數學“四基”中基本活動經驗的認識與思考

1、數學“四基”中“基本活動經驗”的認識與思考王新民基金項目：四川省教育廳（西華師范大學四川省教育發(fā)展研究中心立項項目）教育科學科研重點項目（CJF013）作者簡介：王新民（1962），男，漢族，甘肅敦煌人，內江師范學院數學系副教授，教育碩士，主要從事數學教育與數學文化研究，王富英2,王亞雄3（1，3內江師范學院 數學系，四川 內江 641112；2成都市龍泉驛區(qū)教育研究培訓中心，四川 成都 610100）摘 要: 數學活動是人類對待外部世界的一種特殊方式，是人類進行數學抽象與數學應用的實踐過程在數學教學中，數學活動的形式或過程多種多樣，但最基本的是“演繹活動”與“歸納活動”。數學活動經驗是一種過

2、程性知識，是在數學活動中所形成的一種“活動圖式”，主要由感性知識、情緒體驗和應用意識三種成分構成在眾多的數學活動經驗中，最為基本的是歸納活動經驗和演繹活動經驗。數學基本活動經驗與數學“雙基”和“數學基本思想”相互依存，共同構成學生的數學認知結構。關鍵詞: 數學活動；經驗；基本活動經驗；數學“四基”中國數學的雙基教學是植根于中國本土的教學理念，帶有鮮明的中國特色，是中國數學教育的優(yōu)良傳統(tǒng).隨著時代的發(fā)展， 數學雙基教學的理念又不斷發(fā)展，不斷注入新的活力國家數學課程標準制定組組長、東北師大校長史寧中教授在2006-2007年數學高研班澳門、寧波會上的發(fā)言中提出了“數學教學的四基”，引起了數學教育界

3、的廣泛關注數學“四基”是指數學基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗1在數學教學中，強調數學“雙基”和“數學思想方法”已成為共識，但對“基本活動經驗”意義的界定和在教學中如何實施還需要進一步研究本文就“基本活動經驗”的含義以及與數學“雙基”和“基本思想”的關系進行一些初步的探討1數學活動1.1 活動“活動”一詞的英文為“activity”，它源于拉丁文“act”，其基本含義為“doing”，即“做”在西方哲學史上，古希臘哲學家亞里斯多德最早提出“活動”這一概念它把活動劃分為理論活動、制作活動、實踐活動此后，黑格爾、費爾巴哈等均對活動進行了論述，但他們都是從主觀方面來抽象的理解“活動”的馬克

4、思把他們的活動理論進行了合理的揚棄，提出了科學的活動觀馬克思認為,活動是“人對于外部世界的一種特殊的對待方式”2馬克思把人的活動理解為感性的、能動的社會實踐因為，“社會生活在本質上就是實踐的”而人的活動表現為多種多樣，按人對外部世界作用的方式可分為認識活動、實踐活動、交往活動人對事物的認識是在實踐活動的基礎上產生初步的感知，在此基礎上通過對比、分析、抽象、歸納、概括等認識活動再上升到理性的認識以揭示出事物的本質特征因此，活動的最初形式是在實踐過程中的感知活動，在此基礎上再形成理性的認識活動（經驗概括活動）1.2 數學活動數學本身是人類活動的產物，是人類在社會實踐活動過程中對現實世界數量關系和空

5、間形式經驗概括的結果數學的產生、形成與應用的過程是人類的一項實踐活動因此，數學活動是人類對待外部世界的一種特殊的方式，是人類進行數學抽象與數學應用的實踐過程從數學發(fā)展來看，數學作為人類的一項活動，有兩大歷史淵源：一是以古希臘數學為代表的演繹體系；二是以古代中國數學為代表的歸納體系前者以形式化的論證為其主要特征，而后者以經驗性的算法為其主要特征在漫長的發(fā)展過程中，二者的相互促進與相互融合，使得數學活動具有了鮮明的二重性活動內容的形式性和活動過程的經驗性，正如著名數學教育家波利亞指出的：“數學具有兩個面，以歐幾里得方式表現出來的數學看上去是一種系統(tǒng)的演繹科學；但在形成過程中的數學看上去卻是一種實驗

6、性的歸納科學”3從數學活動的觀點來看，數學具有靜止狀態(tài)和活動狀態(tài)兩種形態(tài)作為靜止狀態(tài)的數學是把數學作為一個對象性的數學，它是指數學經驗概括活動的結果，即活動結果的數學，表現形式為邏輯整理有序的、封閉的、靜止的狀態(tài)；作為活動狀態(tài)的數學注重的是數學活動的過程性，是指從現實生活出發(fā)的數學化過程，是人類活動的數學，即活動過程的數學.表現形式為動態(tài)的、開放的活動狀態(tài)而作為學生學習的數學不應是靜止狀態(tài)的數學而應該是活動狀態(tài)的數學正如弗賴登塔爾指出的：“學生所要學習的不是作為一個封閉系統(tǒng)的數學，而是作為一項人類活動的數學，即從現實生活出發(fā)的數學化過程如果需要也可以包括從數學本身出發(fā)的數學化過程”4因此，“數

7、學教學是數學活動的教學”51.3 數學活動的層次從活動的內容角度，前蘇聯(lián)數學教育家A·A·斯托利亞爾將數學活動分為三個階段(層次)：“經驗材料的數學組織化，數學材料的邏輯組織和數學理論的應用，這三個階段構成了數學學習者的學習活動的完整過程”5從數學學習的角度，數學活動體現為數學化的過程，可分為先后兩個層次：水平數學化，指把情景問題轉化為數學問題的過程；垂直數學化，指建立數學問題與數學形式系統(tǒng)之間關系的過程4而從認識論的角度，蘇格蘭數學家波塞爾概述道：“數學是人類的一種最重要的活動它不只是一種游戲，盡管我們喜歡玩它；它不只是一種藝術，盡管有時它是至高無上的藝術；它并不像哲學家

8、所想象的是無聊的一小步、一小步推理組成的長鏈數學活動是包容了從粗俗的手工勞作到高雅的理性發(fā)現的系統(tǒng)活動”61.4 基本數學活動“問題是數學的心臟”，數學活動是由“情景問題”驅動的，“問題解決”是其主要的活動形式在提出問題、形成相關概念、探究解決問題的策略與方法的時候主要以歸納活動為主，而在整理結論、表述問題解答過程以及進行形式化訓練的時候則以演繹活動為主在數學教學中，數學活動的形式或過程是多種多樣的全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）中強調了觀察、試驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動；普通高中數學課程標準（實驗）中強調的數學思維活動過程有：直觀感知、觀察發(fā)現、歸納類比、空間想象、抽象概括、符

9、號標示、運算求解、數據處理、演繹證明、反思與建構等，并且強調應將數學探究、數學建模和數學文化等三大數學活動貫穿整個高中教學始終但其中最基本、最主要的數學活動是以邏輯為特征的演繹論證活動和以經驗為特征的歸納發(fā)現活動，其它的數學活動都是圍繞這兩種活動而展開的，或者是一種拓展，或者是一種延伸，或者是一種組合這里的“歸納”是指“從特殊到范圍更廣的推理”，就方法而言，包括枚舉法、歸納法、類比法、統(tǒng)計推斷、因果分析、以及觀察試驗、比較分類、綜合分析等7因此， 數學學習中的基本數學活動是“演繹活動”與“歸納活動”2數學基本活動經驗2.1 經驗的含義及其構成“經驗”向來是教育學、哲學、學習心理學等領域中所討論

10、的重要課題，無論是杜威所倡導的經驗課程，還是拉卡托斯關于數學的“擬經驗”觀點以及建構主義的學習理論，“經驗”均是其中的核心概念但經驗的含義到底是什么呢? 按現代漢語詞典的解釋,“經驗”具有兩個方面的含義.一是指由實踐得來的知識與技能；二是經歷美國實用主義教育家杜威曾對“經驗”給出過如下解釋：“經驗包含一個主動的因素和被動的因素，這兩個因素以特有形式結合著；在主動的方面,經驗就是嘗試，在被動的方面，經驗就是承受結果”8孫宏安教授在概括了關于經驗各方面的解釋后給出如下定義：“經驗指的就是個人所獲得的感性知識，及在感性知識基礎上，經過自己系統(tǒng)整理和由實踐反復檢驗了的科學知識，以及個人經歷對個人身心發(fā)

11、展產生的影響”9我們認為，經驗是一種過程性知識，是在實踐活動中所形成的一種“活動圖式”它主要由三種成分組成，一是知識性成分，是指在活動過程中所建構的關于活動主客體的個人意義，包括操作的直觀感知、建立的新舊知識之間的聯(lián)系以及對活動過程的感悟等，是人們在活動過程中所悟出的道理，是對活動過程的直觀把握，其合理性主要由活動的有效性來保證，如“老馬識途”；二是體驗性成分，是指在活動過程中所產生的情緒體驗，包括成就感與失敗感、自我調節(jié)心態(tài)的體會等，如“大賽經驗”；三是觀念性成分，是指活動過程所形成的意識和信念，如應用意識、創(chuàng)新意識、做事的信心與信念等等2.2 經驗與活動的關系杜威指出：“經驗即所做(doi

12、ng)的事情、動作和感受(或經歷)的密切關系就形成我們所謂經驗” 10；“經驗就是人和自己所創(chuàng)造的環(huán)境的交涉”因此，經驗是活動主體對客體的能動反映，經驗與活動（做事）是緊密相連的經驗在活動中產生，又在活動中體現，并且只體現在需要這種經驗的活動之中經驗是活動的過程和結果，活動是經驗的源泉，而經驗又是為人們的活動服務的，沒有親歷的實踐活動就根本談不上什么經驗，活動與經驗的關系是“皮”與“毛”的關系2.3 數學基本活動經驗在數學教學中，數學活動的一個主要目的是讓學生經歷探究的過程、思考的過程、抽象的過程、預測的過程、推理的過程以及反思的過程等，獲取豐富的過程性知識，最終形成應用數學的意識結合前面對“

13、經驗”三種成分的分析，我們可以給出數學活動經驗的如下理解：數學活動經驗是指學習者在參與數學活動的過程中所形成的感性知識、情緒體驗和應用意識感性知識是指具有學生個人意義的過程性知識，也包括學生大腦中那些未經訓練的、不那么嚴格的數學知識；情緒體驗是指對數學的好奇心和求知欲、在數學學習活動中獲得的成功體驗、對數學嚴謹性與數學結果確定性的感受以及對數學美的感受與欣賞等；應用意識包括“數學有用”的信念、應用數學知識的信心、從數學的角度提出問題與思考問題的意識以及拓展數學知識應用領域的創(chuàng)新意識，而且應用意識是數學基本活動經驗的核心成分，正如朱德全教授指出的：“應用意識的生成便是知識經驗形成的標志” 11基

14、于對數學基本活動的認識，我們認為可以把演繹活動經驗和歸納活動經驗稱之為數學基本活動經驗數學基本活動經驗是建立在人們的感覺基礎上的，又是在活動過程中具體體現的，與形式化的數學知識相比，它沒有明確的邏輯起點，也沒有明顯的邏輯結構，是動態(tài)的、隱性的和個人化的它可以是米三國藏眼中的使人受益終生的深深銘刻在頭腦中的數學的精神、數學的思維方法、研究方法、推理方法，甚至經歷的挫折等；也可以是克萊因筆下的從整體意義上對數學活動的領悟6在數學學習中，要使學生真正理解數學知識，感悟數學的理性精神，形成創(chuàng)新能力，就應該讓學生積累豐富而有效的數學活動經驗，這些經驗包括檢索、抽取數學信息的經驗，選擇和運用已有知識的經驗

15、、建立數學模型的經驗，應用數學符號進行表達的經驗，抽象化、形式化的經驗，選擇不同數學模型的經驗，預測結論的經驗，對有關結論進行證明的經驗，調整、加工、完善數學模型的經驗，對所得結果進行解釋和說明的經驗，鞏固、記憶、應用所得知識的經驗等等這些經驗的最基本的成分是演繹活動經驗與歸納活動經驗3 數學“四基”之間的關系數學活動基礎知識基本技能基本思想基本活動經驗形式化的結果情境化的過程演繹歸納形式化經驗化關于數學“雙基”的涵義非常豐富，可以有知識形態(tài)、教學形態(tài)與個體形態(tài)等三種表現形式12從教學的角度，邵光華教授與顧泠沅先生指出：“雙基教學重視基礎知識、基本技能的傳授，講究精講多練，主張練中學，相信熟能

16、生巧，追求基礎知識的記憶和掌握、基本技能的操演和熟練，以使學生獲得扎實的基礎知識、熟練的基本技能和較高的學科能力為其主要的教學目標”13其中的“精講多練”、“練中學”、“熟能生巧”等主要是圍繞“演繹活動”而展開的，其目的是讓學生獲得形式化的結果知識用數學術語或數學公式所表述的系統(tǒng)知識基本活動經驗則主要是指在數學基本活動中形成和積累的過程知識由于在我國的數學教學中過分強調“演繹活動”而削弱甚至忽視了“歸納活動”，因此，基本活動經驗更加強調關于歸納活動的經驗在數學學習過程中，“雙基”與基本活動經驗是相互依存、相互促進的，也是可以相互轉化的，在二者的不斷融合、多次的實際應用中，通過反思提煉而形成的一

17、種具有奠基作用和普遍指導意義的知識經驗便是數學基本思想由此，我們可以給出數學“四基”的如下關系結構：從知識的角度來看，“雙基”是一種理性的、形式化的結果性知識，而基本活動經驗則是一種感性的、情景化的過程性知識，它們各強調了數學知識的一個側面，前者形成的是一種知識系統(tǒng)，而后者形成的是一種經驗系統(tǒng)，二者的有機結合才能形成完整的數學知識結構就方法而言，“雙基”主要以演繹法為主，演繹法只是一種依據固定的前提（定義、公理、定理等），利用相對固定的推理程序（三段論），得出固定結論的方法，而結論的預測與發(fā)現，推理思路的探索與調整以及知識的實際應用等，靠演繹法是推不出來的，從這個意義上講，“兒童不可能通過演繹

18、法學會新的數學知識！”4關于“雙基”的學習需要有一個意義建構的過程，此過程是以原有經驗為基礎的，又是從操作性的經驗開始的，并且所建構的意義最終是以經驗的形態(tài)儲存學生的大腦當中的，就如著名教育家陶行知所作的關于人獲得知識過程的嫁接樹枝的比喻：“我們要有自己的經驗做根，以這經驗所發(fā)生的知識做枝，然后別人的知識才能接得上去，別人的知識方才成為我們知識的一個有機體部分”14因此，“雙基”只有通過經驗化才能真正成長為學生的數學素養(yǎng)相對于“雙基”而言，“基本活動經驗”是比較模糊的、不太嚴謹的，缺乏明晰的結構體系，尤其是那些沒有經過加工的“原始經驗”，含有許多主觀的、片面的非本質因素，就像數學家克里斯戈爾所

19、描述那樣：“數學活動過程中所獲得的知識總是不夠精確的和片面的，其整體結構好像一片原始森林，或者說是交相纏繞的樹枝”6因此，要使“基本活動經驗”更加確切、合理而有效，就需要經歷一個概念化與形式化的過程，雖然，在問題解決的過程中，某些經驗本身就具有很好的指導作用和實用價值，但畢竟數學知識本質上是追求嚴謹性與確定性的經過概念化與形式化，“基本活動經驗”就可以轉化或融入到“雙基”之中，不但使“基本活動經驗”得到了升華，也使“雙基”因為充滿了學生的感受而獲得了某種生命的活力史寧中教授指出：“基本思想主要是指演繹和歸納，這應當是整個數學教學的主線，是最上位的思想”7 關于數學基本思想，在以往的文獻中有諸多

20、論述胡炯濤先生認為：“最高層次的基本數學思想是數學教材的基礎與起點，整個中學數學的內容均循著基本數學思想的軌跡而展開符號化與變換思想，集合與對應思想以及公理化與結構思想，它們構成了最高層次的基本數學思想”15在中學數學教學中影響比較大的是任子朝先生提出的四種基本思想：數形結合的思想，分類討論的思想，函數與方程的思想，化歸的思想16然而，在眾多的數學思想中起著奠基性、引領性作用的還應該是歸納思想與演繹思想如“化歸思想”，在探索化歸的方向、發(fā)現問題的結論、尋找解決問題的途徑時，主要運用的是歸納思想；在鏈接“中間問題”、整理和表述化歸結果時，則需運用演繹思想，而且化歸的主要策略“一般化”與“特殊化”

21、本身就是歸納思想與演繹思想的具體體現從形成過程來看，演繹思想主要是在“雙基”的形式化訓練中練就的，而歸納思想則主要是在“基本活動經驗”的不斷積累中逐步孕育的歸納思想與演繹思想是數學思想體系的兩翼，二者的協(xié)同發(fā)展，才能使數學知識健康、和諧地成長為學生的智慧總之，數學基礎知識、基本技能、基本活動經驗與基本思想既是數學學習活動的核心內容與主要目標，也是學生數學素養(yǎng)最為重要的組成部分，它們共同構筑了學生的數學知識結構參考文獻：1 鞏子坤等20062007數學教育高級研討班紀要J數學教育學報，2007，16(3)：99-1022 馮契哲學大辭典（馬克思主義哲學卷）M上海：上海辭書出版社，19923 G&

22、#183;波利亞怎樣解題M上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?0024 孫曉天數學課程發(fā)展的國際視野M北京：高等教育出版社，20035 張靜數學新課程與數學活動的教學J通化師范學院學報，2006，17（6）：115-1166 涂榮豹，寧連華論數學活動的過程性知識J數學教育學報，2002，11（2）：9-137 史寧中數學課程標準的若干思考J數學通報，2007，46（5）：1-58 杜威哲學的改造M北京：商務印書館，19899 孫宏安課程概念的一個闡釋J教育研究，2000，3：44-4710杜威經驗與自然M北京：商務印書館，196011朱德全知識經驗獲取的心理機制與反思型教學J高等教育研究，2005，2

23、6（5）：76-7912王新民，馬岷興關于“數學雙基”存在形態(tài)的分析J數學通報，2006，45(8)：10-1213邵光華，顧泠沅中國雙基教學的理論研究J教育理論與實踐，2006，26（2）：48-5214陳佑清不同素質發(fā)展中的直接經驗與間接經驗的關系J上海教育研究，2002，11：27-2915胡炯濤數學教學論M南寧：廣西教育出版社，199616任子朝1993年全國高考數學試卷評價報告J中學數學月刊，1994，2：1-4Understanding and Thinking about the Experience of the Fundamental Actions in Mathemati

24、cs EducationWANG Xin-min1,WANG Fu-ying2,WANG Ya-xiong3(1,3.Department of Mathematics, Neijiang Teachers College, Neijiang Sichuan 641112, China 2.The Staff Room of Bureau of Education at Longquanyi Borough in Chengdu，Sichuan Chengdu 610100, China)Abstract: Mathematical actions are a espial method which man treats the outside world. And it is also the proces