復變函數(shù)題庫包含好多試卷,后面都有答案

1、復變函數(shù)論試題庫復變函數(shù)考試試題（一）一、 判斷題（20分）：1.若f(z)在z0的某個鄰域內(nèi)可導，則函數(shù)f(z)在z0解析. ( ) 2.有界整函數(shù)必在整個復平面為常數(shù). ( ) 3.若收斂，則與都收斂. ( ) 4.若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，且，則（常數(shù)）. ( ) 5.若函數(shù)f(z)在z0處解析，則它在該點的某個鄰域內(nèi)可以展開為冪級數(shù). ( ) 6.若z0是的m階零點，則z0是1/的m階極點. ( ) 7.若存在且有限，則z0是函數(shù)f(z)的可去奇點. ( ) 8.若函數(shù)f(z)在是區(qū)域D內(nèi)的單葉函數(shù)，則. ( ) 9. 若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析, 則對D內(nèi)任一簡單閉曲線C. ( )10

2、.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)的某個圓內(nèi)恒等于常數(shù)，則f(z)在區(qū)域D內(nèi)恒等于常數(shù).（ ）二.填空題（20分）1、 _.（為自然數(shù)）2. _.3.函數(shù)的周期為_.4.設，則的孤立奇點有_.5.冪級數(shù)的收斂半徑為_.6.若函數(shù)f(z)在整個平面上處處解析，則稱它是_.7.若，則_.8._，其中n為自然數(shù).9. 的孤立奇點為_ .10.若是的極點，則.三.計算題（40分）：1. 設，求在內(nèi)的羅朗展式.2. 3. 設，其中，試求4. 求復數(shù)的實部與虛部.四. 證明題.(20分)1. 函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析. 證明：如果在內(nèi)為常數(shù)，那么它在內(nèi)為常數(shù).2. 試證: 在割去線段的平面內(nèi)能分出兩個單值解析分支, 并求

3、出支割線上岸取正值的那支在的值.復變函數(shù)考試試題（二）一. 判斷題.（20分）1. 若函數(shù)在D內(nèi)連續(xù)，則u(x,y)與v(x,y)都在D內(nèi)連續(xù).( )2. cos z與sin z在復平面內(nèi)有界. ( )3. 若函數(shù)f(z)在z0解析，則f(z)在z0連續(xù). ( )4. 有界整函數(shù)必為常數(shù). ( ) 5. 如z0是函數(shù)f(z)的本性奇點，則一定不存在. ( )6. 若函數(shù)f(z)在z0可導，則f(z)在z0解析. ( ) 7. 若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析, 則對D內(nèi)任一簡單閉曲線C.( )8. 若數(shù)列收斂，則與都收斂. ( )9. 若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則|f(z)|也在D內(nèi)解析. ( )10

4、. 存在一個在零點解析的函數(shù)f(z)使且. ( )二. 填空題. (20分)1. 設，則2.設，則_.3. _.（為自然數(shù)） 4. 冪級數(shù)的收斂半徑為_ .5. 若z0是f(z)的m階零點且m>0，則z0是的_零點.6. 函數(shù)ez的周期為_. 7. 方程在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為_.8. 設，則的孤立奇點有_.9. 函數(shù)的不解析點之集為_.10. .三. 計算題. (40分)1. 求函數(shù)的冪級數(shù)展開式.2. 在復平面上取上半虛軸作割線. 試在所得的區(qū)域內(nèi)取定函數(shù)在正實軸取正實值的一個解析分支，并求它在上半虛軸左沿的點及右沿的點處的值.3. 計算積分：，積分路徑為（1）單位圓（）的右半圓.4.

5、 求 .四. 證明題. (20分)1. 設函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，試證：f(z)在D內(nèi)為常數(shù)的充要條件是在D內(nèi)解析.2. 試用儒歇定理證明代數(shù)基本定理.復變函數(shù)考試試題（三）一. 判斷題. (20分).1. cos z與sin z的周期均為. ( )2. 若f(z)在z0處滿足柯西-黎曼條件, 則f(z)在z0解析. ( )3. 若函數(shù)f(z)在z0處解析，則f(z)在z0連續(xù). ( ) 4. 若數(shù)列收斂，則與都收斂. ( )5. 若函數(shù)f(z)是區(qū)域D內(nèi)解析且在D內(nèi)的某個圓內(nèi)恒為常數(shù)，則數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)為常數(shù). ( )6. 若函數(shù)f(z)在z0解析，則f(z)在z0的某個鄰域內(nèi)可導.

6、 ( )7. 如果函數(shù)f(z)在上解析,且,則. （ ）8. 若函數(shù)f(z)在z0處解析，則它在該點的某個鄰域內(nèi)可以展開為冪級數(shù). ( )9. 若z0是的m階零點, 則z0是1/的m階極點. ( )10. 若是的可去奇點，則. ( )二. 填空題. (20分)1. 設，則f(z)的定義域為_.2. 函數(shù)ez的周期為_.3. 若，則_.4. _.5. _.（為自然數(shù)）6. 冪級數(shù)的收斂半徑為_.7. 設，則f(z)的孤立奇點有_.8. 設，則.9. 若是的極點，則.10. .三. 計算題. (40分)1. 將函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)展為Laurent級數(shù).2. 試求冪級數(shù)的收斂半徑.3. 算下列積分：，其

7、中是. 4. 求在|z|<1內(nèi)根的個數(shù).四. 證明題. (20分)1. 函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析. 證明：如果在內(nèi)為常數(shù)，那么它在內(nèi)為常數(shù).2. 設是一整函數(shù)，并且假定存在著一個正整數(shù)n，以及兩個正數(shù)R及M，使得當時，證明是一個至多n次的多項式或一常數(shù)。復變函數(shù)考試試題（四）一. 判斷題. (20分)1. 若f(z)在z0解析，則f(z)在z0處滿足柯西-黎曼條件. （ ）2. 若函數(shù)f(z)在z0可導，則f(z)在z0解析. （ ）3. 函數(shù)與在整個復平面內(nèi)有界. （ ）4. 若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則對D內(nèi)任一簡單閉曲線C都有.（ ）5. 若存在且有限，則z0是函數(shù)的可去奇點. （ ）6.

8、 若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且，則f(z)在D內(nèi)恒為常數(shù). （ ）7. 如果z0是f(z)的本性奇點，則一定不存在. （ ）8. 若，則為的n階零點. （ ）9. 若與在內(nèi)解析，且在內(nèi)一小弧段上相等，則. （ ）10. 若在內(nèi)解析，則. （ ）二. 填空題. (20分)1. 設，則.2. 若，則_.3. 函數(shù)ez的周期為_.4. 函數(shù)的冪級數(shù)展開式為_5. 若函數(shù)f(z)在復平面上處處解析，則稱它是_.6. 若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個極點之外處處解析，則稱它是D內(nèi)的_.7. 設，則.8. 的孤立奇點為_.9. 若是的極點，則.10. _.三. 計算題. (40分)1. 解方程.2.

9、設，求3. . 4. 函數(shù)有哪些奇點？各屬何類型（若是極點，指明它的階數(shù)）.四. 證明題. (20分)1. 證明：若函數(shù)在上半平面解析，則函數(shù)在下半平面解析.2. 證明方程在內(nèi)僅有3個根.復變函數(shù)考試試題（五）一. 判斷題.（20分）1. 若函數(shù)f(z)是單連通區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則它在D內(nèi)有任意階導數(shù). （ ）2. 若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)的解析，且在D內(nèi)某個圓內(nèi)恒為常數(shù)，則在區(qū)域D內(nèi)恒等于常數(shù). （ ）3. 若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則|f(z)|也在D內(nèi)解析. （ ）4. 若冪級數(shù)的收斂半徑大于零，則其和函數(shù)必在收斂圓內(nèi)解析. （ ）5. 若函數(shù)f(z)在z0處滿足Cauchy-Riem

10、ann條件，則f(z)在z0解析. （ ）6. 若存在且有限，則z0是f(z)的可去奇點. （ ）7. 若函數(shù)f(z)在z0可導，則它在該點解析. （ ）8. 設函數(shù)在復平面上解析，若它有界，則必為常數(shù). （ ）9. 若是的一級極點，則. （ ）10. 若與在內(nèi)解析，且在內(nèi)一小弧段上相等，則. （ ）二. 填空題.（20分）1. 設，則.2. 當時，為實數(shù).3. 設，則.4. 的周期為_.5. 設，則.6. .7. 若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個極點之外處處解析，則稱它是D內(nèi)的_。8. 函數(shù)的冪級數(shù)展開式為_.9. 的孤立奇點為_.10. 設C是以為a心，r為半徑的圓周，則.（為自然數(shù)）三

11、. 計算題. (40分)1. 求復數(shù)的實部與虛部.2. 計算積分：，在這里L表示連接原點到的直線段.3. 求積分：，其中0<a<1.4. 應用儒歇定理求方程，在|z|<1內(nèi)根的個數(shù)，在這里在上解析，并且.四. 證明題. (20分)1. 證明函數(shù)除去在外，處處不可微.2. 設是一整函數(shù)，并且假定存在著一個正整數(shù)n，以及兩個數(shù)R及M，使得當時，證明:是一個至多n次的多項式或一常數(shù).復變函數(shù)考試試題（六）一、 判斷題（30分）：1. 若函數(shù)在解析，則在連續(xù). （ ）2. 若函數(shù)在處滿足Caychy-Riemann條件，則在解析. （ ）3. 若函數(shù)在解析，則在處滿足Caychy-R

12、iemann條件. （ ）4. 若函數(shù)在是區(qū)域內(nèi)的單葉函數(shù)，則. （ ）5. 若在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則對內(nèi)任一簡單閉曲線都有.（ ）6. 若在區(qū)域內(nèi)解析，則對內(nèi)任一簡單閉曲線都有.（ ）7. 若，則函數(shù)在是內(nèi)的單葉函數(shù).（ ）8. 若是的階零點，則是的階極點.（ ）9. 如果函數(shù)在上解析，且,則.（ ）10. .（ ）二、 填空題（20分）1. 若，則_.2. 設，則的定義域為_.3. 函數(shù)的周期為_.4. _.5. 冪級數(shù)的收斂半徑為_.6. 若是的階零點且，則是的_零點.7. 若函數(shù)在整個復平面處處解析，則稱它是_.8. 函數(shù)的不解析點之集為_.9. 方程在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為_.10.

13、公式稱為_.三、 計算題（30分）1、.2、設，其中，試求.3、設，求.4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式.5、求復數(shù)的實部與虛部.6、求的值.四、 證明題（20分）1、 方程在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為6.2、 若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，等于常數(shù)，則在恒等于常數(shù).3、 若是的階零點，則是的階極點.復變函數(shù)考試試題（七）一、 判斷題（24分）1. 若函數(shù)在解析，則在的某個領域內(nèi)可導.（ ）2. 若函數(shù)在處解析，則在滿足Cauchy-Riemann條件.（ ）3. 如果是的可去奇點，則一定存在且等于零.（ ）4. 若函數(shù)是區(qū)域內(nèi)的單葉函數(shù)，則.（ ）5. 若函數(shù)是區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，則它在內(nèi)有任意階導數(shù).（ ）6. 若

14、函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的解析，且在內(nèi)某個圓內(nèi)恒為常數(shù)，則在區(qū)域內(nèi)恒等于常數(shù).（ ）7. 若是的階零點，則是的階極點.（ ）二、 填空題（20分）1. 若，則_.2. 設，則的定義域為_.3. 函數(shù)的周期為_.4. _.5. 冪級數(shù)的收斂半徑為_.6. 若是的階零點且，則是的_零點.7. 若函數(shù)在整個復平面處處解析，則稱它是_.8. 函數(shù)的不解析點之集為_.9. 方程在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為_.10. _.三、 計算題（30分）1、 求.2、 設，其中，試求.3、設，求.4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式.5、求復數(shù)的實部與虛部.6、利用留數(shù)定理計算積分：，.四、 證明題（20分）1、方程在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為7.2

15、、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，等于常數(shù)，則在恒等于常數(shù).3、 若是的階零點，則是的階極點.五、 計算題（10分）求一個單葉函數(shù)，去將平面上的上半單位圓盤保形映射為平面的單位圓盤復變函數(shù)考試試題（八）一、判斷題（20分）1、若函數(shù)在解析，則在連續(xù).（ ）2、若函數(shù)在滿足Cauchy-Riemann條件，則在處解析.（ ）3、如果是的本性奇點，則一定不存在.（ ）4、若函數(shù)是區(qū)域內(nèi)解析，并且，則是區(qū)域的單葉函數(shù).（ ）5、若函數(shù)是區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，則它在內(nèi)有任意階導數(shù).（ ）6、若函數(shù)是單連通區(qū)域內(nèi)的每一點均可導，則它在內(nèi)有任意階導數(shù).（ ）7、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析且，則在內(nèi)恒為常數(shù).（ ）8. 存在一個在

16、零點解析的函數(shù)使且.（ ）9. 如果函數(shù)在上解析，且，則.（ ）10. 是一個有界函數(shù).（ ）二、填空題（20分）1、若，則_.2、設，則的定義域為_.3、函數(shù)的周期為_.4、若，則_.5、冪級數(shù)的收斂半徑為_.6、函數(shù)的冪級數(shù)展開式為_.7、若是單位圓周，是自然數(shù)，則_.8、函數(shù)的不解析點之集為_.9、方程在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為_.10、若，則的孤立奇點有_.三、計算題（30分）1、求2、設，其中，試求.3、設，求.4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式.5、求復數(shù)的實部與虛部.四、證明題（20分）1、方程在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為7.2、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，則二元函數(shù)與都在內(nèi)連續(xù).4、 若是的階零點，則是的

17、階極點.五、 計算題（10分）求一個單葉函數(shù)，去將平面上的區(qū)域保形映射為平面的單位圓盤.復變函數(shù)考試試題（九）一、判斷題（20分）1、若函數(shù)在可導，則在解析.（ ）2、若函數(shù)在滿足Cauchy-Riemann條件，則在處解析.（ ）3、如果是的極點，則一定存在且等于無窮大.（ ）4、若函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則對內(nèi)任一簡單閉曲線都有.（ ）5、若函數(shù)在處解析，則它在該點的某個領域內(nèi)可以展開為冪級數(shù).（ ）6、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的解析，且在內(nèi)某一條曲線上恒為常數(shù)，則在區(qū)域內(nèi)恒為常數(shù).（ ）7、若是的階零點，則是的階極點.（ ）8、如果函數(shù)在上解析，且，則.（ ）9、.（ ）10、如果函數(shù)在內(nèi)解析，則

18、（ ）二、填空題（20分）1、若，則_.2、設，則的定義域為_.3、函數(shù)的周期為_.4、_.5、冪級數(shù)的收斂半徑為_.6、若是的階零點且，則是的_零點.7、若函數(shù)在整個復平面除去有限個極點外，處處解析，則稱它是_.8、函數(shù)的不解析點之集為_.9、方程在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為_.10、_.三、計算題（30分）1、2、設，其中，試求.3、設，求.4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式.5、 求復數(shù)的實部與虛部.6、 利用留數(shù)定理計算積分.四、證明題（20分）1、方程在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為6.2、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，等于常數(shù)，則在恒等于常數(shù).7、 若是的階零點，則是的階極點.五、計算題（10分）求一個單葉函數(shù)，去將

19、平面上的帶開區(qū)域保形映射為平面的單位圓盤.復變函數(shù)考試試題（十）一、判斷題（40分）：1、若函數(shù)在解析，則在的某個鄰域內(nèi)可導.（ ）2、如果是的本性奇點，則一定不存在.（ ）3、若函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，則與都在內(nèi)連續(xù).（ ）4、與在復平面內(nèi)有界.（ ）5、若是的階零點，則是的階極點.（ ）6、若在處滿足柯西-黎曼條件，則在解析.（ ）7、若存在且有限，則是函數(shù)的可去奇點.（ ）8、若在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則對內(nèi)任一簡單閉曲線都有.（ ）9、若函數(shù)是單連通區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，則它在內(nèi)有任意階導數(shù).（ ）10、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，且在內(nèi)某個圓內(nèi)恒為常數(shù)，則在區(qū)域內(nèi)恒等于常數(shù).（ ）二、填空題（20分）：1、函

20、數(shù)的周期為_.2、冪級數(shù)的和函數(shù)為_.3、設，則的定義域為_.4、的收斂半徑為_.5、=_.三、計算題（40分）：1、2、求3、4、設 求，使得為解析函數(shù)，且滿足。其中（為復平面內(nèi)的區(qū)域）.5、求，在內(nèi)根的個數(shù)復變函數(shù)考試試題（十一）一、 判斷題.（正確者在括號內(nèi)打，錯誤者在括號內(nèi)打×，每題2分）1當復數(shù)時，其模為零，輻角也為零. （ ）2若是多項式的根，則也是的根.（ ）3如果函數(shù)為整函數(shù)，且存在實數(shù)，使得，則為一常數(shù).（ ）4設函數(shù)與在區(qū)域內(nèi)解析，且在內(nèi)的一小段弧上相等，則對任意的，有. （ ）5若是函數(shù)的可去奇點，則. （ ）二、填空題.（每題2分）1 _.2設，且，當時，_.

21、3函數(shù)將平面上的曲線變成平面上的曲線_.4方程的不同的根為_.5_.6級數(shù)的收斂半徑為_.7在（為正整數(shù)）內(nèi)零點的個數(shù)為_.8函數(shù)的零點的階數(shù)為_.9設為函數(shù)的一階極點，且，則_.10設為函數(shù)的階極點，則_.三、計算題（50分）1設。求，使得為解析函數(shù)，且滿足.其中（為復平面內(nèi)的區(qū)域）.（15分）2求下列函數(shù)的奇點，并確定其類型（對于極點要指出它們的階）.（10分） （1） ； （5分） （2）. （5分）3計算下列積分.（15分） （1） （8分）， （2） （7分）.4敘述儒歇定理并討論方程在內(nèi)根的個數(shù).（10分）四、證明題（20分）1設是上半復平面內(nèi)的解析函數(shù)，證明是下半復平面內(nèi)的解析函

22、數(shù).（10分）2設函數(shù)在內(nèi)解析，令。證明：在區(qū)間上是一個上升函數(shù)，且若存在及（），使，則常數(shù).（10分）復變函數(shù)考試試題（十二）二、 判斷題。（正確者在括號內(nèi)打，錯誤者在括號內(nèi)打×，每題2分）1設復數(shù)及，若或，則稱與是相等的復數(shù)。（ ）2函數(shù)在復平面上處處可微。 （ ）3且。 （ ） 4設函數(shù)是有界區(qū)域內(nèi)的非常數(shù)的解析函數(shù)，且在閉域上連續(xù)，則存在，使得對任意的，有。 （ ）5若函數(shù)是非常的整函數(shù)，則必是有界函數(shù)。（ ）二、填空題。（每題2分）1 _。2設，且，當時，_。3若已知，則其關于變量的表達式為_。4以_為支點。5若，則_。6_。7級數(shù)的收斂半徑為_。8在（為正整數(shù)）內(nèi)零點的個

23、數(shù)為_。9若為函數(shù)的一個本質(zhì)奇點，且在點的充分小的鄰域內(nèi)不為零，則是的_奇點。10設為函數(shù)的階極點，則_。三、計算題（50分）1設區(qū)域是沿正實軸割開的平面，求函數(shù)在內(nèi)滿足條件的單值連續(xù)解析分支在處之值。 （10分）2求下列函數(shù)的奇點，并確定其類型（對于極點要指出它們的階），并求它們留數(shù)。（15分）（1）的各解析分支在各有怎樣的孤立奇點，并求這些點的留數(shù) （10分） （2）求。 （5分）3計算下列積分。（15分） （1） （8分）， （2） （7分）。4敘述儒歇定理并討論方程在內(nèi)根的個數(shù)。（10分）四、證明題（20分）1討論函數(shù)在復平面上的解析性。 （10分）2證明： 。 此處是圍繞原點的一條簡

24、單曲線。（10分）復變函數(shù)考試試題（十三）一、填空題（每題分）設，則_設函數(shù)，則的充要條件是_設函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則在內(nèi)沿任意一條簡單閉曲線的積分_設為的極點，則_設，則是的_階零點設，則在的鄰域內(nèi)的泰勒展式為_設，其中為正常數(shù)，則點的軌跡曲線是_設，則的三角表示為_設，則在處的留數(shù)為_二、計算題計算下列各題（分）(1) ； (2) ; (3) 2求解方程（分）設，驗證是調(diào)和函數(shù)，并求解析函數(shù)，使之（分）計算積分（10分）(1) ，其中是沿由原點到點的曲線(2) ，積分路徑為自原點沿虛線軸到，再由沿水平方向向右到試將函數(shù)分別在圓環(huán)域和內(nèi)展開為洛朗級數(shù)（分）計算下列積分（分）(1) ； (

25、2) 計算積分（分）求下列冪級數(shù)的收斂半徑（分）(1)；(2)討論的可導性和解析性（分）三、證明題設函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，為常數(shù)，證明必為常數(shù)（分）試證明的軌跡是一直線，其中為復常數(shù)，為實常數(shù)（分）復變函數(shù)考試試題（十四）一、填空題（每題分）設，則_設函數(shù)，則的充要條件_設函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則在內(nèi)沿任意一條簡單閉曲線的積分_設為的可去奇點，_設，則是的_階零點設，則在的鄰域內(nèi)的泰勒展式為_設，其中為正常數(shù)，則點的軌跡曲線是_設，則的三角表示為_設，則在處的留數(shù)為_二、計算題計算下列各題（分）(1) ； (2) ; (3) 2求解方程（分）設，驗證是調(diào)和函數(shù)，并求解析函數(shù)，使之（分）計算積分，

26、其中路徑為（）自原點到點的直線段；(2)自原點沿虛軸到，再由沿水平方向向右到（10分）試將函數(shù)在的鄰域內(nèi)的泰勒展開式（分）計算下列積分（分）(1) ； (2) 計算積分（分）求下列冪級數(shù)的收斂半徑（分）(1)；(2)設為復平面上的解析函數(shù)，試確定，的值（分）三、證明題設函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，在區(qū)域內(nèi)也解析，證明必為常數(shù)（分）試證明的軌跡是一直線，其中為復常數(shù)，為實常數(shù)（分）試卷一至十四參考答案復變函數(shù)考試試題（一）參考答案一 判斷題1×2 6×××10×二填空題1. ； 2. 1； 3. ，； 4. ； 5. 16. 整函數(shù)； 7. ； 8. ；

27、9. 0； 10. .三計算題.1. 解 因為 所以 .2. 解 因為 ,.所以.3. 解 令, 則它在平面解析, 由柯西公式有在內(nèi), . 所以.4. 解 令, 則 . 故 , .四. 證明題.1. 證明 設在內(nèi). 令. 兩邊分別對求偏導數(shù), 得 因為函數(shù)在內(nèi)解析, 所以. 代入 (2) 則上述方程組變?yōu)? 消去得, .1) 若, 則 為常數(shù).2) 若, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , .所以. (為常數(shù)).所以為常數(shù).2. 證明的支點為. 于是割去線段的平面內(nèi)變點就不可能單繞0或1轉一周, 故能分出兩個單值解析分支. 由于當從支割線上岸一點出發(fā),連續(xù)變動到 時, 只有的幅角增加. 所

28、以的幅角共增加. 由已知所取分支在支割線上岸取正值, 于是可認為該分支在上岸之幅角為0, 因而此分支在的幅角為, 故.復變函數(shù)考試試題（二）參考答案一. 判斷題.1 × ×6×× ×10×.二. 填空題1.1， ； 2. ； 3. ； 4. 1； 5. .6. ，. 7. 0； 8. ； 9. ； 10. 0.三. 計算題1. 解 .2. 解 令. 則. 又因為在正實軸去正實值，所以. 所以.3. 單位圓的右半圓周為, . 所以.4. 解=0.四. 證明題.1. 證明 (必要性) 令,則. (為實常數(shù)). 令. 則. 即滿足, 且連續(xù)

29、, 故在內(nèi)解析.(充分性) 令, 則 , 因為與在內(nèi)解析, 所以, 且.比較等式兩邊得 . 從而在內(nèi)均為常數(shù),故在內(nèi)為常數(shù).2. 即要證“任一 次方程 有且只有 個根”. 證明 令, 取, 當在上時, 有 . .由儒歇定理知在圓 內(nèi), 方程 與 有相同個數(shù)的根. 而 在 內(nèi)有一個 重根 . 因此次方程在 內(nèi)有 個根.復變函數(shù)考試試題（三）參考答案一. 判斷題1× × 6 10.二.填空題.1.; 2. ; 3. ; 4. 1; 5. ;6. 1; 7. ; 8. ; 9. ; 10. .三. 計算題.1. 解 .2. 解 . 所以收斂半徑為.3. 解 令 , 則 .故原式.

30、4. 解 令 , . 則在 上均解析, 且, 故由儒歇定理有 . 即在 內(nèi), 方程只有一個根.四. 證明題.1. 證明 證明 設在內(nèi). 令. 兩邊分別對求偏導數(shù), 得 因為函數(shù)在內(nèi)解析, 所以. 代入 (2) 則上述方程組變?yōu)? 消去得, .1) , 則 為常數(shù).2) 若, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , .所以. (為常數(shù)).所以為常數(shù).2. 證明 取 , 則對一切正整數(shù) 時, . 于是由的任意性知對一切均有. 故, 即是一個至多次多項式或常數(shù). 復變函數(shù)考試試題（四）參考答案一. 判斷題.1 × × ××6 ×× 10 .

31、二. 填空題.1. , ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. 整函數(shù);6. 亞純函數(shù); 7. 0; 8. ; 9. ; 10. .三. 計算題.1. 2. 解 , . 故原式.3. 解 原式.4. 解 =，令，得，而 為可去奇點 當時， 而 為一階極點.四. 證明題.1. 證明 設, 在下半平面內(nèi)任取一點, 是下半平面內(nèi)異于的點, 考慮 .而, 在上半平面內(nèi), 已知在上半平面解析, 因此, 從而在下半平面內(nèi)解析.2. 證明 令, , 則與在全平面解析, 且在上, ,故在內(nèi).在上, , 故在內(nèi).所以在內(nèi)僅有三個零點, 即原方程在內(nèi)僅有三個根.復變函數(shù)考試試題（五）參考答案一. 判斷題.1 &#

32、215;× 6× × 10.二. 填空題.1.2, , ; 2. ; 3. , ; 4. ; 5. 0; 6. 0; 7. 亞純函數(shù); 8. ; 9. 0; 10. . 三. 計算題.1. 解 令, 則 . 故 , .2. 解 連接原點及的直線段的參數(shù)方程為 , 故.3. 令, 則. 當時, 故, 且在圓內(nèi)只以為一級極點, 在上無奇點, 故, 由殘數(shù)定理有.4. 解 令 則在內(nèi)解析, 且在上, , 所以在內(nèi), , 即原方程在 內(nèi)只有一個根.四. 證明題.1. 證明 因為, 故. 這四個偏導數(shù)在平面上處處連續(xù), 但只在處滿足條件, 故只在除了外處處不可微.2. 證明

33、 取 , 則對一切正整數(shù) 時, . 于是由的任意性知對一切均有. 故, 即是一個至多次多項式或常數(shù).復變函數(shù)考試試題（六）參考答案一、判斷題：1. 2.× 3. 4. 5. 6. 7.× 8. 9. 10.×二、填空題：1. 2. 3. 4. 1 5. 1 6. 階 7. 整函數(shù) 8. 9. 0 10. 歐拉公式 三、計算題：1. 解：因為 故.2. 解： 因此 故 .3.解： 4.解： 5解：設, 則. 6解：四、1. 證明：設則在上， 即有. 根據(jù)儒歇定理，與在單位圓內(nèi)有相同個數(shù)的零點，而的零點個數(shù)為6，故在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為6. 2.證明：設，則, 由于在

34、內(nèi)解析，因此有 , .于是故，即在內(nèi)恒為常數(shù). 3.證明：由于是的階零點，從而可設 ，其中在的某鄰域內(nèi)解析且，于是 由可知存在的某鄰域，在內(nèi)恒有，因此在內(nèi)解析，故為的階極點.復變函數(shù)考試試題（七）參考答案一、判斷題：1. 2. 3. × 4. 5. 6. 7. 8. ×二、填空題：1. 2. 3. 4. 1 5. 1 6. 階 7. 整函數(shù) 8. 9. 0 10. 三、計算題：1. 解：2. 解： 因此 故 .3. 解： 因此4. 解： 由于，從而. 因此在內(nèi)有 5解：設, 則. 6.解：設，則，故奇點為.四、證明題：1. 證明：設則在上， 即有.根據(jù)儒歇定理知在內(nèi)與在單位

35、圓內(nèi)有相同個數(shù)的零點，而在內(nèi)的零點個數(shù)為7，故在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為7.2.證明：設，則 已知在區(qū)域內(nèi)解析，從而有將此代入上上述兩式得因此有 于是有. 即有 故在區(qū)域恒為常數(shù).3.證明：由于是的階零點，從而可設 ，其中在的某鄰域內(nèi)解析且，于是 由可知存在的某鄰域，在內(nèi)恒有，因此在內(nèi)解析，故為的階極點.五、計算題解：根據(jù)線性變換的保對稱點性知關于實軸的對稱點應該變到關于圓周的對稱點，故可設復變函數(shù)考試試題（八）參考答案一、判斷題：1. 2. × 3. 4. × 5. 6. 7. 8. × 9. 10.×二、填空題：1. 2. 3. 4. 5. 1 6. 7

36、. 8. 9. 5 10. 三、計算題：1. 解：由于在解析，所以而因此.2. 解： 因此 故 .3. 解： 因此 4.解： 由于，從而因此在內(nèi)有 5解：設, 則. 6解：設, 則 在內(nèi)只有一個一級極點因此 .四、證明：1. 證明：設則在上， 即有.根據(jù)儒歇定理知在內(nèi)與在單位圓內(nèi)有相同個數(shù)的零點，而在內(nèi)的零點個數(shù)為7，故在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為7 2. 證明：因為，在內(nèi)連續(xù), 所以, 當時有 從而有 即與在連續(xù)，由的任意性知與都在內(nèi)連續(xù)3.證明：由于是的階零點，從而可設 ，其中在的某鄰域內(nèi)解析且，于是 由可知存在的某鄰域，在內(nèi)恒有，因此在內(nèi)解析，故為的階極點.五、解：1.設，則將區(qū)域保形映射為區(qū)

37、域2.設, 則將上半平面保形變換為單位圓.因此所求的單葉函數(shù)為 .復變函數(shù)考試試題（九）參考答案一、判斷題（20分）1、× 2、× 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、× 10、二、填空題（20分）1、 2、 3、 4、1 5、1 6、 7、整函數(shù) 8、 9、8 10、三、計算題（30）1、解：2、解： 因此 故 .3、解：4、解： 由于，從而. 因此在內(nèi)有 5、解：設, 則. 6、解：設則在內(nèi)有兩個一級極點，因此，根據(jù)留數(shù)定理有四、證明題（20分）1、證明：設則在上， 即有. 根據(jù)儒歇定理，與在單位圓內(nèi)有相同個數(shù)的零點，而的零點個數(shù)為6，故在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為6.2、證明：設，則, 由于在內(nèi)解析，因此有 , .于是故，即在內(nèi)恒為常數(shù).3、證明：由于是的階零點，從而可設 ，其中在的某鄰域內(nèi)解析且，于是 由可知存在的某鄰域，在內(nèi)恒有，因此在內(nèi)解析，故為的階極點.五、計算題（10分）解：1、設則將區(qū)域保形變換為區(qū)域.2、設,則將區(qū)域保形