分解因式全部方法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上分解因式全部方法因式分解沒有普遍的方法，初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提公因式法、公式法。而在競(jìng)賽上，又有拆項(xiàng)和添減項(xiàng)法，分組分解法和十字相乘法，待定系數(shù)法，雙十字相乘法，對(duì)稱多項(xiàng)式輪換對(duì)稱多項(xiàng)式法，余數(shù)定理法，求根公式法，換元法，長(zhǎng)除法，除法等。 注意三原則 1 分解要徹底 2 最后結(jié)果只有小括號(hào) 3 最后結(jié)果中多項(xiàng)式首項(xiàng)系數(shù)為正（例如：-3x2+x=-x(3x-1)） 編輯本段基本方法 提公因式法 各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。 如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法

2、。 具體方法：當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的次數(shù)取最低的。 如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出“-”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)成為正數(shù)。提出“-”號(hào)時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào)。 口訣：找準(zhǔn)公因式，一次要提凈；全家都搬走，留1把家守；提負(fù)要變號(hào)，變形看奇偶。 例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 注意：把2a2+1/2變成2(a2+1/4)不叫提公因式 公式法 如果把乘法公式反過來(lái)，就可以把某些多項(xiàng)式

3、分解因式，這種方法叫公式法。 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)； 完全平方公式：a2±2abb2(a±b)2； 注意：能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式必須是三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)能寫成兩個(gè)數(shù)(或式)的平方和的形式，另一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)(或式)的積的2倍。 立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； 立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)； 完全立方公式：a3±3a2b3ab2±b3=(a±b)3 公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) 例如：a2 +4ab+4b

4、2 =(a+2b)2。 （3）分解因式技巧 1.分解因式與整式乘法是互為逆變形。 2.分解因式技巧掌握： 等式左邊必須是多項(xiàng)式； 分解因式的結(jié)果必須是以乘積的形式表示； 每個(gè)因式必須是整式，且每個(gè)因式的次數(shù)都必須低于原來(lái)多項(xiàng)式的次數(shù)； 分解因式必須分解到每個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止。 注：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應(yīng)從系數(shù)和因式兩個(gè)方面考慮。 3.提公因式法基本步驟： （1）找出公因式； （2）提公因式并確定另一個(gè)因式： 第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)在確定字母； 第二步提公因式并確定另一個(gè)因式，注意要確定另一個(gè)因式，可用原多項(xiàng)式除以公因式，所得的商即是提公因

5、式后剩下的一個(gè)因式，也可用公因式分別除去原多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，求的剩下的另一個(gè)因式； 提完公因式后，另一因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同。 編輯本段競(jìng)賽用到的方法 分組分解法 分組分解是解方程的一種簡(jiǎn)潔的方法，我們來(lái)學(xué)習(xí)這個(gè)知識(shí)。 能分組分解的方程有四項(xiàng)或大于四項(xiàng)，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。 比如： ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y) 我們把a(bǔ)x和ay分一組，bx和by分一組，利用乘法分配律，兩兩相配，立即解除了困難。 同樣，這道題也可以這樣做。 ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y) 幾道例題： 1

6、. 5ax+5bx+3ay+3by 解法：=5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b) 說(shuō)明：系數(shù)不一樣一樣可以做分組分解，和上面一樣，把5ax和5bx看成整體，把3ay和3by看成一個(gè)整體，利用乘法分配律輕松解出。 2. x3-x2+x-1 解法：=(x3-x2)+(x-1) =x2(x-1)+ (x-1) =(x-1)(x2+1) 利用二二分法，提公因式法提出x2，然后相合輕松解決。 3. x2-x-y2-y 解法：=(x2-y2)-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1) 利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相

7、合解決。 十字相乘法 這種方法有兩種情況。 x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 這類二次三項(xiàng)式的特點(diǎn)是：二次項(xiàng)的系數(shù)是1；常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的積；一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)的和。因此，可以直接將某些二次項(xiàng)的系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) kx2+mx+n型的式子的因式分解 如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m時(shí)，那么kx2+mx+n=(ax+b)(cx+d) 圖示如下： × c d 例如：因?yàn)?1 -3 × 7 2 -3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19， 所以7x2-19x-6=(7

8、x+2)(x-3) 十字相乘法口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中 拆項(xiàng)、添項(xiàng)法 這種方法指把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)），使原式適合于提公因式法、運(yùn)用公式法或分組分解法進(jìn)行分解。要注意，必須在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形。 例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =

9、(c+b)(c-a)(a+b) 配方法 對(duì)于某些不能利用公式法的多項(xiàng)式，可以將其配成一個(gè)完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法。屬于拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形。 例如：x²+3x-40 =x²+3x+2.25-42.25 =(x+1.5)²-(6.5)² =(x+8)(x-5) 應(yīng)用因式定理 對(duì)于多項(xiàng)式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a 例如：f(x)=x²+5x+6，f(-2)=0，則可確定x+2是x²+5x+6的一個(gè)因式。(事實(shí)上

10、，x²+5x+6=(x+2)(x+3) 注意：1、對(duì)于系數(shù)全部是整數(shù)的多項(xiàng)式，若X=q/p（p,q為互質(zhì)整數(shù)時(shí)）該多項(xiàng)式值為零，則q為常數(shù)項(xiàng)約數(shù)，p最高次項(xiàng)系數(shù)約數(shù)； 2、對(duì)于多項(xiàng)式f(a)=0,b為最高次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)，則有a為c/b約數(shù) 換元法 有時(shí)在分解因式時(shí)，可以選擇多項(xiàng)式中的相同的部分換成另一個(gè)未知數(shù)，然后進(jìn)行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來(lái)，這種方法叫做換元法。 注意:換元后勿忘還元. 例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12時(shí)，可以令y=x²+x,則 原式=(y+1)(y+2)-12 =y²+3y+2-12=y²+3

11、y-10 =(y+5)(y-2) =(x²+x+5)(x²+x-2) =(x²+x+5)(x+2)(x-1) 也可以參看右圖。 求根法 令多項(xiàng)式f(x)=0,求出其根為x1，x2，x3，xn，則該多項(xiàng)式可分解為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn) 例如在分解2x4+7x3-2x2-13x+6時(shí)，令2x4 +7x3-2x2-13x+6=0， 則通過綜合除法可知，該方程的根為0.5 ，-3，-2，1 所以2x4+7x3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 圖象法 令y=f(x)，做出函數(shù)y=f(x)的圖象，找到函數(shù)圖像

12、與X軸的交點(diǎn)x1 ,x2 ,x3 ,xn ，則多項(xiàng)式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn) 與方法相比，能避開解方程的繁瑣，但是不夠準(zhǔn)確。 例如在分解x3 +2x2-5x-6時(shí)，可以令y=x3; +2x2 -5x-6. 作出其圖像，與x軸交點(diǎn)為-3，-1，2 則x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 主元法 先選定一個(gè)字母為主元，然后把各項(xiàng)按這個(gè)字母次數(shù)從高到低排列，再進(jìn)行因式分解。 特殊值法 將2或10代入x，求出數(shù)p，將數(shù)p分解質(zhì)因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合，并將組合后的每一個(gè)因數(shù)寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因

13、式分解式。 例如在分解x3+9x2+23x+15時(shí)，令x=2，則 x3 +9x2+23x+15=8+36+46+15=105， 將105分解成3個(gè)質(zhì)因數(shù)的積，即105=3×5×7 注意到多項(xiàng)式中最高項(xiàng)的系數(shù)為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時(shí)的值， 則x3+9x2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，驗(yàn)證后的確如此。 待定系數(shù)法 首先判斷出分解因式的形式，然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多項(xiàng)式因式分解。 例如在分解x4-x3-5x2-6x-4時(shí)，由分析可知：這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有一次因式，因而只能分解為兩個(gè)二次因式。 于是設(shè)x4

14、-x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd 由此可得a+c=-1， ac+b+d=-5， ad+bc=-6， bd=-4 解得a=1，b=1，c=-2，d=-4 則x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4) 也可以參看右圖。 雙十字相乘法 雙十字相乘法屬于因式分解的一類，類似于十字相乘法。 雙十字相乘法就是二元二次六項(xiàng)式，啟始的式子如下: ax2+bxy+cy2+dx+ey+f x、y為未知數(shù)，其余都是常數(shù) 用一道例題來(lái)說(shuō)明如何使用。 例：分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y

15、+12 分析：這是一個(gè)二次六項(xiàng)式，可考慮使用雙十字相乘法進(jìn)行因式分解。 解：圖如下，把所有的數(shù)字交叉相連即可 x 2y 2 x 3y 6 原式=(x+2y+2)(x+3y+6) 雙十字相乘法其步驟為： 先用十字相乘法分解2次項(xiàng)，如十字相乘圖中x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)； 先依一個(gè)字母（如y）的一次系數(shù)分?jǐn)?shù)常數(shù)項(xiàng)。如十字相乘圖中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6)； 再按另一個(gè)字母（如x）的一次系數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，如十字相乘圖，這一步不能省，否則容易出錯(cuò)。 編輯本段多項(xiàng)式因式分解的一般步驟： 如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式； 如果各項(xiàng)沒有公因式，那么可

16、嘗試運(yùn)用公式、十字相乘法來(lái)分解； 如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組、拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法來(lái)分解； 分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止。 也可以用一句話來(lái)概括：“先看有無(wú)公因式，再看能否套公式。十字相乘試一試，分組分解要合適?！?幾道例題 1分解因式(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2 解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1-y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（補(bǔ)項(xiàng)） =(1+y)+x2(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（完全平方） =(1+y)+x2(1-y)2-(2x)2 =(1+y)+x2

17、(1-y)+2x(1+y)+x2(1-y)-2x =(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1) =(x+1)2-y(x2-1)(x-1)2-y(x2-1) =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y) 2求證：對(duì)于任何實(shí)數(shù)x,y，下式的值都不會(huì)為33： x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5 解：原式=(x5+3x4y)-(5x3y2+15x2y3)+(4xy4+12y5) =x4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y4(x+3y) =(x+3y)(x4-5x2y2+4y4) =(x+3y)(x2-4y2)(x2-y2) =(x+3

18、y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y) （分解因式的過程也可以參看右圖。） 當(dāng)y=0時(shí)，原式=x5不等于33；當(dāng)y不等于0時(shí)，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四個(gè)以上不同因數(shù)的積，所以原命題成立。 3.ABC的三邊a、b、c有如下關(guān)系式：-c2+a2+2ab-2bc=0，求證：這個(gè)三角形是等腰三角形。 分析：此題實(shí)質(zhì)上是對(duì)關(guān)系式的等號(hào)左邊的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。 證明：-c2+a2+2ab-2bc=0， (a+c)(a-c)+2b(a-c)=0 (a-c)(a+2b+c)=0 a、b、c是ABC的三條邊， a2bc0 ac0， 即ac，ABC為等腰三角形。 4把-12x2n×yn+18x(n+2)y(n+1)-6xn×y(n-1)分解因式。 解：-12x2n×yn+18x(n+2)y(n+1)-6xn×y(n-1) =-6xn×y(n-1)(2xn×y-3x2y2+1) 編輯本段因式分解四個(gè)注意： 因式分解中的四個(gè)注意，可用四句話概括如下：首項(xiàng)有負(fù)常提負(fù)，各項(xiàng)有“公”先提“公”，某項(xiàng)提出莫漏1，括號(hào)里面分到“底”。 現(xiàn)舉下例 可供參考 例1 把a(bǔ)2b