截面與距離問(wèn)題

1、截面與距離問(wèn)題典例分析棱錐、棱臺(tái)的中截面與軸截面【例1】 正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)是底面邊長(zhǎng)的倍，求的取值范圍【例2】 正四棱錐的斜高為，側(cè)棱長(zhǎng)為，求棱錐的高與中截面（即過(guò)高線(xiàn)的中點(diǎn)且平行于底面的截面）的面積？【例3】 正四棱臺(tái)的高為，兩底面的邊長(zhǎng)分別是和，求這個(gè)棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)和斜高【例4】 已知正六棱臺(tái)的上，下底面的邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)分別為，則它的高和斜高分別為 【例5】 已知正三棱錐的高，斜高，求經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)且平行于底面的截面的面積【例6】 如圖所示的正四棱錐，它的高，側(cè)棱長(zhǎng)為， 求側(cè)面上的斜高與底面面積 是高的中點(diǎn)，求過(guò)點(diǎn)且與底面平行的截面（即中截面）的面積【例7】 如圖，已知棱錐的底面積是，平行于底面的

2、截面面積是，棱錐頂點(diǎn)在截面和底面上的射影分別是、，過(guò)的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面，求各截面的面積圓錐、圓臺(tái)的中截面與軸截面【例8】 把一個(gè)圓錐截成圓臺(tái)，已知圓臺(tái)的上、下底面半徑的比是，母線(xiàn)長(zhǎng)，求圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)【例9】 一圓錐軸截面頂角為，母線(xiàn)長(zhǎng)為，求軸截面的面積【例10】 圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)為，母線(xiàn)和軸的夾角為，一個(gè)底面半徑是另一個(gè)底面半徑的倍，求圓臺(tái)的高與上下兩底面面積之和【例11】 圓臺(tái)兩底半徑分別是和，母線(xiàn)長(zhǎng)是，求它的軸截面的面積；【例12】 圓臺(tái)側(cè)面的母線(xiàn)長(zhǎng)為，母線(xiàn)與軸的夾角為，一個(gè)底面半徑是另一個(gè)底面半徑的倍，則兩底面半徑為 【例13】 圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的倍，軸截面的面積等

3、于，母線(xiàn)與底面的夾角是，求這個(gè)圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)【例14】 用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截這個(gè)圓錐，截得圓臺(tái)上下底面半徑的比是，截去的圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)是，求圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)【例15】 圓臺(tái)母線(xiàn)長(zhǎng)為，母線(xiàn)與軸的夾角為，一個(gè)底面的半徑是另一個(gè)底面半徑的倍，求兩底面半徑以及兩底面面積之和【例16】 圓錐軸截面頂角為，母線(xiàn)長(zhǎng)為求軸截面的面積；過(guò)頂點(diǎn)的圓錐的截面中，最大截面的面積球的截面【例17】 在球心同側(cè)有相距的兩個(gè)平行截面，它們的面積分別為和求球的半徑【例18】 已知半徑為的球的兩個(gè)平行截面的周長(zhǎng)分別為和，求這兩個(gè)截面間的距離【例19】 （2008四川卷）設(shè)是球心的半徑上的兩點(diǎn)，且，分別過(guò)作垂直于的平面截球得三個(gè)

4、圓，則這三個(gè)圓的面積之比為（）A B C D【例20】 球面上有三點(diǎn)、組成這個(gè)球的一個(gè)截面的內(nèi)接三角形三個(gè)頂點(diǎn)，其中，、，球心到這個(gè)截面的距離為球半徑的一半，求球的半徑【例21】 （2008全國(guó)）已知球的半徑為，相互垂直的兩個(gè)平面分別截球面得兩個(gè)圓若兩圓的公共弦長(zhǎng)為，則兩圓的圓心距等于（ ）A B C D組合體的截面分析【例22】 一個(gè)軸截面是正三角形的圓錐內(nèi)有一個(gè)軸截面是正方形的內(nèi)接圓柱，求它們的高的比值和母線(xiàn)長(zhǎng)的比值【例23】 （2007湖南理8）棱長(zhǎng)為的正方體的個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，分別是棱，的中點(diǎn)，則直線(xiàn)被球截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為（ ）A B C D【例24】 （2008年江西卷10）連結(jié)球面

5、上兩點(diǎn)的線(xiàn)段稱(chēng)為球的弦半徑為4的球的兩條弦、的長(zhǎng)度分別等于、，、分別為、的中點(diǎn)，每條弦的兩端都在球面上運(yùn)動(dòng)，有下列四個(gè)命題：弦、可能相交于點(diǎn) 弦、可能相交于點(diǎn)的最大值為5 的最小值為1其中真命題的個(gè)數(shù)為（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)多面體與簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體的表面最短距離問(wèn)題【例25】 如圖正方體，其棱長(zhǎng)為，分別為線(xiàn)段，上的兩點(diǎn)，且求在正方體側(cè)面上從到的最短距離【例26】 已知如圖，正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，高為8，一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)的最短路線(xiàn)的長(zhǎng)為【例27】 如圖所示，正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，和分別為棱和上的點(diǎn)，求的周長(zhǎng)的最小值【例28】 如圖，長(zhǎng)方體中，并且求沿著長(zhǎng)方體

6、的表面自到的最短線(xiàn)路的長(zhǎng)【例29】 如圖所示，設(shè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，過(guò)作與側(cè)棱相交的截面，求截面周長(zhǎng)的最小值【例30】 如圖，圓臺(tái)上底半徑為，下底半徑為，母線(xiàn)，從中點(diǎn)拉一繩子繞圓臺(tái)側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)（在下底面）求繩子的最短長(zhǎng)度；求繩子最短時(shí)，上底圓周上的點(diǎn)到繩子的最短距離【例31】 已知以為頂點(diǎn)的正四面體，其棱長(zhǎng)為，分別為上的兩點(diǎn)，且求在正四面體側(cè)面上從到的最短距離【例32】 （2005江西，理15）如圖，在直三棱柱中，、分別為、的中點(diǎn)，沿棱柱的表面從到兩點(diǎn)的最短路徑的長(zhǎng)度為 【例33】 如圖所示，正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，和分別為棱和上的點(diǎn)，求的周長(zhǎng)的最小值球面距離【例34】 （2008遼寧）

7、在體積為的球的表面上有三點(diǎn)，兩點(diǎn)的球面距離為，則球心到平面的距離為 【例35】 （06四川卷理10）已知球的半徑是1，、三點(diǎn)都在球面上，、兩點(diǎn)和、兩點(diǎn)的球面距離都是，、兩點(diǎn)的球面距離是，則二面角的大小是（）A B C D【例36】 、是半徑為的球的球面上兩點(diǎn)，它們的球面距離為，求過(guò)、的平面中，與球心的最大距離是多少？【例37】 已知三點(diǎn)在球心為，半徑為的球面上，且，那么兩點(diǎn)的球面距離為_(kāi)，球心到平面的距離為_(kāi)【例38】 、是半徑為的球的球面上兩點(diǎn)，它們的球面距離為，求過(guò)、的平面中，與球心的最大距離是多少？【例39】 （2009陜西）如圖球的半徑為，圓是一小圓，、是圓上兩點(diǎn)，若兩點(diǎn)間的球面距離為

8、，則= 【例40】 （2009四川卷）如圖，在半徑為3的球面上有、三點(diǎn)，球心到平面的距離是，則、兩點(diǎn)的球面距離是（ ） A B C D【例41】 球面上有個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的，經(jīng)過(guò)個(gè)點(diǎn)的小圓的周長(zhǎng)為，求這個(gè)球的半徑【例42】 （06浙江）如圖，是半徑為的球心，點(diǎn)在球面上，兩兩垂直，分別是大圓弧與的中點(diǎn)，則點(diǎn)在該球面上的球面距離是（）A B C D 【例43】 （2008安徽）已知在同一個(gè)球面上，平面，若，則兩點(diǎn)間的球面距離是 【例44】 （2009遼寧卷文）如果把地球看成一個(gè)球體，則地球上的北緯緯線(xiàn)長(zhǎng)和赤道長(zhǎng)的比值為（ ）ABCD 在半徑為的球面上有，兩點(diǎn)，球心為，半徑

9、，的夾角是，則，兩點(diǎn)的球面距離為_(kāi)【例45】 在北緯緯線(xiàn)上有，兩地，它們分別在東經(jīng)與西經(jīng)的經(jīng)線(xiàn)上，設(shè)地球半徑為，求，兩地的球面距離 【例46】 已知地球的半徑為，球面上兩點(diǎn)都在北緯圈上，它們的球面距離為，點(diǎn)在東經(jīng)上，求點(diǎn)的位置及，兩點(diǎn)所在的緯線(xiàn)圈上對(duì)應(yīng)的劣弧的長(zhǎng)度【例47】 從北京（靠近北緯、東經(jīng)，以下經(jīng)緯度均取近似值）飛往南非首都約翰內(nèi)斯堡（南緯、東經(jīng)），有兩條航空線(xiàn)可供選擇：甲航空線(xiàn)：從北京沿緯線(xiàn)向西飛到土耳其首都安卡拉（北緯、東經(jīng)），然后向南飛到目的地乙航空線(xiàn)：從北京沿經(jīng)線(xiàn)向南飛到澳大利亞的珀斯（南緯、東經(jīng)），然后向沿緯線(xiàn)向西飛到目的地請(qǐng)問(wèn)：哪一條航空線(xiàn)較短？如果這條航線(xiàn)的兩段都分別選擇最短路線(xiàn)，那么這條航線(xiàn)的總長(zhǎng)為多少？（地球視為半徑的球）【例48】 （2008陜西）長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)都在球的球面上，其中兩點(diǎn)的球面距離記為，兩點(diǎn)的球面距