直線和圓錐曲線的位置關系

1、精品聚焦考點直線和圓錐曲線的位置關系直線與圓錐曲線的位置關系是歷年高考命題的熱點；試題具有一定的綜合性，覆蓋面大，不僅考查“三基”掌握的情況，而且重點考查學生的作圖、數(shù)形結合、等價轉化、分類討論、邏輯推理、合理運算，以及運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力。在近幾年的高考中，每年風格都在變換，考查思維的敏捷性，在探索中求創(chuàng)新。具體來說，這些問題常涉及到圓錐曲線的性質和直線的基本知識點，如直線被圓錐曲線截得的弦長、弦中點問題，垂直問題，對稱問題。與圓錐曲線性質有關的量的取值范圍等是近幾年命題的新趨向?？v觀近幾年高考和各類型考試，可以發(fā)現(xiàn)：1研究直線與圓錐曲線位置關系的問題，通常有兩種方法：一是轉

2、化為研究方程組的解的問題，利用直線方程與圓錐曲線方程所組成的方程組消去一個變量后，將交點問題（包括公共點個數(shù)、與交點坐標有關的問題）轉化為一元二次方程根的問題，結合根與系數(shù)的關系及判別式解決問題；二是運用數(shù)形結合，迅速判斷某些直線和圓錐曲線的位置關系。2涉及弦長問題，利用弦長公式及韋達定理求解，涉及弦的中點及中點弦問題，利用差分法較為簡便。3充分發(fā)揮判別式和韋達定理在解題中的作用。靈活應用數(shù)形結合的思想、函數(shù)思想、等價轉化思想、分類討論思想解題。熱點透析題型1:直線與圓錐曲線的交點個數(shù)問題例1已知雙曲線C:2x2-y2=2與點P(1,2)求過P(1,2)點的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別有

3、一個交點，兩個交點，沒有交點若Q(1,1),試判斷以Q為中點的弦是否存在.解：(1)當直線l的斜率不存在時，l的方程為x=1,與曲線C有一個交點.當l的斜率存在時，設直線l的方程為y2=k(x1)，代入C的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0.(*)(i)當2k2=0,即k=土點時，方程(*)有一個根，l與C有一個交點(ii)當2k2w0,即kw土形時A=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(3-2k)2當A=0,即32k=0,k=2時，方程(*)有一個實根，l與C有一個交點.3當A>0,即k<，,又kw土也，3故當k<值或址<k

4、<戊或&<k<，時，方程(*)有兩不等實根，l與C有兩個交點.3當A<0,即k>萬時，方程(*)無解，l與C無交點.2綜上知:當k=±逝，或k=2,或k不存在時，l與C只有一個交點；3當pD<k<Z,或&<k<&，或k<用夕時，l與C有兩個交點；2當k>2時，l與C沒有交點.假設以Q為中點的弦存在，設為AB,且A(xi,yi),B(X2,y2),則2xi2yi2=2,2X22y22=2兩式相減得:2(xiX2)(xi+x2)=(yiy2)(yi+y2)乃一外又.xi+x2=2,yi+y2=2.2

5、(xix2)=yiyi即kAB=$一兩=2但漸近線斜率為±&,結合圖形知直線AB與C無交點，所以假設不正確，即以Q為中點的弦不存在.分析第一問考查直線與雙曲線交點個數(shù)問題，歸結為方程組解的問題.第二問考查處理直線與圓錐曲線問題的第二種方法一一“點差法”.易錯點提醒：第一問，求二次方程根的個數(shù)，忽略了二次項系數(shù)的討論.第二問，算得以Q為中點弦的斜率為2,就認為所求直線存在了.技巧與方法:涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設而不求，將弦所在直線的斜率，弦的中點坐標聯(lián)系起來，相互轉化.熱身訓練1直線+1與雙曲線二的右支交于不同的兩點a、b,(1)求實數(shù)k的取值范圍。(2)是否存在實

6、數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F?若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由。23【解】(1)將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程獨一尸=1后，整理得(P-2)7+2*1+2=0依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同的兩點，故-2maA二儂1一8畫2)仇解得k的取值范圍為2(2)設A、B兩點的坐標分別為(心”區(qū),則由式得假設存在實數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F(gS,則由口_|_咫得：區(qū)7a一二）+丁科=0,即（瓦-）+&+1）（也+1）=0O整理得'一1-一；二十一把式及"一"代入式，化簡得霜+2袤無-6=0

7、。厘（T-虎）（舍去）。66巧巧解得5或56+#存在5使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點。題型2:有關弦長問題【例2】如圖所示，已知橢圓1與拋物線X三2PH有公共焦點月g,o）gwM）,m是它們的一個交點，若而，且1網(wǎng)=5（1）求橢圓及拋物線的方程;（2）是否存在過F的直線l被橢圓及拋物線截得的弦長相等，若存在，求出的方程；若不存在，說明理由。39頸至【解】（1），尸工的焦點2準線A：2,p=2c。設,由|網(wǎng)=5,得5,由W=4%,得尸±2卡打，牙3=外岡=2#,.,一一工,1AI=加=%2,c=2。/二九為二2d代入*+4廿：解得/=32)2。工,7一1+-12Q橢圓方程

8、為3632,拋物線方程為丫(2)設直線l的方程為少=#(工-幻，感謝下載載將l的方程與橢圓方程聯(lián)立，得:（8+靖川-36/工436tp-8J=0AB = Jl+14x36（8-9二）（a“一如_12x8（上2+11"抖源8十9|和二|小月”盤把二區(qū)半二人士或由1"*年比3存在直線1,其方程為:題型3:與中點弦有關的問題【例3】已知雙曲線方程(1)過M(1,1)的直線交雙曲線于A、B兩點，若M為弦AB中點，求直線AB的方程。(2)是否存在直線1,使"。為1被雙曲線所截弦的中點，若存在，求出直線1的方程；若不存在，請說明理由。m本題涉及弦的中點問題，可以選用差分法解決

9、。(1)設心卜坨,鞏"2,則12'一，江ni則有423 22-江二14 2-得5+QE-2a+"F)=0。.%+肛=2，跖+73=2.2(4一七)-2,20丁口)=0若對二七，由=2知玉=%=1,則點A、B均不在雙曲線上，與題設矛盾，口=% %工電飛一% .上。.J上o9-1二*F 直線AB的方程為2，即x-2y+1=0。J21企y_x一，,_ 雙曲線的一條漸近線方程為2，而22, 二直線x-2y+1=0與雙曲線交于兩點，,-.x-2y+1=0為所求。(2)假設過N的直線l交雙曲線于F6HRmM),則有22a工一二1生一絲二142,42。兩式相減，得區(qū)+堀-2J+乃

10、)-乃)=0。4y依題意，0y-x;雙曲線的一條漸近線方程為21:一O，而2,直線l與雙曲線沒有公共點，7m1)以2為弦中點的直線不存在。題型4:對稱問題【例4】在以O為原點的直角坐標系中，點A(4,-3)為以。刃E的直角頂點,已知21cM，且點B的縱坐標大于零。(1)求向量上的坐標;求圓V-St+V-2沖。關于直線ob對稱的圓的方程;(3)是否存在實數(shù)a,使拋物線口二1一1上總有關于直線OB對稱的兩個點?若不存在，理由；若存在，求a的取值范圍【說明】這是一個非常好的、綜合性強的題目要認真研究故一.=.u-3>0徂u=81X2O)1寸O(2)由°*三°°向，

11、得B(10,5),于是直線OB的方程為:由題設可知，圓的標準方程為：5方+1)、10。得圓心(3,-1),半徑為而。設圓心(3,-1)關于直線OB的對稱點為(x,y),則x= 1衿）二3 付L*故所求圓的方程為,u.'-I（3）設尸氏?。閽佄锞€上關于直線OB對稱的兩點，則_22k=U222 工井克L一一 a52曲 13 覆工產+即修心為方程 。尋。的兩個相異實根。 "-4,注 >。于是由 “二-；3a > 一7日-，行 。八一必7士一兩3a故當m2時，拋物線6-1上總有關于直線OB對稱的兩點【評析】對稱性問題是高考的熱點，一般包括點對稱與直線對稱，要重視此類問題

12、的常規(guī)解法，如本題主要考查兩個方面：一是中點在對稱軸上；二是利用垂直關系，通過聯(lián)立方程組求解。一般情況下，對稱問題都可以轉化為點的對稱來加以解決。2熱身訓練1若拋物線P=-1上總存在關于直線x+N=。對稱的兩點，求厘的范圍.解法一：（對稱曲線相交法）曲線量=.爐-1關于直線工+刀=Q對稱的曲線方程為T=砂2T.如果拋物線二"/T上總存在關于直線履+尸=0對稱的兩點，則兩曲線"三力尸-1與f二4-1必有不在直線工+，=°上的兩個不同的交點（如圖所示），從而可由：1x+1=0代入三"工-I得a有兩個不同的解,-3>0=>£!>解法

13、二：（對稱點法）4設拋物線y三口/-I上存在異于于直線元+卜二°的交點的點'”必）,且理而，加關于直線-x+j=0的對稱點用hQ也在拋物線V3T上.則r/二4-1廠L2廳-1必有兩組解.-（2）彳3a二儀%L必有兩個不同解.n厘國1-此）二】有解.從而有”鼎-3婿T二1有兩個不等的實數(shù)解.即：厘m1如口一+1二。有兩個不等的實數(shù)解.3,.4sy_4aJ+1"O."0"a.?解法三：（點差法）設拋物線歹加"一1上以*與乂*（覆/）為端點的弦關于直線x+a=°對稱，且以M%，K）為中點是拋物線沙士加*-1（即工一J"*&

14、quot;）內的點.從而有甬+=2砧，M+J3=2為（1）-（2）得:M-廣武婷一4）左AA=*（均+/）=2仃口太觸=1=>2。%=1n元°二，為=M(由陽出3a>從而有4上有不同兩點關于直線X+熱身訓練2試確定掰的取值范圍，使得橢圓4少"工+.對稱.H+二=1,解:設橢圓工行一上以戒為)為端點的弦關于直線f"冗+加對稱,上十匕且以加值/"為中點是橢圓43內的點.從而有二+J 一二八-(2)得45一4二-猛F)-乃=_35l+xQ_3%血一心心斗乃)4%由W而流在直線尸=4工+掰上=為=也凡=-3網(wǎng)=兇-科-利從而有r3-熱身訓練3已知直線

15、1過定點A(4,0)且與拋物線三爾"。)交于P、Q兩點，若以PQ為直徑的圓包過原點O,求*的值.解:可設直線2的方程為方=陽+代入F=2"得短-功*也=0.設取2口均，Wa=-8再均=>堂=16則t-.由題意知，OPLOQ,則。R。=。即工丙+X必=16-助=0.P=2此時，拋物線的方程為.題型5:圓錐曲線中幾何量的范圍問題【例5】已知常數(shù)a>0,向量m=(0,a),n=(1,0),經過定點A(0,-a)以m+入n為方向向量的直線與經過定點B(0,a),以n+2入m為方向向量的直線相交于點P,其中為W*。(1)求點P的軌跡C的方程;0曰=_,卜(2)若2,過e(

16、0,1)的直線1交曲線C于M、N兩點，求即心皿的取值范圍。【解】(1)設P點的坐標為(x,y),則上手=(工/+0,B'Si),又n=(L。)，m=(0，故m+福二口，n+2凡m=0,2死。由題知向量酢與向量m十用n平行，故鼻+3=也。又向量詬與向量n+24m平行，故i=2加工。兩方程聯(lián)立消去參數(shù)兄，得點P(x,y)的軌跡方程是+砌(了一幻=2/，即口二史二二(2)-/-T,故點P的軌跡方程為紛一2卡:1,此時點E(0,1)為雙曲線的焦點。若直線l的斜率不存在，其方程為x=0,l與雙曲線交于22,15?礪二(之1)(一也9=1=L此時-若直線l的斜率存在，設其方程為y=kx+1，代入化

17、簡得2田一1)'+4丘+”°。直線i與雙曲線交于兩點,.&"4幻。宙一”口且二一1叫即f設兩交點為M5GoN&,-2k1/十三二-12二-此時；“一一二”二一一一二一正一一=*+1)硒=親看=引+1)1rj|當-1<k<1時，一1二比一1q°,故2上一12當k>1或k<-1 時，/-1>口,故E/WN=Q +2HK(-oo,-綜上所述,亙取甑的取值范圍是22熱身訓練1如圖，已知某橢圓的焦點是Fi(4,0)、F2(4,0),過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B,且|FiB|+|F2B|=10,橢圓上不同

18、的兩點A(xi,yi),C(X2,y2)滿足條件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列.(1)求該橢圓的方程;求弦AC中點的橫坐標;設弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m,求m的取值范圍.命題意圖：本題考查直線、橢圓、等差數(shù)列等基本知識，一、二問較簡單，第三問巧妙地借助中垂線來求參數(shù)的范圍，設計新穎，綜合性，靈活性強.知識依托:橢圓的定義、等差數(shù)列的定義，處理直線與圓錐曲線的方法.25錯解分析:第三問在表達出“k=yd時，忽略了“k=0”時的情況，理不清題目中變量間的關系.技巧與方法：第一問利用橢圓的第一定義寫方程；第二問利用橢圓的第二定義(即焦半彳公式)求解，第三問利用m表示出弦A

19、C的中點P的縱坐標y0,利用yo的范圍求m的范圍解：(1)由橢圓定義及條件知，2a=|FiB|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,N+y2所以b=5一戶=3.故橢圓方程為乃+=1.2由點B(4,yB)在橢圓上，得|F2B|=|yB|=.254425因為橢圓右準線方程為x=4，離心率為工，根據(jù)橢圓定義，有|F2A|二M(4425xi),|F2C|="4-X2),4254259由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列，得X(4xi)+M(4X2)=2X%，由此得出:xi+X2=8.1十.a設弦AC的中點為P(x0,y0),則xo=4.解法一:由A(xi,yi),C(x2,y2)

20、在橢圓上.勺始十25：=9式25公14+25對=9X5一得9(xi2x22)+25(yi2y22)=0,盧馬+腐江山)(紇四)即9X工=士一均=0(xiwx2)西+強TAyi+yav-yi1,(kw。)-二而=%-r一=際=-7將1-代入上式，得9X4+25y0(止)=0:(kw0)25即k=36yo(當k=0時也成立).由點P(4,y0)在弦AC的垂直平分線上，得y0=4k+m,253所以m=yo4k=yoyyo=-yyo.由點P(4,yo)在線段BB'(B'與B關于x軸對稱)的內部，991616得M<yo<二,所以5<m<5.解法二:因為弦AC的中點

21、為P(4,yo),所以直線AC的方程為£yyo=無(x4)(kw。)£_+將代入橢圓方程*9=1,得(9k2+25)x2-5O(kyo+4)x+25(kyo+4)25X9k2=025解得k=丸y0.（當k=0時也成立）51（島所以X1+X2=一=8,（以下同解法一）.最新考題探究直線與圓錐曲線的位置關系綜合考查了直線與圓錐曲線的有關概念、定義與性質以及運算能力、轉化能力，是高考命題的重點和熱點。在高考試題中年年會出現(xiàn)，題試題的難度比較大，經常在“壓軸題”中出現(xiàn)，集中體現(xiàn)了對知識和能力的考查，其中直線與圓錐曲線相交及圓錐曲線中的相關弦問題是考查的重點。爐211【考題】（07四

22、川文21）（本小題滿分12分）求Fi、F2分別是橢圓d”的左、右焦點.（I）若r是第一象限內該數(shù)軸上的一點，*4,求點p的作標；（II）設過定點M（0,2）的直線l與橢圓交于同的兩點A、B,且/ADB為銳角（其中。為坐標原點），求直線上的斜率左的取值范圍.解析：本題主要考查直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎知識，以及綜合運用數(shù)學知識解決問題及推理計算能力.（I）易知"2,心=也.2?耳點。）.設.則甌.西二（-/-工-瑣S-X,-力=/+/一3=-？+/=1'''4,又d(n)顯然龍二口不滿足題設條件.可設？的方程為y=+2,設&2J),出租M)W3=

23、i44+'=r2+4(依+2)2=4=y+4丈')-4-15以+12=0在芋4,尸=%+2聯(lián)乂31216上，-，-14-由一."，a3版產-3。，得/又440F為銳角Qc近乙竭00或麗0,oaos=金馬+y口>o又一由；十二；一"一一：.凡士+必當二。+二)工1三+2底1+/)+4=12，一洗（SI）+,1十431+4k"12(1十二)_2左飆1+加1+花:走<4(-2,)U(,2)綜可知4,的取值范圍是22.【評析】向量與解析幾何的交匯是近兩年高考數(shù)學題的“流行色”，由于向量兼具“數(shù)”和“形”的雙重特征，因此用向量實現(xiàn)數(shù)形的轉化與溝通

24、較容易，而解析幾何又正是用代數(shù)方法研究幾何問題的數(shù)學分支，相似的理念、共同的目標使得向量與解析幾何的聯(lián)袂一拍即合，相得益彰。名師溫馨提示1 .有關直線與圓錐曲線公共點的個數(shù)問題，應該注意數(shù)形結合；2 .有關弦長問題，應注意運用弦長公式及韋達定理，設而不求；有關焦點弦長問題，要重視圓錐曲線定義的運用，以簡化運算；3 .有關弦的中點問題，應注意靈活運用“差分法”，設而不求，簡化運算。4 .有關垂直關系問題，要注意運用斜率關系及韋達定理，設而不求，整體處理。5 .有關圓錐曲線關于直線l的對稱問題中，若A、A'是對稱點，則應抓住線段AA'的中點在l上及5能"這兩個關鍵條件解決

25、問題。6 .有關直線與圓錐曲線位置關系的存在性問題，一般采用“假設反證法”或“假設驗證法”。課后實戰(zhàn)訓練1.橢圓選/+砂,'I與直線P=1一工交于"兩點，過原點與線段電四中點所/m在直線的斜率為2,則重的值是（）巫29拽A.2B.3C.2D.27（目的：理解中點弦的斜率與圓錐曲線方程中系數(shù)的關系）【答案】（A）【解析】設馬則叫+收一起+欣=1兩式相減得,M-1T瓦+/_M一仙網(wǎng)+馬產部書5+乃一，所以二二三2.設拋物線產三以與過焦點的直線交于乂下兩點，則蘇加的值是（）33A.4B.4c.3D.-3（目的：借助向量、利用韋達定理理解拋物線焦點弦的特性）【答案】（B）【解析】=/

26、 +1>2 =%一爭=4A3 .若直線X=,十咽與橢圓4相交于且E兩點，當肉變化時，月”的最大值是？（目的：掌握弦長公式的應用，理解直線與橢圓相交弦的弦長隨透的變化情況）【答案】5【解析】明4 .在拋物線4上求一點，使該點到直線>=41-5的距離最短，該點的坐標是匕（目的：學會借用直線與圓錐曲線位置關系來討論曲線上的點到直線距離的最值問題）（11）_【答案】'之'【解析】設直線？=如是與直線=4%-5平行且與拋物線a（11）工相切的直線，求得激三一1,切點為2,即為所求的點。_±十匕=15 .已知對1fc6五,直線F-HT二°與橢圓5m包有公共點，則實數(shù)港的取值范圍是（）AQI）b（。與c1“口1,5）（目的：理解方程中含有一個參數(shù)的直線的特征，能夠用直線上的特殊點判斷直線與圓錐曲線的關系）【答案】I。1【解析】直線一%T=0恒過點（°），當點（口）在橢圓上或橢圓內時此直線包與橢圓有公共點。6 .已知雙曲線中心在原點且一個焦點為F（行，0）直線y=x1與其相交于2M、N兩點，MN中點的橫坐標為3,則此雙曲線的方程是（）A.34B.43C.52D.25（目的：理解雙曲線中點弦的斜率、弦中點的坐標與方程中系數(shù)的關系）_I+方工=7【答案I（D）【解析I設雙曲線方程為/一,一設賦3yj分