理論力學電子教案清華大學第11章

1、返回返回 在慣性參考系在慣性參考系Oxyz中，設(shè)一非自由中，設(shè)一非自由質(zhì)點的質(zhì)量為質(zhì)點的質(zhì)量為m，加速度為，加速度為a，在主動，在主動力、約束力作用下運動。由牛頓第二力、約束力作用下運動。由牛頓第二定律，有定律，有 NFFam若將上式左端的若將上式左端的ma移至右端，則有移至右端，則有 0NaFFmaFmI0INFFF 可以假想可以假想FI是一個力，它的大小等于質(zhì)點的質(zhì)量與加速是一個力，它的大小等于質(zhì)點的質(zhì)量與加速度的乘積，方向與質(zhì)點加速度的方向相反。因其與質(zhì)點的度的乘積，方向與質(zhì)點加速度的方向相反。因其與質(zhì)點的質(zhì)量有關(guān)，故稱為達朗貝爾慣性力質(zhì)量有關(guān)，故稱為達朗貝爾慣性力(dAlembert

2、inertial force)，簡稱慣性力。，簡稱慣性力。 0INFFF 上述方程形式上是一靜力平衡方程?？梢?，由于引入了上述方程形式上是一靜力平衡方程?？梢姡捎谝肓诉_朗貝爾慣性力，質(zhì)點動力學問題轉(zhuǎn)化為形式上的靜力平達朗貝爾慣性力，質(zhì)點動力學問題轉(zhuǎn)化為形式上的靜力平衡問題。衡問題。 返回返回 這里僅討論剛體有質(zhì)量對稱這里僅討論剛體有質(zhì)量對稱面且轉(zhuǎn)軸與質(zhì)量對稱面垂直的面且轉(zhuǎn)軸與質(zhì)量對稱面垂直的情形。這種情形下，可以先將情形。這種情形下，可以先將慣性力系簡化在質(zhì)量對稱面內(nèi)，慣性力系簡化在質(zhì)量對稱面內(nèi)，然后再進一步簡化。然后再進一步簡化。 設(shè)剛體的質(zhì)量為設(shè)剛體的質(zhì)量為m ；剛體對軸；剛體對軸O的

3、轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量為動慣量為J O ；角速度與角加速度分別；角速度與角加速度分別為為與與。對稱平面上第。對稱平面上第i個質(zhì)點的質(zhì)量個質(zhì)點的質(zhì)量為為mi；至軸至軸O的距離為的距離為ri ；切向加速度切向加速度和法向加速度分別為和法向加速度分別為ati和和ani ，相應(yīng)的，相應(yīng)的慣性力分別為慣性力分別為F tIi和和F nIi 。所有質(zhì)點的。所有質(zhì)點的慣性力組成平面力系。慣性力組成平面力系。 再將平面慣性力系向點再將平面慣性力系向點O簡化，簡化，得一力和一力偶。因為所有質(zhì)點得一力和一力偶。因為所有質(zhì)點的法向慣性力都通過的法向慣性力都通過O點，所以點，所以所有質(zhì)點法向慣性力對所有質(zhì)點法向慣性力對O點之矩點

4、之矩的和等于零：的和等于零： 0)(nIiOMF于是，剛體作定軸轉(zhuǎn)動時慣性力系向于是，剛體作定軸轉(zhuǎn)動時慣性力系向點點O簡化，得到簡化，得到 ntIRCCCmmmaaaFOiiiOOJrmMM)()(2tIIF 上述結(jié)果表明，有質(zhì)量對稱面的剛體作定軸轉(zhuǎn)動，且轉(zhuǎn)軸上述結(jié)果表明，有質(zhì)量對稱面的剛體作定軸轉(zhuǎn)動，且轉(zhuǎn)軸垂直于對稱平面時，其慣性力系向軸心簡化的結(jié)果為對稱面垂直于對稱平面時，其慣性力系向軸心簡化的結(jié)果為對稱面內(nèi)的一力和一力偶。內(nèi)的一力和一力偶。 力的矢量等于慣性力系的主矢，其大小等于剛體質(zhì)量與力的矢量等于慣性力系的主矢，其大小等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度相反。質(zhì)心加速度的

5、乘積，方向與質(zhì)心加速度相反。 力偶的力偶矩等于慣性力系對轉(zhuǎn)軸的主矩，其大小為剛力偶的力偶矩等于慣性力系對轉(zhuǎn)軸的主矩，其大小為剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積，方向與角加速度的體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積，方向與角加速度的方向相反。方向相反。 ntIRCCCmmmaaaFOiiiOOJrmMM)()(2tIIF 在工程構(gòu)件中，作平面運動的剛體往往都有質(zhì)量對稱面，而在工程構(gòu)件中，作平面運動的剛體往往都有質(zhì)量對稱面，而且剛體在平行于這一平面的平面內(nèi)運動。因此，仍先將慣性且剛體在平行于這一平面的平面內(nèi)運動。因此，仍先將慣性力系簡化為對稱面內(nèi)的平面力系，然后再作進一步簡化。力系簡化為對稱面內(nèi)的

6、平面力系，然后再作進一步簡化。 設(shè)剛體的質(zhì)量為設(shè)剛體的質(zhì)量為m，對質(zhì)心軸對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為的轉(zhuǎn)動慣量為JO，角速度和角加速角速度和角加速度分別為度分別為和和 。 運動學分析的結(jié)果表明，平面圖形的運動可以分解為隨質(zhì)運動學分析的結(jié)果表明，平面圖形的運動可以分解為隨質(zhì)心的平移和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動。心的平移和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動。CmaFIR 因此，簡化到對稱平面內(nèi)的慣性力因此，簡化到對稱平面內(nèi)的慣性力系由兩部分組成：剛體隨質(zhì)心平移的慣性系由兩部分組成：剛體隨質(zhì)心平移的慣性力系簡化為一通過質(zhì)心的力；繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動力系簡化為一通過質(zhì)心的力；繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的慣性力系簡化為一力偶。該力和力偶分的慣性力系簡化為一力偶。該力和力偶

7、分別為別為 CiiiCCJrmMM)()(2tIIF 上述簡化結(jié)果表明，有質(zhì)量對稱面的剛體作平面運動，上述簡化結(jié)果表明，有質(zhì)量對稱面的剛體作平面運動，且運動平面平行于對稱平面時，其慣性力系向質(zhì)心且運動平面平行于對稱平面時，其慣性力系向質(zhì)心C簡化的簡化的結(jié)果為對稱面內(nèi)的一力和一力偶結(jié)果為對稱面內(nèi)的一力和一力偶CmaFIR 這一力的矢量等于慣性力系的主矢，其大小為剛體質(zhì)這一力的矢量等于慣性力系的主矢，其大小為剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度相反；這一力偶量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度相反；這一力偶的力偶矩等于慣性力系對質(zhì)心的力偶矩等于慣性力系對質(zhì)心C的主矩，其大小為剛體對軸的主

8、矩，其大小為剛體對軸C的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積，方向與角加速度的方向相的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積，方向與角加速度的方向相反。反。 CiiiCCJrmMM)()(2tIIF返回返回 電動機外殼和定子的總質(zhì)量電動機外殼和定子的總質(zhì)量為為m1，質(zhì)心質(zhì)心O與轉(zhuǎn)子的中心重合；與轉(zhuǎn)子的中心重合；轉(zhuǎn)子的質(zhì)量為轉(zhuǎn)子的質(zhì)量為m2 ，由于制造或，由于制造或安裝誤差，轉(zhuǎn)子的質(zhì)心安裝誤差，轉(zhuǎn)子的質(zhì)心O1到定子到定子的質(zhì)心的質(zhì)心O的距離為的距離為e，已知轉(zhuǎn)子以已知轉(zhuǎn)子以等角速等角速轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動。 求：求：電動機機座的約束力偶。電動機機座的約束力偶。 解：解：在第在第5章的例題章的例題2中，已中，已經(jīng)解出電動機機座的水平

9、約束力和經(jīng)解出電動機機座的水平約束力和鉛垂約束力，但無法確定約束力偶。鉛垂約束力，但無法確定約束力偶?，F(xiàn)在，采用動靜法可以確定約束力現(xiàn)在，采用動靜法可以確定約束力偶。偶。 電機所受真實力有電機所受真實力有慣性力慣性力FxFyMaO2m1g、 m2g 、 Fx 、Fy、M；FI慣性力的大小為慣性力的大小為 22IemF 方向與質(zhì)心加速度相反。因轉(zhuǎn)子勻方向與質(zhì)心加速度相反。因轉(zhuǎn)子勻速轉(zhuǎn)動，只有法向加速度，故慣性速轉(zhuǎn)動，只有法向加速度，故慣性力方向沿力方向沿O1O2向外。向外。 應(yīng)用動靜法，由平衡方程應(yīng)用動靜法，由平衡方程 0AM0sinsin2thFtgemMI)(sinsinsin222hgte

10、mthFtgemMIFxFyMaO2 電機所受真實力有電機所受真實力有m1g、 m2g 、 Fx 、Fy、M；慣性力如圖所示。；慣性力如圖所示。 長為長為l、重為重為W 的均質(zhì)桿的均質(zhì)桿AB，其其A端鉸接在鉛垂軸端鉸接在鉛垂軸z上，并以勻角上，并以勻角速繞此軸轉(zhuǎn)動。速繞此軸轉(zhuǎn)動。 求求: 當桿當桿AB與軸間的夾角與軸間的夾角60時，時， 的數(shù)值及鉸鏈的數(shù)值及鉸鏈A處的約束力。處的約束力。 解：解：作定軸轉(zhuǎn)動的桿作定軸轉(zhuǎn)動的桿AB對對z軸沒有質(zhì)軸沒有質(zhì)量對稱面。但注意到在轉(zhuǎn)動的過程中，量對稱面。但注意到在轉(zhuǎn)動的過程中，桿桿AB上的點均在垂直于軸的平面內(nèi)作上的點均在垂直于軸的平面內(nèi)作圓周運動，且由

11、于勻速轉(zhuǎn)動，各點僅圓周運動，且由于勻速轉(zhuǎn)動，各點僅有法向加速度。有法向加速度。 同時由于同時由于 角為常數(shù)，所以桿角為常數(shù)，所以桿AB上的慣性力沿上的慣性力沿z方向線性分方向線性分布布(三角形分布三角形分布)，并位于桿和軸的軸線所組成的平面內(nèi)。，并位于桿和軸的軸線所組成的平面內(nèi)。 慣性力合力的大小為慣性力合力的大小為 2Isin2lgWmaFC根據(jù)三角形分布慣性力的特點，慣性力合根據(jù)三角形分布慣性力的特點，慣性力合力作用線應(yīng)通過三角形的重心，即力作用線應(yīng)通過三角形的重心，即 lAD32 應(yīng)用動靜法，重力、應(yīng)用動靜法，重力、A處的約束力和慣性力組成平衡力系。于是，處的約束力和慣性力組成平衡力系。

12、于是，有有 0sin2cos320ILWlFMA00IxxFFF00WFFyy解得解得 0sin2cos320ILWlFMA00IxxFFF00WFFyyLg3lWFFx433IWFy 均質(zhì)圓柱體重為均質(zhì)圓柱體重為W，半徑為，半徑為R，沿傾，沿傾斜平板從靜止狀態(tài)開始，自固定斜平板從靜止狀態(tài)開始，自固定O處向下處向下作純滾動。平板相對水平線的傾角為作純滾動。平板相對水平線的傾角為 ，忽略板的重量。忽略板的重量。 試求：試求： 固定端固定端O處的約束力。處的約束力。0CMIIsin0CWRFRM 以圓柱體為研究對象，畫出包括真以圓柱體為研究對象，畫出包括真實力和慣性力系的受力圖。對實力和慣性力系的

13、受力圖。對C點取點取矩，有矩，有 以圓柱體為研究對象，畫出包括真實以圓柱體為研究對象，畫出包括真實力和慣性力系的受力圖。對力和慣性力系的受力圖。對C點取矩，有點取矩，有 0CMIIsin0CWRFRMIICCCWFaMJg,由于圓柱體純滾動，因而有由于圓柱體純滾動，因而有 RaCsin32gaC 以整體為研究對象，畫出受力圖。動靜法以整體為研究對象，畫出受力圖。動靜法的平衡方程為的平衡方程為 00II00II0cos00sin00sincos0 xxyyCFFFFFFWMMMFRWRWSIICCCWFaMJg,RaC00I2I0II2cossin cossin2332sin(1sin)3sin

14、cos cos xyCWWFFFWFWMWRWsMF RWs返回返回 慣性力系的主矢與質(zhì)點系動量對時間的的變化率，慣性力系的主矢與質(zhì)點系動量對時間的的變化率，二者僅僅相差一負號。二者僅僅相差一負號。 具有對稱平面的剛體繞垂直于對稱平面的固定軸轉(zhuǎn)具有對稱平面的剛體繞垂直于對稱平面的固定軸轉(zhuǎn)動時，慣性力系向固定軸簡化得到的主矩與剛體對動時，慣性力系向固定軸簡化得到的主矩與剛體對同一同一點的動量矩對時間所變化率僅僅相差一負號點的動量矩對時間所變化率僅僅相差一負號。 應(yīng)用動靜法解題的關(guān)鍵是慣性力系的簡化，而正確簡化應(yīng)用動靜法解題的關(guān)鍵是慣性力系的簡化，而正確簡化慣性力的前提是準確的運動分析。因此將動力

15、學普遍定理與慣性力的前提是準確的運動分析。因此將動力學普遍定理與動靜法綜合應(yīng)用，往往會達到事半功倍的效果。動靜法綜合應(yīng)用，往往會達到事半功倍的效果。 請分析研究直線行駛的卡車請分析研究直線行駛的卡車 分別用動量定理、動量矩定理和動能定理求運動，再用分別用動量定理、動量矩定理和動能定理求運動，再用動靜法求約束反力。動靜法求約束反力。 應(yīng)用動靜法解題的關(guān)鍵是慣性力系的簡化，而正確應(yīng)用動靜法解題的關(guān)鍵是慣性力系的簡化，而正確簡化慣性力的前提是準確的運動分析。因此將動力學普簡化慣性力的前提是準確的運動分析。因此將動力學普遍定理與動靜法綜合應(yīng)用，往往會達到事半功倍的效果。遍定理與動靜法綜合應(yīng)用，往往會達

16、到事半功倍的效果。 請分析研究安裝在懸臂梁端請分析研究安裝在懸臂梁端的電動機提升設(shè)備的電動機提升設(shè)備 分別用動量定理、動量矩定理分別用動量定理、動量矩定理和動能定理求運動，再用動靜和動能定理求運動，再用動靜法求約束反力。法求約束反力。 應(yīng)用動靜法解題的關(guān)鍵是慣性力系的簡化，而正確簡應(yīng)用動靜法解題的關(guān)鍵是慣性力系的簡化，而正確簡化慣性力的前提是準確的運動分析。因此將動力學普遍定化慣性力的前提是準確的運動分析。因此將動力學普遍定理與動靜法綜合應(yīng)用，往往會達到事半功倍的效果。理與動靜法綜合應(yīng)用，往往會達到事半功倍的效果。 請分析研究純滾動的圓柱體與重物等組成的剛體系統(tǒng)請分析研究純滾動的圓柱體與重物等組成的剛體系統(tǒng) 分別用動量定理、動量矩定理和動能定理求運動，再用分別用動量定理、動量矩定理和動能定理求運動，再用動靜法求約束反力。動靜法求約束反力。 返回返回返回返回振動篩振動篩NIINNINI 車載桿件車載桿件AB在在B處為鉸鏈約束，處為鉸鏈約束，A處為光滑面約束，若已處為光滑面約束，若已知汽車以等加速度知汽車以等加速度a在平坦的路面上行駛，桿件的重量為在平坦的路面上行駛，桿件的重量為W、長度為長度為l,桿件與車廂水平面的夾角為桿件與車廂水平面的夾角為。A、B二處的約束力。二處的約束力。 桿件桿件AB跟隨汽車作平移，因此桿件上