講義湍流模型

1、第三章，湍流模型第一節(jié)， 前言湍流流動(dòng)模型很多，但大致可以歸納為以下三類(lèi)：第一類(lèi)是湍流輸運(yùn)系數(shù)模型，是Boussinesq于1877年針對(duì)二維流動(dòng)提出的，將速度脈動(dòng)的二階關(guān)聯(lián)量表示成平均速度梯度與湍流粘性系數(shù)的乘積。即：31推廣到三維問(wèn)題，若用笛卡兒張量表示，即有： 32模型的任務(wù)就是給出計(jì)算湍流粘性系數(shù)的方法。根據(jù)建立模型所需要的微分方程的數(shù)目，可以分為零方程模型（代數(shù)方程模型），單方程模型和雙方程模型。第二類(lèi)是拋棄了湍流輸運(yùn)系數(shù)的概念，直接建立湍流應(yīng)力和其它二階關(guān)聯(lián)量的輸運(yùn)方程。第三類(lèi)是大渦模擬。前兩類(lèi)是以湍流的統(tǒng)計(jì)結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，對(duì)所有渦旋進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均。大渦模擬把湍流分成大尺度湍流和小尺度湍

2、流，通過(guò)求解三維經(jīng)過(guò)修正的Navier-Stokes方程，得到大渦旋的運(yùn)動(dòng)特性，而對(duì)小渦旋運(yùn)動(dòng)還采用上述的模型。實(shí)際求解中，選用什么模型要根據(jù)具體問(wèn)題的特點(diǎn)來(lái)決定。選擇的一般原則是精度要高，應(yīng)用簡(jiǎn)單，節(jié)省計(jì)算時(shí)間，同時(shí)也具有通用性。FLUENT提供的湍流模型包括：?jiǎn)畏匠蹋⊿palart-Allmaras）模型、雙方程模型（標(biāo)準(zhǔn)-模型、重整化群-模型、可實(shí)現(xiàn)(Realizable)-模型）及雷諾應(yīng)力模型和大渦模擬。Zero-Equation ModelsOne-Equation Models Spalart-AllmarasTwo-Equation Models Standard k-e RNG

3、 k-e Realizable k-e Reynolds-Stress ModelLarge-Eddy SimulationDirect Numerical Simulation包含更多物理機(jī)理每次迭代計(jì)算量增加FLUENT提供的模型選擇RANS-basedmodels湍流模型種類(lèi)示意圖第二節(jié)，平均量輸運(yùn)方程雷諾平均就是把Navier-Stokes方程中的瞬時(shí)變量分解成平均量和脈動(dòng)量?jī)刹糠帧?duì)于速度，有： 33其中，和分別是平均速度和脈動(dòng)速度（i=1,2,3）類(lèi)似地，對(duì)于壓力等其它標(biāo)量，我們也有： 34其中，表示標(biāo)量，如壓力、能量、組分濃度等。把上面的表達(dá)式代入瞬時(shí)的連續(xù)與動(dòng)量方程，并取平均（

4、去掉平均速度上的橫線），我們可以把連續(xù)與動(dòng)量方程寫(xiě)成如下的笛卡兒坐標(biāo)系下的張量形式： 35 36 上面兩個(gè)方程稱(chēng)為雷諾平均的Navier-Stokes（RANS）方程。他們和瞬時(shí)Navier-Stokes方程有相同的形式，只是速度或其它求解變量變成了時(shí)間平均量。額外多出來(lái)的項(xiàng)是雷諾應(yīng)力，表示湍流的影響。如果要求解該方程，必須模擬該項(xiàng)以封閉方程。如果密度是變化的流動(dòng)過(guò)程如燃燒問(wèn)題，我們可以用法夫雷（Favre）平均。這樣才可以求解有密度變化的流動(dòng)問(wèn)題。法夫雷平均就是出了壓力和密度本身以外，所有變量都用密度加權(quán)平均。變量的密度加權(quán)平均定義為： 37符號(hào)表示密度加權(quán)平均；對(duì)應(yīng)于密度加權(quán)平均值的脈動(dòng)值

5、用表示，即有：。很顯然，這種脈動(dòng)值的簡(jiǎn)單平均值不為零，但它的密度加權(quán)平均值等于零，即：， Boussinesq近似與雷諾應(yīng)力輸運(yùn)模型為了封閉方程，必須對(duì)額外項(xiàng)雷諾應(yīng)力進(jìn)行模擬。一個(gè)通常的方法是應(yīng)用Boussinesq假設(shè)，認(rèn)為雷諾應(yīng)力與平均速度梯度成正比，即： 38Boussinesq假設(shè)被用于Spalart-Allmaras單方程模型和雙方程模型。Boussinesq近似的好處是與求解湍流粘性系數(shù)有關(guān)的計(jì)算時(shí)間比較少，例如在Spalart-Allmaras單方程模型中，只多求解一個(gè)表示湍流粘性的輸運(yùn)方程；在雙方程模型中，只需多求解湍動(dòng)能k和耗散率兩個(gè)方程，湍流粘性系數(shù)用湍動(dòng)能k和耗散率的函數(shù)

6、。Boussinesq假設(shè)的缺點(diǎn)是認(rèn)為湍流粘性系數(shù)是各向同性標(biāo)量，對(duì)一些復(fù)雜流動(dòng)該條件并不是嚴(yán)格成立，所以具有其應(yīng)用限制性。另外的方法是求解雷諾應(yīng)力各分量的輸運(yùn)方程。這也需要額外再求解一個(gè)標(biāo)量方程，通常是耗散率方程。這就意味著對(duì)于二維湍流流動(dòng)問(wèn)題，需要多求解4個(gè)輸運(yùn)方程，而三維湍流問(wèn)題需要多求解7個(gè)方程，需要比較多的計(jì)算時(shí)間，對(duì)計(jì)算機(jī)內(nèi)存也有更高要求。在許多問(wèn)題中，Boussinesq近似方法可以得到比較好的結(jié)果，并不一定需要花費(fèi)很多時(shí)間來(lái)求解雷諾應(yīng)力各分量的輸運(yùn)方程。但是，如果湍流場(chǎng)各向異性很明顯，如強(qiáng)旋流動(dòng)以及應(yīng)力驅(qū)動(dòng)的二次流等流動(dòng)中，求解雷諾應(yīng)力分量輸運(yùn)方程無(wú)疑可以得到更好的結(jié)果。第三節(jié)

7、， 湍流模型3.3.1 單方程（Spalart-Allmaras）模型Spalart-Allmaras模型的求解變量是，表征出了近壁（粘性影響）區(qū)域以外的湍流運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)。的輸運(yùn)方程為： 39其中，是湍流粘性產(chǎn)生項(xiàng)；是由于壁面阻擋與粘性阻尼引起的湍流粘性的減少；和是常數(shù)；是分子運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)。湍流粘性系數(shù)用如下公式計(jì)算：其中，是粘性阻尼函數(shù)，定義為：，并且。湍流粘性產(chǎn)生項(xiàng)，用如下公式模擬： 310其中，而。其中，和k是常數(shù)，d是計(jì)算點(diǎn)到壁面的距離；S。定義為： 311由于平均應(yīng)變率對(duì)湍流產(chǎn)生也起到很大作用，F(xiàn)LUENT處理過(guò)程中，定義S為： 312其中，平均應(yīng)變率定義為： 313在渦量超過(guò)應(yīng)變率

8、的計(jì)算區(qū)域計(jì)算出來(lái)的渦旋粘性系數(shù)變小。這適合渦流靠近渦旋中心的區(qū)域，那里只有“單純”的旋轉(zhuǎn)，湍流受到抑止。包含應(yīng)變張量的影響更能體現(xiàn)旋轉(zhuǎn)對(duì)湍流的影響。忽略了平均應(yīng)變，估計(jì)的渦旋粘性系數(shù)產(chǎn)生項(xiàng)偏高。湍流粘性系數(shù)減少項(xiàng)為： 314其中， 315 316 317其中，是常數(shù)，。在上式中，包括了平均應(yīng)變率對(duì)S的影響，因而也影響用計(jì)算出來(lái)的r。上面的模型常數(shù)在FLUENT中默認(rèn)值為：，。壁面條件在壁面，湍流運(yùn)動(dòng)粘性設(shè)置為零。當(dāng)計(jì)算網(wǎng)格足夠細(xì)，可以計(jì)算層流底層時(shí)，壁面切應(yīng)力用層流應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系求解，即： 318如果網(wǎng)格粗錯(cuò)不能用來(lái)求解層流底層，則假設(shè)與壁面近鄰的網(wǎng)格質(zhì)心落在邊界層的對(duì)數(shù)區(qū)，則根據(jù)壁面法則：

9、319其中，k=0.419，E=9.793。對(duì)流傳熱傳質(zhì)模型在FLUENT中，用雷諾相似湍流輸運(yùn)的概念來(lái)模擬熱輸運(yùn)過(guò)程。給出的能量方程為： 320式中，E是總能量，是偏應(yīng)力張量，定義為： 321其中，表示粘性加熱，耦合求解。如果默認(rèn)為分開(kāi)求解，F(xiàn)LUENT不求解處。但是可以通過(guò)變化“粘性模型”面板上的湍流普朗特?cái)?shù)（Prt），其默認(rèn)值為0.85。湍流質(zhì)量輸運(yùn)與熱輸運(yùn)類(lèi)似，默認(rèn)的Schmidt數(shù)是0.7，該值同樣也可以在“粘性模型”面板上調(diào)節(jié)。標(biāo)量的壁面處理與動(dòng)量壁面處理類(lèi)似，分別選用合適的壁面法則。綜上所述，Spalart-Allmaras模型是相對(duì)簡(jiǎn)單的單方程模型，只需求解湍流粘性的輸運(yùn)方程，

10、并不需要求解當(dāng)?shù)丶羟袑雍穸鹊拈L(zhǎng)度尺度。該模型對(duì)于求解有壁面影響流動(dòng)及有逆壓力梯度的邊界層問(wèn)題有很好模擬效果，在透平機(jī)械湍流模擬方面也有較好結(jié)果。Spalart-Allmaras模型的初始形式屬于對(duì)低雷諾數(shù)湍流模型，這必須很好解決邊界層的粘性影響區(qū)求解問(wèn)題。在FLUENT中，當(dāng)網(wǎng)格不是很細(xì)時(shí)，采用壁面函數(shù)來(lái)解決這一問(wèn)題。當(dāng)網(wǎng)格比較粗糙時(shí)，網(wǎng)格不滿(mǎn)足精確的湍流計(jì)算要求，用壁面函數(shù)也許是最好的解決方案。另外，該模型中的輸運(yùn)變量在近壁處的梯度要比中的小，這使得該模型對(duì)網(wǎng)格粗糙帶來(lái)數(shù)值誤差不太敏感。但是，Spalart-Allmaras模型不能預(yù)測(cè)均勻各向同性湍流的耗散。并且，單方程模型沒(méi)有考慮長(zhǎng)度尺度

11、的變化，這對(duì)一些流動(dòng)尺度變換比較大的流動(dòng)問(wèn)題不太適合。比如，平板射流問(wèn)題，從有壁面影響流動(dòng)突然變化到自由剪切流，流場(chǎng)尺度變化明顯。3.3.2 標(biāo)準(zhǔn)模型標(biāo)準(zhǔn)模型需要求解湍動(dòng)能及其耗散率方程。湍動(dòng)能輸運(yùn)方程是通過(guò)精確的方程推導(dǎo)得到，但耗散率方程是通過(guò)物理推理，數(shù)學(xué)上模擬相似原形方程得到的。該模型假設(shè)流動(dòng)為完全湍流，分子粘性的影響可以忽略。因此，標(biāo)準(zhǔn)模型只適合完全湍流的流動(dòng)過(guò)程模擬。標(biāo)準(zhǔn)模型的湍動(dòng)能k和耗散率方程為如下形式： 322 323在上述方程中，表示由于平均速度梯度引起的湍動(dòng)能產(chǎn)生，是用于浮力影響引起的湍動(dòng)能產(chǎn)生；可壓速湍流脈動(dòng)膨脹對(duì)總的耗散率的影響。湍流粘性系數(shù)。在FLUENT中，作為默認(rèn)

12、值常數(shù)，1.44，=1.92，湍動(dòng)能k與耗散率的湍流普朗特?cái)?shù)分別為1.0，1.3。可以通過(guò)調(diào)節(jié)“粘性模型”面板來(lái)調(diào)節(jié)這些常數(shù)值。3.3.3 重整化群-模型重整化群-模型是對(duì)瞬時(shí)的Navier-Stokes方程用重整化群的數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)出來(lái)的模型。模型中的常數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)-模型不同，而且方程中也出現(xiàn)了新的函數(shù)或者項(xiàng)。其湍動(dòng)能與耗散率方程與標(biāo)準(zhǔn)-模型有相似的形式： 324 325 表示由于平均速度梯度引起的湍動(dòng)能產(chǎn)生，是用于浮力影響引起的湍動(dòng)能產(chǎn)生；可壓速湍流脈動(dòng)膨脹對(duì)總的耗散率的影響，這些參數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)-模型中相同。和分別是湍動(dòng)能k和耗散率的有效湍流普朗特?cái)?shù)的倒數(shù)。 湍流粘性系數(shù)計(jì)算公式為： 326 其中，

13、對(duì)上面方程積分，可以精確得到有效雷諾數(shù)（渦旋尺度）對(duì)湍流輸運(yùn)的影響，這有助于處理低雷諾數(shù)和近壁流動(dòng)問(wèn)題的模擬。對(duì)于高雷諾數(shù)，上面方程可以給出：，。這個(gè)結(jié)果非常有意思，和標(biāo)準(zhǔn)-模型的半經(jīng)驗(yàn)推導(dǎo)給出的常數(shù)非常近似。在FLUENT中，如果是默認(rèn)設(shè)置，用重整化群-模型時(shí)候是針對(duì)的高雷諾數(shù)流動(dòng)問(wèn)題。如果對(duì)低雷諾數(shù)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值模擬，必須進(jìn)行相應(yīng)的設(shè)置。重整化群-模型有旋修正通常，平均運(yùn)動(dòng)有旋時(shí)候?qū)ν牧饔兄匾绊憽LUENT中重整化群-模型通過(guò)修正湍流粘性系數(shù)來(lái)考慮了這類(lèi)影響。湍流粘性的修正形式為： 327其中，是不考慮有旋計(jì)算出來(lái)的湍流粘性系數(shù)；是FLUENT計(jì)算出來(lái)的特征旋流數(shù)；是旋流常數(shù)，不同值表示

14、有旋流動(dòng)的強(qiáng)度不同。流動(dòng)可以是強(qiáng)旋或者中等旋度的。FLUENT默認(rèn)設(shè)置0.05,針對(duì)中等旋度的流動(dòng)問(wèn)題，對(duì)于強(qiáng)旋流動(dòng)，可以選擇較大的值。湍動(dòng)能及其耗散率的有效湍流普朗特?cái)?shù)倒數(shù)的計(jì)算公式為： 328式中，1，在高雷諾數(shù)流動(dòng)問(wèn)題中，。湍流耗散率方程右邊的R為： 329其中，。為了更清楚體現(xiàn)R對(duì)耗散率的影響，我們把耗散率輸運(yùn)方程重寫(xiě)為： 330則： 331在的區(qū)域，R的貢獻(xiàn)為正；大于。以對(duì)數(shù)區(qū)為例，這和標(biāo)準(zhǔn)-模型中給出的1.92接近。因此，對(duì)于弱旋和中等旋度的流動(dòng)問(wèn)題，重整化群-模型給出的結(jié)果比標(biāo)準(zhǔn)-模型的結(jié)果要大。重整化群模型中，。3.3.4 可實(shí)現(xiàn)-模型可實(shí)現(xiàn)-模型的湍動(dòng)能及其耗散率輸運(yùn)方程為：

15、 332 333 其中，在上述方程中，表示由于平均速度梯度引起的湍動(dòng)能產(chǎn)生，是用于浮力影響引起的湍動(dòng)能產(chǎn)生；可壓速湍流脈動(dòng)膨脹對(duì)總的耗散率的影響。和是常數(shù)；，分別是湍動(dòng)能及其耗散率的湍流普朗特?cái)?shù)。在FLUENT中，作為默認(rèn)值常數(shù)，1.44，=1.9，1.0，1.2?？蓪?shí)現(xiàn)-模型的湍動(dòng)能的輸運(yùn)方程與標(biāo)準(zhǔn)-模型和重整化群-模型有相同的形式，只是模型參數(shù)不同。但耗散率方程有較大不同。首先耗散率產(chǎn)生項(xiàng)（方程右邊第二項(xiàng)）不包含湍動(dòng)能產(chǎn)生項(xiàng)，現(xiàn)在的形式更能體現(xiàn)能量在譜空間的傳輸。另外的特色在于耗散率減少項(xiàng)中，不具有奇異性。并不象標(biāo)準(zhǔn)-模型模型那樣把K放在分母上。該模型適合的流動(dòng)類(lèi)型比較廣泛，包括有旋均勻剪

16、切流，自由流（射流和混合層），腔道流動(dòng)和邊界層流動(dòng)。對(duì)以上流動(dòng)過(guò)程模擬結(jié)果都比標(biāo)準(zhǔn)-模型的結(jié)果好，特別是可實(shí)現(xiàn)-模型對(duì)圓口射流和平板射流模擬中，能給出較好的射流擴(kuò)張角。湍流粘性系數(shù)公式為，這和標(biāo)準(zhǔn)-模型相同。不同的是，在可實(shí)現(xiàn)-模型中，不再是個(gè)常數(shù)，而是通過(guò)如下公式計(jì)算： 334其中，是 is the mean rate-of rotation tensor viewed in a rotating reference frame with the angular velocity 。模型常數(shù)，而：，式中W，我們可以發(fā)現(xiàn)，是平均應(yīng)變率與旋度的函數(shù)。在平衡邊界層慣性底層，可以得到0.09,與標(biāo)準(zhǔn)

17、-模型中采用底常數(shù)一樣。雙方程模型中，無(wú)論是標(biāo)準(zhǔn)-模型、重整化群-模型還是可實(shí)現(xiàn)-模型，三個(gè)模型有類(lèi)似的形式，即都有和的輸運(yùn)方程，它們的區(qū)別在于：1，計(jì)算湍流粘性的方法不同；2，控制湍流擴(kuò)散的湍流Prandtl數(shù)不同；3，方程中的產(chǎn)生項(xiàng)和Gk關(guān)系不同。但都包含了相同的表示由于平均速度梯度引起的湍動(dòng)能產(chǎn)生，用于浮力影響引起的湍動(dòng)能產(chǎn)生；可壓速湍流脈動(dòng)膨脹對(duì)總的耗散率的影響。湍動(dòng)能產(chǎn)生項(xiàng) 335 336 式中，Prt是能量的湍流普特朗數(shù)，對(duì)于可實(shí)現(xiàn)-模型，默認(rèn)設(shè)置值為0.85。對(duì)于重整化群-模型，。熱膨脹系數(shù)，對(duì)于理想氣體，浮力引起的湍動(dòng)能產(chǎn)生項(xiàng)變?yōu)椋?337在FLUENT程序中，如果有重力作用，

18、并且流場(chǎng)里有密度或者溫度的梯度，浮力對(duì)湍動(dòng)能的影響都是存在的。浮力對(duì)耗散率的影響不是很清楚，因此，默認(rèn)設(shè)置中，耗散率方程中的浮力影響不被考慮。如果要考慮浮力對(duì)耗散率的影響，用“粘性模型”面板來(lái)控制。浮力對(duì)耗散率影響是用來(lái)體現(xiàn)。但并不是常數(shù)，而是如下的函數(shù)形式： 338 v是平行于重力方向的速度分量；u是垂直于重力方向的速度分量。如果流動(dòng)速度與重力方向相同的剪切流動(dòng)，1，對(duì)于流動(dòng)方向與重力方向垂直的剪切流，0。對(duì)于高馬赫數(shù)的流動(dòng)問(wèn)題，可壓速性對(duì)湍流影響在中體現(xiàn)。其中，是馬赫數(shù)，定義為：（是聲速）。默認(rèn)設(shè)置中，只要選擇可壓速理想氣體，可壓速效應(yīng)都是考慮的。在上述的雙方程模型中，對(duì)流傳熱傳質(zhì)模型都是

19、通過(guò)雷諾相似湍流動(dòng)量輸運(yùn)方程得到的。能量方程形式為： 339 式中，E是總的能量，是有效導(dǎo)熱系數(shù)；是偏應(yīng)力張量，定義為： 340表示的是粘性加熱，耦合求解時(shí)總是計(jì)算。如果不是耦合求解時(shí)候，作為默認(rèn)設(shè)置，并不求解該量。如果有需要，需在“粘性模型”面板中設(shè)置。對(duì)于重整化群-模型，有效導(dǎo)熱系數(shù)為： 341用（328）計(jì)算，式中，。事實(shí)上，隨著的變化而變化，這是重整化群-模型的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，因?yàn)閷?shí)驗(yàn)中證明，湍流普朗特?cái)?shù)隨分子普朗特?cái)?shù)及湍流而變化。湍流質(zhì)量輸運(yùn)處理過(guò)程與能量輸運(yùn)過(guò)程類(lèi)似。對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)-模型和可實(shí)現(xiàn)的-模型，默認(rèn)的Schmidt數(shù)是0.7，重整化群模型中，是通過(guò)方程328來(lái)計(jì)算的，其中，Sc是分子Schimidt數(shù)。3.3.5 雷諾應(yīng)力模型（RSM）雷諾應(yīng)力模型是求解雷諾應(yīng)力張量的各個(gè)分量的輸運(yùn)方程。具體形式為： 對(duì)流項(xiàng)湍流擴(kuò)撒項(xiàng) 分子擴(kuò)散應(yīng)力產(chǎn)生項(xiàng) 浮力產(chǎn)生項(xiàng)目壓力應(yīng)變項(xiàng) 耗散項(xiàng) 342系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生項(xiàng)上面方程中，不需要模擬，而，需要模擬以封閉方程。下面簡(jiǎn)單對(duì)幾個(gè)需要模擬項(xiàng)的模擬。可以用Delay and Harlow L38的梯度擴(kuò)散模型來(lái)模擬，即： 343但這個(gè)模型會(huì)導(dǎo)致數(shù)值不穩(wěn)定，因此FLUE