超材料中的負(fù)折射率

1、超材料中的負(fù)折射率武漢大學(xué) 陳鋒 強(qiáng)雨摘要：早在上世紀(jì)60年代，前蘇聯(lián)理論物理學(xué)家Veselago就構(gòu)想出一種介電常數(shù)和磁導(dǎo)率同時(shí)為負(fù)值的介質(zhì)，在這種介質(zhì)中，波矢k，電場強(qiáng)度E和磁場強(qiáng)度H三者是滿足左手螺旋關(guān)系。本文章介紹了左手材料的概念，介質(zhì)及金屬的介電常數(shù)的正負(fù)特性和負(fù)折射率的原理，并且介紹這種具有負(fù)折射率的超材料的構(gòu)造。關(guān)鍵詞：左手材料、介電常數(shù)、負(fù)折射率、超材料Negative refractive index in metamaterialsAbstract: In 1960s, a Russian physicist named Veselago imagined a kind o

2、f dielectric with negative permittivity and negative magnetic permeability . In such dielectric, the wave vector k, the electric strength E and the magnetic strength H will satisfy the left-handed rule. This article introduces the concept of left-handed materials (LHM), the sign of permittivity of d

3、ielectric and metal and some basic principles of negative refractive index. Also, we introduce the configuration of such man-made metamaterials with negative refractive index.Keywords: left-handed materials, permittivity, negative refractive index, and metamaterials 1. 引言在一般的介質(zhì)中，波矢k，電場強(qiáng)度E和磁場強(qiáng)度H，三者是滿

4、足右手螺旋關(guān)系的，那么能量的傳播方向S=EH將會和波矢k的方向相同。那么，是否存在一種介質(zhì)，使得這三個(gè)矢量滿足左手螺旋關(guān)系，從而使得能量沿著波矢的反方向傳播呢？前蘇聯(lián)理論物理學(xué)家Veselago在1964年最早研究了這個(gè)問題，他假想了一種介電常數(shù)和磁導(dǎo)率同時(shí)為負(fù)值的介質(zhì)，能實(shí)現(xiàn)這個(gè)構(gòu)想，因此這種介質(zhì)被稱為“左手材料”。2. 左手坐標(biāo)系由麥克斯韋方程組，假設(shè)電磁場滿足簡諧時(shí)變場：(E,H)=(E0,H0)eikre-it因此麥克斯韋方程組：E=-BtH=Dt變成：kE=HkH=-E于是對于0, 0時(shí)，E,H,k三者構(gòu)成右手系，如下圖（a）所示。但是，當(dāng)對于0, 0時(shí)，E,H,k三者構(gòu)成左手系，如

5、下圖（b）所示。對于物質(zhì)的折射率：n=22在右手系中，折射率取正值。對于0, 0的情況，波矢滿足：k=-EH。（此處叉乘仍采用右手系中得定義）首先來看電磁波能量的傳播，即群速的方向。 這個(gè)方向由波印廷矢量S=EH 決定。 在正常材料中k和S總是同方向，即相速和群速方向是一致的。但在左手材料中，這兩個(gè)方向卻正好相反，因此左手材料又被稱為“負(fù)群速度材料”。對于從正常介質(zhì)入射到左手介質(zhì)的情況，由邊值關(guān)系：Et1=Et2Ht1=Ht21En1=2En21Ht1=2Ht2式中n表示法向方向，t表示切向方向。如下圖所示，當(dāng)1是正常材料，而2是“左手材料”的時(shí)候，即0, 0時(shí)，F(xiàn)的值才是負(fù)的。由此可見，介質(zhì)

6、中的介電常數(shù)恒為正值，介質(zhì)并不能成為制作負(fù)折射率超材料的材料。4. 金屬中得介電常數(shù)由麥克斯韋方程組的第四條式子：H=Dt+J假設(shè)電磁場為簡諧的時(shí)變場，同時(shí)由歐姆定律：j=E于是上式變?yōu)椋篐=-iD+E=-iD式中，=c+i/，一般情況下，c也為復(fù)數(shù)，因而把金屬中的復(fù)介電常數(shù)寫成：=2+i。對于各向同性的金屬介質(zhì)，對于系統(tǒng)的自由能同樣也有有：F-F0=Re12D2dV當(dāng)變化時(shí)，電場強(qiáng)度也發(fā)生改變，因而，系統(tǒng)的自由能的改變?yōu)椋篎=ReDDdV-D22222+2dV在現(xiàn)在的情況下，我們所研究的是外場不變的情況，因而上式右端的第一項(xiàng)應(yīng)該等于0，于是我們可以得到以下表達(dá)式：F=-D22222+2dV=

7、-E2222+222-222+222dV=-E2224-422+222dV同樣地，系統(tǒng)總自由能的變化是負(fù)的。如果將自由能的變化看作是物體的介電常數(shù)逐漸地從0變化到的結(jié)果， 當(dāng)222時(shí)， 即金屬折射率的實(shí)部比虛部要小的時(shí)候， 那么當(dāng)0時(shí)，F(xiàn)的值是負(fù)的。由此可見，金屬中的介電常數(shù)可以為負(fù)值，金屬可以成為制作負(fù)折射率超材料的材料。但是，由于介電常數(shù)的虛部比實(shí)部要大，光在金屬中傳播時(shí)會呈指數(shù)衰減。5. 超材料構(gòu)造6. 金屬導(dǎo)體中的介電常數(shù)與電介質(zhì)中不同，金屬中存在自由電子，在電磁場的作用下自由電子會產(chǎn)生漂移，相比較電介質(zhì)中電子在電磁場的作用下在晶格周圍振動，自由電子漂移產(chǎn)生的電偶極矩更大，自由電子在電

8、磁場的作用下收到一個(gè)驅(qū)動力，而同時(shí)漂移過程中與原子實(shí)的接連碰撞會導(dǎo)致電子收到一個(gè)周期阻力，設(shè)這個(gè)阻力與電子漂移速度成正比，則運(yùn)動方程為：，設(shè)其解形式為：，帶入得：，由此得極化強(qiáng)度P為：，（式中N為單位體積中金屬原子的個(gè)數(shù)，而f為每個(gè)金屬原子中自由電子的數(shù)量。由此得: ，（）當(dāng)時(shí)，此時(shí)對應(yīng)于周期阻力遠(yuǎn)小于電磁驅(qū)動力。在紫外波段，只有在微波波段，此條件才能滿足。負(fù)介電常數(shù)在金屬結(jié)構(gòu)中的實(shí)現(xiàn)左手材料首先要求材料中的，。根據(jù)金屬中的色散關(guān)系：當(dāng)時(shí)，如果，則可知對于適當(dāng)?shù)念l率范圍，金屬的介電常數(shù)小于零。而上述公式只能在介電常數(shù)不太大時(shí)成立，也即意味著在只能略小于，而只有在微波波段，傳播過程中的損耗才較小

9、，即在微波波段才滿足，因此必須讓處于微波波段，而對于一般的純金屬材料位于紫外區(qū)，因此必須構(gòu)造一種結(jié)構(gòu)讓其值變小，由于，因此必須減小N或者增大m（有效質(zhì)量），處于這種目的，我們構(gòu)造這種周期結(jié)構(gòu)材料: 首先自由電子只存在于金屬線中因此整個(gè)系統(tǒng)的原子數(shù)密度變?yōu)椋╝為金屬線間距），相比較N減小了7個(gè)數(shù)量級。對于結(jié)構(gòu)中電子的有效質(zhì)量，電子的有效動量，我們假設(shè)在半徑滿足的范圍內(nèi)磁場滿足一個(gè)無限長導(dǎo)線產(chǎn)生的電場，而在此之外磁場為零，由，得，而，因此（上式中的R為金屬線的半徑）相比較m可以有幾個(gè)數(shù)量級的增長（通過調(diào)整與R的大小，此外為了避免金屬原子的布拉格衍射對結(jié)構(gòu)整體造成過大影響，金屬線半徑R必須足夠細(xì)）因

10、此上述結(jié)構(gòu)可實(shí)現(xiàn)微波波段的負(fù)介電常數(shù)。（3）SRR結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)左手材料自然界中絕大多數(shù)物質(zhì)的都大于零，而且磁導(dǎo)率關(guān)于頻率的響應(yīng)具有高頻截止特性，在GHz及更高頻率已不顯示磁性，因此我們想到構(gòu)造一個(gè)交流電路微結(jié)構(gòu)來達(dá)到負(fù)磁導(dǎo)率的效果，這個(gè)結(jié)構(gòu)由兩個(gè)金屬諧振環(huán)（實(shí)際上是兩個(gè)柱殼，圖為其橫截面）構(gòu)成，當(dāng)電磁場垂直橫截面入射時(shí)，金屬環(huán)上會產(chǎn)生感應(yīng)電流，因此會存在電感，而兩個(gè)金屬環(huán)之間有一定間隔，產(chǎn)生電容，因此整個(gè)系統(tǒng)會產(chǎn)生LC諧振，電容與電感以及簡諧頻率的大小都與結(jié)構(gòu)的幾何尺寸有關(guān)。經(jīng)計(jì)算得，諧振環(huán)結(jié)構(gòu)的共振頻率為(l為結(jié)構(gòu)間距，r為內(nèi)環(huán)半徑，d為內(nèi)外環(huán)間距此時(shí)磁導(dǎo)率的頻率響應(yīng)為：，為微結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)面積占比，為損耗參數(shù)，我們假設(shè)，即我們忽略分母上的虛數(shù)項(xiàng)，此時(shí)在的范圍內(nèi)，這種結(jié)構(gòu)的介電常數(shù)也存在與金屬線陣列類似的形式，也即在一定頻率范圍內(nèi)滿足。在微波波段的入射波其波長遠(yuǎn)大于微結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)尺寸，因此在此程度上可以認(rèn)為其為均勻介質(zhì)7. 結(jié)論自然界中并沒有磁導(dǎo)率與介電常數(shù)都小于零的物質(zhì)，因此所謂的左手材料必須靠人工構(gòu)造的微結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)，必須說明這些微結(jié)構(gòu)的介電常數(shù)與磁導(dǎo)率是建立在等效基礎(chǔ)上也即宏觀