選修坐標(biāo)系與參數(shù)方程

1、選修44坐標(biāo)系與參數(shù)方程第一節(jié)坐 標(biāo) 系本節(jié)主要包括2個知識點：1.平面直角坐標(biāo)系下圖形的伸縮變換；2.極坐標(biāo)系.突破點(一)平面直角坐標(biāo)系下圖形的伸縮變換基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識的“源”與“流” 設(shè)點P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點，在變換：的作用下，點P(x，y)對應(yīng)到點P(x，y)，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換考點貫通 抓高考命題的“形”與“神”平面直角坐標(biāo)系下圖形的伸縮變換典例求橢圓y21，經(jīng)過伸縮變換后的曲線方程解由得到將代入y21，得y21，即x2y21.因此橢圓y21經(jīng)伸縮變換后得到的曲線方程是x2y21.方法技巧應(yīng)用伸縮變換公式時的兩個注意點(1)曲線的

2、伸縮變換是通過曲線上任意一點的坐標(biāo)的伸縮變換實現(xiàn)的，解題時一定要區(qū)分變換前的點P的坐標(biāo)(x，y)與變換后的點P的坐標(biāo)(X，Y)，再利用伸縮變換公式建立聯(lián)系(2)已知變換后的曲線方程f(x，y)0，一般都要改寫為方程f(X，Y)0，再利用換元法確定伸縮變換公式能力練通 抓應(yīng)用體驗的“得”與“失” 1在同一平面直角坐標(biāo)系中，已知伸縮變換：求點A經(jīng)過變換所得的點A的坐標(biāo)2求直線l：y6x經(jīng)過：變換后所得到的直線l的方程3求雙曲線C：x21經(jīng)過：變換后所得曲線C的焦點坐標(biāo)4將圓x2y21變換為橢圓1的一個伸縮變換公式為：求a，b的值突破點(二)極坐標(biāo)系基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識的“源”與“流”1極坐標(biāo)系的概

3、念(1)極坐標(biāo)系如圖所示，在平面內(nèi)取一個定點O，點O叫做極點，自極點O引一條射線Ox，Ox叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標(biāo)系(2)極坐標(biāo)一般地，沒有特殊說明時，我們認(rèn)為0，可取任意實數(shù)(3)點與極坐標(biāo)的關(guān)系一般地，極坐標(biāo)(，)與(，2k)(kZ)表示同一個點，特別地，極點O的坐標(biāo)為(0，)(R)，和直角坐標(biāo)不同，平面內(nèi)一個點的極坐標(biāo)有無數(shù)種表示如果規(guī)定0,02，那么除極點外，平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標(biāo)(，) 表示；同時，極坐標(biāo)(，)表示的點也是唯一確定的2極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化點M直角坐標(biāo)(x，y)極坐標(biāo)(，)互化公

4、式考點貫通 抓高考命題的“形”與“神” 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化1極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的步驟第一步判斷極坐標(biāo)的極點與直角坐標(biāo)系的原點是否重合，且極軸與x軸正半軸是否重合，若上述兩個都重合，則極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程可以互化第二步通過極坐標(biāo)方程的兩邊同乘或同時平方構(gòu)造cos ，sin ，2的形式，一定要注意變形過程中方程要保持同解，不要出現(xiàn)增解或漏解第三步根據(jù)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化公式及2x2y2將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程2直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程或直角坐標(biāo)系中的點的坐標(biāo)化為極坐標(biāo)(1)直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程較為簡單，只需將直角坐標(biāo)方程中的x，y分別用cos ，sin 代替

5、即可得到相應(yīng)極坐標(biāo)方程(2)求直角坐標(biāo)系中的點(x，y)對應(yīng)的極坐標(biāo)的一般步驟：第一步，根據(jù)直角坐標(biāo)系中兩點間的距離公式計算該點與坐標(biāo)原點的距離，即計算；第二步，根據(jù)角的正切值tan (x0)求出角(若正切值不存在，則該點在y軸上)，問題即解例1在極坐標(biāo)系下，已知圓O：cos sin 和直線l：sin.(1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)(0，)時，求直線l與圓O公共點的一個極坐標(biāo) 方法技巧1應(yīng)用互化公式的三個前提條件(1)取直角坐標(biāo)系的原點為極點(2)以x軸的正半軸為極軸(3)兩種坐標(biāo)系規(guī)定相同的長度單位2直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時的兩個注意點(1)根據(jù)終邊相同的角的意義，角的表示方法具有

6、周期性，故點M的極坐標(biāo)(，)的形式不唯一，即一個點的極坐標(biāo)有無窮多個當(dāng)限定0，0,2)時，除極點外，點M的極坐標(biāo)是唯一的(2)當(dāng)把點的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時，求極角應(yīng)注意判斷點M所在的象限(即角的終邊的位置)，以便正確地求出角(0,2)的值極坐標(biāo)方程的應(yīng)用例2(2017·福州五校聯(lián)考)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為22cos20.以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.(1)若直線l過原點，且被曲線C截得的弦長最小，求直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)若M是曲線C上的動點，且點M的直角坐標(biāo)為(x，y)，求xy的最大值易錯提醒用極坐標(biāo)系解決問題時要注意題目中的幾何

7、關(guān)系，如果幾何關(guān)系不容易通過極坐標(biāo)表示時，可以先化為直角坐標(biāo)方程，將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題加以解決能力練通 抓應(yīng)用體驗的“得”與“失” 1考點一、二已知直線l的極坐標(biāo)方程為2sin，點A的極坐標(biāo)為A，求點A到直線l的距離.3考點二在極坐標(biāo)系中，直線(sin cos )a與曲線2cos 4sin 相交于A，B兩點，若|AB|2，求實數(shù)a的值4考點一、二(2017·洛陽統(tǒng)考)已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為2，22cos2.(1)將圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)求經(jīng)過兩圓交點的直線的極坐標(biāo)方程 全國卷5年真題集中演練明規(guī)律 1(2016·全國乙卷)

8、在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a0)在以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：4cos .(1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為0，其中0滿足tan 02，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a.2(2015·新課標(biāo)全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x2，圓C2：(x1)2(y2)21，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程； (2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為(R)，設(shè)C2與C3的交點為M，N，求C2MN的面積 課時達標(biāo)檢測 4(2017·

9、山西質(zhì)檢)在極坐標(biāo)系中，曲線C的方程為2，點R.(1)以極點為原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，R點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)；(2)設(shè)P為曲線C上一動點，以PR為對角線的矩形PQRS的一邊垂直于極軸，求矩形PQRS周長的最小值，及此時P點的直角坐標(biāo)5(2017·南京模擬)已知直線l：sin4和圓C：2kcos(k0)，若直線l上的點到圓C上的點的最小距離等于2.求實數(shù)k的值并求圓心C的直角坐標(biāo)6已知圓C：x2y24，直線l：xy2.以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系(1)將圓C和直線l方程化為極坐標(biāo)方程；(2)P

10、是l上的點，射線OP交圓C于點R，又點Q在OP上，且滿足|OQ|·|OP|OR|2，當(dāng)點P在l上移動時，求點Q軌跡的極坐標(biāo)方程 7(2017·貴州聯(lián)考)已知在一個極坐標(biāo)系中點C的極坐標(biāo)為.(1)求出以C為圓心，半徑長為2的圓的極坐標(biāo)方程(寫出解題過程)；(2)在直角坐標(biāo)系中，以圓C所在極坐標(biāo)系的極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，點P是圓C上任意一點，Q(5，)，M是線段PQ的中點，當(dāng)點P在圓C上運動時，求點M的軌跡的普通方程8在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2是圓心在極軸上且經(jīng)過極點的圓，

11、射線與曲線C2交于點D.(1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)已知極坐標(biāo)系中兩點A(1，0)，B，若A，B都在曲線C1上，求的值第二節(jié)參數(shù)方程本節(jié)主要包括2個知識點：1.參數(shù)方程；2.參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的綜合問題.突破點(一)參數(shù)方程基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識的“源”與“流”1參數(shù)方程一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點的坐標(biāo)x，y都是某個變數(shù)t的函數(shù)：并且對于t的每一個允許值，由方程組所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程2直線、圓、橢圓的參數(shù)方程

12、(1)過點M(x0，y0)，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(2)圓心在點M0(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))(3)橢圓1(ab0)的參數(shù)方程為(為參數(shù))考點貫通 抓高考命題的“形”與“神” 參數(shù)方程與普通方程的互化1參數(shù)方程化為普通方程基本思路是消去參數(shù)，常用的消參方法有：代入消元法；加減消元法；恒等式(三角的或代數(shù)的)消元法；平方后再加減消元法等其中代入消元法、加減消元法一般是利用解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin2cos21等2普通方程化為參數(shù)方程(1)選擇參數(shù)的一般原則曲線上任意一點的坐標(biāo)與參數(shù)的關(guān)系比較明顯且關(guān)系相對簡單；當(dāng)參數(shù)取某一值時，可以唯

13、一確定x，y的值；(2)具體步驟第一步，引入?yún)?shù)，但要選定合適的參數(shù)t；第二步，確定參數(shù)t與變量x或y的一個關(guān)系式xf(t)(或y(t); 第三步，把確定的參數(shù)與一個變量的關(guān)系式代入普通方程F(x，y)0，求得另一關(guān)系yg(t)(或x(t)，問題得解例1將下列參數(shù)方程化為普通方程(1)(t為參數(shù))；(2)(為參數(shù)) 易錯提醒(1)將曲線的參數(shù)方程化為普通方程時務(wù)必要注意x，y的取值范圍，保證消參前后的方程的一致性(2)將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意參數(shù)的取值范圍對普通方程中x，y的取值范圍的影響直線與圓錐曲線的參數(shù)方程及應(yīng)用1解決直線與圓錐曲線的參數(shù)方程的應(yīng)用問題，其一般思路如下：第一步，把

14、直線和圓錐曲線的參數(shù)方程都化為普通方程；第二步，根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系解決問題2當(dāng)直線經(jīng)過點P(x0，y0)，且直線的傾斜角為，求直線與圓錐曲線的交點、弦長問題時，可以把直線的參數(shù)方程設(shè)成(t為參數(shù))，交點A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，計算時把直線的參數(shù)方程代入圓錐曲線的直角坐標(biāo)方程，求出t1t2，t1·t2，得到|AB|t1t2|.例2(2017·豫南九校聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)傾斜角為的直線l：(t為參數(shù))與曲線C：(為參數(shù))相交于不同的兩點A，B.(1)若，求線段AB的中點M的坐標(biāo)；(2)若|PA|·|PB|OP|2，其中P(2，)，求直線l

15、的斜率方法技巧1解決直線與圓的參數(shù)方程的應(yīng)用問題時一般是先化為普通方程再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系來解決問題2對于形如(t為參數(shù))的直線的參數(shù)方程，當(dāng)a2b21時，應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才能利用t的幾何意義解題能力練通 3考點二(2017·鄭州模擬)將曲線C1：x2y21上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)得到曲線C2，A為C1與x軸正半軸的交點，直線l經(jīng)過點A且傾斜角為30°，記l與曲線C1的另一個交點為B，與曲線C2在第一、三象限的交點分別為C，D.(1)寫出曲線C2的普通方程及直線l的參數(shù)方程；(2)求|AC|BD|.4考點二設(shè)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，為傾斜角)

16、，圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))(1)若直線l經(jīng)過圓C的圓心，求直線l的斜率；(2)若直線l與圓C交于兩個不同的點，求直線l的斜率的取值范圍突破點(二)參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的綜合問題將極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程、普通方程交織在一起，考查極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用.將各類方程相互轉(zhuǎn)化是求解該類問題的前提.,解決問題時要注意：(1)解題時，易將直線與圓的極坐標(biāo)方程混淆.要熟練掌握特殊直線、圓的極坐標(biāo)方程的形式.(2)應(yīng)用解析法解決實際問題時，要注意選取直角坐標(biāo)系還是極坐標(biāo)系，建立極坐標(biāo)系要注意極點、極軸位置的選擇，注意點和極坐標(biāo)之間的“一對多”關(guān)系.(3)求曲線方程，常設(shè)曲線上任意一點P(，)，利用解三

17、角形的知識，列出等量關(guān)系式，特別是正弦、余弦定理的應(yīng)用.圓的參數(shù)方程常和三角恒等變換結(jié)合在一起，解決取值范圍或最值問題.(4)參數(shù)方程和普通方程表示同一個曲線時，要注意其中x，y的取值范圍，即注意兩者的等價性.考點貫通 抓高考命題的“形”與“神” 參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的綜合問題典例(2017·長沙模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為(cos ksin )2(k為實數(shù))(1)判斷曲線C1與直線l的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若曲線C1和直線l相交于A，B兩點，且|AB|，求直線l的斜率 方法技巧

18、處理極坐標(biāo)、參數(shù)方程綜合問題的方法(1)涉及參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解當(dāng)然，還要結(jié)合題目本身特點，確定選擇何種方程(2)數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，或者利用和的幾何意義，直接求解，能達到化繁為簡的解題目的1已知曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以直角坐標(biāo)系原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程，并說明其表示什么軌跡；(2)若直線的極坐標(biāo)方程為sin cos ，求直線被曲線C截得的弦長2在極坐標(biāo)系中，圓C的方程為2acos (a0)，以極點為坐標(biāo)原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)直線

19、l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線l的普通方程；(2)若直線l與圓C恒有公共點，求實數(shù)a的取值范圍1(2016·全國甲卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x6)2y225.(1)以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程；(2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，l與C交于A，B兩點，|AB|，求l的斜率2(2016·全國丙卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))以坐標(biāo)原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為sin2.(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點P在C1上，點

20、Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標(biāo)3(2015·新課標(biāo)全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：(t為參數(shù)，t0)，其中0.在以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：2sin ，C3：2cos .(1)求C2與C3交點的直角坐標(biāo)；(2)若C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求|AB|的最大值4(2014·新課標(biāo)全國卷)已知曲線C：1，直線l：(t為參數(shù))(1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；(2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值5(2014·新課標(biāo)全國卷)在直角坐

21、標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為2cos ，.(1)求C的參數(shù)方程；(2)設(shè)點D在C上，C在D處的切線與直線l：yx2垂直，根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標(biāo)6(2013·新課標(biāo)全國卷)已知曲線C1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為2sin .(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；(2)求C1與C2交點的極坐標(biāo)(0,02)1(2017·鄭州模擬)已知曲線C1的參數(shù)方程為曲線C2的極坐標(biāo)方程為2cos，以極點為坐標(biāo)原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系(1)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)求曲線C2上的動點M到曲線C1的距離的最大值2在極坐標(biāo)系中，已知三點O(0,0)，A，B.(1)求經(jīng)過點O，A，B的圓C1的極坐標(biāo)方程；(2)以極點為坐標(biāo)原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，圓C2的參數(shù)方程為(是參數(shù))，若圓C1與圓C2外切，求實數(shù)a的值3(2017·太原模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為(R)，曲線C的參數(shù)方程