考研數(shù)學(xué)矩陣大秩及其證明_第1頁
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考研數(shù)學(xué)矩陣大秩及其證明_第3頁
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考研數(shù)學(xué)矩陣大秩及其證明_第5頁
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考研數(shù)學(xué)矩陣的8大秩及其證明2009 證明：根據(jù)矩陣秩的定義直接得出。 證明：對(duì)矩陣任意添加列后變成矩陣，則秩顯然不小于，即： 同理： 因而：成立。又設(shè) ，把分別做列變換化成列階梯形 用分別表示非全零列，則有：由于初等變換后互為等價(jià)矩陣，故而矩陣只含有個(gè)非全零列，所以：。綜合上述得：特別地：如為列向量，則。如，設(shè)， 則 證明： 證明： 設(shè) 設(shè) 則的標(biāo)準(zhǔn)型為，的標(biāo)準(zhǔn)型為 存在可逆矩陣使： 證明：設(shè)，則 證明：分三種情況 （1），滿秩、可逆，可逆， （2），說明中至少有一個(gè)元素的代數(shù)余子式不為零，即存在 又，不可逆，則（3）時(shí)，由矩陣秩的定義知，得所有階子式為零 評(píng) 注 如，則。 證明：考察下列兩個(gè)齊次方程組 顯然，（2）的解全部是方程（1）解，因此，（2）的基礎(chǔ)解系包含于（1）的基礎(chǔ)解系，即 另一方面因此，（1）的基礎(chǔ)解系包含于（2）的基礎(chǔ)解系，即而 證明：設(shè)，則： 評(píng) 注 下面3個(gè)關(guān)于秩的公式也常常使用。

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