試驗(yàn)三用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR濾波器

1、實(shí)驗(yàn)三 用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR濾波器一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?1、了解兩種工程上最常用的變換方法：脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。 2、掌握雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR濾波器的原理及具體設(shè)計(jì)方法，熟悉雙線性法設(shè)計(jì)低通、帶通和高通IIR濾波器的計(jì)算機(jī)程序。 3、觀察用雙線性變換法設(shè)計(jì)的濾波器的品與特性，并與脈沖響應(yīng)不變法相比較，了解雙線性變換法的特點(diǎn)。 4、熟悉用雙線性變換法涉及數(shù)字Butterworth和Chebyshev濾波器的全過程。 5、了解多項(xiàng)式呈幾何多項(xiàng)式乘方運(yùn)算的計(jì)算機(jī)變成方法。2、 實(shí)驗(yàn)原理與方法從模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器具有四種方法：微分差分變換法、脈沖響應(yīng)不變法、雙線性變換法、匹配Z變換

2、法：在工程上常用的是其中兩種：脈沖響應(yīng)不變法、雙線性變換法。脈沖響應(yīng)不變法需要經(jīng)歷如下步驟：由已知系統(tǒng)傳輸函數(shù)計(jì)算系統(tǒng)沖激響應(yīng)：對進(jìn)行等間隔取樣得到,由獲得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)響應(yīng)。這種方法非常直觀，其算法宗旨是保證所設(shè)計(jì)的IIR濾波器的脈沖響應(yīng)和響應(yīng)模擬濾波器的沖激響應(yīng)在采樣個(gè)點(diǎn)上完全一致。而雙線性變換法的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則是使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與參考模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似。脈沖響應(yīng)不變法一個(gè)重要的特點(diǎn)是頻率坐標(biāo)的變換式現(xiàn)行的，其缺點(diǎn)是有頻譜的周期延拓效應(yīng)，存在頻譜混淆的現(xiàn)象。為了克服脈沖響應(yīng)不變法可能產(chǎn)生的頻譜混淆，提出了雙線性變換法，它依靠雙線性變換式： 其中，建立起s平面和z平面的單值映射關(guān)系，

3、數(shù)字頻域和模擬頻域之間的關(guān)系： （31）由上面的關(guān)系式可知,當(dāng)時(shí)，w中止在折疊頻率處，整個(gè)周單值的對應(yīng)于單位圓的一周。因此雙線性變換法不同于脈沖響應(yīng)不變法，不存在頻譜混淆的問題。從式（31）還可以看出，兩者的頻率不是線性關(guān)系。這種非線性關(guān)系似的通帶截止頻率、過渡帶的邊緣頻率的相對位置都發(fā)生了非線性畸變。這種頻率的畸變可以通過預(yù)畸來矯正。用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)，一般總是先將數(shù)字濾波器的各臨界頻率經(jīng)過式（31）的頻率預(yù)畸，球的響應(yīng)參考模擬濾波器的各臨界頻率，然后設(shè)計(jì)參考模擬濾波器的傳遞參數(shù)，最后通過雙線性變換式求得數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)。這樣通過雙線性變換，正好將這些頻率點(diǎn)映射到我們所需要的

4、位置上。參考模擬濾波器的設(shè)計(jì)，可以按照一般模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法，利用已經(jīng)成熟的一整套計(jì)算公式和大量的歸一化設(shè)計(jì)表格和曲線，這些公式、表格主要是用于歸一化低通原型的。通過原型變換，可以完成實(shí)際的低通、帶通和高通濾波器的設(shè)計(jì)。在用雙線性變換法設(shè)計(jì)濾波器的過程中，我們業(yè)可以通過原型變換，直接求得歸一化參考模擬濾波器原型參數(shù)，從而使得設(shè)計(jì)更加簡化。下表是IIR低通、帶通、高通濾波器設(shè)計(jì)雙線性原型變換公式的總結(jié)。變換模型變換關(guān)系式參考模擬原型頻率確定備注低通變換s=：模擬頻率T：采樣周期、：帶通的上下邊帶臨界頻率高通變換s=帶通變換s=在本實(shí)驗(yàn)中，我們只涉及Butterworth和Chebyshev種濾

5、波器的設(shè)計(jì)，相應(yīng)的這兩種參考濾波器的設(shè)計(jì)公式如下表類型巴特沃斯切比雪夫階數(shù)N=傳遞函數(shù)有關(guān)參數(shù)3db頻率波紋系數(shù)備注通帶臨界頻率及衰減，阻帶臨界頻率及衰減綜上所述，以巴特沃斯低通數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)為例，可以將雙向法設(shè)計(jì)濾波器的步驟歸納如下：1、 確定數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)。這些指標(biāo)包括：通帶、阻帶臨界頻率、；通帶內(nèi)的最大衰減；阻帶內(nèi)的最小衰減；采樣周期T。2、 確定相應(yīng)的數(shù)字頻率，。3、 計(jì)算經(jīng)過頻率預(yù)畸的相應(yīng)參考模擬低通原型的頻率。4、 計(jì)算低通原型階數(shù)N，計(jì)算3db歸一化頻率，從而求得低通原型的傳遞函數(shù)。5、 用上表中所列變換公式，代入，求得數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)=。6、 分析濾波器頻域特性，檢查其

6、指標(biāo)是否滿足要求。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及步驟（一）編制實(shí)驗(yàn)用主程序及子程序1、實(shí)驗(yàn)前復(fù)習(xí)數(shù)字信號處理課程中濾波器設(shè)計(jì)有關(guān)內(nèi)容的知識，認(rèn)真閱讀本實(shí)驗(yàn)的原理部分，讀懂濾波器相關(guān)算法。2、編制一個(gè)雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字Butterworth和Chebyshev濾波器的通用程序。采樣周期、通帶和阻帶臨界頻率以及相應(yīng)的衰減等參數(shù)在程序運(yùn)行時(shí)輸入；根據(jù)這些輸入?yún)?shù)，計(jì)算階數(shù)N、傳遞函數(shù)；輸出分子分母系數(shù)；繪制幅頻特性曲線，繪制點(diǎn)數(shù)為50，（0）。（二）上機(jī)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1、采樣頻率為1HZ，設(shè)計(jì)一個(gè)Chebyshev高通數(shù)字濾波器其中通帶臨界頻率fp=0.3HZ,通帶內(nèi)衰減小于0.8db(=0.8db),阻帶臨界頻

7、率fs=0.2HZ,阻帶內(nèi)衰減大于20db(=20db)。求這個(gè)數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(z)，輸出它的幅頻特性，觀察其通帶衰減和阻帶衰減是否滿足要求。高通數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)>> f=1; fp=3/10; fs=2/10; Rp=0.8; Rs=20;>> n,Wn=cheb1ord(2*fp/f,2*fs/f,Rp,Rs);>> b,a=cheby1(n,Rp,Wn,'high');>> freqz(b,a,512,1)b =0.0262 -0.1047 0.1570 -0.1047 0.0262a =1.0000 1.5289

8、1.6537 0.9452 0.2796n =4 Wn =0.60002、采樣頻率為1HZ，設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字低通濾波器，要求其通帶臨界頻率fp=0.2HZ，通帶內(nèi)衰減小于1db(),阻帶臨界頻率fs=0.3HZ,阻帶內(nèi)衰減25db()。求這個(gè)數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(z)，輸出它的幅頻特性曲線。低通數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)>> f=1; fp=2/10; fs=3/10; Rp=1; Rs=25;>> n,Wn=cheb1ord(2*fp/f,2*fs/f,Rp,Rs);>> b,a=cheby1(n,Rp,Wn);>> freqz(b,a,512,1) ;

9、b,a,n,Wn;b = 0.0243 0.0970 0.1456 0.0970 0.0243a = 1.0000 -1.5977 1.7459 -1.0200 0.3074n = 4Wn = 0.40003、設(shè)計(jì)butterworth帶通數(shù)字濾波器，其上下邊帶1db處的通帶臨界頻率分別為20kHz和30kHz(fp1=20kHz,fp2=30kHz,)，當(dāng)頻率低于15kHz時(shí)，衰減要大于40db(fs=15kHz,),采樣周期為10，求這個(gè)數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(z)，輸出它的幅頻特性曲線，觀察其通帶衰減和阻帶衰減是否滿足要求。帶通數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)>> f=105; fs=150

10、00,35000; fp=20000,30000; Rs=40; Rp=1;>> n,Wn=buttord(2*fp/f,2*fs/f,Rp,Rs);>> b,a=butter(n,Wn);>> freqz(b,a,512,1);>> b,a,n,Wnb = 0.0002 0 -0.0014 0 0.0042 0 -0.0071 0 0.0071 0 -0.0042 0 0.0014 0 -0.0002a = 1.0000 -0.0000 3.7738 -0.0000 6.5614 0.0000 6.6518 0.0000 4.2030 0.0000 1.6437 0.0000 0.3666 0.0000 0.0359n = 7Wn = 0.3854 0.6146四思考題雙線性變換和脈沖響應(yīng)不變法相比較。有哪些優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)？為什么？答：雙線性變換：主要優(yōu)點(diǎn)是s平面與z平面式單值的一一對應(yīng)關(guān)系。整個(gè)j軸是單值的對應(yīng)于單位圓一周，即=tg(。當(dāng)時(shí)，終止于折疊頻率=處，因而雙線性變換就不會(huì)出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象。但雙線性變換法的優(yōu)點(diǎn)是靠頻譜的嚴(yán)重非線性關(guān)系而得到的，這種與的非線性關(guān)系使數(shù)字濾波器與模擬濾波器在響應(yīng)與頻率的對應(yīng)關(guān)系上發(fā)生畸變。例如，