線性代數(shù)2007試卷與答案

1、一、填空：（每空2分，共34分）1、階行列式按照定義的完全展開式為 ；該行列式的展開式中共 項(xiàng)。2、設(shè)向量組線性相關(guān)，則 ，向量組的一個極大線性無關(guān)組為 。3、為三階矩陣，且，為的伴隨矩陣，則 ， 。4、階矩陣不可逆，且的伴隨矩陣，則線性方程組的一個基礎(chǔ)解系中含有 個解向量。5、設(shè)矩陣，矩陣，且，則= ， 。6、為三階矩陣，將的第二列與第三列交換得到矩陣，再把矩陣的第一列加到第二列得到矩陣，則滿足的可逆矩陣 。7、設(shè)向量則矩陣， 。8、若矩陣與對角形矩陣相似，則 ，且 。9、設(shè)矩陣的秩為2，且，均不可逆，則的特征值為 ，實(shí)對稱矩陣與相似，則二次型的規(guī)范形是 ，此二次型 （填是或不是）正定二次型

2、。二、計(jì)算題（要求寫出計(jì)算過程）1、計(jì)算行列式2、求齊次線性方程組的一個標(biāo)準(zhǔn)正交的基礎(chǔ)解系。3、設(shè)矩陣，矩陣滿足方程，其中為的伴隨矩陣，求矩陣。4、設(shè)矩陣有一個二重特征值，求參數(shù)的值，并判斷矩陣能否與對角形矩陣相似，說明理由。三、設(shè)線性方程組，問取何值時(shí)，方程組有解；有解時(shí)求出方程組的通解。四、（14分）已知二次型1、寫出二次型的矩陣2、用正交變換法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所做正交變換及二次型標(biāo)準(zhǔn)形。五、證明題：1、設(shè)矩陣滿足，證明：可逆，并求。2、設(shè)與是非齊次線性方程組的兩個不同解，其中為矩陣，是對應(yīng)的齊次線性方程組的一個非零解，證明：（1）向量組線性無關(guān)；（2）若矩陣的秩，則向量組線性相

3、關(guān)。一、填空（每空2分，共34分）1、； 2、；3、；3 4、15、；0 6、7、； 8、；9、；不是二、計(jì)算題1、解：-2分-4分-7分2、解： -2分所以方程組的一個基礎(chǔ)解系為-4分標(biāo)準(zhǔn)正交化得一標(biāo)準(zhǔn)正交的基礎(chǔ)解系為：-7分3、解：因?yàn)椋煽傻茫?所以-4分，-6分-8分4、解：由-4分因?yàn)?，只有一個線性無關(guān)的特征向量 ，所以矩陣不能與對角形矩陣相似。-8分三、解：所以時(shí)，方程組有解-2分方程組為，則一般解為-4分方程組特解為：，導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系為，-10分所以方程組的通解為：，為任意常數(shù)-12分四、1、-2分2、，所以-5分對于可得兩個線性無關(guān)的特征向量，施密特正交化可得兩個標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量，-9分對于，可得，標(biāo)準(zhǔn)化得-11分令，則在下，二次型化為-14分五、證明題1、證明：因?yàn)?3分所以可逆，且。-5分2、證明：（1）設(shè)，則-1分即，所以，從而，由推出所以和線性無關(guān)