經(jīng)濟數(shù)學導數(shù)與微分習題及答案

1、第三章 函數(shù)的導數(shù)與微分習題 31 1. 根據(jù)定義求下列函數(shù)的導數(shù):(1) (2)(3)(a ,b為常數(shù)) (4)解 (1) 因為 =所以 .(2) 因為 所以 (3) 因為 =所以 (4) 因為 =所以 .2. 下列各題中假定存在, 按照導數(shù)的定義觀察下列極限, 指出A表示什么?(1) (2) (其中且)存在)(3) (其中存在)(4) 解（1）因為 =故 .(2) 因為 = 故 .(3) 因為 = 故.(4) 因為 = 故 .3.已知, 求解 由已知易得當時, , 當時, 又 =1 =2 即不存在.故 .4. 如果f (x)為偶函數(shù)，且存在，證明.證 由于f(x)為偶函數(shù)，所以

2、f(-x) = f(x) 則 故 .5.討論下列函數(shù)在處的連續(xù)性和可導性：(1) (2) (3) 解 (1) 因為 所以函數(shù) 在處可導，從而也連續(xù).(2) 因為 所以函數(shù)在x = 0處可導，從而也連續(xù).(3)因為 所以函數(shù)在處連續(xù).又因為 故不存在, 即函數(shù)在不可導.6. 設函數(shù)，為使函數(shù)f (x) 在x = 1處連續(xù)且可導，a ,b應取什么值？解 由題意， 有 首先可得 a+b = 1 即 b = 1a又因為 所以a = 2 ,于是b = 1. 故當a = 2, b = 1時，函數(shù)f (x) 在x = 1處連續(xù)且可導.7.求曲線在點（-1，1）處的切線方程.解 因 故 曲線在點（-1，1）處

3、的切線方程為即 .8*.設曲線f (x) = xn 在點 (1, 1) 處的切線與x軸的交點為(an，0), 求.解 因為 所以曲線在點（1, 1）處的切線方程為 y1 = n ( x1) 切線與x軸的交點為，即從而習題 32 1 求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）（2）(3 ) (4) (5) (6) (7) (8) 解（1）.(2) .(3) .(4) .(5) =.(6) =.(7) =.(8) =.2. 求下列函數(shù)在給定點的導數(shù)：（1）, 求（2）, 求（3）, 求和.解 (1) 因為, 所以 (2) 因為 所以 .(3) 因為 =所以 , .3. 求的和. 解 注意到 ，有 4. 求

4、曲線上橫坐標為的點處的切線方程和法線方程.解 當時，, 且有 則 =1習題 33 1. 求下列函數(shù)的導數(shù)：（1） （2） （3） (4)（5） (6）解 (1) =.(2) .(3) =.(4) .(5) .(6) =.2. 求下列函數(shù)的導數(shù)：（1） （2）（3） （4）解 （1）.(2) .(3) .(4) =.3. 設可導，求下列函數(shù)的導數(shù)：（1） （2）（3） （4）（5） 解 （1）.（2）.=.(3) .(4) .(5) .4設解 當x > 0時，當x < 0時，當x = 0時，由 得.故 .5. 設，證明.證 由復合函數(shù)的求導法則，得 將 代入上式, 可得即

5、.6. 設函數(shù)f可導，且y = f (a + t) f (a t ), 求.解 因為 故 .*7 設，求. 解 因為 所以 故 .習題 34 1. 求下列函數(shù)的二階導數(shù)：（1） （2）（3） （4）（5） （6）解 (1).(2) 因為 =所以 .(3) , .(4) .(5) .(6) =2. 已知存在，且，求.（1） （2）解 (1) .(2) .3. 設f (x) 的n階導數(shù)存在，求 .解 因 故 .4. 驗證函數(shù)滿足關系式.解 因 =故 =.5.求下列函數(shù)的n階導數(shù)的一般表達式：(1) (2) 解 (1) 因故 .（2）故 .*6 設，求y (100).解 而  習

6、題 35 1. 求由下列方程確定的隱函數(shù)的導數(shù)：（1） （2）（3） （4）（為常數(shù)）解 （1）方程兩邊同時對求導, 得 解方程得 .(2) 方程兩邊同時對求導，得 解方程得 .(3) 方程兩邊同時對求導, 得 解方程得 .(4) 方程兩邊同時對求導, 得 解方程得 .2. 求曲線在點（e, 1）處的切線方程。解 將方程 兩邊對x求導，得 當x = e，y = 1時，可得故所求切線方程為 .*3 設，其中x , y滿足方程均可導，求.解 由復合函數(shù)的求導法則，可得 （1）因x , y滿足方程 , 所以將方程 兩邊對x求導，得 （2） 將(2)代入(1)，并整理得 .4. 用對數(shù)求導法

7、求下列函數(shù)的導數(shù)：（1） （2）（3）解 (1)取已知函數(shù)的絕對值的對數(shù) 即 兩端同時對求導，得.（2）取已知函數(shù)的絕對值的對數(shù)兩端同時對求導,得故 .（3）取已知函數(shù)的對數(shù)兩端同時對求導, 得=故 . 5. 設.解 在等式兩邊取對數(shù)，得 兩邊對x求導，得 注意到當x = 1時，y = 1, 將其代入上式，可求得 .6. 設，求.解 方程兩端同時對求導，得 (1)解方程得 注意到當時，可得 由（1）式變形有 ，對其兩邊同時求導，得即 故 . 題 36 1. 求下列函數(shù)的微分：（1） （2）（3） （4）（5） （6）解 (1) =(2) = (3) =.(4) =.(5)

8、方程兩邊同時微分,得.(6) 方程兩邊同時微分,得=.2. 設，求.解 因為=所以 .3. 設，求.解 方程兩邊同時微分, 得 即 =又因當時，, 故.綜合習題三  1.選擇填空： (1) 設f(x)可導且下列極限均存在，則 ( ) 成立. (2) 下列函數(shù)在x = -1處可導的是 ( ). y=1+x (3) 已知函數(shù)，則f(x)在x = 0處 ( ). 導數(shù) 間斷 導數(shù)=1 連續(xù)但不可導（4）已知則y= ( ). u(x) （5）設函數(shù)f(x)在點x=a處可導，則（ ）. ； (6) 設，則y= ( ). (7) 設y = ln f (sinx)，其中f為可微函數(shù)，則( ). （

9、8）設則（ ）. (9) 曲線上切線平行于x軸的點是 ( ). (0, 0) (1, -1) (1, -1) (1, 1)(10) 設函數(shù)，則其導函數(shù)的定義域是（ ）. （-，+） （-，0） （0，+）解 (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ;(6) ; (7) ; (8) ; (9) ; (10) .2. 已知 解 由導數(shù)定義，有 則 =.3.設曲線與都經(jīng)過點，且在有公共切線，求常數(shù)、.解 由 與均過點，得 即 （1） 即 （2）又由, , 且與在點有公共切線，得 = 即 =亦即 （3）故聯(lián)立求解（1），（2），（3）得 .4. 設（為常數(shù)），求解 設 , , , 則 ， ， 故 5 設，求.解 由 , 得 .6. 設，且，求.解 因 故 .8. 設方程確定為的函數(shù)，求.解 方程兩邊同時對求導, 得 即 故 .9. 設，其中為可微函數(shù)，求.解 .10.設=（為整數(shù)），問n取