選修不等式講義

1、不等式選講知識點一、不等式和絕對值不等式1. 不等式的基本性質(zhì)2. 基本不等式（1），（當且僅當時取“”號）. 變形公式：。（2）（基本不等式） ，（當且僅當時取“”號）. 變形公式： 。3. 三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式（1） 如果，那么，當且僅當時，等號成立。（2） 推廣：如果為個正數(shù)，則，當且僅當時，等號成立。4. 絕對值三角不等式（1） 如果是實數(shù)，則，當且僅當時，等號成立。（2） 如果是實數(shù)，那么，當且僅當時，等號成立。5. 絕對值不等式的解法一般地，當時，有：，因此不等式的解集是；，因此，不等式的解集是；。2、 證明不等式的基本方法1. 比較法（1） 作差法（2） 作商法2. 綜合

2、法3. 分析法4. 反證法5. 放縮法3、 柯西不等式與排序不等式1. 二維形式的柯西不等式（1）一般形式：設(shè)，為實數(shù)，則，當且僅當，或存在一個實數(shù)，使得時，等號成立。（2）二維形式的柯西不等式代數(shù)形式：設(shè)均為實數(shù)，則。上式等號成立向量形式：設(shè)為平面上的兩個向量，則。當且僅當是零向量或存在實數(shù)使得時，等號成立。三角形式：設(shè)，則，其幾何意義是三角形的兩邊之和大于第三邊。注意：應(yīng)用柯西不等式求解時，按照“一看、二構(gòu)造、三判斷、四運用”2. 排序不等式 設(shè)，為兩組實數(shù).是的任一排列，則，（反序和亂序和順序和），當且僅當或時，反序和等于順序和.4、 數(shù)學歸納法證明不等式1. 數(shù)學歸納法一般地，當要證明

3、一個命題對于不小于某正整數(shù)的所有正整數(shù)都成立時，可以用一下兩個步驟：（1）證明當時命題成立；（2）假設(shè)時命題成立，證明時命題成立。完成以上兩個步驟后，就可以斷定命題對于不小于的所有正整數(shù)都成立。2. 貝努力不等式如果是實數(shù)，且，為大于的自然數(shù)，那么有。典型例題例1.已知，比較與的大小。變式1-1.已知，試比較的大小。例2.（1）已知：，求的范圍；（2） 已知：，求的范圍。變式2-1.若二次函數(shù)的圖象過原點，且，求的范圍。例3.若，。求證：（1）；（2）變式3-1.已知，求證：。例4.已知，且，求證：。變式4-1.設(shè)，求證：。例5.（1）已知，且，求的最小值。（2） 已知，且，求的最大值。例6.

4、（1）求函數(shù)的最大值；變式6-1.求函數(shù)的最小值。例7.設(shè)，求證：。變式7-1.已知是三角形的三邊長，求證：。例8.已知，試比較：與2的大小。變式8-1.（1）求函數(shù)的最小值；（2） 求函數(shù)的值域。例9.解下列不等式：（1）；（2）。變式9-1.（1）解不等式；（2） 若滿足不等式的值也滿足不等式，求的取值范圍。（3） 若不等式的解集為，則實數(shù)。例10.若，求證：。變式10-1.若為正實數(shù)，且，求證：。例11.已知，求證。變式11-1.已知是正實數(shù)，且，求證：。例12.已知，求證：。變式12-1.設(shè)，求證：。變式12-2.已知，且。求證：（1）； （2）。例13.已知，求證：，不都大于1.變式13-1.已知是的三邊長，求證：，中至少有一個不大于的幾何平均數(shù)。例14.求證：。變式14-1.求證：變式14-2.求證：。例15.設(shè)，求證：。變式15-1.設(shè)，且，求的最大值與最小值。變式15-2.已知，求的最小值。例16.設(shè)都是正數(shù)，求證：。變式16-1.設(shè)，求函數(shù)的最大值。例17.已知，求證：。變式17-1.已知為正數(shù)，求證：（1） ；（2） 。例18.用數(shù)學歸納法證明： 。變式18-