多目標(biāo)決策模型層次分析法(H)代數(shù)模型離散模型

1、層次分析法建模層次分析法（AHP AnalyticHierachy process） -多目標(biāo)決策方法70年代由美國運(yùn)籌學(xué)家 T L Satty提出的，是一種定性與定量分析相結(jié)合的多目標(biāo)決策 分析方法論。吸收利用行為科學(xué)的特點(diǎn)，是將決策者的經(jīng)驗(yàn)判斷給予量化，對(duì)目標(biāo)（因素）結(jié) 構(gòu)復(fù)雜而且缺乏必要的數(shù)據(jù)情況下，採用此方法較為實(shí)用，是一種系統(tǒng)科學(xué)中，常用的一種系 統(tǒng)分析方法，因而成為系統(tǒng)分析的數(shù)學(xué)工具之一。*傳統(tǒng)的常用的研究自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的方法有： 機(jī)理分析方法：利用經(jīng)典的數(shù)學(xué)工具分析觀察的因果關(guān)系； 統(tǒng)計(jì)分析方法：利用大量觀測數(shù)據(jù)尋求統(tǒng)計(jì)規(guī)律，用隨機(jī)數(shù)學(xué)方法描述（自然現(xiàn)象、 社會(huì)現(xiàn)象）現(xiàn)象的規(guī)

2、律?；緝?nèi)容：（1）多目標(biāo)決策問題舉例 AHP建模方法（2）AHP建模方法基本步驟（3）AHP建模方法基本算法（3）AHP建模方法理論算法應(yīng)用的若干問題。參考書:1、 姜啟源，數(shù)學(xué)模型（第二版，第 9章；第三版，第8章），高等教育岀版社2、 程理民等， 運(yùn)籌學(xué)模型與方法教程，（第10章），清華大學(xué)岀版社3、 運(yùn)籌學(xué)編寫組，運(yùn)籌學(xué)（修訂版），第11章，第7節(jié)，清華大學(xué)岀版社、問題舉例:A 大學(xué)畢業(yè)生就業(yè)選擇問題獲得大學(xué)畢業(yè)學(xué)位的畢業(yè)生，“雙向選擇”時(shí)，用人單位與畢業(yè)生都有各自的選擇標(biāo)準(zhǔn)和要求。就畢業(yè)生來說選擇單位的標(biāo)準(zhǔn)和要求是多方面的，例如： 能發(fā)揮自己的才干為國家作出較好貢獻(xiàn)二即工作崗位適合發(fā)

3、揮專長）; 工作收入較好（待遇好）； 生活環(huán)境好（大城市、氣候等工作條件等）； 單位名聲好（聲譽(yù)-Reputation）； 工作環(huán)境好（人際關(guān)系和諧等） 發(fā)展晉升（promote, promotion ）機(jī)會(huì)多（如新單位或單位發(fā)展有后勁）等。問題：現(xiàn)在有多個(gè)用人單位可供他選擇，因此，他面臨多種選擇和決策，問題是他將如何 作出決策和選擇？一一或者說他將用什么方法將可供選擇的工作單位排序？B 假期旅游地點(diǎn)選擇暑假有3個(gè)旅游勝地可供選擇。例如：R :蘇州杭州，P2北戴河，P3桂林，到底到哪個(gè)地方去旅游最好？要作出決策和選擇。為此，要把三個(gè)旅游地的特點(diǎn)，例如：景色；費(fèi)用;居??；環(huán)境；旅途條件等作一些比

4、較一一建立一個(gè)決策的準(zhǔn)則，最后綜合評(píng)判確定出一 個(gè)可選擇的最優(yōu)方案。目標(biāo)層準(zhǔn)則層C.資源開發(fā)的綜合判斷7種金屬可供開發(fā)，開發(fā)后對(duì)國家貢獻(xiàn)可以通過兩兩比較得到，決定對(duì)哪種資源先開發(fā), 效用最用。對(duì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展、貢獻(xiàn)U磷酸鹽交通條件銅Co鈿Ur金Go鐵In經(jīng)濟(jì)價(jià)值開採費(fèi)風(fēng)險(xiǎn)費(fèi)要求量戰(zhàn)略重要性二、問題分析： 例如旅游地選擇問題：一般說來，此決策問題可按如下步驟進(jìn)行：（S1）將決策解分解為三個(gè)層次，即： 目標(biāo)層：（選擇旅游地） 準(zhǔn)則層：（景色、費(fèi)用、居住、飲食、旅途等5個(gè)準(zhǔn)則）方案層：（有R , P2 , P3三個(gè)選擇地點(diǎn)）并用直線連接各層次。（S2 ）互相比較各準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)的權(quán)重，各方案對(duì)每一個(gè)準(zhǔn)則的權(quán)重

5、。這些權(quán)限重在人的思維過 程中常是定性的。例如：經(jīng)濟(jì)好，身體好的人：會(huì)將景色好作為第一選擇； 中老年人：會(huì)將居住、飲食好作為第一選擇； 經(jīng)濟(jì)不好的人：會(huì)把費(fèi)用低作為第一選擇。而層次分析方法則應(yīng)給出確定權(quán)重的定量分析方法。（53）將方案后對(duì)準(zhǔn)則層的權(quán)重，及準(zhǔn)則后對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重進(jìn)行綜合。（54）最終得出方案層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重，從而作出決策。以上步驟和方法即是 AHP的決策分析方法。三、確定各層次互相比較的方法一一成對(duì)比較矩陣和權(quán)向量在確定各層次各因素之間的權(quán)重時(shí)，如果只是定性的結(jié)果，則常常不容易被別人接受，因 而Santy等人提出：一致矩陣法.即：1.不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互比較2.對(duì)

6、此時(shí)採用相對(duì)尺度，以盡可能減少性質(zhì)不同的諸因素相互比較的困難，提高準(zhǔn)確度。因素比較方法成對(duì)比較矩陣法:目的是，要比較某一層n個(gè)因素C1,C2, ,Cn對(duì)上一層因素O的影響（例如：旅游決策解中，比較景色等5個(gè)準(zhǔn)則在選擇旅游地這個(gè)目標(biāo)中的重要性）。採用的方法是：每次取兩個(gè)因素Ci和Cj比較其對(duì)目標(biāo)因素O的影響，并用aij表示，全部比較的結(jié)果用成對(duì)比較矩陣表示，即:A (a ij ) nxn , a ij0,aji(或 aij aij aij1)(1)由于上述成對(duì)比較矩陣有特點(diǎn):A (aij ) , aij 0,aijaji故可稱A為正互反矩陣：顯然,aij1,即：ajajiaji1，故有：aji

7、1例如:在旅游決策問題中:a121 景色)/2 = C2( 用)表示:景色）C2（費(fèi)用）對(duì)目標(biāo)0的重要性為1 對(duì)目標(biāo)0的重要性為2故：a1212 （即景色重要性為1,費(fèi)用重要性為2）4G（景色）1 = c3（居住條件）表示:C1（景色）對(duì)目標(biāo)0的重要性為4C3（居住條件）對(duì)目標(biāo)0的重要性為1a23即：景色為4,居住為1。C費(fèi)用）c3（居住條件）表示:C2（費(fèi)用）對(duì)目標(biāo)0的重要性為7C3（居住條件）對(duì)目標(biāo)0的重要性為1即：費(fèi)用重要性為 乙 居住重要性為1。?問題：稍加分析就發(fā)現(xiàn)上述成對(duì)比較矩陣的問題: 即存在有各元素的 不一致性，例如:既然：a12C11C141 1 a21 2；a13a31C2

8、2C31a134C2a23_C3C2所以應(yīng)該有：a21a31/ CC321881C14而不應(yīng)為矩陣A中的a237.1 12 43 32 175 5因此有成對(duì)比較矩陣：A14131312 313:12 1 1成對(duì)比較矩陣比較的次數(shù)要求太，因：n個(gè)元素比較次數(shù)為：C； n（n 1）次，2!因此，問題是：如何改造成對(duì)比較矩陣，使由其能確定諸因素 C1, Cn對(duì)上層因素0的權(quán)重？對(duì)此Saoty提出了：在成對(duì)比較出現(xiàn)不一致情況下，計(jì)算各因素C1, Cn對(duì)因素（上層因素）O的權(quán)重方法，并確定了這種不一致的容許誤差范圍。為此，先看成對(duì)比較矩陣的完全一致性成對(duì)比較完全一致性 四：一致性矩陣Def:設(shè)有正互反成

9、對(duì)比較矩陣:aiiWW11 ai2a21Aa22Wan1 w an2除滿足：（i）正互反性：即誥坐州 wwn aaaaan ,W-WJ , :u ， ， a1 1WM 她憶 /wnaj-引:uao而且還滿足：（ii） 一致性：即1, 2, L naj 蟲aikakj 亞 i, jajajk則稱滿足上述條件的正互反對(duì)稱矩陣A為一致性矩陣，簡稱一致陣。致性矩陣（一致陣）性質(zhì):性質(zhì)1： A的秩 Rank（A）=1有A唯一的非0的最大特征根為n性質(zhì)2： A的任一列（行）向量都是對(duì)應(yīng)特征根n的特征向量:即有（特征向量、特征值）:W1W1W1W1W2WnW2W2W2AW1W2iW，則向量wWnWnWnW1

10、W2WnW1W2W3wwwwnW_ wWWnW2nW4滿足：AWWnWnWnW1W.WnWnnWnnW即： （A nl）W 0啟發(fā)與思考：既然一致矩陣有以上性質(zhì),即n個(gè)元素 Wi, W2, W3 ,Wn構(gòu)成的向量 WW1W2Wn是一致矩陣 A的特征向量，則對(duì)一致矩陣A來說，可以把一致矩陣 A的特征向量 W求出之后,再把一致矩陣 A的特征向量 W歸一化后得到的向量，看成是諸元素 W1, W2, W3 ,Wn目標(biāo)0的權(quán)向量。因此，可以用求一致矩陣的特征根和特征向量的辦法，求出元素W1, W2,W3 ,Wn相對(duì)于目標(biāo) 0的權(quán)向量。解釋：一致矩陣即：n件物體M1, M2, ,M n，它們重量分別為 W

11、1, W2 ,Wn ,將他們兩比較重量，其比值構(gòu)成一致矩陣，若用重量向量W1W2W右乘A，則WnA的特征根為n,W1以n為特征根的特征向量為：重量向量W2W =,則歸一化后的特征向量WnWiW=Wi =1，就表示諸因素g,c2, , c n對(duì)上層因素O的權(quán)重，即為W權(quán)向量，此種用特征向 量求權(quán)向量的方法 稱特征根法，分析：WiW2若重量向量 W未知時(shí)，則可由決策者對(duì)物體 M-M2, ,Mn之間兩兩相比關(guān)系,Wn主觀作出比值的判斷，或用Delphi （調(diào)查法）來確定這些比值，使A矩陣（不一定有一致性）為已知的，并記此主觀判斷作出的矩陣為（主觀）判斷矩陣A，并且此A （不一致）在不一致 的容許范圍

12、內(nèi)，再依據(jù)： A的特征根或和特征向量 W連續(xù)地依賴于矩陣的元素 ay ,即當(dāng)ay離 一致性的要求不太遠(yuǎn)時(shí)， A的特征根i和特征值（向量） W與一致矩陣 A的特征根 和特征向 量W也相差不大的道理：由特征向量 W求權(quán)向量 W的方法即為特征向量法，并由此引出一致_ 性檢查的方法。問題：Remark以上討論的用求特征根來求權(quán)向量W的方法和思路，在理論上應(yīng)解決以下問題：1. 一致陣的性質(zhì)1是說：一致陣的最大特征根為n （即必要條件），但用特征根來求特征向量時(shí)，應(yīng)回答充分條件：即正互反矩陣是否存在正的最大特征根和正的特征向量？且如果正互反矩陣A的最大特征根 max n時(shí)，A是否為一致陣？2. 用主觀判斷

13、矩陣 A的特征根 和特征向量 W連續(xù)逼近一致陣 A的特征根 和特征向量 WmkHk由K-Am是否在理論上有依據(jù)。3一般情況下，主觀判斷矩陣A在逼近于一致陣 A的過程中，用與 A接近的A*來代替A ,即有A*A，這種近似的替代一致性矩陣A的作法，就導(dǎo)致了產(chǎn)生的偏差估計(jì)問題，即一致性檢驗(yàn)問題，即要確定一種一致性檢驗(yàn)判斷指標(biāo)，由此指標(biāo)來確定在什么樣的允許范圍內(nèi)，主觀判斷矩陣是可以接受的，否則，要兩兩比較構(gòu)造主觀判斷矩陣。此問題即一致性檢驗(yàn)問題的內(nèi)容。以上三個(gè)問題：前兩個(gè)問題由數(shù)學(xué)嚴(yán)格比較可獲得（見教材P325,定理1、定理2）。第3個(gè)問題：Satty給出一致性指標(biāo)（Th1,Th2介紹如下：）附：Th

14、1 :（教材P326, perronTh 比隆 1970 ）對(duì)于正矩陣 A （ A的所有元素為正數(shù)）（1） A的最大特征根是正單根；（2）對(duì)應(yīng)正特征向量 W （W的所有分量為正數(shù)）17mHke、.Ae kATe11其中：e為半徑向量， W是對(duì)應(yīng) 的歸一化特征向量1證明：（3）可以通過將 A化為標(biāo)準(zhǔn)形證明Th2 : n階正互反陣A的最大特征根n ；當(dāng) n時(shí)，A是一致陣五、一致性檢驗(yàn)一一一致性指標(biāo):1 .一致性檢驗(yàn)指標(biāo)的定義和確定C I的定義:當(dāng)人們對(duì)復(fù)雜事件的各因素，采用兩兩比較時(shí)，所得到的主觀判斷矩陣A，一般不可直接保證正互反矩陣 A就是一致正互反矩陣 A，因而存在誤差（及誤差估計(jì)問題）。這種

15、誤差，必然導(dǎo)致特征值和特征向量之間的誤差（）及 W W。此時(shí)就導(dǎo)致冋題AW= maxW與問題AW nW之間的差別。（上述問題中 max是主觀判斷矩陣A的特征值，W是帶有偏差的相 對(duì)權(quán)向量）。這是由判斷矩陣不一致性所引起的。因此，為了避免誤差太大，就要衡量主觀判斷矩陣A的一致性。因?yàn)?當(dāng)主觀判斷矩陣 A為一致陣A時(shí)就有:nnk=kk 1n 1nnakk 1 n A為一致陣時(shí)有：aii 1k 1k 1此時(shí)存在唯一的非max n(由一致陣性質(zhì)1： Rark(4)=1，A有唯一非0最大特征根且max當(dāng)主觀判斷矩陣 A不是一致矩陣時(shí)，此時(shí)一般有:max n(Th2)此時(shí),應(yīng)有:maxhmaxaH n即:

16、maxkk max所以,可以取其平均值作為檢驗(yàn)主觀判斷矩陣的準(zhǔn)則，一致性的指標(biāo),即:max nn 1kk max顯然:(1)max n時(shí)，有:0,A為完全一致性(2)I值越大，主觀判斷矩陣A的完全一致性越差，即:A偏離A越遠(yuǎn)(用特征向量作為權(quán)向量引起的誤差越大(3)般C I 0 1，認(rèn)為主觀判斷矩陣 A的一致性可以接受， 否則應(yīng)重新進(jìn)行兩兩比較，構(gòu)造主觀判斷矩陣。2 隨機(jī)一致性檢驗(yàn)指標(biāo)問題：實(shí)際操作時(shí)發(fā)現(xiàn)：主觀判斷矩陣A的維數(shù)越大，判斷的一致性越差，故應(yīng)放寬對(duì)高維矩陣的一致性要求。于是引入修正值 R I來校正一致性檢驗(yàn)指標(biāo)：即定義R I的修正值表為：A的維數(shù)0.000.000.580.961.

17、121.241.321.411.45C I并定義新的一致性檢驗(yàn)指標(biāo)為：C RR I隨機(jī)一致性檢驗(yàn)指標(biāo)R I的解釋:為確定A的不一致程度的容許范圍，需要確定衡量A的一致性指示C I的標(biāo)準(zhǔn)。于是 Satty對(duì)固定的n,隨機(jī)構(gòu)造正互反陣又引入所謂隨機(jī)一致性指標(biāo)R I，其定義和計(jì)算過程為：A，其元素aij （i j）從19和119中隨機(jī)取值,且滿足aij與aji的互反性，即:aij然后再計(jì)算A的一致性指標(biāo)C 如此構(gòu)造相當(dāng)多的 A，再用它們的/aji，且 aii1.因此A是非常不一致的，此時(shí)， C I值相當(dāng)大 C I平均值作為隨機(jī)一致性指標(biāo)。Satty對(duì)于不同的n（n 111），用100500個(gè)樣本A計(jì)

18、算出上表所列出的隨機(jī)一致性指標(biāo)R I作為修正值表。3 . 一致性檢驗(yàn)指標(biāo)的定義一一一致性比率C R。由隨機(jī)性檢驗(yàn)指標(biāo)C R可知：當(dāng)n 1, 2時(shí)，R I 0，這是因?yàn)?,2階正互反陣總是一致陣。對(duì)于n 3的成對(duì)比較陣 A，將它的一致性指標(biāo) C I與同階（指n相同）的隨機(jī)一致性指 標(biāo)R I之比稱為一致性比率一一簡稱一致性指標(biāo)，即有：一致性檢驗(yàn)指標(biāo)的定義一一一致性比率宀、C IC I定義：C R -:C R -R IR IC I當(dāng)：C R-0 1時(shí)，認(rèn)為主觀判斷矩陣 A的不一致程度在容許范圍之內(nèi),R I可用其特征向量作為權(quán)向量。否則，對(duì)主觀判斷矩陣A重新進(jìn)行成對(duì)比較，構(gòu)重新的主觀判斷矩陣A。C I

19、注：上式C R0 1的選取是帶有一定主觀信度的。R I六、標(biāo)度比較尺度解：在構(gòu)造正互反矩陣時(shí)，當(dāng)比較兩個(gè)可能是有不同性質(zhì)的因素Ci和Cj對(duì)于上層因素 O的影響時(shí)，採用什么樣的相對(duì)刻度較好，即aij的元素的值在（19）或（19）或更多的數(shù)字，Satty提出用19尺度最好，即ay取值為19或其互反數(shù)119，心理學(xué)家也 提出：人們區(qū)分信息等級(jí)的極限解能力為7戈?？梢妼?duì)n n階矩陣，只需作出 曲 個(gè)2判斷值即可標(biāo)度aij定義1因素i與因素j相冋重要35792, 4, 6, 8,23456789因素i比因素j稍重要 因素i比因素j較重要 因素i比因素j非常重要 因素i比因素j絕對(duì)重要 因素i與因素j的重

20、要性的比較值介于上述兩 個(gè)相鄰等級(jí)之間因素j與因素i比較得到判斷值為 aj的互反1數(shù)， a ji aii 1aij注：以上比較的標(biāo)度 Satty曾用過多種標(biāo)度比較層，得到的結(jié)論認(rèn)為： 19尺度不僅在較簡單 的尺度中最好，而且比較的結(jié)果并不劣于較為復(fù)雜的尺度。Satty曾用的比較尺度為： 13,15,16,111,以及 （d 0.1）（d 0.9），其中 d 1, 2, 3, 4 1p9P，其中 P 2, 3, 4, 5等共27種比較尺度，對(duì)放在不同距離處的光源亮度進(jìn)行比較判斷，并構(gòu)造出成對(duì)比較矩陣，計(jì) 算出權(quán)向量。同時(shí)把計(jì)算出來的這些權(quán)向量與按照物理學(xué)中光強(qiáng)度定律和其他物理知識(shí)得到的 實(shí)際權(quán)向

21、量進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果也發(fā)現(xiàn)19的比較標(biāo)度不僅簡單，而效果也較好（至少不比其他更復(fù)雜的尺度差）因而用19的標(biāo)度來構(gòu)造成對(duì)比較矩陣的元素較合適。七、組合權(quán)向量的計(jì)算層次總排序的權(quán)向量的計(jì)算層次分析法的基本思想：（1）計(jì)算出下一層每個(gè)元素對(duì)上一層每個(gè)元素的權(quán)向量Wdef :層次總排序，計(jì)算同一層次所有元素對(duì)最高層相對(duì)重要性的排序權(quán)值。當(dāng)然要先：構(gòu)造下一層每個(gè)元素對(duì)上一次每個(gè)元素的成對(duì)比較矩陣 計(jì)算出成對(duì)比較矩陣的特征向量（和法，根法，幕法） 由特征向量求出最大特征根max （由和法，根法，幕法求得）nc r用最大特征根max用方式 C I-JmaX及C R對(duì)成對(duì)比較矩n 1R I陣進(jìn)行一致性檢，并通過。

22、（2） 并把下層每個(gè)元素對(duì)上層每個(gè)元素的權(quán)向量按列排成以下表格形式：例，假定：上層A有m個(gè)元素，A1, A2, Am，且其層次總排序權(quán)向量為a2, am ,下層B有n個(gè)元素B1, B2, Bn，則按Bj對(duì) A個(gè)元素的單排序權(quán)向量的列向量為bj ,即有:層次AiAiAi mB層總是排序權(quán)重(權(quán)向 量、列向量)aia2ammBibiibi2bimWiajbijj imB2bi2b22b2mW2ajb2jj iBnbnibn2bnmWnmajbnjj imax計(jì)算出最大特根(方法：和法、根法、幕法)C I一致性檢驗(yàn)CimaxnIni一致性檢驗(yàn)比率m/C IC R CRI jIajCIs/:aj RI

23、 j檢驗(yàn)CR 0 i否？注：若下層元素 Bk與上層元素Aj無關(guān)系時(shí)，取bq 0m總排序權(quán)向量各分量的計(jì)算公式：Wiajbij (i1, , n)j i(3) 對(duì)層次總排序進(jìn)行一致性檢驗(yàn)：從高層到低層逐層進(jìn)行，如果如果B層次某些元素對(duì) Aj單的排序的一致性指標(biāo)為CI j，相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)為majCI jj 1RI j，則B層總排序隨機(jī)一致性比率為：C R jajR|j當(dāng)CR 0 1時(shí)，認(rèn)為層次總排序里有滿意的一致性，否則應(yīng)重新調(diào)整判斷矩陣的元素取值。八、層次分析法的基本步驟：（51）建立層次結(jié)構(gòu)模型將有關(guān)因素按照屬性自上而下地分解成若干層次：同一層各因素從屬于上一層因素，或?qū)ι蠈右蛩赜杏?/p>

24、響，同時(shí)又支配下一層的因素或受到下層因素的影響。最上層為目標(biāo)層（一般只有一個(gè)因素），最下層為方案層或?qū)ο髮?/決策層，中間可以有1個(gè)或幾個(gè)層次，通常為準(zhǔn)則層或指標(biāo)層。當(dāng)準(zhǔn)則層元素過多（例如多于9個(gè)）時(shí)，應(yīng)進(jìn)一步分解出子準(zhǔn)則層。（52） 構(gòu)造成對(duì)比較矩陣，以層次結(jié)構(gòu)模型的第2層開始，對(duì)于從屬于（或影響及）上一 層每個(gè)因素的同一層諸因素，用成對(duì)比較法和 19比較尺度構(gòu)造成對(duì)比較矩陣，直到最下 層。（53）計(jì)算（每個(gè)成對(duì)比較矩陣的）權(quán)向量并作一致性檢驗(yàn) 對(duì)每一個(gè)成對(duì)比較矩陣計(jì)算最大特征根max及對(duì)應(yīng)的特征向量（和法、根法、幕法等）W,WWn利用一致性指標(biāo) C I ,隨機(jī)一致性指標(biāo)C R和一致性比率作

25、一致性檢驗(yàn)CRW, 若通過檢驗(yàn)（即C R 0.1，或C I 0.1）則將上層出權(quán)向量 W歸一化之后Wn作為（Bj到Aj ）的權(quán)向量（即單排序權(quán)向量） 若C R 0.1不成立，則需重新構(gòu)造成對(duì)比較矩陣（S4 ）計(jì)算組合權(quán)向量并作組合一致性檢驗(yàn)一一即層次總排序W1 利用單層權(quán)向量的權(quán)值 Wjj 1, m構(gòu)組合權(quán)向量表：并計(jì)算出特征根，組Wn合特征向量，一致性上單層層 、權(quán)向下層層次重AiAiAim計(jì)算組合權(quán)向量Wm其中WiajWijj iWiWnaia?ammBiWiiWi2WimWiajbij j imB2W12W22W?mW2ajb2jj imBnWniWn2WnmWnajbnjj i最大特征

26、根(i) max和法、根法、冪法(j)n一致性檢驗(yàn)CICljmaxnCI0.i ?n i一致性隨機(jī)檢驗(yàn) RIRI j對(duì)照表m/Cl jajCI；/CR0 i ?一致性比率CRCRRI/a j RI 2 jW1W1 若通過一致性檢驗(yàn)，則可按照組合權(quán)向量 W的表示結(jié)果進(jìn)行決策 （WWnWn中Wi中最大者的最優(yōu)），即：W* maxW:Wi Wi, ,Wn 若未能通過檢驗(yàn)，則需重新考慮模型或重新構(gòu)造那些一致性比率，CR較大的成對(duì)比較矩陣九、特征根的近似求法（實(shí)用算法）層次分析法的基本思路是計(jì)算上層每個(gè)元素對(duì)下一層次各元素的權(quán)向量（即最大特征根W1max對(duì)應(yīng)的特征向量W),以及組合權(quán)向量及一致性檢驗(yàn)問題

27、。Wn故從應(yīng)用性來考慮也希望“和法”、“根法”、“幕法”，具計(jì)算判斷矩陣最大特征根和對(duì)應(yīng)陣向量，并不需要追求較高的精確度，這是因?yàn)榕袛嗑仃?本身有相當(dāng)?shù)恼`差范圍。而且優(yōu)先排序的數(shù)值也是定性概念的表達(dá)， 使用較為簡單的近似算法。常用的有以下求特征根的近似求法： 體如下：1.“和法”求最大特征根和對(duì)應(yīng)特征向量(近似解)(S1)將矩陣A (aQnxm的每一列向量的歸一化得:Wjaijnaiji 1(S2)對(duì)Wj按行求和得:nWj(S3)j將w歸一化，即有:，則有特征向量：WVi1W1Wn(S4)計(jì)算與特征向量WW1對(duì)應(yīng)的最大特征根max的近似值:maxWnn (AW)ii 1 Wi此方法：實(shí)際上是將

28、 A的列向量歸一化后取平均值作為A的特征向量。解釋：當(dāng)A為一致矩陣時(shí)，它的每一列向量都是特征向量可以在A的不一致性不嚴(yán)重時(shí)，取 A的列向量 量是合理的(有依據(jù)的)。(歸一化后)的平均值作為近似特征向2“根法”求最大特征根特征向量近似值：步驟與“和法”相同，只是在(S2)時(shí):對(duì)歸一化后的列向量按行“求和”改為按行“求積”再取n次方根，即：WinWjj 1aijaij(S2)對(duì)歸一化以后的列向量各元素:Wj即有具體步驟:(S1)將矩陣A ( 3ij ) min的每一列向量歸一化得:aj1 n 7 按行“求和”并開n次方根得：vi誦耳j i1nnWjj 1(53) 再將W；歸一化得：W - jV！n

29、 n了；iWji 1 j 1WiW2得到特征向量近似值：WWn1 (AW)；(54) 計(jì)算最大特征根：max- 作為最大特征根的近似值。n W注：“根法”是將“和法”中求列向量的算術(shù)平均值改為求幾何平均值。3“幕法”求最大特征根：(S1)任取n維歸一化初始向量 W(0)(S2)計(jì)算 V(k1) AW(k), k 0, 1, 2,(S3) V(k 1)歸一化，即令:W(k 1)(S4)對(duì)預(yù)先給定的，當(dāng)Wi(k Wi(k)1, 2,n)時(shí)，W(k 1)即為所求的特征向量；否則返回(S2)(S5)計(jì)算最大特征根，max丄0以上用幕法求最大特征根n ； 1 W；(k)max對(duì)應(yīng)特征向量的迭代方法，其收

30、斂性由TH1 (教材P325)中的3)limkkA eT典ke A eW，其中e1,W是對(duì)應(yīng) max的歸一化向量1特征。(證明：可以將 A化為標(biāo)準(zhǔn)形證明)保證。 W(0)任意選取，也可以取由“根法”、“和法”得到的WWiW2Wn注：在以上求特征根和特向量的方法中“和法”最簡單。例：在旅游問題中，求目標(biāo)層到準(zhǔn)則層的成對(duì)比較矩陣為A的特征向量和最大特征根:準(zhǔn)則層:方案層:PiP2P3選擇旅游地4 71 13 51 13 510.5433217550.250.14310.50.3330.3330.22110.3330.2311利用“和法”求A的特征向量WW1和特征根 maxWn& ）將AWj nxn

31、的元素按列歸一化得:0.2650.2450.2350.2860.290.5100.4890.4110.4760.484AVinxn0.0640.0700.0590.0480.0320.0850.0980.1180.0950.0970.0850.0980.1760.0950.0972120.25 0.333 0.333 3.91720.510.143 0.2 0.22.0433471 2 3 174350.5 1 110.55350.333 1 110.333n(S2)將AWj nxn中元素 Wj按行求和得各行元素之和：VViVV,j i1.3122.37AW、0.273 W0.4930.511

32、(S3)再將上述矩陣向量歸一化得到特征向量近似值,1n AW imaxni 1Winna1 jWia2jWi1i j 1i j 15W1W2nnna3jWja4 j Wia5jWj1.3120.2622.370.474Ww10.2730.055特征向量nWii 14.9990.4930.0990.5110.102其中5Wi1(1.312:2.370.273 0.493 0.511)4.999(S4)計(jì)算與特征向量相對(duì)應(yīng)最大特征根(的近似值)0.2620.2620.2620.4740.4740.4741 0.5 4 330.05521 7 5 5 0.0550.25 0.1431 0.5 0.3

33、330.0550.0990.0990.09910.1020.1020.10250.2620.4740.0550.2620.4740.337 0.2 2 110.0550.0990.1020.2620.4740.333 0.2 3 110.0550.0990.1020.0990.1021 0.263 0.237 0.22 0.297 0.306 0.524 0.474 0.385 0.495 0.550.2620.4740.066 0.068 0.055 0.0495 0.034 0.087 0.095 0.11 0.099 0.1020.0550.0990.087 0.095 0.165 0.

34、099 0.1020.1021 1.3232.388 0.273 0.493 0.5485 0.262 0.474 0.055 0.099 0.10215.05 5.038 4.960 4.98 5.37351-25.40155.08020.2620.474故有最大特征根max 5.0802, W 0.0550.0990.102對(duì)A一致性檢驗(yàn)指標(biāo)： CImaxn 5.0802 50.08020.02n 144RI 1.12CR 0020.0180.11.12故通過檢驗(yàn)。十、應(yīng)用實(shí)例對(duì)前面旅游問題進(jìn)行決策目標(biāo)層:準(zhǔn)則層:決策層:0.50.2P1P2P30.269.1020.055選擇旅游地點(diǎn)已知

35、：目標(biāo)A對(duì)準(zhǔn)則Bi i 1, 2, 3, 4, 5的權(quán)重向量為：TW 0.262 0.474 0.055 0.099 0.102 （由前面已算出），并已通過一致性檢 驗(yàn)。準(zhǔn)則B1, B2, B3, B4, B5相對(duì)于P1, P2, P3的成對(duì)比較矩陣為B1對(duì)P, P2, P3作用的成對(duì)比較矩陣為:b11B1b21b31b12b22b32bnb23同樣B2對(duì)R, P2, P3作用的成對(duì)比較矩陣為:113181B13113B31831丫31341 1B41311B51114114 4解：對(duì)以上每個(gè)比較矩陣都可計(jì)算出最大特征根1313丫3114141max及對(duì)象的特征向量W (即權(quán)重向量)，并進(jìn)行一

36、致性檢驗(yàn)：CI RI CR以B1為例用“和法”求出 B1的特征根max及對(duì)立的特征向量W1125B10.512nv0.2 0.510.5880.5710.625(S1)對(duì)B1按列歸一化得：B1 Vj0.2940.2860.250.1180.1430.125n1.784(S2)對(duì)按列歸一化反向量再按仃求和：WWj0.83j 10.386(S3)對(duì)W按行歸一化得到特征向量 WWj1.784/ 1.7840.830.3860.831.7840.830.3860.386/ 1.7840.830.386W(Bi)m ax0.5950.2770.129(S4)計(jì)算特征根max1 BW in i 1 Wi125B10.5120.20.510.5950.5950.5951 2 5 0.2770.5 1 2 0.2770.2 0.5 1 0.277(Bi)10.1290.1290.129max30.5950.2770.12910.5950.5540.6450.298 0.277 0.2580.119 0.139 0.12930.5950.2770.12911.7940.8330.38730.5950.2770.12913.0153.0073-9.022 3.00733致性檢驗(yàn):CImaxm