機械工程測試信息信號分析(第三版)7

1、2022-3-81MEASUREMENTINFORMATION SIGNAL ANALYSIS IN MECHANICAL ENGINEERING 機械工程測試機械工程測試信息信息信號分析信號分析 機械科學與工程學院機械科學與工程學院 機械電子信息工程系機械電子信息工程系李錫文李錫文 軒建平軒建平 2022-3-82課件資料下載：郵箱地址： “機械工程測試機械工程測試”每個字拼音的第一個字母每個字拼音的第一個字母 密碼：111111注意下載時不要刪除原始文件 2022-3-83 第六章 數(shù)字信號分析 (I) DFT與FFT2022-3-84第六章第六章 主要內(nèi)容主要內(nèi)容6-5 現(xiàn)代譜分析方法現(xiàn)

2、代譜分析方法-最大熵譜估計最大熵譜估計6-3 FFT6-4 譜分析與譜估計譜分析與譜估計6-2 6-2 離散傅立葉變換離散傅立葉變換DFTDFT6-1 模擬信號離散化模擬信號離散化p時域采樣定理時域采樣定理p頻域采樣定理頻域采樣定理p周期序列的離散傅立葉級數(shù)周期序列的離散傅立葉級數(shù)2022-3-85 時間函數(shù)時間函數(shù) 頻率函數(shù)頻率函數(shù)連續(xù)時間、連續(xù)頻率連續(xù)時間、連續(xù)頻率傅里葉變換傅里葉變換連續(xù)時間、離散頻率連續(xù)時間、離散頻率傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)離散時間、連續(xù)頻率離散時間、連續(xù)頻率序列的傅里葉變換序列的傅里葉變換離散時間、離散頻率離散時間、離散頻率離散傅里葉變換離散傅里葉變換Fourier變換的

3、幾種可能形式變換的幾種可能形式2022-3-86:()( )j tX jx t edt正1: ( )()2j tx tX jed反0)( jX0t)(txq時域連續(xù)函數(shù)造成頻域是時域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的譜，非周期的譜，q而時域的非周期造成頻域而時域的非周期造成頻域是連續(xù)的譜密度函數(shù)。是連續(xù)的譜密度函數(shù)。連續(xù)時間、連續(xù)頻率連續(xù)時間、連續(xù)頻率-FT域域連續(xù)性連續(xù)性周期性周期性時域連續(xù)非周期頻域連續(xù)非周期2022-3-87連續(xù)時間、離散頻率連續(xù)時間、離散頻率-FSq當當x(t)為連續(xù)時間周期信號時，可展開為傅立葉級數(shù)為連續(xù)時間周期信號時，可展開為傅立葉級數(shù)域域連續(xù)性連續(xù)性周期性周期性時域連續(xù)周

4、期頻域離散非周期ktjktjejkXtxdtetxTjkXTT020200)()()(1)(000t)(tx| )(|0jkX0T0q時域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的譜，時域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的譜，q頻域的離散對應時域是周期函數(shù)。頻域的離散對應時域是周期函數(shù)。q時域周期為時域周期為T0, 頻域譜線間隔為頻域譜線間隔為2 0/T02022-3-88離散時間、連續(xù)頻率離散時間、連續(xù)頻率-序列的序列的FTq對離散序列對離散序列x(n)，其傅立葉變換為：，其傅立葉變換為：xxnjjknjjdeeXnxenxeX)(21)()()(deeXnxenTxeXTjnTjTjnTjss22)(1)()()

5、(q若若x(n)是信號是信號x(t)的采樣序列，采樣間隔為的采樣序列，采樣間隔為T,則有：則有：2022-3-89序列的序列的FT域域連續(xù)性連續(xù)性周期性周期性時域離散非周期頻域連續(xù)周期| )(|0jkXt)(txTsTTfss2,1q時域的離散化造成頻域的時域的離散化造成頻域的周期延拓，而時域的非周周期延拓，而時域的非周期對應于頻域的連續(xù)期對應于頻域的連續(xù)2,sTT時域抽樣間隔為頻域的周期為2022-3-810q上述三種情況至少在一個變換域有積分上述三種情況至少在一個變換域有積分(連續(xù)連續(xù))，因而不適合，因而不適合進行數(shù)字計算。進行數(shù)字計算。域域連續(xù)性連續(xù)性周期性周期性時域離散周期頻域離散周期

6、q時域的離散造成頻域的延拓（周期性）。因而頻域的離散時域的離散造成頻域的延拓（周期性）。因而頻域的離散也會造成時域的延拓（周期性）。也會造成時域的延拓（周期性）。q要想在時域和頻域都是離散的，那么兩域必須是周期的。要想在時域和頻域都是離散的，那么兩域必須是周期的。離散傅立葉變換離散傅立葉變換2022-3-811對序列的傅立葉變換序列的傅立葉變換在頻域上加以離散化，令d=0，從而000,2sNFkk1001000000)()()()()(NnTjnkkTjsNnTjnkkTjkTjeeXnTxenTxeXeX101022)(1)()()(NknkjNnnkjNNekXNnxenxkX2022-3

7、-81200002121TFTFTfssss采樣，時域延拓周期頻域：以采樣，頻域延拓周期時域：以nt | )(|0TjkeX001FTssfT1ssf200022FTkx(n)2022-3-813四種形式歸納四種形式歸納類型類型時間函數(shù)時間函數(shù)頻率函數(shù)頻率函數(shù)關關 系系傅立葉變換連續(xù)非周期連續(xù)非周期 傅立葉級數(shù)連續(xù)周期(T0)離散(0)非周期 序列傅立葉變換離散(Ts)非周期連續(xù)周期(s) 離散傅立葉變換離散(Ts)周期(T0)離散(0)周期(s) 002TssT2ssT2002T2022-3-814DFT重要性重要性qDFT是重要的變換是重要的變換 分析有限長序列的有用工具。分析有限長序列的

8、有用工具。 在信號處理的理論上有重要意義。在信號處理的理論上有重要意義。 在運算方法上起核心作用，譜分析、卷積、相關都在運算方法上起核心作用，譜分析、卷積、相關都可以通可以通DFT在計算機上實現(xiàn)。在計算機上實現(xiàn)。qDFT是現(xiàn)代信號處理橋梁是現(xiàn)代信號處理橋梁 DFT要解決兩個問題：要解決兩個問題： 一是離散與量化，一是離散與量化， 二是快速運算。二是快速運算。信號處理DFT(FFT)傅氏變換離散量化2022-3-8156-1 A/D與與D/A轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換物理信號物理信號對象對象傳傳感感器器電信號電信號放放大大調(diào)調(diào)制制電信號電信號A/D轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換數(shù)字信號數(shù)字信號計計算算機機顯顯示示D/A轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換電信號電

9、信號控制控制物理信號物理信號顯示顯示記錄記錄信號預信號預處理處理信號信號采集采集分析分析計算計算x(t)傳感器和測試系統(tǒng)的標定和校準？法定計量單位，標傳感器和測試系統(tǒng)的標定和校準？法定計量單位，標準信號源準信號源2022-3-816測試系統(tǒng)基本模型測試系統(tǒng)基本模型q組成組成 傳感器傳感器 調(diào)理電路調(diào)理電路放大器放大器 數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)ADCq系統(tǒng)靈敏度系統(tǒng)靈敏度 傳感器靈敏度傳感器靈敏度 放大器增益放大器增益 ADC靈敏度靈敏度S1S2S3 xx u v yyH1(j)H2(j)模擬部分數(shù)字部分1231231yuvySS S SxxuvSuxSvuSyvQ 測試系統(tǒng)基本模型測試系統(tǒng)基本

10、模型(測控系統(tǒng)前向通道測控系統(tǒng)前向通道)2022-3-817基本參數(shù)的確定基本參數(shù)的確定q任務任務以系統(tǒng)分辯力、量程為依據(jù)，依次確定以系統(tǒng)分辯力、量程為依據(jù)，依次確定 分辯力、量程和環(huán)境條件分辯力、量程和環(huán)境條件傳感器類型及其靈敏度傳感器類型及其靈敏度S1 量程、精度量程、精度 系統(tǒng)分辯率系統(tǒng)分辯率ADC的分辯率的分辯率(Q=1/S3) ADC量程、傳感器輸出范圍量程、傳感器輸出范圍放大器增益放大器增益S2q說明說明 先兩頭，后中間先兩頭，后中間 多量程，低位多量程，低位A/DS1S2S3 xx u v yyH1(j)H2(j)模擬部分 數(shù)字部分2022-3-818動態(tài)性能的確定動態(tài)性能的確定

11、q任務任務 根據(jù)被測信號的最高頻率根據(jù)被測信號的最高頻率fm和允許動態(tài)幅值誤差和允許動態(tài)幅值誤差 m%，確定各環(huán)節(jié)的動態(tài)參數(shù)。確定各環(huán)節(jié)的動態(tài)參數(shù)。q方法方法 模數(shù)分開，各自預估模數(shù)分開，各自預估q模擬部分模擬部分 誤差表達誤差表達 理想頻率特性理想頻率特性12()()100%()()()()()(0)NNNNH jHjHjH jHjHjHjH2022-3-819模擬部分動態(tài)性能的確定模擬部分動態(tài)性能的確定1q傳感器與放大器均為一階傳感器與放大器均為一階 動態(tài)誤差動態(tài)誤差傳感器時間常數(shù)為傳感器時間常數(shù)為 1放大器時間常數(shù)為放大器時間常數(shù)為 2=1/(2 fb) 合理選擇合理選擇 1和和 2，使

12、，使 =2 fm時，時，22121111 ()1 ()%m2022-3-820模擬部分動態(tài)性能的確定模擬部分動態(tài)性能的確定2q傳感器為二階，放大器為一階傳感器為二階，放大器為一階 動態(tài)誤差動態(tài)誤差傳感器固有轉(zhuǎn)角頻率為傳感器固有轉(zhuǎn)角頻率為 0傳感器阻尼比為傳感器阻尼比為 (未指明取未指明取 =0)放大器時間常數(shù)為放大器時間常數(shù)為 2=1/(2 fb) 合理選擇合理選擇 0、 和和 2，使，使 =2 fm時，時，22222001111 ()12%m2022-3-821數(shù)字部分動態(tài)性能的預估數(shù)字部分動態(tài)性能的預估qADC的轉(zhuǎn)換時間的轉(zhuǎn)換時間Tc 在在Tc之內(nèi)，輸入信號的變化的誤差之內(nèi)，輸入信號的變化

13、的誤差ADC量化誤差的一半，即量化誤差的一半，即Q/2qS/H的孔徑時間的孔徑時間TAP(aperture time)和孔徑抖動時間和孔徑抖動時間TAJ (Aperture Uncertainty (jitter) ) 對于對于TAP，提前啟動提前啟動“H” 對于對于TAJq校核校核q說明說明 還應考慮還應考慮采樣定理采樣定理的要求！的要求！ 系統(tǒng)的動態(tài)性能往往受制于傳感器。系統(tǒng)的動態(tài)性能往往受制于傳感器。1112HncfT1112HnAJfThmff212022-3-822數(shù)字部分動態(tài)性能的預估數(shù)字部分動態(tài)性能的預估q孔徑時間：孔徑時間： 在模擬量輸入通道中，在模擬量輸入通道中，A/D轉(zhuǎn)換器

14、將模擬信號轉(zhuǎn)換成數(shù)字量需要一轉(zhuǎn)換器將模擬信號轉(zhuǎn)換成數(shù)字量需要一定的時間，完成一次定的時間，完成一次A/D轉(zhuǎn)換器所需的時間稱為孔徑時間。轉(zhuǎn)換器所需的時間稱為孔徑時間。 q孔徑抖動：孔徑抖動： 孔徑抖動孔徑抖動(或稱孔徑誤差或稱孔徑誤差)是指采樣與采樣之間孔徑延遲時間的變化，是指采樣與采樣之間孔徑延遲時間的變化，起因是調(diào)制系統(tǒng)時鐘相位時的噪聲，通過對內(nèi)部起因是調(diào)制系統(tǒng)時鐘相位時的噪聲，通過對內(nèi)部ADC時鐘抖動和時鐘抖動和外部采樣時鐘抖動進行和方根外部采樣時鐘抖動進行和方根(root-sum-square)計算得到孔徑抖動。計算得到孔徑抖動。如果要求測量準確，數(shù)據(jù)采樣系統(tǒng)必須要有極低的相位噪聲。隨如

15、果要求測量準確，數(shù)據(jù)采樣系統(tǒng)必須要有極低的相位噪聲。隨著模擬輸入斜率著模擬輸入斜率(dV/dt)的增加，孔徑抖動也增大。一般來講，使的增加，孔徑抖動也增大。一般來講，使用輸入頻率為用輸入頻率為MHz級的級的ADC時，時鐘抖動應為亞皮秒級。時，時鐘抖動應為亞皮秒級。 q孔徑延遲：孔徑延遲： 孔徑延遲是指在保持命令發(fā)出之后到孔徑延遲是指在保持命令發(fā)出之后到ADC采樣保持放大器采樣保持放大器(SHA)完全打開采樣開關所需的時間，即完全打開采樣開關所需的時間，即ADC采樣發(fā)出命令到采樣實際采樣發(fā)出命令到采樣實際開始的時間。有效孔徑延遲時間開始的時間。有效孔徑延遲時間te 包括孔徑延遲和包括孔徑延遲和S

16、HA中模擬、中模擬、數(shù)字傳輸延遲的影響，其值可正可負。數(shù)字傳輸延遲的影響，其值可正可負。 2022-3-823誤差極限的預估誤差極限的預估q任務任務 按總誤差的限定值，分配各環(huán)節(jié)的允許誤差。按總誤差的限定值，分配各環(huán)節(jié)的允許誤差。(誤差極誤差極限的預估限的預估)q過程過程 預分配預分配綜合調(diào)整綜合調(diào)整再分配再分配再綜合再綜合直至滿意直至滿意q模型模型q誤差合成誤差合成 方根和法方根和法(幾何合成幾何合成)123123312123123lnlnlnlnlnyyS S S xySSSxdSdSdSdydxySSSxrrrr222123yrrrr 1111213221222333132330.dxx

17、rrrrrrrrrrrr被測量被測量x的影響的影響不屬測量系統(tǒng)，因不屬測量系統(tǒng)，因而忽略。而忽略。2022-3-8246-1 A/D轉(zhuǎn)換過程轉(zhuǎn)換過程采樣采樣利用采樣脈沖序列，從信號中抽取一系列離利用采樣脈沖序列，從信號中抽取一系列離 散值，使之成為采樣信號散值，使之成為采樣信號x(nTs)的過程的過程 量化量化把采樣信號經(jīng)過舍入變?yōu)橹挥杏邢迋€有把采樣信號經(jīng)過舍入變?yōu)橹挥杏邢迋€有 效數(shù)字的數(shù)，這一過程稱為量化效數(shù)字的數(shù)，這一過程稱為量化編碼編碼將經(jīng)過量化的值變?yōu)槎M制數(shù)字的過程。將經(jīng)過量化的值變?yōu)槎M制數(shù)字的過程。 2022-3-8256-1 A/D轉(zhuǎn)換過程轉(zhuǎn)換過程-例例2022-3-8266-

18、1 D/A轉(zhuǎn)換過程轉(zhuǎn)換過程2022-3-827模擬信號采樣模擬信號采樣設有兩個不同頻率的余弦信號，設有兩個不同頻率的余弦信號，x1(t)=cos2 (10)t, x2(t)=cos2 (50)t，現(xiàn)以現(xiàn)以fs=40Hz進行采樣，得：進行采樣，得：什么原因？什么原因？2022-3-828脈沖序列采樣脈沖序列采樣 1. 時域采樣理想脈沖采樣理想脈沖采樣q1、一個連續(xù)信號經(jīng)過理想采樣后，其采樣信號頻譜是一個、一個連續(xù)信號經(jīng)過理想采樣后，其采樣信號頻譜是一個周期性連續(xù)頻周期性連續(xù)頻譜譜，頻譜周期延拓，周期為，頻譜周期延拓，周期為 S。幅值被系數(shù)。幅值被系數(shù)Cn加權。加權。q2、采樣頻率、采樣頻率 S大

19、于信號頻帶寬度的大于信號頻帶寬度的2倍時，取樣信號的頻譜在每一周期倍時，取樣信號的頻譜在每一周期都完整地保留原來模擬信號的信息都完整地保留原來模擬信號的信息1. 時域采樣：時域采樣：nssnTttxtptxtx)()()()()()(*)()(21PXXsnsnnCP)(2)(1( )()()snssnnsXC XnXnT當當p(t)為脈沖序列時，為脈沖序列時，Cn=1/Ts，所以，所以頻域卷積定理：頻域卷積定理：2022-3-829時域采樣定理時域采樣定理2. 時域采樣定理時域采樣定理 時域采樣定理：采樣頻率必須大于或等于信號時域采樣定理：采樣頻率必須大于或等于信號x(t)中的最中的最高頻率

20、的兩倍。高頻率的兩倍。 物理解釋：物理解釋：頻譜受限信號，如果頻譜只占據(jù)頻譜受限信號，如果頻譜只占據(jù)- m m范圍，范圍，則信號可用等間隔采樣值唯一的表示，采樣間隔不大于則信號可用等間隔采樣值唯一的表示，采樣間隔不大于1/2fm 頻帶有限信號，其頻率大小在時域內(nèi)就是它的波形變化速頻帶有限信號，其頻率大小在時域內(nèi)就是它的波形變化速率，波形的最高變化速度將受最高頻率分量的限制。率，波形的最高變化速度將受最高頻率分量的限制。 時域采樣定理表明，一個信號在滿足時域采樣定理表明，一個信號在滿足一定條件一定條件下，可通過下，可通過它的時域采樣點準確地恢復原來信號的波形。它的時域采樣點準確地恢復原來信號的波

21、形。mSmSff22或2022-3-830頻混現(xiàn)象頻混現(xiàn)象頻混現(xiàn)象頻混現(xiàn)象2022-3-831矩形脈沖采樣矩形脈沖采樣 1. 時域采樣矩形脈沖采樣：矩形脈沖采樣：采樣脈沖為周期矩形脈沖時沖采樣脈沖為周期矩形脈沖時沖)2(sinssnncTEC nssssnXncTEX)()2(sin)(2022-3-832采樣信號恢復采樣信號恢復 1. 時域采樣時域采樣信號恢復：時域采樣信號恢復：低通濾波低通濾波低通濾波低通濾波WR( )2022-3-833采樣信號恢復采樣信號恢復時域采樣信號恢復：時域采樣信號恢復：根據(jù)傅里葉變換卷積性質(zhì)根據(jù)傅里葉變換卷積性質(zhì)WR( )的時域波形為：的時域波形為：代入代入20

22、22-3-834采樣信號恢復采樣信號恢復1時域采樣信號恢復：時域采樣信號恢復：Sa函數(shù)叫內(nèi)插函數(shù)的原因函數(shù)叫內(nèi)插函數(shù)的原因由采樣樣值恢復原連續(xù)信號的過程由采樣樣值恢復原連續(xù)信號的過程惠特克波形重構法或理想內(nèi)插法?；萏乜瞬ㄐ沃貥嫹ɑ蚶硐雰?nèi)插法。近似逼近近似逼近2022-3-835采樣信號恢復采樣信號恢復2時域采樣信號恢復時域采樣信號恢復)()()(HXXS頻域矩形窗函數(shù)頻域矩形窗函數(shù)H( )與采樣信號頻譜與采樣信號頻譜XS( )相乘相乘1,;( )0,.ccH ( )sin ()cch tct在采樣信號在采樣信號xs(t)的每個采樣值上畫一個峰值為的每個采樣值上畫一個峰值為x(nTS) 的的Sa

23、型函數(shù)波形，合成型函數(shù)波形，合成的波形就是的波形就是x(t)。對不在取樣時刻任意點的數(shù)值應該是無限加權采樣值的總對不在取樣時刻任意點的數(shù)值應該是無限加權采樣值的總和，但內(nèi)插函數(shù)是衰減的，濾波不是理想濾波器，和，但內(nèi)插函數(shù)是衰減的，濾波不是理想濾波器，該點值只能是附近的一組該點值只能是附近的一組有限值之和逼近。有限值之和逼近。( )() ()*sin ()()sin ()cScncScsnx tx nTtnTctx nTctnT( )()sin ()mSmnx tx nTctn2,Smcm2022-3-836頻域采樣定理頻域采樣定理q若若x(t)的頻譜的頻譜X( )被間隔為被間隔為 0的脈沖序列

24、在頻域中采樣，的脈沖序列在頻域中采樣，則在時域中等效于則在時域中等效于x(t)以一定的時間間隔周期延拓，時間以一定的時間間隔周期延拓，時間周期為周期為T0=2 / 0，周期信號的頻譜是離散的。，周期信號的頻譜是離散的。 . .頻域采樣定理頻域采樣定理2022-3-837頻域采樣定理頻域采樣定理 . .頻域采樣定理頻域采樣定理離散化頻譜為離散化頻譜為根據(jù)根據(jù)FT的卷積性質(zhì)的卷積性質(zhì)故有：故有：上式可看出：一個時間受限信號的長度為上式可看出：一個時間受限信號的長度為2 ，在頻域采樣間隔，在頻域采樣間隔F0 1/2 條件下，能夠從采樣點集合完全恢復原信號的頻譜。條件下，能夠從采樣點集合完全恢復原信號

25、的頻譜。2022-3-838頻域采樣信號恢復頻域采樣信號恢復 頻域采樣信號恢復頻域采樣信號恢復時域窗函數(shù)：時域窗函數(shù)：以以F0=1/2 或或T0=2 代入上式，則頻譜內(nèi)插公式為：代入上式，則頻譜內(nèi)插公式為：上式說明恢復過程是內(nèi)插過程，需要無限多的采樣點從上式說明恢復過程是內(nèi)插過程，需要無限多的采樣點從- + 求和，實際上因所取的求和，實際上因所取的樣點有限、精度有限樣點有限、精度有限，濾波器也不濾波器也不具有理想頻率特性具有理想頻率特性，信號恢復是近似恢復信號恢復是近似恢復。2022-3-839頻域采樣定理頻域采樣定理4. 頻域采樣定理頻域采樣定理 P160 在頻域中對在頻域中對X( )進行采

26、樣，等效于進行采樣，等效于x(t)在時域中重復，采在時域中重復，采樣間隔不大于樣間隔不大于1/2tm，用矩形脈沖作選通信號，就可以恢復，用矩形脈沖作選通信號，就可以恢復原信號原信號x(t) 柵欄效應：頻域采樣后，只能獲得采樣點的頻率成分，其柵欄效應：頻域采樣后，只能獲得采樣點的頻率成分，其余的頻率成分一概舍去，就如透過柵欄觀景。余的頻率成分一概舍去，就如透過柵欄觀景。mtf2/102022-3-840復指數(shù)序列復指數(shù)序列000,)(00000TeeenxnjnTjnTttjq復指數(shù)序列：復指數(shù)序列：N為周期的序列為周期的序列即：為整數(shù)所以,20)(00mmNeeNnjnjqx(t), x(n)

27、都是周期性信號，但對連續(xù)時間信號來說，都是周期性信號，但對連續(xù)時間信號來說， 取值可在取值可在- + 區(qū)間，而且任意選擇區(qū)間，而且任意選擇 0都具有周期性，其周期都具有周期性，其周期T0 = 2 / 0。但對離散時間信號，因為。但對離散時間信號，因為 ，表示在數(shù)，表示在數(shù)字頻率上相差字頻率上相差2 整數(shù)倍的所有離散時間復指數(shù)序列都是一樣的。整數(shù)倍的所有離散時間復指數(shù)序列都是一樣的。即離散域的即離散域的頻率頻率 的有效取值是在的有效取值是在0 2 或或 - 的任的任一間隔為一間隔為2 區(qū)間范圍區(qū)間范圍nkjnjee)2(002022-3-841q5. 周期序列的時域分析周期序列的時域分析 DFS

28、 離散時間周期信號從連續(xù)時間周期信號均勻采樣離散時間周期信號從連續(xù)時間周期信號均勻采樣 例：正弦序列例：正弦序列 例：復指數(shù)序列例：復指數(shù)序列 T為時域采樣時間間隔，為時域采樣時間間隔， = T為離散域頻率為離散域頻率 FS表達式表達式離散時間周期信號的時域分析離散時間周期信號的時域分析t=nT離散化離散化2022-3-842離散時間周期信號的時域分析離散時間周期信號的時域分析q5. 周期序列的時域分析周期序列的時域分析 DFS FS表達式表達式x(n)是以是以N為周期的周期序列，在時域上也可以用復指數(shù)序列形為周期的周期序列，在時域上也可以用復指數(shù)序列形式的傅里葉級數(shù)來表示，式的傅里葉級數(shù)來表

29、示，N表示一個周期的采樣點數(shù)，則：表示一個周期的采樣點數(shù)，則： 0為離散域的為離散域的基本頻率基本頻率，單位是弧度，單位是弧度，k 0是是k次諧波的數(shù)字頻次諧波的數(shù)字頻率；率；T為采樣時間間隔；為采樣時間間隔；N為一個周期采樣點數(shù)。為一個周期采樣點數(shù)。 0為周期信為周期信號的基波頻率，號的基波頻率，T0為周期信號的周期。為周期信號的周期。2022-3-843離散時間周期信號的時域分析離散時間周期信號的時域分析q上式表示，一上式表示，一個周期序列個周期序列可分解成可分解成一系列諧波一系列諧波(k 0)關系關系的復的復指數(shù)序列之和。指數(shù)序列之和。q當周期信號從連續(xù)域變到離散域后，頻率當周期信號從連

30、續(xù)域變到離散域后，頻率 也從也從-+ 的無限的無限范圍，映射到范圍，映射到 ( = T, 0N=2 )從從0-2 的有限范圍內(nèi)，連續(xù)的有限范圍內(nèi)，連續(xù)域傅里葉級數(shù)可表示為具有無限多個諧波分量，離散域只含域傅里葉級數(shù)可表示為具有無限多個諧波分量，離散域只含有有限個諧波分量，總共諧波數(shù)為有有限個諧波分量，總共諧波數(shù)為k=2 / 0=N。t=nT離散化離散化2022-3-844離散時間周期信號的時域分析離散時間周期信號的時域分析q因因上式即離散傅里葉級數(shù)上式即離散傅里葉級數(shù)DFS，是有限項級數(shù)，若用復指數(shù)序列，是有限項級數(shù)，若用復指數(shù)序列來表示，該集合是有限的，來表示，該集合是有限的，N是最高頻率分

31、量項。與是最高頻率分量項。與CFS的重要的重要區(qū)別。區(qū)別。X(K 0)的計算如下的計算如下2022-3-845離散時間周期信號的時域分析離散時間周期信號的時域分析q因因q設已知在一個周期設已知在一個周期T0內(nèi)，按等間隔內(nèi)，按等間隔T進行采樣，共得進行采樣，共得N點，將點，將t=nT，T0=NT，dtT及及積分積分求和求和代入上式：代入上式：qn為時間離散變量，為時間離散變量，k為頻率離散變量，為頻率離散變量，2 /N為離散域基頻為離散域基頻(譜線間譜線間隔隔)。X(k 0)是復指數(shù)序列各諧波分量的復振幅，反映了個諧波分量是復指數(shù)序列各諧波分量的復振幅，反映了個諧波分量的幅度和相位。周期為的幅度

32、和相位。周期為N的離散頻譜。的離散頻譜。q傅里葉級數(shù)為有限項級數(shù)，根本原因是傅里葉系數(shù)的周期性。傅里葉級數(shù)為有限項級數(shù)，根本原因是傅里葉系數(shù)的周期性。DFS變換對變換對2022-3-846周期信號周期信號DFS-舉例舉例1q已知一正弦離散時間信號已知一正弦離散時間信號x(n)=cos 0 n，分別求出當，分別求出當 (1) 0= 20.5 及及(2) 0= /3時的傅里葉級數(shù)表示式和相應頻譜時的傅里葉級數(shù)表示式和相應頻譜解：解： (1)正弦序列只有在滿足正弦序列只有在滿足 0 /2 =m/N=有理數(shù)的條件下才是有理數(shù)的條件下才是周期序列周期序列 ，非周期序，非周期序列，不能展開為列，不能展開為

33、DFS。2022-3-847周期信號周期信號DFS-舉例舉例1q已知一正弦離散時間信號已知一正弦離散時間信號x(n)=cos 0 n，分別求出當，分別求出當 (1) 0= 20.5 及及(2) 0= /3時的傅里葉級數(shù)表示式和相應頻譜時的傅里葉級數(shù)表示式和相應頻譜解：解：2022-3-848周期信號周期信號DFS-舉例舉例2q已知一周期序列已知一周期序列x(n)，周期，周期N=6，如圖，求該序列的頻譜及時，如圖，求該序列的頻譜及時域表示式域表示式2022-3-849周期信號周期信號DFS-舉例舉例2q已知一周期序列已知一周期序列x(n)，周期，周期N=6，如圖，求該序列的頻譜及時，如圖，求該序

34、列的頻譜及時域表示式域表示式2022-3-850離散時間周期信號的頻域分析離散時間周期信號的頻域分析q離散時間周期信號與連續(xù)時間周期信號頻譜間的內(nèi)在聯(lián)系離散時間周期信號與連續(xù)時間周期信號頻譜間的內(nèi)在聯(lián)系 舉例舉例1：x(t)=6cos t，現(xiàn)以采樣間隔，現(xiàn)以采樣間隔T=0.25秒采樣，求取樣后周期序列秒采樣，求取樣后周期序列的頻譜并與原始信號的頻譜并與原始信號x(t)的頻譜進行比較。的頻譜進行比較。求得求得譜線間隔譜線間隔解：解：2022-3-851離散時間周期信號的頻域分析離散時間周期信號的頻域分析在一個周期內(nèi)在一個周期內(nèi)|X(k 0)|= |X(k 0)|，說明離散周期信號，說明離散周期信

35、號在在- 范圍內(nèi)的離散頻譜范圍內(nèi)的離散頻譜，可以準確地等于連續(xù)時間，可以準確地等于連續(xù)時間周期信號的離散頻譜周期信號的離散頻譜2022-3-852離散時間周期信號的頻域分析離散時間周期信號的頻域分析舉例舉例2：(a) 按按fs1=16，Ts1=1/16，則，則每一基本周期取樣點數(shù)每一基本周期取樣點數(shù)N=T0/Ts1=16，則：，則：比較圖比較圖(a)和和(c)，滿足采樣定，滿足采樣定理，不會出現(xiàn)頻率混疊理，不會出現(xiàn)頻率混疊2022-3-853離散時間周期信號的頻域分析離散時間周期信號的頻域分析舉例舉例2：(b) 按按fs2=8，Ts2=1/8，N=T0/Ts2=8，則，則幅度頻譜為：幅度頻譜為

36、：比較圖比較圖(b)和和(c)，不滿足采樣定，不滿足采樣定理，出現(xiàn)頻率混疊，理，出現(xiàn)頻率混疊，f2=5的正的正弦分量混疊到弦分量混疊到f1=3的余弦分量的余弦分量上，上， f1=3混疊到混疊到f2=5上。上。2022-3-854頻率混疊與能量泄漏頻率混疊與能量泄漏q混疊混疊 時域欠采樣時時域欠采樣時，出現(xiàn)頻率混疊無法恢復原信號頻譜，因而，出現(xiàn)頻率混疊無法恢復原信號頻譜，因而不能從時域采樣點準確地重建原連續(xù)信號。同理，不能從時域采樣點準確地重建原連續(xù)信號。同理，頻域欠頻域欠采樣時采樣時，出現(xiàn)波形混疊無法恢復原頻譜對應的信號，也不，出現(xiàn)波形混疊無法恢復原頻譜對應的信號，也不能從頻域采樣值重建原連續(xù)頻譜。能從頻域采樣值重建原連續(xù)頻譜。 改進方法：改進方法：提高采樣速率，增加采樣點數(shù)，減少混疊對頻提高采樣速率，增加采樣點數(shù)，減少混疊對頻譜分析的影響譜分析的影響2022-3-855頻率