，稱為附加條件。主 講 教 師： 趙 仕 良的C角度來看，這一組附加條僅僅從確定待定系數(shù)k件可以是任意的，包括附加條件的值以及給出附加條件的時刻都可以是任意的。零輸入零狀態(tài)法當(dāng)微分方程描述的系統(tǒng)是線性系統(tǒng)時，必須滿足系統(tǒng)零輸入零輸出的特性。x(t) = 0時， y(t) = 0。也就是系統(tǒng)在沒有輸入，即此時，微分方程就蛻變成齊次方程，因而描述線性系統(tǒng)的微分方程其齊次解必須為零，這

35、就要求所有的Ck都為零。信號與系統(tǒng)也就是要求確定待定系數(shù)所需的一組附加條件的主 講 教 師： 趙 仕 良值必須全部為零，即：LCCDE具有一組零附加條件時，才能描述線性系統(tǒng)?？梢宰C明：當(dāng)這組零附加條件在信號加入的時刻給出時，LCCDE描述的系統(tǒng)不僅是線性的，也是因果的和時不變的。在信號加入的時刻給出的零附加條件稱為零初始條件。信號與系統(tǒng)結(jié)論：LCCDE具有一組全部為零的初始條件可以描述一個LTI因果系統(tǒng)。這組條件是：主 講 教 師： 趙 仕 良y(0) = 0,y¢(0) = 0,y( N -1) (0) = 0LL如果一個因果的LTI系統(tǒng)由LCCDE描述，且方程具有零初始條件，就稱

36、該系統(tǒng)初始是靜止的或最初是松弛的。如果LCCDE具有一組不全為零的初始條件，則可以證明它所描述的系統(tǒng)是增量線性的。信號與系統(tǒng)二. 線性常系數(shù)差分方程:(Linear Constant-Coefficient Difference Equation)一般的線性常系數(shù)差分方程可表示為：åak y(n - k ) = åbk x(n - k )主 講 教 師： 趙 仕 良NMk =0k =0與微分方程一樣，它的解法也可以通過求出一個特解yp (n) 和通解，即齊次解 yh (n)來進(jìn)行，其過程與解微分方程類似。要確定齊次解中的待定常數(shù)，也需要有一組附加條件。同樣地，當(dāng)LCCDE具

37、有一組全部為零的初始條件時，所描述的系統(tǒng)是線性、因果、時不變的。信號與系統(tǒng)對于差分方程，可以將其改寫為：主 講 教 師： 趙 仕 良éù1MNêåbk x(n - k) - å ak y(n - k )úy(n) =a0ë k =0ûk =1可以看出：要求出 y(0) ，不僅要知道所有的 x(n)，還要知道 y(-1), y(-2),L L, y (- N ) ，這就是一組初始條件，由此可以得出 y(0) 。進(jìn)一步，又可以通過y(0)y(-1), y(-2),L L , y(-N +1) ，求得y(1)和，依次類推

38、可求出所有n ³ 0時的解。若將差分方程改寫為：信號與系統(tǒng)1 éN -1ùMêåbk x(n - k ) - å ak y(n - k )úy(n - N ) =主 講 教 師： 趙 仕 良aNë k = 0ûk = 0則可由y(1), y(2),L L , y( N )求得y(0) ，進(jìn)而由y(0), y( N - 1) 可求得 y(-1)，依次可推出y(1), y(2),L Ln £ 0 時的解。由于這種差分方程可以通過遞推求解，因而稱為遞歸方程（recursive equation）。當(dāng)

39、ak = 0, k ¹ 0 時，差分方程變?yōu)椋篗y(n) = åk =0bkx(n - k)a0信號與系統(tǒng)主 講 教 師： 趙 仕 良此時,求解方程不再需要迭代運(yùn)算，因而稱為非遞歸方程（nonrecursive equation）顯然，此時方程就是一個卷積和的形式，相當(dāng)于h(n) = bn ,0 £ n £ Ma0脈沖響應(yīng) h(n)此時，系統(tǒng)是有限長的,因而把這種方程描述的LTI系統(tǒng)稱為FIR（FiniteImpulse Response）系統(tǒng)。將遞歸方程描述的系統(tǒng)稱為IIR（Infinite Impulse Response）系統(tǒng),此時系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)是

40、一個無限長的序列。信號與系統(tǒng)主 講 教 師： 趙 仕 良FIR系統(tǒng)與IIR系統(tǒng)是離散時間LTI系統(tǒng)中兩類很重要的系統(tǒng)，它們的特性、結(jié)構(gòu)以及設(shè)計方法都存在很大的差異。由于無論微分方程還是差分方程的特解都具有與輸入相同的函數(shù)形式，即特解是由輸入信號完全決定的，因而特解所對應(yīng)的這一部分響應(yīng)稱為受迫響應(yīng)或強(qiáng)迫響應(yīng)。齊次解所對應(yīng)的部分由于與輸入信號無關(guān)，也稱為系統(tǒng)的自然響應(yīng)。信號與系統(tǒng)增量線性系統(tǒng)的響應(yīng)分為零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)。零輸入響應(yīng)由于與輸入信號無關(guān)，因此它屬于自然響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)既與輸入信號有 關(guān)，也與系統(tǒng)特性有關(guān)，因而它包含了受迫響應(yīng)，也包含有一部分自然響應(yīng)。主 講 教 師： 趙 仕 良三.

41、由微分和差分方程描述的LTI系統(tǒng)的方框圖表示（Block-Diagram Respresentation of the LTIdescribed by LCCDE）System信號與系統(tǒng)由LCCDE 描述的系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型是由一些基本運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)的，如果能用一種圖形表示方程的主 講 教 師： 趙 仕 良運(yùn)算關(guān)系，就會更加形象直觀；另一方面,分析系統(tǒng)很重要的目的是為了設(shè)計或?qū)崿F(xiàn)一個系統(tǒng),用圖、硬形表示系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,將對系統(tǒng)的特性件或軟件實(shí)現(xiàn)具有重要意義。不同的結(jié)構(gòu)也會在設(shè)計和實(shí)現(xiàn)一個系統(tǒng)時帶來不同的影響：如系統(tǒng)的成本、靈敏度、誤差及調(diào)試難度等方面都會有差異。信號與系統(tǒng)1. 由差分方程描述的LTI

42、系統(tǒng)的方框圖表示：主 講 教 師： 趙 仕 良éa y(n - k)ù1MNêå kå ky(n) =b x(n - k) -由可看出：úaëk =0ûk =10方程中包括三種基本運(yùn)算：乘系數(shù)、相加、移位（延遲）。可用以下符號表示：aax(n -1)x(n)a + bÅDbM若令 w(n) = åbk x(n - k )k =0,則信號與系統(tǒng)éù1Ny(n) =êw(n) - åak y(n - k )úa主 講 教 師： 趙 仕 良ë

43、ûk =10據(jù)此可得方框圖：w(n)y(n)1/ ax(n)w(n)bÅ0Å0Db1ÅÅDb2ÅÅM -aMMMbÅN -1M -1Å直接型DD-abMN-a1D-a2D信號與系統(tǒng)將其級聯(lián)起來,就成為LCCDE描述的系統(tǒng)，它具主 講 教 師： 趙 仕 良有與差分方程完全相同的運(yùn)算功能。顯然,它可以看成是兩個級聯(lián)的系統(tǒng)，可以調(diào)換其級聯(lián)的次序,移位單元合并，于是得到：并將x(n)y(n)1 / a0b0ÅÅD- a1b1ÅÅD-a2b2ÅÅM-aN

44、-1MM直接型bN -1ÅÅD- abNN信號與系統(tǒng)2. 由微分方程描述的LTI系統(tǒng)的方框圖表示：主 講 教 師： 趙 仕 良dkdk x(t)Ny(t)Nå a= åb由看出它也包括三種基本kkdtkdtkk =0k =0運(yùn)算：微分、相加、乘系數(shù)。但由于微分器不僅在工程實(shí)現(xiàn)上有，而且對誤差及噪聲極為靈敏，因此，工程上通常使用器而不用微分器。將微分方程兩邊同時N 次，即可得到一個積Nåk = 0N(t) = å bk = 0分方程：ayx(t)k( N - k )k( N - k )信號與系統(tǒng)方程完全按照差分方程的辦法有：對此主 講

45、教 師： 趙 仕 良1 éN -1ùNêåbk x( N - k) (t) - å ak y( N- k) (t)úy(t) =aNëk =0ûk =0x(t)w(t)w(t)y(t)bN1 / aNÅÅòò-abÅÅN -1N -1òò-aN -2bN -2ÅÅMMMM-abÅÅ11直接型òò-a0b0信號與系統(tǒng)通過交換級聯(lián)次序，合并器可得直接型：主 講 教 師： 趙 仕 良

46、x(t)y(t)1/ aNbNÅÅÅÅÅÅN -2M -aMMbÅÅ11ò-a0b0直接型-aN -1òbN -1-aòbN -2信號與系統(tǒng)主 講 教 師： 趙 仕 良沖激時，開始將 d (t) 定義為在第一章介紹du (t ) 顯然是不嚴(yán)密的，因?yàn)閡 (t ) 在t =0 不連d (t ) =d t續(xù)。進(jìn)而采用極限的觀點(diǎn)，將d (t ) 視為dD (t)在D®0時的極限。這種定義或描述 d (t) 的方法在數(shù)學(xué)上仍D®0然是不嚴(yán)格的，因?yàn)榭梢杂性S多不同函數(shù)在時都表

47、現(xiàn)為與dD (t)有相同的特性。例如:以下信號的面積都等于1，而且在 D ® 0時，它們的極限都表現(xiàn)為沖激。2.5 奇異函數(shù)（Singularity function）信號與rD (t) = dD (t) *dD (t)dD (t )主 講 教 師： 趙 仕 良1D1Dt2DD00DrD (t) * rD (t)1Dt02D4D系統(tǒng)t信號與t1-主 講 教 師： 趙 仕 良0sin ptD0系統(tǒng)1D Dp tt1DD eD u (t )t信號與系統(tǒng)之所以產(chǎn)生這種現(xiàn)象，是因?yàn)?d (t) 是化主 講 教 師： 趙 仕 良的非常規(guī)函數(shù)，被稱為奇異函數(shù)。通常采用在卷積或運(yùn)算下函數(shù)所表現(xiàn)的特性來定義奇異函數(shù)。通過卷積定義 d (t)一.從系統(tǒng)的角度,可以說 d (t) 是一個恒等系統(tǒng)的沖激響應(yīng),因此，x(t) = x(t) *d (t) 是在卷積運(yùn)算下d (t) 的定義。這就根據(jù)定義可以得出 d (t)的如下性質(zhì)：信號與系統(tǒng)x(t) *d (t) = x(t)d (t) *d (t) = d (t)當(dāng) x(t) = 1時，有主 講 教 師： 趙 仕 良d (t -t0 ) *d (t) = d (t -t0 )¥¥x(t) *d (t) = ò-¥ x(t -t