高等數(shù)學上修訂版黃立宏復旦出版社習題五答案詳解

1、高等數(shù)學上（修訂版）黃立宏（復旦出版社）習題五答案詳解1 求下列各曲線所圍圖形的面積：（1） 與x2+y2=8(兩部分都要計算)；解：如圖D1=D2解方程組得交點A(2，2) (1) ,（2） 與直線y=x及x=2；解： . (2)（3） y=ex，y=e-x與直線x=1；解：(3)（4） y=lnx，y軸與直線y=lna，y=lnb(b>a>0)；解：(4)（5） 拋物線y=x2和y=-x2+2；解：解方程組得交點 (1，1)，(-1，1)(5)（6） y=sinx，y=cosx及直線；解：(6)（7） 拋物線y=-x2+4x-3及其在(0，-3)和(3，0)處的切線；解：y=-

2、2x+4y(0)=4，y(3)=-2拋物線在點(0，-3)處切線方程是y=4x-3在(3，0)處的切線是y=-2x+6兩切線交點是(，3)故所求面積為 (7)（8） 擺線x=a(t-sint)，y=a(1-cost)的一拱 (0£t£2p)與x軸；解：當t=0時，x=0, 當t=2p時，x=2pa所以 (8)（9） 極坐標曲線 =asin3；解： (9)（10） =2acos；解： (10)2 求下列各曲線所圍成圖形的公共部分的面積：（1） r=a(1+cos)及r=2acos;解：由圖11知，兩曲線圍成圖形的公共部分為半徑為a的圓，故D=a2(11)（2） 及解：如圖12

3、，解方程組得cos=0或,即或 (12)3 已知曲線f(x)=x-x2與g(x)=ax圍成的圖形面積等于，求常數(shù)a解：如圖13，解方程組得交點坐標為(0，0)，(1-a，a(1-a)依題意得得a=-2 (13)4 求下列旋轉(zhuǎn)體的體積：（1） 由y=x2與y2=x3圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)；解： 求兩曲線交點得(0，0)，(1，1) （14）（2）由y=x3，x=2，y=0所圍圖形分別繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn)； 解：見圖14，（2） 星形線繞x軸旋轉(zhuǎn)；解：見圖15，該曲線的參數(shù)方程是：，由曲線關于x軸及y軸的對稱性，所求體積可表示為 (15)5 設有一截錐體，其高為h，上、下底均為橢圓，橢圓的軸長分別為

4、2a，2b和2A，2B，求這截錐體的體積。解：如圖16建立直角坐標系，則圖中點E，D的坐標分別為：E(a，h)， D(A，0)，于是得到ED所在的直線方程為：(16)對于任意的y0，h，過點(0，y)且垂直于y軸的平面截該立體為一橢圓，且該橢圓的半軸為： ，同理可得該橢圓的另一半軸為： 故該橢圓面積為從而立體的體積為.6 計算底面是半徑為R的圓，而垂直于底面一固定直徑的所有截面都是等邊三角形的立體體積.見圖17.(17)解：以底面上的固定直徑所在直線為x軸，過該直徑的中點且垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標系，則底面圓周的方程為：x2+y2=R2過區(qū)間-R，R上任意一點x，且垂直于x軸的

5、平面截立體的截面為一等邊三角形，若設與x對應的圓周上的點為(x，y)，則該等邊三角形的邊長為2y，故其面積等于從而該立體的體積為7 求下列曲線段的弧長：（1） ，0x2；解：見圖18，2yy=2 從而 (18)（2） y=lnx，；解：（3） ；解：=4.8 設星形線的參數(shù)方程為x=acos3t，y=asin3t，a>0求（1） 星形線所圍面積；（2） 繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積；（3） 星形線的全長解：(1)(2)(3)xt=-3acos2tsintyt=3asin2tcostxt2+yt2=9a2sin2tcos2t，利用曲線的對稱性，9 求對數(shù)螺線r=ea相應=0到=的一段弧長解：

6、10 求半徑為R，高為h的球冠的表面積解：=2pRh11 求曲線段y=x3(0£x£1)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積解：12 把長為10m，寬為6m，高為5m的儲水池內(nèi)盛滿的水全部抽出，需做多少功？解：如圖19，區(qū)間x，x+dx上的一個薄層水，有微體積dV=10·6·dx(19)設水的比重為1，則將這薄水層吸出池面所作的微功為dw=x·60gdx=60gxdx于是將水全部抽出所作功為13 有一等腰梯形閘門，它的兩條底邊各長10m和6m，高為20m，較長的底邊與水面相齊，計算閘門的一側所受的水壓力解：如圖20，建立坐標系，直線AB的方程為壓力

7、元素為所求壓力為（20）=1467(噸) =14388(KN)14 半徑為R的球沉入水中，球的頂部與水面相切，球的密度與水相同，現(xiàn)將球從水中取離水面，問做功多少？解：如圖21，以切點為原點建立坐標系，則圓的方程為(xR)2+y2=R2將球從水中取出需作的功相應于將0，2R區(qū)間上的許多薄片都上提2R的高度時需作功的和的極限。取深度x為積分變量，典型小薄片厚度為dx，將它由A上升到B時，在水中的行程為x；在水上的行程為2Rx。因為球的比重與水相同，所以此薄片所受的浮力與其自身的重力之和x為零，因而該片在水中由A上升到水面時，提升力為零，并不作功，由水面再上提到B時，需作的功即功元素為（21）所求的

8、功為15 設有一半徑為R，中心角為的圓弧形細棒，其線密度為常數(shù)，在圓心處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點，試求細棒對該質(zhì)點的引力。解：如圖22，建立坐標系，圓弧形細棒上一小段ds對質(zhì)點N的引力的近似值即為引力元素（圖22）則則 故所求引力的大小為，方向自N點指向圓弧的中點。16 求下列函數(shù)在a，a上的平均值：;解：(2) f(x)=x2解：17 求正弦交流電i=I0sint經(jīng)過半波整流后得到電流的平均值和有效值。解：有效值 故有效值為 .18 已知電壓u(t)=3sin2t，求(1) u(t)在上的平均值；解： (2) 電壓的均方根值.解：均方根公式為 故19 設某企業(yè)固定成本為50，邊際成本和邊際收入分別

9、為C(x)=x214x+111，R(x)=1002x試求最大利潤解： 設利潤函數(shù)L(x)則L(x)=R(x)C(x)50由于L(x)=R(x)C(x)=(1002x)(x214x+111)=x2+12x11令L(x)=0得x=1，x=11又當x=1時，L(x)=2x+12>0當x=11時L(x)<0，故當x=11時利潤取得最大值且最大利潤為L(11)=20 設某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為零，生產(chǎn)x（百臺）的邊際成本為C(x)（萬元/百臺），邊際收入為R(x)=72x（萬元/百臺）(1) 求生產(chǎn)量為多少時總利潤最大？(2) 在總利潤最大的基礎上再生產(chǎn)100臺，總利潤減少多少？解：(1) 當C(x)=R(x)時總利潤最大即2=72x，x=5/2(百臺)(2) L(x)=R(x)C(x)=52x在總利潤最大的基礎上再多生產(chǎn)100臺時，利潤的增量為L(x)= 即此時總利潤減少1萬元.21 某企業(yè)投資800萬元，年利率5%，按連續(xù)復利計算，求投資后20年中企業(yè)均勻收入率為200萬元/年的收入總現(xiàn)值及該投資的投資回收期解：投資20年中總收入的現(xiàn)值為純收入現(xiàn)值為R=y800=2528.48