導(dǎo)數(shù)解答練習(xí)答案

1、1.已知函數(shù) f 3) = x3 - 3ax + 2(7 e R). 當(dāng)"=1時(shí)，求曲線y = /(x)在點(diǎn)(0,/(0)處的切線方程；(2) 求函數(shù) /*(%) 在區(qū)間 0 , 1 上的最小值 .2。(< 0)【答案】(1) 3x+y 2 = 0; /(x)min =(2 2a扁(0 < a < 1)3 - 3a(a > 1)【解析】試題分析：(1)由/( X) = x3-3?x +2(?G7?)及。=1,求(0,/(0)處的切線方程，可由求切線方程的步驟，先求出導(dǎo)數(shù)，再求出該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即斜率，代入點(diǎn)斜式可得;(2 )由題求 0,1上的最小值為，可按求函數(shù)

2、最值得步驟，先求導(dǎo)/'(x) = 3x2-3a = 3(x2-a)，因?yàn)?。值不確定，需對(duì)它進(jìn)行分類討論來分別解決，(確 定單調(diào)性,求極值，最后與區(qū)間端點(diǎn)值比較 ) ，最后綜合所有情況可得 .試題解析：(1)當(dāng)。=1時(shí)，/(x) = x3 -3x+2,切點(diǎn)為(0,2)/'( x) = 3x2-3 , 切線的斜率為 R = f'(0) = 3切線方程為 y = 3x + 2,即 3x+y-2 = Q(2) / (x) = 3x2- 3a - 3(x2 - a)當(dāng)。 0 時(shí)， /'(x)>0, .-./(%) 在0,1上為增函數(shù) , /(x)min = /(0)

3、 = 2當(dāng)。 0 時(shí)， / (%) = 3(x2 一 a) = 3(x +Vfl) 若 0<石<1,即 0<。 <1 時(shí)，當(dāng) 0 5 x < 膈時(shí)， / (%) < 0 ,當(dāng) 4a < x < 1 時(shí)， / (%) > 0/(%)在0,J2)上為減函數(shù)，在(、/方,1上為增函數(shù), /(%)min = /(Va) = 2-2a4a 若即。 21 時(shí)， /'(x)<0,/(.x) 在0,1上為減函數(shù)2（。 < 0） 綜上：/(X)min = < 2 - 2。扁(0 < a < 1)3 - 3aa >

4、1)考點(diǎn)：1.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求曲線上某點(diǎn)的切線方程；2.導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值及分類思想；2. 已知函數(shù) /(%)= In %, g(x) = x-1.當(dāng)時(shí)，證明：/(%)< g(x);* m 十-In3 ln(n + l)(2) 證明不等式 In21 - 1 < n,2n【答案】(1)見解析；(2)見解析【解析】試題分析：(1)由題為證明函數(shù)/(x)<g(x);可構(gòu)造函數(shù) F(x)=/(x)-g(x) = lnx-x + l,轉(zhuǎn)而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求它在定義域上的單調(diào)性，通過F(x)< F(l) = 0而得證；In X(2)由題為證明數(shù)列不等式，可結(jié)合(1)中的結(jié)論冬<1,進(jìn)行累加

5、而得證.x-1試題解析：(1)設(shè) F(x)= f(x) - g(x) = In % - % +1, Fz(x) = -1 二一，X X當(dāng) 0 < 工 v 1 時(shí)，F(xiàn)x) > 0；當(dāng)尤 > 1 時(shí)，F(xiàn)z(x) < 0;? 在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，? ?當(dāng)工壬 1 時(shí)，F(xiàn)(x)< F( I) = 0, Inx-x + l<0, Inx<x-l,即 /(%)<g(x).In x由(1)可知，當(dāng)X > 1時(shí)，一 <1,X 1八 m 人 cc-T-zg In 2 , In 3, ln( +1),分力 U 令 x = 2

6、,3,?, ，可得 < 1,< 1,< 1,12n將這"個(gè)不等式相加，得ln2 + + ?+m( + l)v2n考點(diǎn)：(1)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式.(2)運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性及累加法證明數(shù)列不等式23. 設(shè)函數(shù) /(x) = Inx-Aax -2x,其中 a<0.(I )若曲線y = f(x)在點(diǎn)處的切線方程為y = 2x + b,求a-2b的值；(II) 討論函數(shù)/'(x)的單調(diào)性；(III) 設(shè)函數(shù)g(x) = F3x+3，如果對(duì)于任意的5(0,1,都有/(%)<<?恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.【答案】(1)2; (II)見解析；(HI) -6

7、<a<0【解析】試題分析：(1)由題已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為y = 2 了 +方，可得廣(1)= 2 ,又過點(diǎn)(1,2+勿,可分別建立關(guān)于。，力的方程組，求得 a-2b的值; 由題函數(shù)f (x) = Inx-|ax2-2x,(含參數(shù))，求單調(diào)區(qū)間，需先求導(dǎo)數(shù)，然后況討論，可分別岀函數(shù)的單調(diào)區(qū)間別在給定的區(qū)間上化為/ 3)( g血的問題來處理對(duì)參數(shù)。分情題解決，即分由任意的xje(O,l,都有/ (x)Vg(f)為恒成立問題，可運(yùn)用導(dǎo)數(shù)化為最值問試題解析：(I)由題，求導(dǎo),工 2 = '*aafz(x) = -tzx-2(x>0),因?yàn)?/ '=2,得;Xf(

8、) = 1-2 = 2,3 = 33貝??；又過點(diǎn)(1,2 + ° )；所以 f(l) = -2 = 2 + b,b = -T-E _2。= _3 + 5 = 2 a1 21" + (II)由 / (x)=ax-2- , xg (0,+oo)，貝xx2x +1 當(dāng) a=0 時(shí)，/z(x)=,x當(dāng)x>0時(shí)，令/'U)>0,為增區(qū)間：(0，!),令fM<0為減區(qū)間；(：,+8)_ 系 2 O y 1 當(dāng) aVO 時(shí)，= (% > 0),令；h(x) = -ax 2 -2x +1 ,x則厶=4 + 4I = 4(Q + 1),則；當(dāng)<-I,A

9、= 4(61 + 1) <。時(shí)，即f !(x)<0恒成立，所以減區(qū)間為；(0,+8)當(dāng)一 1 <"<(), = 4(。+1) > 0 時(shí)，得；石=- 令廣O,為增區(qū)間：(OT+E),( T_S,+8), a a令/'UXO為減區(qū)間；(i局，一 1 一局)aa綜上所述，a=0時(shí)，增區(qū)間：(0,分,減區(qū)間；(，+8)當(dāng)aJ 1時(shí)，減區(qū)間為；(0,+8)1 + y/1 + a 1 JI + a、減區(qū)間；( , )aa(III)由題意，任(0,1函數(shù)g(x) = r3x + 3,在作(0,1為減函數(shù)，則 g血=1,原題可轉(zhuǎn)化為；/(x)vg(l) mm=

10、L 即；f(x) = Inx-|ax2-2xv/ExG (0,I上恒成立，可化為；a>21n X4x2 ,在xqo,1 上恒成立，X2X令伊(1)= 21"之我-2 ,只需求，a>(pA mm在 Xe(O,l上恒成立，+ 6 4lr) y求導(dǎo)；仞'(、)=-一 2，因?yàn)橛?e (o,1，Inx<0,-41 nx>0,所以，(px) >0 ,函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則例1兒宓=一 6,可得，即-6<a<0.考點(diǎn)：(1)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及方程思想；(2)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及分類思想.(3)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用及恒成立中的最值思想.324 .已知

11、 x = I 是函數(shù) f(x) - nix - 3(/7? + V)x +nx + 1 的一個(gè)極值點(diǎn)，其中m, n e R, m < 0 ,(1) 求m與的關(guān)系式；(2) 求/Xx)的單調(diào)區(qū)間；(3) 當(dāng)xe 1,1時(shí)，函數(shù)y = /Xx)的圖象上任意一點(diǎn)的切線斜率恒大于3秫，求m的取值范圍【答案】(1)n = 3m + 6 (2)在|-00,1 + 一|遞減,(1 + 層)遞增，(I,+00)遞減(3) I m) m【解析】試題分析：(1)求岀f (X),因?yàn)閤=I是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以得到f (1) =0求岀m與n的關(guān)系式；(2)令f， (x) =0求岀函數(shù)的極值點(diǎn)，討論函數(shù)的增減性確

12、定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)的切線斜率恒大于3m即f (x) >3m代入得到不等式即 3m (x-1) x-(1+ ) >3m,又因?yàn)?m<0,分 x=I 和 xNI,當(dāng) xNI 時(shí) g (t) =t-，求岀 g (t) m t的最小值.要使2<(x-1)-一恒成立即要g (t)的最小值>2,解岀不等式的解m、7 x-1 m集求岀m的范圍門試題解析：(1) fx) = c 3mx2 -6(m + I)x + n因?yàn)橛?1是函數(shù)f (x)的一個(gè)極值點(diǎn)，(2)由(1)知，/z(x) = 3mx2 -6(m + I)x + 3m + 6 = 3m(x-1)

13、 x-| 1 + v m2當(dāng)秫<0時(shí)，有11 + 一,當(dāng)工變化時(shí)，兀刁與廣的變化如下表：mX1+2 m1(1,+8)卩(X)<00>00<0fM調(diào)調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減故有，當(dāng)秫<0時(shí)，/ 在8,1+2)遞減，(1 + 2,1)遞增，(1,+8)遞減.V m)mz2(3)由已知得 / (x) > 3m,即 mx 2(m + l)x + 2 > 0 又2 2 2 220 所以工 2(m + l)x + 一 <0 艮 PX - (m + l)x + 一 <0, xg -1,1?mmmmi2設(shè)g(x) = x2-2(I + -)x +

14、 -,其函數(shù)開口向上，由題意知式恒成立，mmfg(-l)<0所以%1)<01 + 2 + + <0、=> iTi iTi|_1<0解之得一又秫<0 所以一< mv 0 3即秫的取值范圍為：，° 考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)恒成立問題；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性5.已知函數(shù) f(x) = -% + a In x(a e 7?).(1)求/Xx)的單調(diào)區(qū)間；2(2 )設(shè) g(x) = x -2x + 2a ,若對(duì)任意 X e (0,+<>o),均存在 X2 G0,1,使得/(%!)< g(x 2),求a的取值范圍.【答案】(

15、1)當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)/'(X)的遞減區(qū)間是(0,+8),當(dāng)。0時(shí)，函數(shù)/ “)的遞增區(qū)間是(0,0),遞減區(qū)間是(七+8) ；(2) 0/.【解析】試題分析：(1)借助導(dǎo)數(shù)運(yùn)用分類整合的思想分類求解；(2)借助題設(shè)條件和等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求解 .試題解析：(1)廣(x) = _ +Wx-“ (x>0).X X 當(dāng)。<0時(shí)，由X0,得 x o> 0, /'(x)<0,函數(shù)/Xx)的遞減區(qū)間是 (0,+8)； 當(dāng)。0 時(shí)，由 /'(.X)= 0 得 x = a .當(dāng) xc(O,0)時(shí)，/'(.X) > 0 :當(dāng) x

16、c(0,+8)時(shí),尸<0.?函數(shù)/(%)的遞增區(qū)間是(0,o )，遞減區(qū)間是(。，+8)； 綜上，當(dāng)。M0時(shí)，函數(shù)/ Xx)的遞減區(qū)間是(0,+8)； 當(dāng)。0時(shí)，函數(shù)/'(X)的遞增區(qū)間是(0,0),遞減區(qū)間是(0,+8).(2)依題意，要滿足對(duì)任意 %! G (0,+8)，均存在X2 G 0,1,使得/(%!) < g(X2),只需滿足 /(X) max < g(x)max，2g(x) - x -2x + 2a ,xe0,l, A g(x) max = 2tz由(1)知，當(dāng)。<0時(shí)，函數(shù)/Xx)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減，值域 為R,不符合題忌、；1 111

17、 1(舉反例：取 X=e",則 /(e ) = -ea + a -1- e a >Q>2a ,產(chǎn)生矛盾.)a當(dāng) a = 0 時(shí)，/(x) = -x < 0 = g(x) max，符合題意；當(dāng)。0時(shí)，函數(shù)/Xx)在區(qū)間(0,0)上遞增，在區(qū)間(0,+8)上遞減，? /'(x)max = /(?= -。+。In a，令 2。一 o + olno,解得 0 <0<凌；綜上，a的取值范圍是0,e3).考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)及綜合運(yùn)用【易錯(cuò)點(diǎn)晴】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性和極值最值問題的重要而有效的工具.本題就是以含參數(shù)a的函數(shù)解析式為背景，考查的是導(dǎo)數(shù)知識(shí)在研

18、究函數(shù)單調(diào)性和極值等方面的綜合運(yùn)用和分析問題解決問題的能力.本題的第一問求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，解答時(shí)先求導(dǎo)再變形分類討論是本題求解的一大特點(diǎn)；第二問中求參數(shù)。的取值范圍問題.求解時(shí)需要先對(duì)己知問題進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化為/'()max < g3)max,然后再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)將/max(X)，gmax(X)分別求此建立關(guān)于參數(shù)。的不等式2。-。+。111。，從而求岀其范圍是0,C3).在這里如何將問題合理轉(zhuǎn)化為f(X) max < gOOmax是解答本題的關(guān)鍵也是難點(diǎn).In x6.已知函數(shù) /(x) = mx(jne. R).x(1) 當(dāng)m = 0時(shí)，求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2) 當(dāng)m2。時(shí)，

19、求證：函數(shù) f(x)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)；(3) 當(dāng)b>a> 0時(shí)，總有腫)1成立，求實(shí)數(shù)刀的取值范圍？b-a【答案】(1)有且只有1個(gè)零點(diǎn)；(2)證明見解析；(3)2e【解析】試題分析：(1)依據(jù)題設(shè)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求解；(2)借助題設(shè)條件運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)分析推證;(3)借助題設(shè)條件構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解.試題解析：當(dāng) m = 0 時(shí)，f(x) =, /'(x) = -.XX令 r(x) =( mx=e.X(0,e)c(C,+8 )/(x)+0f(H)函數(shù)/(%)在區(qū)間(0, e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減/(X) max = /(e) = L > 0 , f (

20、!) = e < 0, e e:.函數(shù)/(x)在區(qū)間(0, e)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；In X又當(dāng)x>e時(shí)，f(x)=>0恒成立，函數(shù)/(x)在區(qū)間(e,+8)內(nèi)沒有零點(diǎn).綜上可知，當(dāng) m = 0時(shí)，函數(shù)f(x)有且只有1個(gè)零點(diǎn).Inx ,(2)? .? f (1)=-x八、，、/、1-lnxmx ( m>0> A / (x) = %=%、八、x>。).令g(x) = 1 - In x -mf, L g'(x)= 'x2mx< 0 ,函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+ °上單m?g(e ") = 1 + 上一與 >0(?

21、 .?/>(), g(e) = -me 2 < 0 ,m2 e3xo e (0,+8)，使得 g(x() ) = 0 ,.?當(dāng) xe (O,xo)時(shí)，g(x)O,即 /'(x)>0, /Xx)在區(qū)間(0,x )上單調(diào)遞增；當(dāng) xe (xo，+ oo)時(shí),g(x)<0,即 /'(.X) < 0 , y( x)在區(qū)間(x() ,+8)上單調(diào)遞減x = X0是函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)的極大值點(diǎn).即當(dāng)秫2 0時(shí)，函數(shù)/ Xx)有且只有一個(gè)極值點(diǎn).(3)當(dāng) b>a0 時(shí)，總有 f(b)f(a)> 成立，b-a即當(dāng)b> a> 0

22、時(shí)，總有f(b)-b> f(a) - a 成立，也就是函數(shù)力 3) = /(%) - x在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增.In 丫1 y由 h(x) = - (m + l)x(x > 0)可得 hx) =(m + l)>0 在區(qū)間 (0,+8) 恒成XX立，即m <上頊 一1在區(qū)間(0,+8)恒成立.(x > 0).X=0，則 x = eA.設(shè) k(x)=上也一 1,則 k'(x)=X即 r(x)<o,函數(shù)從工)在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞減3.?當(dāng) JT6 (0,/)時(shí),3當(dāng)xe (eA汁8)時(shí),3 令 kx)即kx) > 0,函數(shù)化3)在區(qū)間(/，+

23、8)上單調(diào)遞增31 y 1-1.? k(x)min = k(必)=- -!=?所求初的取值范圍是m < -Ay-1.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)及綜合運(yùn)用【易錯(cuò)點(diǎn)晴】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性和極值最值問題的重要而有效的工具.本題就是以含參數(shù)m的函數(shù)解析式為背景，考查的是導(dǎo)數(shù)知識(shí)在研究零點(diǎn)極值等方面的綜合運(yùn)用和分析問題解決問題的能力.解答本題的第一問求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，這時(shí)m = 0,求解時(shí)只要先對(duì)已知函數(shù)f(x)=進(jìn)行求導(dǎo)，再討論其在定義域內(nèi)的單調(diào)性，最后依據(jù)函數(shù)的X圖象變化情況確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；第二問中的證明極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1個(gè)，也是先求導(dǎo)后構(gòu)造2函數(shù)g(x) -llnx- mx ,通過對(duì)求該函數(shù)單調(diào)性的

24、研究確定了極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；第三問中的求m取值范圍問題則是借助導(dǎo)數(shù)可直接從不等式中分離出參數(shù)m,再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求 出其最小值從而使得問題獲解.7. 已知函數(shù) f(x) = mx ,g(x) = 31nx. 當(dāng)m = 4時(shí)，求曲線y = /(x)在點(diǎn)(2,/(2)處的切線方程；(2)若%e(l,VA (e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，不等式/(%)-g(%)<3恒成立，求實(shí) 數(shù)m的取值范圍.9-Vg【答案】(1) y = 5x 4；(2) ( 8,aa).2e-2【解析】試題分析：(1)直接運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；(2)借助題設(shè)條件運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想先進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再構(gòu)造運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求其值域求解試題解析

25、：(1)當(dāng) m = 4 時(shí)，/(x) = 4x, / (x) = 4 + -A-, f (2) = 5,又/(2) = 6 , x x? . ?所求切線方程為 y = 5x-4.由題意知，xe (l,Ve), nvc- -31nx<3 恒成立，即 m(x -1) < 3x + 3xInx 恒 x成立,V xG(l,Ve), x2 -1 > 0 ,則 m< A x+ AA恒成立.x -1人7 /、3x + 3xl nx7 /、令/z(x)一 l ；-，貝！m < Kx)A nx -1/z (x)-3(x2 +l)-l nx-63(x2+I)-I nx + 6(7A1

26、?xg(1, Ve), /z (x) < 0 ,即 /z(x)在(1, VA上是減函數(shù).?當(dāng) xe (I,Ve)時(shí)，力面 n =h0)=_。r2(e-l).m 的取值范圍是(一8,蟲").2e 2考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)和綜合運(yùn)用【易錯(cuò)點(diǎn)晴】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性和極值最值問題的重要而有效的工具.本題就是以含參數(shù)m的函數(shù)解析式為背景，考查的是導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用和分析問題解決問題一 4 一 的能力.解答本題的第一問時(shí)，這時(shí)m = 4,求解時(shí)先對(duì)已知函數(shù)/(%) = 4%-一進(jìn)行求x導(dǎo)，再將切點(diǎn)橫坐標(biāo)x = 2代入求得切線的斜率 為k = 5,就可以求岀切線的方程為y = 5x-4；第

27、二問中的求秫的取值范圍問題則可直接從不等式中分離岀參數(shù)m,再運(yùn) 用導(dǎo)數(shù)求其最小值從而使得問題獲解.QY8. 已知函數(shù) /(X) = ln(l + x) : (0 > 0).x + 1(I )若x = l是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，求。的值(2015Y1(III)證明：一-<-(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(2016Je【答案】(I )。=2; (II) (0,1; (III)證明見解析.【解析】試題分析：(I )利用1處的導(dǎo)數(shù)值為 0就可求的a的值；(II)若/(x)>0在0,+8)上恒成立，則/(X)min > 0,分當(dāng)0<。<1時(shí)和當(dāng)。1時(shí)兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)法

28、，求岀函數(shù)的最小值，進(jìn)而綜合討論結(jié)果，可得a的取值范圍；(III)要證明2015201620167即In 1 + 1>0，由 (II)知。=1 時(shí)，f(x) = ln(l + x)-在0,+8) 1 + 2015 x +單調(diào)遞增.又一 ->0, /(0)= 0,可得結(jié)論.1 + 2015試題解析：(【)？.？ f(x) = ln(l + %)- (" > 0), /'(x) = WEx + 1 (x + 1)?.?x = I是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，/'(1) = 0即a = 2(II) ? /(x) > 0在0,+8)上恒成立，.?./?(

29、 玖& 2 0當(dāng)0<aI時(shí)，f(x)>0 在0,+8)上恒成立，即/'在0,+8)上為增函數(shù)，? /(x)min = /()=。成立，即0 <a%l當(dāng)>1 時(shí)，令 f '(x)>0,則 x>a-l.令 f '(x)<0,則 0Vx<i I,即/Xx)在0,0-1)上為減函數(shù)，在 =0>/(fI-I),則矛盾.(0-1,+8)上為增函數(shù)，?/( x)min =f (a 1)20,又/(0)綜上，。的取值范圍為 (0,1.20162015(iii)要證2016 I <-,只需證2016沁 I> e.2

30、015兩邊取自然對(duì)數(shù)得，2016xIn爽揚(yáng)>1,2015,20160 In2015 2016>0,2015 2016,2016 10 In0 In(I + )0，2015 1 + 201520152016考點(diǎn)：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；(2)函數(shù)恒成立問題；(3)利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.【方法點(diǎn)晴】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性證明不等式，恒成立問題，綜合性強(qiáng)，運(yùn)算量大，轉(zhuǎn)化困難，屬于難題.第 一問中直接利用函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值，則導(dǎo)數(shù)為零，得結(jié)果；第二問把不等式20恒 成立轉(zhuǎn)化為/'(x)mi n20,然后利用導(dǎo)數(shù)

31、研究函數(shù)的單調(diào)性，求最值，是常見的一種轉(zhuǎn)化思想；第三問首先利用分析法把要證的問題轉(zhuǎn)化為1J1 + A - >0,利1 + 2015用二問中的結(jié)論得證，轉(zhuǎn)化難度較大2 19.已知函數(shù) /(x) = lnx + x -2ax+a ,a& R .(I )若。=0,求函數(shù)f(x)在l,e上的最小值；(II) 若函數(shù)f(x)在|,2上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；(III) 根據(jù)a的不同取值，討論函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)情況.【答案】(1)1(2) -8,'(3)當(dāng)。0時(shí)，函數(shù)f(x)無極值點(diǎn)；當(dāng)0 <aJ也時(shí)，函數(shù) f(X) 無極值點(diǎn);當(dāng)。Ji時(shí)，函數(shù)f (x)有一個(gè)極

32、小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)；【解析】試題分析：(I)當(dāng)。=0時(shí)，/(x) = lnx + x2，其定義域?yàn)?0,+8),/z(x) = + 2x> 0 ,所f(工)¥訃I.efEfe蠟函數(shù)，當(dāng)牙=】時(shí)°才(工)*=才(】)=1故函數(shù)f(x)在l,e:上的最小值是1.I”-一加 丫+山題設(shè)條件，ift(x = - + 2x-2a = ( iij?(-r) = 27-2ar+l2因?yàn)楹瘮?shù)g (x) = 2x -2ax + l的圖象是開口向上的拋物線，所以只需g( 2)0或0即可.o1由 g(2)>0,即 8 4。+ 10,得 6/<|:由 g(2)>0,即-t

33、z + l>0,得。<弱.若f(x)在？2上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則a的取值范圍是一 8,:.(III)由(II),可知 y'(x)=1(x) = lx - 2ax + .X(i )當(dāng)"VO 時(shí)，在(0,+8)_hg(、)>0 恒成立，此時(shí)/(%)>0,函數(shù)f(x)無極值點(diǎn)；(ii)當(dāng)。0 時(shí)，若 = 4/ 8V0,即 0 <。(扼時(shí)，在(0,+8)上g(x) 20恒成立，此時(shí) y'(x)20，函數(shù)/'()無極值點(diǎn);若厶=4疽_8>0,即 aJi時(shí)，易知當(dāng) 后a+E?時(shí)，2g(x) <0 ,此時(shí) f(r)vO ;當(dāng)0VJT

34、<三或尤時(shí)，g(jr)>0, 此時(shí) /z(x) > 0 .所以當(dāng)。J萬時(shí)，x=a J ； 2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),2是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，-/ 2 2綜上，當(dāng)a<A2時(shí)，函數(shù)/*(、)無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)， x =- 三-是函數(shù)/*(的極大值點(diǎn)，x=a- 2是函數(shù)山工)的極小值點(diǎn).考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值函區(qū)間,【方法點(diǎn)睛】連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上有最大值和最小值，求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，先求 數(shù)的極值與區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值比較，便可求出最值；函數(shù)在某區(qū)間上存在單調(diào)遞增 就是導(dǎo)函數(shù)不小于零在此區(qū)間上有解；討論函數(shù)的極值點(diǎn)情況，先求導(dǎo)，根據(jù)參

35、區(qū)間上單調(diào)，則無極值點(diǎn)？若數(shù)值正、負(fù)相反 .X = X。是極值點(diǎn)，不僅滿足廣(0) = 0,而且還需 要?dú)庾笥覍?dǎo)10.已知函數(shù) /(%) = 為常數(shù) )的圖象在 x = l 處的切線方程為x + y - 2 = 0.(1) 判斷函數(shù) f(x) 的單調(diào)性；(2 )已知 pc (0,1),且 f(p)f(x) < t 3 -t 2 -2at +2 中恰有一個(gè)恒成立，求 實(shí)數(shù)。的取值范圍( 1| 5-8'- 石 U /,+8【答案】 (1)遞減(2) < 8L4【解析】 試題分析 ： ( 1)由導(dǎo)數(shù)幾何意義得 ''(1)= * = Tm 1 一小 m A . 1 n = l j 11) = = 1, m = 2,n = 4，又2解 得2 , 若對(duì)任意 XG p,l, 任意 te ?,2 ,f(x)&