全國(guó)數(shù)學(xué)高考二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)19-平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示-2020年高考數(shù)學(xué)(理)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專題19 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示（1）了解平面向量的基本定理及其意義.（2）掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.（3）會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.（4）理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.一、平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.二、平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量

2、a，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使得a=xiyj，這樣，平面內(nèi)的任一向量a都可由x、y唯一確定，我們把（x，y）叫做向量a的坐標(biāo)，記作a=（x，y），其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo).三、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1向量坐標(biāo)的求法（1）若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則=（x2x1，y2y1）.2向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），則ab=（x2+x1，y2+y1），ab=（x1x2，y1y2），a=（x1，y1），|a|=，|ab|=.3平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a

3、=（x1，y1），b=（x2，y2），則abx1y2x2y1=0.4向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a和b，作=a，=b，則AOB=（0°180°）叫做向量a與b的夾角.如果向量a與b的夾角是90°，我們說a與b垂直，記作ab.考向一 平面向量基本定理的應(yīng)用1應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算，共線向量定理的應(yīng)用起著至關(guān)重要的作用當(dāng)基底確定后，任一向量的表示都是唯一的2應(yīng)用平面向量基本定理的關(guān)鍵點(diǎn)（1）平面向量基本定理中的基底必須是兩個(gè)不共線的向量（2）選定基底后，通過向量的加、

4、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量用這一組基底表示出來（3）強(qiáng)調(diào)幾何性質(zhì)在向量運(yùn)算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質(zhì)，如平行、相似等3用平面向量基本定理解決問題的一般思路（1）先選擇一組基底，并運(yùn)用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成該基底的線性組合，再進(jìn)行向量的運(yùn)算（2）在基底未給出的情況下，合理地選取基底會(huì)給解題帶來方便，另外，要熟練運(yùn)用線段中點(diǎn)的向量表達(dá)式.典例1 如圖所示，在中，與相交于點(diǎn)，設(shè)，.（1）試用向量，表示；（2）過點(diǎn)作直線，分別交線段，于點(diǎn)，.記，求證：為定值.【解析】（1）由，三點(diǎn)共線，可設(shè)，由，三點(diǎn)共線，可設(shè)，解得，.（2）由，三點(diǎn)共線，設(shè)，由（1

5、）知，為定值.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，以及平面向量的線性運(yùn)算，其中根據(jù)三點(diǎn)共線，合理設(shè)出向量，列出方程組求解是解答本題的關(guān)鍵，同時(shí)要熟記向量的基本概念和基本的運(yùn)算公式是解答向量問題的基礎(chǔ)，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題1如圖，在中，分別為邊，上的點(diǎn)，且，相交于點(diǎn)，若，則A BC D考向二 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)2解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進(jìn)行求解，并注意方程思想的應(yīng)用.牢記：向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段

6、的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)系兩個(gè)相等的向量，無論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的典例2 已知A(-3,0)，B(0,2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在AOB內(nèi)，且AOC=45，設(shè)OC=OA+(1-)OB(R)，則的值為AB C D【答案】C【解析】AOC=45，設(shè)C(x,-x)，則OC=(x,-x)，又A(-3,0)，B(0,2)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算知OA+(1-)OB=(-3,2-2)，所以.故選C.典例3 已知，設(shè)，.（1）求；（2）求滿足的實(shí)數(shù)，.【解析】（1）由已知得，則.（2），.2把點(diǎn)按向量移到點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則點(diǎn)的坐標(biāo)為ABCD考向三 向量共線（平行）的坐標(biāo)表示1利用兩向量共線

7、的條件求向量坐標(biāo)一般地，在求與一個(gè)已知向量共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為 ()，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量2利用兩向量共線求參數(shù)如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，則利用“若，則的充要條件是”解題比較方便3三點(diǎn)共線問題A，B，C三點(diǎn)共線等價(jià)于與共線4利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求三角函數(shù)值：利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為三角方程，再利用三角恒等變換求解.典例4 已知e1,e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，AB=2e1+e2，BE=e1+e2，EC=2e1+e2，且A,E,C三點(diǎn)共線.（1）求實(shí)數(shù)的值;（2）若e1=(2,1),e2=(2,2),求BC的坐標(biāo);（3

8、）已知點(diǎn)D(3,5)，在（2）的條件下，若A,B,C,D四點(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)A的坐標(biāo).【解析】（1）AE=AB+BE=(2e1+e2)+(e1+e2)=e1+(1+)e2.A,E,C三點(diǎn)共線,存在實(shí)數(shù)k,使得AE=kEC，即e1+(1+)e2=k(2e1+e2)，即(1+2k)e1+(1+k)e2=0.e1,e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量,1+2k=0且1+k=0,解得k=,=.故實(shí)數(shù)的值為.（2）由（1）知,BE=e1e2,則BC=BE+EC=3e1e2=3(2,1)(2,2)=(6,3)(1,1)=(7,2).故BC的坐標(biāo)為(7,2).（3）A,B,C,D四點(diǎn)按逆時(shí)針順序

9、構(gòu)成平行四邊形,AD=BC.設(shè)A(x,y)，則AD=(3x,5y).由（2）知,BC=(7,2),解得,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,7).3已知，若，則A BC D1在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，向量的坐標(biāo)是A BC D2下列各組向量中，能作為平面上一組基底的是A， B，C， D，3已知，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為ABCD4已知向量，若向量與向量平行，則實(shí)數(shù)A4 B2C4 D25在中，點(diǎn)在邊上，且，設(shè)，則ABCD6已知向量，平面上任意向量都可以唯一地表示為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A BC D7已知在中，兩直角邊，是內(nèi)一點(diǎn)，且，設(shè)，則A BC3 D8在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若點(diǎn)滿足,則_.9已知向量，若，則_10

10、已知向量，若，則的值為_11如圖，在中，AN=23NC，P是BN上一點(diǎn)，若AP=tAB+13AC，則實(shí)數(shù)t的值為_12已知點(diǎn)，設(shè)向量.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求向量的坐標(biāo).13如圖，在平行四邊形中，是上一點(diǎn)，且.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）記，試用表示向量，.14已知向量，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.1（2016新課標(biāo)全國(guó)理科）已知向量，且，則m=A8 B6C6 D82（2017新課標(biāo)全國(guó)理科）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若，則的最大值為A3B2CD23（2018新課標(biāo)全國(guó)理科）已知向量，若，則_4（2017江蘇）如圖，在同一個(gè)平

11、面內(nèi)，向量，的模分別為1，1，與的夾角為，且=7，與的夾角為45°若，則 變式拓展1【答案】C【解析】設(shè)，則，因?yàn)?，三點(diǎn)共線，所以，同理由，三點(diǎn)共線，得.所以，.所以.故選C【名師點(diǎn)睛】（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算（2）用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決2【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)按向量移動(dòng)后得到點(diǎn)，所以，設(shè)，則,，又，所以，解得，所以.故選C.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)表示和運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力.3【答案

12、】B【解析】，=（1，2）+（0，2）=（1，4），k=8故選B【名師點(diǎn)睛】本題考查用向量坐標(biāo)來表示兩個(gè)向量平行的關(guān)系.解本題時(shí)，先求出，再由，能求出k=8專題沖關(guān)1【答案】D【解析】因?yàn)锳(2，2)，B(1，1)，所以故選D2【答案】D【解析】對(duì)于A，向量共線，不能作為基底；對(duì)于B，零向量不能作為基底；對(duì)于C，向量共線，不能作為基底；對(duì)于D，向量不共線，可作為基底.故選D【名師點(diǎn)睛】本題考查了向量共線的判定、基底的定義，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握平面向量的基本定理是解題的關(guān)鍵.注意只有兩向量不共線才可以作為基底，判定各組向量是否共線即可.3【答案】D【解析】設(shè)，則，根據(jù)得，即，解得，故選D4【答案

13、】D【解析】由向量，得，則，向量與向量平行，得，故選D【名師點(diǎn)睛】利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是出題的熱點(diǎn)，主要命題方式有兩個(gè)：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.5【答案】A【解析】在中，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?所以，故選A6【答案】C【解析】根據(jù)平面向量基本定理可知，若平面上任意向量都可以唯一地表示為，則向量，不共線，由，得，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是故選7【答案】A【解析】如圖，以A為原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸，以AC所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），因?yàn)镈AB=60°，所以可設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，），則=（1，0）+（0

14、，2）=（，2）=m，=，所以故選A【名師點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的坐標(biāo)表示，根據(jù)條件建立平面直角坐標(biāo)系，分別寫出B、C點(diǎn)坐標(biāo)，由于DAB=60°，可設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，），再由平面向量坐標(biāo)表示，即可求出和8【答案】【解析】因?yàn)?，所以為的重心，故的坐?biāo)為，即，故.9【答案】【解析】向量，且，解得， ，則，故答案為.【名師點(diǎn)睛】本題考查兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量的線性運(yùn)算以及向量模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.10【答案】2【解析】因?yàn)椋?因?yàn)?，所?11【答案】16【解析】由題意知，AP=AB+BP=AB+mBN=AB+m(AN-AB)=mAN+(1-m)AB，又AN=23NC，所以AN

15、=25AC，AP=25mAC+（1m）AB，又AP=tAB+13AC，所以1-m=t25m=13，解得m=56，t=16，故答案為1612【解析】（1）由題得，又不共線，所以由平面向量的基本定理得.（2）由題得，所以.【名師點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算與坐標(biāo)運(yùn)算的問題，也考查了向量的相等問題以及解方程組的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題13【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，所以.（2），.14【解析】（1）因?yàn)椋?，于是，?dāng)時(shí)，與矛盾，所以，故，所以.（2）由知， ，即，從而，即，于是，又由知，所以或，因此或.直通高考1【答案】D【解析】，由得，解得，故選D.【名師點(diǎn)睛】已知非零向

16、量，：幾何表示坐標(biāo)表示模|a|夾角ab的充要條件x1x2y1y202【答案】A【解析】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè),易得圓的半徑，即圓C的方程是，若滿足，則 ，所以，設(shè)，即，點(diǎn)在圓上，所以圓心到直線的距離，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故選A.【名師點(diǎn)睛】（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.（2）用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.3【答案】【解析】由題可得，即，故答案為.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.解題時(shí)，由兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系計(jì)算即可.4【答案】3【解析】由可得，根據(jù)向量的分解，易得，即，即，即得，