理論力學(xué)電子教案清華大學(xué)第11章

1、返回返回 在慣性參考系在慣性參考系Oxyz中，設(shè)一非自由中，設(shè)一非自由質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，加速度為，加速度為a，在主動(dòng)，在主動(dòng)力、約束力作用下運(yùn)動(dòng)。由牛頓第二力、約束力作用下運(yùn)動(dòng)。由牛頓第二定律，有定律，有 NFFam若將上式左端的若將上式左端的ma移至右端，則有移至右端，則有 0NaFFmaFmI0INFFF 可以假想可以假想FI是一個(gè)力，它的大小等于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速是一個(gè)力，它的大小等于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積，方向與質(zhì)點(diǎn)加速度的方向相反。因其與質(zhì)點(diǎn)的度的乘積，方向與質(zhì)點(diǎn)加速度的方向相反。因其與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量有關(guān)，故稱為達(dá)朗貝爾慣性力質(zhì)量有關(guān)，故稱為達(dá)朗貝爾慣性力(dAlembert

2、inertial force)，簡稱慣性力。，簡稱慣性力。 0INFFF 上述方程形式上是一靜力平衡方程?？梢?，由于引入了上述方程形式上是一靜力平衡方程?？梢姡捎谝肓诉_(dá)朗貝爾慣性力，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為形式上的靜力平達(dá)朗貝爾慣性力，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為形式上的靜力平衡問題。衡問題。 返回返回 這里僅討論剛體有質(zhì)量對稱這里僅討論剛體有質(zhì)量對稱面且轉(zhuǎn)軸與質(zhì)量對稱面垂直的面且轉(zhuǎn)軸與質(zhì)量對稱面垂直的情形。這種情形下，可以先將情形。這種情形下，可以先將慣性力系簡化在質(zhì)量對稱面內(nèi)，慣性力系簡化在質(zhì)量對稱面內(nèi)，然后再進(jìn)一步簡化。然后再進(jìn)一步簡化。 設(shè)剛體的質(zhì)量為設(shè)剛體的質(zhì)量為m ；剛體對軸；剛體對軸O的

3、轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為動(dòng)慣量為J O ；角速度與角加速度分別；角速度與角加速度分別為為與與。對稱平面上第。對稱平面上第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為為mi；至軸至軸O的距離為的距離為ri ；切向加速度切向加速度和法向加速度分別為和法向加速度分別為ati和和ani ，相應(yīng)的，相應(yīng)的慣性力分別為慣性力分別為F tIi和和F nIi 。所有質(zhì)點(diǎn)的。所有質(zhì)點(diǎn)的慣性力組成平面力系。慣性力組成平面力系。 再將平面慣性力系向點(diǎn)再將平面慣性力系向點(diǎn)O簡化，簡化，得一力和一力偶。因?yàn)樗匈|(zhì)點(diǎn)得一力和一力偶。因?yàn)樗匈|(zhì)點(diǎn)的法向慣性力都通過的法向慣性力都通過O點(diǎn)，所以點(diǎn)，所以所有質(zhì)點(diǎn)法向慣性力對所有質(zhì)點(diǎn)法向慣性力對O點(diǎn)之矩點(diǎn)

4、之矩的和等于零：的和等于零： 0)(nIiOMF于是，剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性力系向于是，剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性力系向點(diǎn)點(diǎn)O簡化，得到簡化，得到 ntIRCCCmmmaaaFOiiiOOJrmMM)()(2tIIF 上述結(jié)果表明，有質(zhì)量對稱面的剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，且轉(zhuǎn)軸上述結(jié)果表明，有質(zhì)量對稱面的剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，且轉(zhuǎn)軸垂直于對稱平面時(shí)，其慣性力系向軸心簡化的結(jié)果為對稱面垂直于對稱平面時(shí)，其慣性力系向軸心簡化的結(jié)果為對稱面內(nèi)的一力和一力偶。內(nèi)的一力和一力偶。 力的矢量等于慣性力系的主矢，其大小等于剛體質(zhì)量與力的矢量等于慣性力系的主矢，其大小等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度相反。質(zhì)心加速度的

5、乘積，方向與質(zhì)心加速度相反。 力偶的力偶矩等于慣性力系對轉(zhuǎn)軸的主矩，其大小為剛力偶的力偶矩等于慣性力系對轉(zhuǎn)軸的主矩，其大小為剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，方向與角加速度的體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，方向與角加速度的方向相反。方向相反。 ntIRCCCmmmaaaFOiiiOOJrmMM)()(2tIIF 在工程構(gòu)件中，作平面運(yùn)動(dòng)的剛體往往都有質(zhì)量對稱面，而在工程構(gòu)件中，作平面運(yùn)動(dòng)的剛體往往都有質(zhì)量對稱面，而且剛體在平行于這一平面的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。因此，仍先將慣性且剛體在平行于這一平面的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。因此，仍先將慣性力系簡化為對稱面內(nèi)的平面力系，然后再作進(jìn)一步簡化。力系簡化為對稱面內(nèi)的

6、平面力系，然后再作進(jìn)一步簡化。 設(shè)剛體的質(zhì)量為設(shè)剛體的質(zhì)量為m，對質(zhì)心軸對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO，角速度和角加速角速度和角加速度分別為度分別為和和 。 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的結(jié)果表明，平面圖形的運(yùn)動(dòng)可以分解為隨質(zhì)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的結(jié)果表明，平面圖形的運(yùn)動(dòng)可以分解為隨質(zhì)心的平移和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)。心的平移和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)。CmaFIR 因此，簡化到對稱平面內(nèi)的慣性力因此，簡化到對稱平面內(nèi)的慣性力系由兩部分組成：剛體隨質(zhì)心平移的慣性系由兩部分組成：剛體隨質(zhì)心平移的慣性力系簡化為一通過質(zhì)心的力；繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)力系簡化為一通過質(zhì)心的力；繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性力系簡化為一力偶。該力和力偶分的慣性力系簡化為一力偶。該力和力偶

7、分別為別為 CiiiCCJrmMM)()(2tIIF 上述簡化結(jié)果表明，有質(zhì)量對稱面的剛體作平面運(yùn)動(dòng)，上述簡化結(jié)果表明，有質(zhì)量對稱面的剛體作平面運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)平面平行于對稱平面時(shí)，其慣性力系向質(zhì)心且運(yùn)動(dòng)平面平行于對稱平面時(shí)，其慣性力系向質(zhì)心C簡化的簡化的結(jié)果為對稱面內(nèi)的一力和一力偶結(jié)果為對稱面內(nèi)的一力和一力偶CmaFIR 這一力的矢量等于慣性力系的主矢，其大小為剛體質(zhì)這一力的矢量等于慣性力系的主矢，其大小為剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度相反；這一力偶量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度相反；這一力偶的力偶矩等于慣性力系對質(zhì)心的力偶矩等于慣性力系對質(zhì)心C的主矩，其大小為剛體對軸的主

8、矩，其大小為剛體對軸C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，方向與角加速度的方向相的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，方向與角加速度的方向相反。反。 CiiiCCJrmMM)()(2tIIF返回返回 電動(dòng)機(jī)外殼和定子的總質(zhì)量電動(dòng)機(jī)外殼和定子的總質(zhì)量為為m1，質(zhì)心質(zhì)心O與轉(zhuǎn)子的中心重合；與轉(zhuǎn)子的中心重合；轉(zhuǎn)子的質(zhì)量為轉(zhuǎn)子的質(zhì)量為m2 ，由于制造或，由于制造或安裝誤差，轉(zhuǎn)子的質(zhì)心安裝誤差，轉(zhuǎn)子的質(zhì)心O1到定子到定子的質(zhì)心的質(zhì)心O的距離為的距離為e，已知轉(zhuǎn)子以已知轉(zhuǎn)子以等角速等角速轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)。 求：求：電動(dòng)機(jī)機(jī)座的約束力偶。電動(dòng)機(jī)機(jī)座的約束力偶。 解：解：在第在第5章的例題章的例題2中，已中，已經(jīng)解出電動(dòng)機(jī)機(jī)座的水平

9、約束力和經(jīng)解出電動(dòng)機(jī)機(jī)座的水平約束力和鉛垂約束力，但無法確定約束力偶。鉛垂約束力，但無法確定約束力偶。現(xiàn)在，采用動(dòng)靜法可以確定約束力現(xiàn)在，采用動(dòng)靜法可以確定約束力偶。偶。 電機(jī)所受真實(shí)力有電機(jī)所受真實(shí)力有慣性力慣性力FxFyMaO2m1g、 m2g 、 Fx 、Fy、M；FI慣性力的大小為慣性力的大小為 22IemF 方向與質(zhì)心加速度相反。因轉(zhuǎn)子勻方向與質(zhì)心加速度相反。因轉(zhuǎn)子勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，只有法向加速度，故慣性速轉(zhuǎn)動(dòng)，只有法向加速度，故慣性力方向沿力方向沿O1O2向外。向外。 應(yīng)用動(dòng)靜法，由平衡方程應(yīng)用動(dòng)靜法，由平衡方程 0AM0sinsin2thFtgemMI)(sinsinsin222hgte

10、mthFtgemMIFxFyMaO2 電機(jī)所受真實(shí)力有電機(jī)所受真實(shí)力有m1g、 m2g 、 Fx 、Fy、M；慣性力如圖所示。；慣性力如圖所示。 長為長為l、重為重為W 的均質(zhì)桿的均質(zhì)桿AB，其其A端鉸接在鉛垂軸端鉸接在鉛垂軸z上，并以勻角上，并以勻角速繞此軸轉(zhuǎn)動(dòng)。速繞此軸轉(zhuǎn)動(dòng)。 求求: 當(dāng)桿當(dāng)桿AB與軸間的夾角與軸間的夾角60時(shí)，時(shí)， 的數(shù)值及鉸鏈的數(shù)值及鉸鏈A處的約束力。處的約束力。 解：解：作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的桿AB對對z軸沒有質(zhì)軸沒有質(zhì)量對稱面。但注意到在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，量對稱面。但注意到在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，桿桿AB上的點(diǎn)均在垂直于軸的平面內(nèi)作上的點(diǎn)均在垂直于軸的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，且由

11、于勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，各點(diǎn)僅圓周運(yùn)動(dòng)，且由于勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，各點(diǎn)僅有法向加速度。有法向加速度。 同時(shí)由于同時(shí)由于 角為常數(shù)，所以桿角為常數(shù)，所以桿AB上的慣性力沿上的慣性力沿z方向線性分方向線性分布布(三角形分布三角形分布)，并位于桿和軸的軸線所組成的平面內(nèi)。，并位于桿和軸的軸線所組成的平面內(nèi)。 慣性力合力的大小為慣性力合力的大小為 2Isin2lgWmaFC根據(jù)三角形分布慣性力的特點(diǎn)，慣性力合根據(jù)三角形分布慣性力的特點(diǎn)，慣性力合力作用線應(yīng)通過三角形的重心，即力作用線應(yīng)通過三角形的重心，即 lAD32 應(yīng)用動(dòng)靜法，重力、應(yīng)用動(dòng)靜法，重力、A處的約束力和慣性力組成平衡力系。于是，處的約束力和慣性力組成平衡力系。

12、于是，有有 0sin2cos320ILWlFMA00IxxFFF00WFFyy解得解得 0sin2cos320ILWlFMA00IxxFFF00WFFyyLg3lWFFx433IWFy 均質(zhì)圓柱體重為均質(zhì)圓柱體重為W，半徑為，半徑為R，沿傾，沿傾斜平板從靜止?fàn)顟B(tài)開始，自固定斜平板從靜止?fàn)顟B(tài)開始，自固定O處向下處向下作純滾動(dòng)。平板相對水平線的傾角為作純滾動(dòng)。平板相對水平線的傾角為 ，忽略板的重量。忽略板的重量。 試求：試求： 固定端固定端O處的約束力。處的約束力。0CMIIsin0CWRFRM 以圓柱體為研究對象，畫出包括真以圓柱體為研究對象，畫出包括真實(shí)力和慣性力系的受力圖。對實(shí)力和慣性力系的

13、受力圖。對C點(diǎn)取點(diǎn)取矩，有矩，有 以圓柱體為研究對象，畫出包括真實(shí)以圓柱體為研究對象，畫出包括真實(shí)力和慣性力系的受力圖。對力和慣性力系的受力圖。對C點(diǎn)取矩，有點(diǎn)取矩，有 0CMIIsin0CWRFRMIICCCWFaMJg,由于圓柱體純滾動(dòng)，因而有由于圓柱體純滾動(dòng)，因而有 RaCsin32gaC 以整體為研究對象，畫出受力圖。動(dòng)靜法以整體為研究對象，畫出受力圖。動(dòng)靜法的平衡方程為的平衡方程為 00II00II0cos00sin00sincos0 xxyyCFFFFFFWMMMFRWRWSIICCCWFaMJg,RaC00I2I0II2cossin cossin2332sin(1sin)3sin

14、cos cos xyCWWFFFWFWMWRWsMF RWs返回返回 慣性力系的主矢與質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量對時(shí)間的的變化率，慣性力系的主矢與質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量對時(shí)間的的變化率，二者僅僅相差一負(fù)號(hào)。二者僅僅相差一負(fù)號(hào)。 具有對稱平面的剛體繞垂直于對稱平面的固定軸轉(zhuǎn)具有對稱平面的剛體繞垂直于對稱平面的固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，慣性力系向固定軸簡化得到的主矩與剛體對動(dòng)時(shí)，慣性力系向固定軸簡化得到的主矩與剛體對同一同一點(diǎn)的動(dòng)量矩對時(shí)間所變化率僅僅相差一負(fù)號(hào)點(diǎn)的動(dòng)量矩對時(shí)間所變化率僅僅相差一負(fù)號(hào)。 應(yīng)用動(dòng)靜法解題的關(guān)鍵是慣性力系的簡化，而正確簡化應(yīng)用動(dòng)靜法解題的關(guān)鍵是慣性力系的簡化，而正確簡化慣性力的前提是準(zhǔn)確的運(yùn)動(dòng)分析。因此將動(dòng)力

15、學(xué)普遍定理與慣性力的前提是準(zhǔn)確的運(yùn)動(dòng)分析。因此將動(dòng)力學(xué)普遍定理與動(dòng)靜法綜合應(yīng)用，往往會(huì)達(dá)到事半功倍的效果。動(dòng)靜法綜合應(yīng)用，往往會(huì)達(dá)到事半功倍的效果。 請分析研究直線行駛的卡車請分析研究直線行駛的卡車 分別用動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理求運(yùn)動(dòng)，再用分別用動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理求運(yùn)動(dòng)，再用動(dòng)靜法求約束反力。動(dòng)靜法求約束反力。 應(yīng)用動(dòng)靜法解題的關(guān)鍵是慣性力系的簡化，而正確應(yīng)用動(dòng)靜法解題的關(guān)鍵是慣性力系的簡化，而正確簡化慣性力的前提是準(zhǔn)確的運(yùn)動(dòng)分析。因此將動(dòng)力學(xué)普簡化慣性力的前提是準(zhǔn)確的運(yùn)動(dòng)分析。因此將動(dòng)力學(xué)普遍定理與動(dòng)靜法綜合應(yīng)用，往往會(huì)達(dá)到事半功倍的效果。遍定理與動(dòng)靜法綜合應(yīng)用，往往會(huì)達(dá)

16、到事半功倍的效果。 請分析研究安裝在懸臂梁端請分析研究安裝在懸臂梁端的電動(dòng)機(jī)提升設(shè)備的電動(dòng)機(jī)提升設(shè)備 分別用動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理分別用動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理求運(yùn)動(dòng)，再用動(dòng)靜和動(dòng)能定理求運(yùn)動(dòng)，再用動(dòng)靜法求約束反力。法求約束反力。 應(yīng)用動(dòng)靜法解題的關(guān)鍵是慣性力系的簡化，而正確簡應(yīng)用動(dòng)靜法解題的關(guān)鍵是慣性力系的簡化，而正確簡化慣性力的前提是準(zhǔn)確的運(yùn)動(dòng)分析。因此將動(dòng)力學(xué)普遍定化慣性力的前提是準(zhǔn)確的運(yùn)動(dòng)分析。因此將動(dòng)力學(xué)普遍定理與動(dòng)靜法綜合應(yīng)用，往往會(huì)達(dá)到事半功倍的效果。理與動(dòng)靜法綜合應(yīng)用，往往會(huì)達(dá)到事半功倍的效果。 請分析研究純滾動(dòng)的圓柱體與重物等組成的剛體系統(tǒng)請分析研究純滾動(dòng)的圓柱體與重物等組成的剛體系統(tǒng) 分別用動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理求運(yùn)動(dòng)，再用分別用動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理求運(yùn)動(dòng)，再用動(dòng)靜法求約束反力。動(dòng)靜法求約束反力。 返回返回返回返回振動(dòng)篩振動(dòng)篩NIINNINI 車載桿件車載桿件AB在在B處為鉸鏈約束，處為鉸鏈約束，A處為光滑面約束，若已處為光滑面約束，若已知汽車以等加速度知汽車以等加速度a在平坦的路面上行駛，桿件的重量為在平坦的路面上行駛，桿件的重量為W、長度為長度為l,桿件與車廂水平面的夾角為桿件與車廂水平面的夾角為。A、B二處的約束力。二處的約束力。 桿件桿件AB跟隨汽車作平移，因此桿件上