圓中的計(jì)算問題

1、圓中的計(jì)算問題弧長和扇形的面積一、素質(zhì)教育目標(biāo)（一）知識儲備點(diǎn)讓學(xué)生經(jīng)歷探索弧長和扇形的面積公式的過程；并能熟練掌握和應(yīng)用這兩個公式計(jì)算扇 形的弧長或面積.（二）能力培養(yǎng)點(diǎn)通過親身經(jīng)歷探索弧長和扇形面積公式的過程，提高學(xué)生探索問題和解決問題的能力.（三）情感體驗(yàn)點(diǎn)經(jīng)歷探索弧長和扇形面積公式的過程，讓學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅.二、教學(xué)設(shè)想1 重點(diǎn)：扇形的弧長與面積的求法.2 難點(diǎn)：經(jīng)歷探索弧長和面積公式的過程.3 疑點(diǎn)：熟練、靈活地運(yùn)用公式.4 課型與基本教學(xué)思路：新授課.？從實(shí)際問題一一圓弧形鐵軌的長度的計(jì)算著手，按照從特殊的圓心角到一般圓心角的過程，探索出圓心角為 n?°的扇形的弧長的計(jì)

2、算公式；接著，按照同樣的思路，探索扇形的面積公式.三、媒體平臺1 教具、學(xué)具準(zhǔn)備：畫圓的基本學(xué)具.2 ?多媒體課件構(gòu)思：設(shè)計(jì)一個輸入任意一個圓心角就會跟著改變弧長的扇形圖（底圖 是虛線圖，扇形是實(shí)線），點(diǎn)擊鼠標(biāo)可得到弧長是圓周長的幾分之幾和實(shí)際長度或扇形面積是 所在圓的面積的幾分之幾和實(shí)際面積.四、課時安排1 課時五、教學(xué)步驟（一）教學(xué)流程1 情境導(dǎo)入如圖所示為圓弧形狀的鐵軌示意圖，其中鐵軌所在圓的半徑為 100m,圓心角為90°,你能求出這段鐵軌的長度嗎？（ 二取3. 14）2 .課前熱身(1) 這段鐵軌的長度與它所在圓的周長有什么關(guān)系？(2) 已知圓的半徑為r，圓的周長與面積分別

3、是多少？(3) 從剛才的實(shí)例中，你是否已感覺到：已知圓的半徑，？若要求出這個圓中某一段弧 的長度，關(guān)鍵要知道什么？3 .合作探究(1) 整體感知通過對課前熱身中的幾個問題的回答，整體感知弧長與它所在的圓的周長有關(guān)，要想求 出弧長，還必須要知道這條弧所對的圓心角.(2) 四邊互動師生與教材互動1:完成教材第66頁的“探索”中的空白.(5分鐘)互動1觀察填寫后的結(jié)果，你有何發(fā)現(xiàn)？生：弧所對的圓心角與圓周角360°的比值等于弧長與圓的周長的比值.師：若弧長為L,圓心角為n°,圓的半徑為r,那么弧長L的計(jì)算公式是怎樣的呢？生:2 二 r=360n- r180明確 弧長與它所在圓的半

4、徑和它所對的圓心角有關(guān)，弧長的計(jì)算公式.師生與教材互動2?:我們規(guī)定：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形 叫扇形.請完成教材第 68頁的“探索”中的空白.互動2觀察填寫后的結(jié)果，你有何發(fā)現(xiàn)？生：弧所對的圓心角與圓周角360°的比值等于扇形的面積與圓的面積的比值.師：若扇形的面積為 S,圓心角為n°,圓的半徑為r, ?那么扇形面積的計(jì)算公式是怎 樣的呢？師：很好！，此公式能變形嗎？能用弧長來表示扇形的面積嗎?2 nrnn rrlr生：能：S=:x 一 =36018022明確扇形面積的兩種計(jì)算公式.互動3師：我們來看這道題：“圓心角為60。的扇形的弧長為 2,?求

5、這個扇形的面積與周長” 先 請同學(xué)們互相討論或交流一下：要想求出扇形的面積，必須要先知道什么？生：可先由弧長公式求出扇形的半徑，再由扇形的面積公式求出面積.明確 本節(jié)課所學(xué)的兩個公式的靈活運(yùn)用及扇形的周長的概念，要強(qiáng)調(diào)周長不是弧長.4 達(dá)標(biāo)反饋(1) 填空題：23 若扇形的圓心角是 230。，則這個扇形的面積等于它所在圓的面積的仝;?它的弧長36等于這個扇形所在圓的周長的36 2 扇形的面積是它所在圓的面積的-，這個扇形的圓心角的度數(shù)是240°3 扇形的圓心角是 60°,半徑為10cm這個扇形的周長是 20+竺cm.3扇形的面積是 S,半徑是r,這個扇形的弧長是2Sr(2)

6、 已知圓弧的半徑為 50cm,圓心角是60°,求此圓弧的長度.【答案】503cm(3)若扇形的面積為6,弧長為2，求它的圓心角的度數(shù).【答案】605 .學(xué)習(xí)小結(jié)(1)內(nèi)容總結(jié)弧長公式:nr180扇形的面積公式:S=n 二 r2=n兀r180x丄=Lr(2)方法歸納：在推導(dǎo)扇形的弧長及面積公式的時候，？其實(shí)我們運(yùn)用了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化的思想由于扇形是圓的一部分，我們可將我們所不熟悉的扇形的問題轉(zhuǎn)化成我們所熟悉的 圓的問題，從而得到問題的答案.(二) 拓展延伸1 .鏈接生活鐘面上的分針的長是 5cm,經(jīng)過20分鐘，？分針在鐘面上掃過的面積是多少平方厘米？2 .實(shí)踐探索 鞏固練習(xí)(1) 火車機(jī)車

7、上的主動輪的直徑為1.2m，若主動輪每分鐘轉(zhuǎn) 400圈，那么火車每小時 行多少千米？【答案】28.8m(2) 如果兩個扇形的圓心角相等，大扇形的半徑是小扇形的2倍，那么大扇形的面積是小扇形的面積的多少倍？【答案】4(3) 若扇形的面積為 3二，弧長為二，求它的半徑和圓心角的度數(shù).【答案】r=6，二=30°(4) 已知扇形的圓心角為 120。，弧長為2二，求此扇形的面積和周長.【答案】s=3二，c=2二+6(三) 板書設(shè)計(jì)1弧長和扇形的面積1.弧長公式.2 扇形的面積公式.六、資料下載轉(zhuǎn)化思想在本節(jié)課的教學(xué)一一圓弧的長度和扇形的面積公式的推導(dǎo)過程中，我們緊緊抓住了弧或 扇形都是圓的一部

8、分這一特點(diǎn)，將我們所不熟悉的弧長或扇形的面積問題轉(zhuǎn)變?yōu)槲覀円逊浅?熟悉的圓的周長和面積問題，從而使問題得以解決這種處理問題的思路就是數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化 思想.“化復(fù)雜為簡單，化未知為已知，化一般為特殊”這一轉(zhuǎn)化思想，在數(shù)學(xué)中有著廣 泛的應(yīng)用如代數(shù)中的“減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)；除以一個數(shù)等于乘以這個 數(shù)的倒數(shù)”，幾何中的“多邊形的內(nèi)角和與相關(guān)性質(zhì)的推導(dǎo)”等等無不體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.數(shù)學(xué)源于生活，數(shù)學(xué)思想其實(shí)也是生活經(jīng)驗(yàn)的推廣與延伸.轉(zhuǎn)化思想在生活中也有著廣 泛的應(yīng)用科技的發(fā)展、生產(chǎn)力水平的提高，都是人們根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)和現(xiàn)行的水平探索著 未知的領(lǐng)域，從而人類社會才得以不斷進(jìn)步.圓錐的側(cè)面積和全面

9、積一、素質(zhì)教育目標(biāo)（一）知識儲備點(diǎn)了解圓錐及其相關(guān)概念；了解圓錐的側(cè)面展開圖，并會計(jì)算其側(cè)面積和全面積.（二）能力培養(yǎng)點(diǎn)通過親身經(jīng)歷圓錐的側(cè)面展開的過程，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念.（三）情感體驗(yàn)點(diǎn)經(jīng)歷探索問題的過程，讓學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅.二、教學(xué)設(shè)想1 重點(diǎn)：讓學(xué)生經(jīng)歷圓錐側(cè)面展開的過程，圓錐的側(cè)面積和全面積的求法.2 .難點(diǎn)：空間觀念的建立.3 .疑點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)概念.4 .課型與基本教學(xué)思路：新授課.先通過事先折好的圓錐的教具演示，？了解圓錐及其相關(guān)概念；通過分組活動，將圓錐側(cè)面展開，讓學(xué)生體驗(yàn)圓錐沿其側(cè)面展開后是一些什么圖形，最后進(jìn)一步探求圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算方法.三、媒體平臺1 .教

10、具、學(xué)具準(zhǔn)備：投影膠片：用硬紙折好的一些圓錐；小剪刀.2 .多媒體課件構(gòu)思：可以制作一個圓錐展開的動態(tài)畫面的課件，？讓學(xué)生更能清晰地體驗(yàn)其展開后的結(jié)果.四、課時安排1 課時五、教學(xué)步驟（一）教學(xué)流程1 .情境導(dǎo)入出示投影膠片：陀螺；錐形的煙囪帽；錐形的糧屯；辣椒；胡蘿卜.以上這些實(shí)物圖形，給了我們一個什么形象？（出示圓錐模型并畫出圓錐的平面圖形，介紹圓錐及其相差的一些概念；母線、高、側(cè) 面與底面，如圖所示）2 .課前熱身（將事先折好的一些圓錐分發(fā)給每小組的同學(xué)）（1）圓錐的底面是一個什么圖形？（2） 沿著圓錐的母線，用小剪刀將你們手中的圓錐剪開，看一看，？剪開后是一個什么 圖形？3 .合作探究

11、（1）整體感知通過對課前熱身中的幾個問題的操作與回答，整體感知：圓錐的底面是一個圓；圓錐的 側(cè)面是一個扇形，而這個扇形的半徑就是圓錐的母線長，扇形的弧長等于圓錐的底面圓的周 長.（2）四邊互動互動1師；通過剛才的操作，你有什么感悟？生：圓錐的底面是一個圓；圓錐的側(cè)面是一個扇形.師：很好！圓錐側(cè)面的這個扇形的半徑與弧長與原來的圓錐有什么關(guān)系呢？明確圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，扇形半徑與弧長分別等于圓錐的母線長和底面圓 的周長.互動2師：如果一個圓錐的底面圓的半徑是1,母線長是4,你能求它的側(cè)面積嗎？應(yīng)怎樣求？生：能；因?yàn)閳A錐的側(cè)面積就是它的側(cè)面展開圖的扇形的面積，而這個扇形的半徑等于L r其母線

12、長4,扇形的弧長等于它的底面圓的周長2二r=2二，所以S=4二.2師：它的全面積呢（解釋一下圓錐的“全面積”）生：全面積就是側(cè)面積與底面積的和，等于4二+二=5二.師：很好！如果圓錐底面圓的半徑是r,母線長是a,請用r、a來表示S側(cè)與S 全.生：S側(cè)=x 2兀r x a= ra ； S全=S側(cè)+S底=兀ra+兀r2 明確圓錐的側(cè)面積與全面積的求法.互動3師：將如圖所示的直角厶?得到一個什么圖形?3-6 -生：得到一個圓錐.師：若AC=4, BC=3那么這個圓錐的底面圓的半徑r，母線長a分別等于多少？生：r=3， a=5.明確 平面圖形旋轉(zhuǎn)t立體(空間)圖形(旋轉(zhuǎn)體)4 .達(dá)標(biāo)反饋(1)想一想：

13、如圖所示的圓柱的側(cè)面展開圖是什么形狀？展開后的圖形的相應(yīng)的邊長與原來的圓柱的高 h和底面圓的半徑r有什么關(guān)系？是柱高這圓的【答案】矩形，其長、寬分別為 2二r, h(2)已知一個圓錐與一個圓柱的底面半徑都是3米，高都是4米，？它們的側(cè)面積相差多少？側(cè)面積的比值為多少？【答案】9二，58?分別得到一個什么圖形？并(3) 如圖所示的直角三角形，若以其一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周, 計(jì)算所得到的圖形的全面積.(提示：要分成三種情況)B564【答案】圓錐.繞AC旋轉(zhuǎn)，S=24二；繞BC旋轉(zhuǎn)，S=36二；繞AB旋轉(zhuǎn)，S=255 .學(xué)習(xí)小結(jié)(1)內(nèi)容總結(jié) 圓錐的側(cè)面展開圖； 圓錐的側(cè)面積與全面積：S側(cè)=>2 n

14、 r >a=兀ra; S 全=S側(cè)+S底=irra+兀r2 圓柱的側(cè)面展開圖.(2)方法歸納在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，我們?nèi)匀贿\(yùn)用了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想.化復(fù)雜為簡單，化未知為已知，把沒學(xué)過的空間圖形的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)熟知的平面圖形來解決.(二)拓展延伸1 .鏈接生活請列舉生活中的一些外形是圓錐或圓柱的實(shí)物.2 .實(shí)踐探索(1) 實(shí)踐活動一把雨傘(假定撐開后成一圓錐)，你能計(jì)算它需要多少尼龍布嗎？要想解決這個問題， 你應(yīng)怎樣做？(2) 鞏固練習(xí)： 若圓錐的底面周長是 20二，側(cè)面展開后所得的扇形的圓心角為120°, ?求它的側(cè)面積和全面積.【答案】 S側(cè)=300, S全=400 一個圓柱形水池的底面半徑為4m,池深1.2m ,在池的內(nèi)壁與底面抹上水泥.若每平方 米需要水泥0.001噸，問此項(xiàng)工程需要多少噸水泥？【答案】0.025 6 -噸 已知一個矩形的長為4cm,寬為3cm.若以這個矩形的某一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個什么圖形？并求出這個圖形的側(cè)面積和全面積.廣2盧S( = 24 兀 cm【答案】圓柱，< 側(cè)或<§全=56 兀 cm2(三)板書設(shè)計(jì)(提示：要分成兩種情況)2S(« = 24 兀 cm25全=42兀cm2圓錐的側(cè)面積和全面積1.圓錐的側(cè)面展開圖.2 圓錐的側(cè)面積和全面積的求法.3圓柱的側(cè)面展開圖與側(cè)面積、全面積.六、資