第五章剛體和流體

1、59第五章 剛體和流體第五章 剛體和流體 5-1 作定軸轉動的剛體上各點的法向加速度，既可寫為an = v2 /R，這表示法向加速度的大小與剛體上各點到轉軸的距離R成反比；也可以寫為an = w2 R，這表示法向加速度的大小與剛體上各點到轉軸的距離R成正比。這兩者是否有矛盾？為什么？ 解 沒有矛盾。根據公式，說法向加速度的大小與剛體上各點到轉軸的距離R成反比，是有條件的，這個條件就是保持v不變；根據公式，說法向加速度的大小與剛體上各點到轉軸的距離R成正比，也是有條件的，條件就是保持w不變。 5-2 一個圓盤繞通過其中心并與盤面相垂直的軸作定軸轉動，當圓盤分別在恒定角速度和恒定角加速度兩種情況下

2、轉動時，圓盤邊緣上的點是否都具有法向加速度和切向加速度？數值是恒定的還是變化的？ 解 (1) 當角速度w一定時，切向速度也是一定的，所以切向加速度 ,即不具有切向加速度。而此時法向加速度 ,可見是恒定的。 (2) 當角加速度一定時，即恒定，于是可以得到 ,這表示角速度是隨時間變化的。由此可得 .切向加速度為 ,這表示切向加速度是恒定的。法向加速度為 ,顯然是時間的函數。 5-3 原來靜止的電機皮帶輪在接通電源后作勻變速轉動，30 s后轉速達到152 rad×s-1 。求： (1) 在這30 s內電機皮帶輪轉過的轉數； (2) 接通電源后20 s時皮帶輪的角速度； (3) 接通電源后2

3、0 s時皮帶輪邊緣上一點的線速度、切向加速度和法向加速度，已知皮帶輪的半徑為5.0 cm。 解 (1) 根據題意，皮帶輪是在作勻角加速轉動，角加速度為 .在30 s內轉過的角位移為 .在30 s內轉過的轉數為 . (2) 在t = 20 s時其角速度為 . (3) 在t = 20 s時，在皮帶輪邊緣上 r = 5.0 cm處的線速度為 ,切向加速度為 ,法向加速度為 . 5-4 一飛輪的轉速為250 rad×s-1 ，開始制動后作勻變速轉動，經過90 s停止。求開始制動后轉過3.14´103 rad時的角速度。 解 飛輪作勻變速轉動， ，經過90 s，所以角加速度為 .從制

4、動到轉過，角速度由w 0變?yōu)閣，w應滿足 .所以 . 5-5 分別求出質量為m = 0.50 kg、半徑為r = 36 cm的金屬細圓環(huán)和薄圓盤相對于通過其中心并垂直于環(huán)面和盤面的軸的轉動慣量；如果它們的轉速都是105 rad×s-1 ，它們的轉動動能各為多大？ 解 (1) 細圓環(huán)：相對于通過其中心并垂直于環(huán)面的軸的轉動慣量為 ,轉動動能為 . (2) 相對于通過其中心并垂直于盤面的軸的轉動慣量為 ,轉動動能為 . 5-6 轉動慣量為20 kg×m2 、直徑為50 cm的飛輪以105 rad×s-1 的角速度旋轉?，F用閘瓦將其制動，閘瓦對飛輪的正壓力為400 N，

5、閘瓦與飛輪之間的摩擦系數為0.50。求： (1) 閘瓦作用于飛輪的摩擦力矩； (2) 從開始制動到停止，飛輪轉過的轉數和經歷的時間； (3) 摩擦力矩所作的功。 解 (1) 閘瓦作用于飛輪的摩擦力矩的大小為 . (2) 從開始制動到停止，飛輪的角加速度a可由轉動定理求得 ,根據 ,所以飛輪轉過的角度為 ,飛輪轉過的轉數為 .因為 ,所以飛輪從開始制動到停止所經歷的時間為 . (3) 摩擦力矩所作的功為 . 5-7 輕繩跨過一個質量為M的圓盤狀定滑輪，其一端懸掛一質量為m的物體，另一端施加一豎直向下的拉力F，使定滑輪按逆時針方向轉動，如圖5-7所示。如果滑輪的半徑為r，求物體與滑輪之間的繩子張力

6、和物體上升的加速度。圖5-7 解 取定滑輪的轉軸為z軸，z軸的方向垂直與紙面并指向讀者。根據牛頓第二定律和轉動定理可以列出下面的方程組 , , , .其中，于是可以解得 , .圖5-8 5-8 一根質量為m、長為l的均勻細棒，在豎直平面內繞通過其一端并與棒垂直的水平軸轉動，如圖5-8所示?，F使棒從水平位置自由下擺，求： (1) 開始擺動時的角加速度； (2) 擺到豎直位置時的角速度。 解 (1) 開始擺動時的角加速度：此時細棒處于水平位置，所受重力矩的大小為 ,相對于軸的轉動慣量為 ,于是，由轉動定理可以求得 . (2) 設擺動到豎直位置時的角速度為w，根據機械能守恒，有 ,由此得 . 5-9

7、 如果由于溫室效應，地球大氣變暖，致使兩極冰山熔化，對地球自轉有何影響？為什么？ 解 地球自轉變慢。這是因為冰山融化，水向赤道聚集，地球的轉動慣量增大，地球的自轉角動量守恒，即 J w = 恒量 .所以角速度變小了。 5-10 一水平放置的圓盤繞豎直軸旋轉，角速度為w1 ，它相對于此軸的轉動慣量為J1 ?，F在它的正上方有一個以角速度為w2 轉動的圓盤，這個圓盤相對于其對稱軸的轉動慣量為J2 。兩圓盤相平行，圓心在同一條豎直線上。上盤的底面有銷釘，如果上盤落下，銷釘將嵌入下盤，使兩盤合成一體。 (1) 求兩盤合成一體后的角速度； (2) 求上盤落下后兩盤總動能的改變量； (3) 解釋動能改變的原

8、因。 解 (1) 將兩個圓盤看為一個系統(tǒng)，這個系統(tǒng)不受外力矩的作用，總角動量守恒，即 ,所以合成一體后的角速度為 . (2) 上盤落下后兩盤總動能的改變量為 . (3) 動能減少是由于兩盤合成一體時劇烈摩擦，致使一部分動能轉變?yōu)闊崮堋?5-11 一均勻木棒質量為m1 = 1.0 kg、長為l = 40 cm，可繞通過其中心并與棒垂直的軸轉動。一質量為m2 = 10 g的子彈以v = 200 m×s-1 的速率射向棒端，并嵌入棒內。設子彈的運動方向與棒和轉軸相垂直，求棒受子彈撞擊后的角速度。 解 將木棒和子彈看為一個系統(tǒng)，該系統(tǒng)不受外力矩的作用，所以系統(tǒng)的角動量守恒，即 , (1)其中

9、J1是木棒相對于通過其中心并與棒垂直的軸的轉動慣量，J2是子彈相對于同一軸的轉動慣量，它們分別為 , . (2)將式(2)代入式(1)，得 . 5-12 有一質量為M且分布均勻的飛輪，半徑為R，正在以角速度w旋轉著，突然有一質量為m的小碎塊從飛輪邊緣飛出，方向正好豎直向上。試求： (1) 小碎塊上升的高度； (2) 余下部分的角速度、角動量和轉動動能 (忽略重力矩的影響)。 解 (1) 小碎塊離開飛輪時的初速為 ,于是它上升的高度為 . (2) 小碎塊離開飛輪前、后系統(tǒng)不受外力矩的作用，所以總角動量守恒。小碎塊離開飛輪前，飛輪的角動量就是系統(tǒng)的總角動量，為 ；飛輪破裂后，小碎塊相對于轉軸的轉動

10、慣量為 ,角動量為 .碎輪的角動量為 ,式中w 2是碎輪的角速度?？偨莿恿渴睾?，L = L1 + L2 ，即 ,整理后為 ,所以 .這表明飛輪破碎后其角速度不變。 碎輪的角動量為 .碎輪的轉動動能為 .圖5-9 5-15 有一個長方體形的水庫，長200 m，寬150 m，水深10 m，求水對水庫底面和側面的壓力。 解 水對水庫底面的壓力為 側面的壓力應如下求得：在側面上建立如圖5-9所示的坐標系，在y處取側面窄條dy，此側面窄條所受的壓力為 ,整個側面所受的壓力可以表示為 .對于h = 10 m、l = 200 m的側面： .對于h = 10 m、l = 150 m的側面： .側面的總壓力為

11、. 5-16 在5.0´103 s的時間內通過管子截面的二氧化碳氣體(看作為理想流體)的質量為0.51 kg。已知該氣體的密度為7.5 kg×m-3 ，管子的直徑為2.0 cm，求二氧化碳氣體在管子里的平均流速。 解 單位時間內流過管子截面的二氧化碳氣體的體積，即流量為 ,平均流速為 .圖5-10 5-17 當水從水籠頭緩慢流出而自由下落時，水流隨位置的下降而變細，何故？如果水籠頭管口的內直徑為d，水流出的速率為v0 ，求在水籠頭出口以下h處水流的直徑。 解 當水從水籠頭緩慢流出時，可以認為是定常流動，遵從連續(xù)性方程，即流速與流管的截面積成反比，所以水流隨位置的下降而變細，

12、如圖5-10所示。 可以認為水從籠頭流出后各處都是大氣壓，伯努利方程可以寫為 ,改寫為 , (1) .這表示水流隨位置的下降，流速逐漸增大。整個水流可以認為是一個大流管，h1處的流量應等于h2處的流量，即 . (2) 由于 ,所以必定有 ,這表示水流隨位置的下降而變細。 根據題意，h2處的流速為v2，代入式(1)，得 ,即 . (3)將式(3)代入式(2)，得 ,式中d1 = d，d2就是在水籠頭出口以下h處水流的直徑。上式可化為 .從上式可解得 .圖5-11 5-19 文丘里流量計是由一根粗細不均勻的管子做成的，粗部和細部分別接有一根豎直的細管，如圖5-11所示。在測量時，將它水平地接在管道

13、上。當管中有液體流動時，兩豎直管中的液體會出現高度差h。如果粗部和細部的橫截面積分別為SA 和SB，試計算流量和粗、細兩處的流速。 解 取沿管軸的水平流線AB(如圖5-11中虛線所示)，并且A、B兩點分別對應兩豎直管的水平位置，可以列出下面的伯努利方程 ,改寫為 ,即 . (1) 另有連續(xù)性方程 . (2)以上兩式聯立，可解得 , ,流量為 .圖5-12 5-20 利用壓縮空氣將水從一個密封容器內通過管子壓出，如圖5-12所示。如果管口高出容器內液面0.65 m，并要求管口的流速為1.5 m×s-1 。求容器內空氣的壓強。 解 取如圖5-12中虛線AB所示的流線，并運用伯努利方程 ,

14、可以認為 ,所以 . 5-21 用圖5-13所示的虹吸管將容器中的水吸出。如果管內液體作定常流動，求： (1) 虹吸管內液體的流速； (2) 虹吸管最高點B的壓強； (3) B點距離液面的最大高度。 圖5-13 解 把水看作理想流體，理想流體的特性之一是不可壓縮性，根據不可壓縮流體的連續(xù)性方程 ,虹吸管各處橫截面均勻，管內液體的流速應處處相等。取過出水口C點的水平面作為水平參考面，一切高度都由此面起算。在水面上取一點D，連接DA的線作為一條流線，如圖5-13中虛線所示。流線DA與虹吸管內的流線ABC，形成一條完整的流線，并在這條流線上運用伯努利方程。 (1) 對D、C兩點運用伯努利方程 ,將、

15、和代入上式，得 .于是可求得管內的流速，為 . (1)可見，管內水的流速決定于C點到容器內液面的垂直距離，此距離越大，流速也越大。 (2) 對B、C兩點運用伯努利方程，得 ，可簡化為 . (2)可見，最高點B的壓強決定于該點到出水口C的豎直距離，出水口C越低，管內B點的壓強就越小。 因為pB的最小值為零，當pB為零時，由上式可以求得 . (3)這表示，當C點的位置低到使hB = 10.339 m時，pB = 0。 讀者可能會問：如果C點的位置再向下伸延，即在C點的下方再接上一段管子，使hB > 10.339 m，此時B點的壓強不就出現負值了嗎？對此我們作以下回答。 出現負值的結論是從伯努

16、利方程推導的結果，而伯努利方程適用的一個條件，是保持流體作定常流動。當我們加長hB，也就是加長h1時，從式(1)可以看到，管內流體的流速將會增大。隨著流速的增大，定常流動的條件將遭到破壞，伯努利方程不能再使用，由這個方程導出的結果也就不正確。要保持定常流動，就不能使hB > 10.339 m，B點的壓強就不會出現負值。 (3) 由上面的分析可以得到，當pB為零時， .所以hB的最大值就是10.339 m。我們可以設想，若把C點、B點和A點的位置都向上提，即減小(h1 + h2 )，增大h3，這樣B點到液面的距離將會隨之增大。在極限情況下，當(h1 + h2 )® 0時，就有h3 &#