數列知識點復習總結

1、【精品文檔】如有侵權，請聯系網站刪除，僅供學習與交流數列知識點復習總結.精品文檔.數列高考知識點大掃描數列基本概念數列是一種特殊函數，對于數列這種特殊函數，著重討論它的定義域、值域、增減性和最值等方面的性質，依據這些性質將數列分類：依定義域分為：有窮數列、無窮數列；依值域分為：有界數列和無界數列；依增減性分為遞增數列、遞減數列和擺動數列。數列的表示方法：列表法、圖象法、解析法（通項公式法及遞推關系法）；數列通項：2、等差數列 1、定義 當,且 時，總有 ，d叫公差。 2、通項公式 1）、從函數角度看 是n的一次函數，其圖象是以點 為端點, 斜率為d斜線上一些孤立點。2）、從變形角度看 , 即可

2、從兩個不同方向認識同一數列，公差為相反數。又,相減得 ，即.若 n>m，則以 為第一項，是第n-m+1項，公差為d；若n<m ，則 以為第一項時，是第m-n+1項，公差為-d. 3）、從發(fā)展的角度看 若是等差數列，則 ，, 因此有如下命題：在等差數列中，若 , 則. 3、前n項和公式 由 ，相加得 ， 還可表示為，是n的二次函數。特別的，由 可得 。3、等比數列1、 定義 當,且 時，總有 , q叫公比。2、通項公式： , 在等比數列中，若 , 則.3、前n項和公式: 由 ， 兩式相減，當 時， ；當時 ， 。 關于此公式可以從以下幾方面認識：不能忽視 成立的條件：。特別是公比用字

3、母表示時，要分類討論。公式推導過程中，所使用的“錯位相消法”，可以用在相減后所得式子能夠求和的情形。如，公差為d 的等差數列， ，則，相減得 ，當 時，當時 ，； 3）從函數角度看 是n的函數，此時q和 是常數。4、等差與等比數列概念及性質對照表名稱等差數列等比數列定義，通項公式變式：性質中項單調性時 增時 常數列時 減或增；或時減；時常數列，時擺動數列前n項和（推導方法：倒加法）（推導方法：錯位相消法）結論1、等差,公差d ， 則 等差 公差kd ；子數列等差,公差md; 若等差 ，公差，則等差，公差。等比, 公比q，則等比， 公比q ;等比 ,公比;等比,公比。子數列等比，公比 ; 若等差

4、,公差d, 則等比 , 公比為。2、等差,公差d 則等差，公差2d; 等差, 公差3d.等差, 公差,且即連續(xù)相同個數的和成等差數列。等比, 公比q , 則等比，公比 ; 等比，公比；等比，公比q; 等比，公比，（當k為偶數時，）。3、等差.公差等比，公比4、等差共2n項，則 等差，共2n+1項，則 =5、等差等比, 公比q聯系1、各項不為0常數列，即是等差，又是等比。2、通項公式.3、等差，公差d，, 則,即等比，公比.4、等比，公比q, 即等差,公差.5、等差, 等比, 則前n項和求法，利用錯位相消法6、求和方法：公式法，倒加法，錯位相消法，裂項法，累加法，累積法，等價轉化法等。5、遞推數

5、列 表示數列中相鄰的若干項之間關系的式子叫數列遞推公式。作為特殊的函數，數列可用遞推式表示。求遞推數列通項公式常用方法：公式法、歸納法、累加法、累乘法。特別的，累加法是求形如 遞推數列的基本方法，其中數列 可求前n項和，即 ；累乘法是求形如 遞推數列通項公式的基本方法，其中數列 可求前n項積，即 .等差數列等差數列的概念定 義 式：，或.遞 推 式：.等差中項：任何兩個數都有且僅有一個等差中項.通項公式：，（廣義）.特征：，其中.前n項和：.特征：，其中.注：1.等差數列的定義式和遞推式、等差中項、等差數列通項公式的特征、前n項和的特征，都可以作為一個數列是等差數列的判定依據，但等差數列的證明

6、必須根據定義式.2.對任何數列，都有等差數列的性質1. 若為等差數列，則.2. 若為等差數列，且，則.3. 若為等差數列，則. 4. 若等差數列共有項，則； .5. 若等差數列共有項，則；.6. 若為各項均不為零的等差數列，前n項和為，則.7. 若、均為各項非零的等差數列，前n項和分別為，則.8. 在等差數列中，若，則.9. 在等差數列中，若，則.10.在等差數列中，若，則.11.若為等差數列，則仍為等差數列，其中和是常數.12.若、為等差數列，則仍為等差數列.13.若為等差數列，則序號成等差的項也成等差數列，即：若為等差數列，為正整數等差數列，則為等差數列.14.為數列的前n項和，則為等差數

7、列為等差數列.15.若為等差數列，則依次項和仍為等差數列，即仍為等差數列.等比數列等比數列的概念定 義 式：，或.遞 推 式：.等比中項：兩個同號的實數才有但有兩個等比中項.通項公式：，（廣義）.前n項和：當時，當時，.特征：.注：非零常數列既是等差數列也是等比數列，反之亦然.等比數列的性質1. 若為等比數列，則.2. 若為等比數列，且，則.3. 若為等比數列，則仍為等比數列，其中是非零常數.4. 若為等比數列，則當恒有意義時仍為等比數列，其中是任意常數.5. 若、為等比數列，則、仍為等比數列.6. 若為等比數列，則序號成等差的項也成等比數列，即：若為等比數列，為正整數等差數列，則為等比數列.

8、7. 為正項數列的前n項積，則為等比數列為等比數列.8. 若為等比數列的前n項和，且，則依次項和仍為等比數列，即仍為等比數列.注：等比數列各項積的性質類似于等差數列各項和的性質，應用范圍較小，故未寫入.等差數列與等比數列的聯系1. 非零常數列，也只有非零常數列，即是等差數列也是等比數列。2. 等差數列與等比數列可以相互轉化.事實上，若是等比數列，則是等差數列；若是等差數列，則是等比數列，其中是常數，且.3. 等差數列和的運算與等比數列積的運算有類似的性質，等差數列差的運算與等比數列商的運算有類似的性質.一、基本概念1、數列：按照一定順序排列著的一列數二、等差數列：從第2項起，每一項與它的前一項

9、的差等于同一個常數，這個常數稱為等差數列的公差 ，或1、若等差數列的首項是，公差是，則有 性質： 2、等差數列的前項和的公式： 等差數列的前項和的性質：（1） （2） 若等差數列,的前n項和為,則 （3）等差數列的求和最值問題：（二次函數的配方法；通項公式求臨界項法）若，則有最大值，當n=k時取到的最大值k滿足若，則有最小值，當n=k時取到的最大值k滿足三、等比數列：從第項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，這個常數稱為等比數列的公比1、通項公式及其性質 若等比數列的首項是，公比是，則2、前n項和及其性質四、(1)與的關系：（檢驗是否滿足）(2)五、一些方法1、等差數列、等比數列的最大項

10、、最小項；前n項和的最大值、最小值2、求通向公式的常見方法 （1）觀察法；待定系數法（已知是等差數列或等比數列）； （2）累加消元;累乘消元。（3）；（4）化為構造等比，化為，分是否等1討論。3、求前n項和的常見方法 公式法、倒序相加、錯位相減、列項相消、分組求和1常見數列公式等差數列1等差數列：一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數，即=d ，（n2，nN），這個數列就叫做等差數列，這個常數就叫做等差數列的公差（常用字母“d”表示） 2等差數列的通項公式： 或 =pn+q (p、q是常數) 3 有幾種方法可以計算公差d d= d= d=4等差中項：成等差數列5等差

11、數列的性質： m+n=p+q (m, n, p, q N )等差數列前n項和公式6.等差數列的前項和公式 （1） （2） （3），當d0，是一個常數項為零的二次式8.對等差數列前項和的最值問題有兩種方法:（1） 利用：當>0，d<0，前n項和有最大值可由0，且0，求得n的值當<0，d>0，前n項和有最小值可由0，且0，求得n的值（2） 利用：由二次函數配方法求得最值時n的值等比數列1等比數列：如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列就叫做等比數列.這個常數叫做等比數列的公比；公比通常用字母q表示（q0），即：=q（q0）2.等比數列的通

12、項公式: ， 3成等比數列=q（,q0） “0”是數列成等比數列的必要非充分條件4既是等差又是等比數列的數列：非零常數列 5等比中項：G為a與b的等比中項. 即G=±（a,b同號）.6性質：若m+n=p+q，7判斷等比數列的方法：定義法，中項法，通項公式法8等比數列的增減性：當q>1, >0或0<q<1, <0時, 是遞增數列; 當q>1, <0,或0<q<1, >0時, 是遞減數列;當q=1時, 是常數列; 當q<0時, 是擺動數列;等比數列前n項和等比數列的前n項和公式： 當時， 或 當q=1時，當已知, q, n

13、 時用公式；當已知, q, 時，用公式.類型1 遞推公式為已知數列滿足，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個等式累加之，即所以類型2遞推公式為. 已知數列滿足，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即又，類型3 遞推公式為（其中p，q均為常數，1. 已知數列中，求.解：設遞推公式可以轉化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項，2為公比的等比數列，則,所以.2. 數列a滿足a=1，a=a+1（n2），求數列a的通項公式。解：由a=a+1（n2）得a2=（a2），而a2=12=1，數列 a2是以為公比，1為首項的等比數列a2=（） a=2（）3 已知數列滿足，且，求解：設，則

14、，是以為首項,以3為公比的等比數列類型4 遞推公式為與的關系式。(或)解法：利用進行求解。數列知識點回顧第一部分：數列的基本概念1理解數列定義的四個要點數列中的數是按一定“次序”排列的，在這里，只強調有“次序”，而不強調有“規(guī)律”因此，如果組成兩個數列的數相同而次序不同，那么它們就是不同的數列在數列中同一個數可以重復出現項a與項數n是兩個根本不同的概念數列可以看作一個定義域為正整數集(或它的有限子集)的函數當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數值，但函數不一定是數列2數列的通項公式一個數列 a的第n項a與項數n之間的函數關系，如果用一個公式a=來表示，就把這個公式叫做數列 a的通項公式。若給

15、出數列 a的通項公式，則這個數列是已知的。若數列 a的前n項和記為S，則S與a的關系是：a=。第二部分：等差數列1等差數列定義的幾個特點： 公差是從第一項起，每一項減去它前一項的差(同一常數)，即d = aa(n2)或d = aa (nN)要證明一個數列是等差數列，必須對任意nN，aa= d (n2)或d = aa都成立一般采用的形式為： 當n2時，有aa= d (d為常數)當n時，有aa= d (d為常數)當n2時，有aa= aa成立若判斷數列 a不是等差數列，只需有aaaa即可2等差中項若a、A、b成等差數列，即A=，則A是a與b的等差中項；若A=，則a、A、b成等差數列，故A=是a、A、

16、b成等差數列，的充要條件。由于a=，所以，等差數列的每一項都是它前一項與后一項的等差中項。3等差數列的基本性質公差為d的等差數列，各項同加一數所得數列仍是等差數列，其公差仍為d公差為d的等差數列，各項同乘以常數k所得數列仍是等差數列，其公差為kd若 a、 b為等差數列，則 a±b與kab(k、b為非零常數)也是等差數列對任何m、n，在等差數列 a中有：a= a+ (nm)d，特別地，當m = 1時，便得等差數列的通項公式，此式較等差數列的通項公式更具有一般性、一般地，如果l，k，p，m，n，r，皆為自然數，且l + k + p + = m + n + r + （兩邊的自然數個數相等）

17、，那么當a為等差數列時，有：a+ a+ a+ = a+ a+ a+ 公差為d的等差數列，從中取出等距離的項，構成一個新數列，此數列仍是等差數列，其公差為kd( k為取出項數之差)如果 a是等差數列，公差為d，那么，a，a，a、a也是等差數列，其公差為d；在等差數列 a中，aa= aa= md (其中m、k、)在等差數列中，從第一項起，每一項(有窮數列末項除外)都是它前后兩項的等差中項當公差d0時，等差數列中的數隨項數的增大而增大；當d0時，等差數列中的數隨項數的減少而減??；d0時，等差數列中的數等于一個常數設a，a，a為等差數列中的三項，且a與a，a與a的項距差之比=（1），則a=4等差數列前

18、n項和公式S=與S= na的比較前n項和公式公式適用范圍相同點S=用于已知等差數列的首項和末項都是等差數列的前n項和公式S= na用于已知等差數列的首項和公差5等差數列前n項和公式S的基本性質數列 a為等差數列的充要條件是：數列 a的前n項和S可以寫成S= an+ bn的形式(其中a、b為常數)在等差數列 a中，當項數為2n (nN)時，SS= nd，=；當項數為(2n1) (n)時，SS= a，=若數列 a為等差數列，則S，SS，SS，仍然成等差數列，公差為若兩個等差數列 a、 b的前n項和分別是S、T(n為奇數)，則=在等差數列 a中，S= a，S= b (nm)，則S=(ab)等差數列a

19、中，是n的一次函數，且點（n，）均在直線y =x + (a)上記等差數列a的前n項和為S若a0，公差d0，則當a0且a0時，S最大；若a0 ，公差d0，則當a0且a0時，S最小第三部分：等比數列1正確理解等比數列的含義q是指從第2項起每一項與前一項的比，順序不要錯，即q = (n)或q = (n2)由定義可知，等比數列的任意一項都不為0，因而公比q也不為0要證明一個數列是等比數列，必須對任意n，= q；或= q (n2)都成立2等比中項與等差中項的主要區(qū)別如果G是a與b的等比中項，那么=，即G= ab，G =±所以，只要兩個同號的數才有等比中項，而且等比中項有兩個，它們互為相反數；如

20、果A是a與b的等差中項，那么等差中項A唯一地表示為A=，其中，a與b沒有同號的限制在這里，等差中項與等比中項既有數量上的差異，又有限制條件的不同3等比數列的基本性質公比為q的等比數列，從中取出等距離的項，構成一個新數列，此數列仍是等比數列，其公比為q( m為等距離的項數之差)對任何m、n，在等比數列 a中有：a= a· q，特別地，當m = 1時，便得等比數列的通項公式，此式較等比數列的通項公式更具有普遍性一般地，如果t ，k，p，m，n，r，皆為自然數，且t + k，p，m + = m + n + r + (兩邊的自然數個數相等)，那么當a為等比數列時，有：aaa = aaa 若

21、a是公比為q的等比數列，則| a|、a、ka、也是等比數列，其公比分別為| q |、q、q、如果 a是等比數列，公比為q，那么，a，a，a，a，是以q為公比的等比數列如果 a是等比數列，那么對任意在n，都有a·a= a·q0兩個等比數列各對應項的積組成的數列仍是等比數列，且公比等于這兩個數列的公比的積當q1且a0或0q1且a0時，等比數列為遞增數列；當a0且0q1或a0且q1時，等比數列為遞減數列；當q = 1時，等比數列為常數列；當q0時，等比數列為擺動數列4等比數列前n項和公式S的基本性質如果數列a是公比為q 的等比數列，那么，它的前n項和公式是S=也就是說，公比為q的

22、等比數列的前n項和公式是q的分段函數的一系列函數值，分段的界限是在q = 1處因此，使用等比數列的前n項和公式，必須要弄清公比q是可能等于1還是必不等于1，如果q可能等于1，則需分q = 1和q1進行討論當已知a，q，n時，用公式S=；當已知a，q，a時，用公式S=若S是以q為公比的等比數列，則有S= SqS若數列 a為等比數列，則S，SS，SS，仍然成等比數列若項數為3n的等比數列(q1)前n項和與前n項積分別為S與T，次n項和與次n項積分別為S與T，最后n項和與n項積分別為S與T，則S，S，S成等比數列，T，T，T亦成等比數列二、難點突破1并不是所有的數列都有通項公式，一個數列有通項公式在

23、形式上也不一定唯一已知一個數列的前幾項，這個數列的通項公式更不是唯一的2等差(比)數列的定義中有兩個要點：一是“從第2項起”，二是“每一項與它前一項的差(比)等于同一個常數”這里的“從第2項起”是為了使每一項與它前面一項都確實存在，而“同一個常數”則是保證至少含有3項所以，一個數列是等差(比)數列的必要非充分條件是這個數列至少含有3項3數列的表示方法應注意的兩個問題： a與a是不同的，前者表示數列a，a，a，而后者僅表示這個數列的第n項；數列a，a，a，與集合 a，a，a，不同，差別有兩點：數列是一列有序排布的數，而集合是一個有確定范圍的整體；數列的項有明確的順序性，而集合的元素間沒有順序性4

24、注意設元的技巧時，等比數列的奇數個項與偶數個項有區(qū)別，即：對連續(xù)奇數個項的等比數列，若已知其積為S，則通常設，aq， aq， a，aq，aq，；對連續(xù)偶數個項同號的等比數列，若已知其積為S，則通常設，aq， aq， aq，aq，5一個數列為等比數列的必要條件是該數列各項均不為0，因此，在研究等比數列時，要注意a0，因為當a= 0時，雖有a= a· a成立，但a不是等比數列，即“b= a · c”是a、b、 c成等比數列的必要非充分條件；對比等差數列a，“2b = a + c”是a、b、 c成等差數列的充要條件，這一點同學們要分清6由等比數列定義知，等比數列各項均不為0，因此

25、，判斷一數列是否成等比數列，首先要注意特殊情況“0”等比數列的前n項和公式蘊含著分類討論思想，需分分q = 1和q1進行分類討論，在具體運用公式時，常常因考慮不周而出錯等差數列等差數列的概念定 義 式：，或.遞 推 式：.等差中項：任何兩個數都有且僅有一個等差中項.通項公式：，（廣義）.特征：，其中.前n項和：.特征：，其中.注：1.等差數列的定義式和遞推式、等差中項、等差數列通項公式的特征、前n項和的特征，都可以作為一個數列是等差數列的判定依據，但等差數列的證明必須根據定義式.2.對任何數列，都有等差數列的性質1. 若為等差數列，則.2. 若為等差數列，且，則.3. 若為等差數列，則. 4.

26、 若等差數列共有項，則； .5. 若等差數列共有項，則；.6. 若為各項均不為零的等差數列，前n項和為，則.7. 若、均為各項非零的等差數列，前n項和分別為，則.8. 在等差數列中，若，則.9. 在等差數列中，若，則.10.在等差數列中，若，則.11.若為等差數列，則仍為等差數列，其中和是常數.12.若、為等差數列，則仍為等差數列.13.若為等差數列，則序號成等差的項也成等差數列，即：若為等差數列，為正整數等差數列，則為等差數列.14.為數列的前n項和，則為等差數列為等差數列.15.若為等差數列，則依次項和仍為等差數列，即仍為等差數列.等比數列等比數列的概念定 義 式：，或.遞 推 式：.等比

27、中項：兩個同號的實數才有但有兩個等比中項.通項公式：，（廣義）.前n項和：當時，當時，.特征：.注：非零常數列既是等差數列也是等比數列，反之亦然.等比數列的性質1. 若為等比數列，則.2. 若為等比數列，且，則.3. 若為等比數列，則仍為等比數列，其中是非零常數.4. 若為等比數列，則當恒有意義時仍為等比數列，其中是任意常數.5. 若、為等比數列，則、仍為等比數列.6. 若為等比數列，則序號成等差的項也成等比數列，即：若為等比數列，為正整數等差數列，則為等比數列.7. 為正項數列的前n項積，則為等比數列為等比數列.8. 若為等比數列的前n項和，且，則依次項和仍為等比數列，即仍為等比數列.注：等

28、比數列各項積的性質類似于等差數列各項和的性質，應用范圍較小，故未寫入.等差數列與等比數列的聯系1. 非零常數列，也只有非零常數列，即是等差數列也是等比數列。2. 等差數列與等比數列可以相互轉化.事實上，若是等比數列，則是等差數列；若是等差數列，則是等比數列，其中是常數，且.3. 等差數列和的運算與等比數列積的運算有類似的性質，等差數列差的運算與等比數列商的運算有類似的性質.數列知識點1 考綱要求內容4要求層次ABC數列數列的概念數列的概念和表示法等差數列、等比數列等差數列的概念等比數列的概念等差數列的通項公式與前項和公式等比數列的通項公式與前項和公式2 知識點 (一)數列的該概念和表示法、 （

29、1）數列定義：按一定次序排列的一列數叫做數列；數列中的每個數都叫這個數列的項記作，在數列第一個位置的項叫第1項（或首項），在第二個位置的叫第2項，序號為 的項叫第項（也叫通項）記作； 數列的一般形式：，簡記作 。 （2）通項公式的定義：如果數列的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式 說明：表示數列，表示數列中的第項，= 表示數列的通項公式； 同一個數列的通項公式的形式不一定唯一。 不是每個數列都有通項公式。例如，1，1.4，1.41，1.414， （3）數列的函數特征與圖象表示： 序號：1 2 3 4 5 6 項 ：4 5 6 7 8 9 上面每一項序號與

30、這一項的對應關系可看成是一個序號集合到另一個數集的映射。從函數觀點看，數列實質上是定義域為正整數集（或它的有限子集）的函數當自變量從1開始依次取值時對應的一系列函數值，通常用來代替，其圖象是一群孤立的點（3） 數列分類： 按數列項數是有限還是無限分：有窮數列和無窮數列； 按數列項與項之間的大小關系分：單調數列（遞增數列、遞減數列）、常數列和擺動數列（4） 遞推公式定義：如果已知數列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式（2） 等差數列 1.等差數列的定義：（d為常數）（）； 2等差數列通項公式： ， 首項:，公差

31、:d，末項: 推廣： 從而；3等差中項 （1）如果，成等差數列，那么叫做與的等差中項即：或 （2）等差中項：數列是等差數列4等差數列的前n項和公式：（其中A、B是常數，所以當d0時，Sn是關于n的二次式且常數項為0）特別地，當項數為奇數時，是項數為2n+1的等差數列的中間項（項數為奇數的等差數列的各項和等于項數 乘以中間項）5等差數列的判定方法 （1） 定義法：若或(常數) 是等差數列 （2） 等差中項：數列是等差數列 （3） 數列是等差數列（其中是常數）。（4） 數列是等差數列,（其中A、B是常數）。6等差數列的證明方法 定義法：若或(常數) 是等差數列7.等差數列的性質：（1）當公差時，等差數列的通項公式是關于的一次函 數，且斜率為公差；前和是關于的二次函數且常數項為0.（2）若公差，則為遞增等差數列，若公差，則為遞減等差數列，若公差，則為常數列。（3）當時,則有，特別地，當時，則有.（4）若、為等差數列，則都為等差數列 (5) 若是等差數列，則 ，也成等差數列 （6）數列為等差數列,每隔