圖形折疊問(wèn)題的探究

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 圖形折疊問(wèn)題的探究已知矩形紙片ABCD，AB2，AD1將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合. （1）如果折痕FG分別與AD，AB交于點(diǎn)F，G（如圖（1），）AF23.求DE的長(zhǎng). （2）如果折痕FG分別與CD，AB交于點(diǎn)F，G（如圖（2），），AED的外接圓與直線BC相切，求折痕FG的長(zhǎng). （2012南寧）如圖，已知矩形紙片ABCD，AD=2，AB=4將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合，折痕FG分別與AB，CD交于點(diǎn)G，F(xiàn)，AE與FG交于點(diǎn)O（1）如圖1，求證：A，G，E，F(xiàn)四點(diǎn)圍成的四邊形是菱形；（2）如圖2，當(dāng)AED的外接圓與BC相切于點(diǎn)N時(shí)，求證：點(diǎn)

2、N是線段BC的中點(diǎn)；（3）如圖2，在（2）的條件下，求折痕FG的長(zhǎng)本題通過(guò)矩形紙片折疊，利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，在豐富的圖形關(guān)系中，考查學(xué)生獲取信息和利用所得信息認(rèn)識(shí)新事物的能力，本題對(duì)圖形折疊前后的不變量的把握、直線與圓位置關(guān)系的準(zhǔn)確理解、方程思想的運(yùn)用意識(shí)和策略等具有可再抽象性變式：已知點(diǎn)P是矩形ABCD邊AB上的任意一點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合） （1）如圖，現(xiàn)將PBC沿PC翻折得到PEC；再在AD上取一點(diǎn)F，將PAF沿PF翻折得到PGF，并使得射線PE、PG重合，試問(wèn)FG與CE的位置關(guān)系如何，請(qǐng)說(shuō)明理由； （2）在（1）中，如圖，連接FC，取FC的中點(diǎn)H，連接GH、EH，請(qǐng)你探索線段GH和線段

3、EH的大小關(guān)系，并說(shuō)明你的理由； （3）如圖，分別在AD、BC上取點(diǎn)F、C，使得APF=BPC，與（1）中的操作相類似，即將PAF沿PF翻折得到PFG，并將CPB沿CP翻折得到CPE，連接CF，取CF的中點(diǎn)H，連接GH、EH，試問(wèn)（2）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由 例4.（1）觀察與發(fā)現(xiàn)： 小明將三角形紙片ABC（AB AC）沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展開紙片（如圖）；再次折疊該三角形紙片，使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，折痕為EF，展平紙片后得到AEF（如圖）小明認(rèn)為AEF是等腰三角形，你同意嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由 （2）實(shí)踐與運(yùn)用：將矩形紙片ABCD沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC

4、邊上的點(diǎn)F處，折痕為BE（如圖）；再沿過(guò)點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)D落在BE上的點(diǎn)D處，折痕為EG（如圖）；再展平紙片（如圖）求圖中的大小 如圖,矩形紙片ABCD中,AD=9,AB=3,將其折疊,使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合,折痕為EF,則EF的長(zhǎng)為 如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿著直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD的長(zhǎng)為 cm（2008荊門）如圖，矩形紙片ABCD中，AD=9，AB=3，將其折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，折痕為EF，那么折痕EF的長(zhǎng)為 本題利用了：1、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形

5、狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等；2、矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)求解例6. 如圖，正方形硬紙片ABCD的邊長(zhǎng)是4，點(diǎn)E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，若沿左圖中的虛線剪開，拼成如下右圖的一座“小別墅”，則圖中陰影部分的面積是（ ） A2 B4 C8 D10考點(diǎn)：；分析：先根據(jù)矩形的特點(diǎn)求出BC的長(zhǎng)，再由翻折變換的性質(zhì)得出CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的長(zhǎng)，再在ABC中利用勾股定理即可求出AB的長(zhǎng)點(diǎn)評(píng)：本題考查的是翻折變換及勾股定理，熟知折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解答此題的

6、關(guān)鍵如圖，矩形紙片ABCD中，AB=18cm，把矩形紙片沿直線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交DC于點(diǎn)F，若AF=13，則AD的長(zhǎng)為（）考點(diǎn)：；分析：根據(jù)折疊前后角相等可證AF=FC，在直角三角形ADF中，運(yùn)用勾股定理求解解答：解：根據(jù)折疊前后角相等可知ADFCEF，設(shè)DA=x，又AF=13，DF=18-13=5，在直角三角形ADF中，x2+52=132，解之得，x=12cm故選D點(diǎn)評(píng)：本題考查圖形的翻折變換，解題過(guò)程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等求線段與面積間的變化關(guān)系例5 已知一三角形紙片ABC，面積為25，

7、BC的長(zhǎng)為10，?B和?C都為銳角，M為AB上的一動(dòng)點(diǎn)(M與A、B不重合)，過(guò)點(diǎn)M作MNBC，交AC于點(diǎn)N，設(shè)MN=x. (1)用x表示AMN的面積SAMN。 (2)AMN沿MN折疊，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于AMN對(duì)稱的點(diǎn)為A1，A1MN與四邊形BCMN重疊部分的面積為y.試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量X的取值范圍；當(dāng)x為何值時(shí)，重疊部分的面積y最大，最大為多少？（2010荊門）將三角形紙片ABC（ABAC）沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展平紙片，如圖（1）；再次折疊該三角形紙片，使得點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕為EF，再次展平后連接DE、DF，如圖2，證明：四邊形AEDF是菱形 （

8、2012衢州）課本中，把長(zhǎng)與寬之比為 的矩形紙片稱為標(biāo)準(zhǔn)紙請(qǐng)思考解決下列問(wèn)題：（1）將一張標(biāo)準(zhǔn)紙ABCD（ABBC）對(duì)折，如圖1所示，所得的矩形紙片ABEF是標(biāo)準(zhǔn)紙請(qǐng)給予證明（2）在一次綜合實(shí)踐課上，小明嘗試著將矩形紙片ABCD（ABBC）進(jìn)行如下操作：第一步：沿過(guò)A點(diǎn)的直線折疊，使B點(diǎn)落在AD邊上點(diǎn)F處，折痕為AE（如圖2甲）；第二步：沿過(guò)D點(diǎn)的直線折疊，使C點(diǎn)落在AD邊上點(diǎn)N處，折痕為DG（如圖2乙），此時(shí)E點(diǎn)恰好落在AE邊上的點(diǎn)M處；第三步：沿直線DM折疊（如圖2丙），此時(shí)點(diǎn)G恰好與N點(diǎn)重合請(qǐng)你探究：矩形紙片ABCD是否是一張標(biāo)準(zhǔn)紙？請(qǐng)說(shuō)明理由（3）不難發(fā)現(xiàn)：將一張標(biāo)準(zhǔn)紙按如圖3一次又一

9、次對(duì)開后，所得的矩形紙片都是標(biāo)準(zhǔn)紙現(xiàn)有一張標(biāo)準(zhǔn)紙ABCD，AB=1，BC= 2，問(wèn)第5次對(duì)開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長(zhǎng)是多少？探索直接寫出第2012次對(duì)開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長(zhǎng)四折疊后得圖形 例9.將一張矩形紙對(duì)折再對(duì)折（如圖），然后沿著圖中的虛線剪下，得到、兩部分，將展開后得到的平面圖形是（ ） A矩形 B三角形 C梯形 D菱形 例10. 在我們學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)學(xué)教科書中，有一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，其具體操作過(guò)程是： 第一步：對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開（如圖1）； 第二步：再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕BM，同時(shí)得到線段BN（如圖2） 請(qǐng)解答以下問(wèn)題：

10、 （1）如圖2，若延長(zhǎng)MN交BC于P，BMP是什么三角形？請(qǐng)證明你的結(jié)論； （2）在圖2中，若AB=a，BC=b，a、b滿足什么關(guān)系，才能在矩形紙片ABCD上剪出符合（1）中結(jié)論的三角形紙片BMP？ （3）設(shè)矩形ABCD的邊AB=2，BC=4，并建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系設(shè)直線BM為y=kx，當(dāng)MBC=60時(shí)，求k的值此時(shí)，將ABM沿BM折疊，點(diǎn)A是否落在EF上（E、F分別為AB、CD中點(diǎn)），為什么？ 例11. 如圖1所示，把一個(gè)正方形三次對(duì)折后沿虛線剪下，則所得的圖形是（ ） 例12. 如圖，已知BC為等腰三角形紙片ABC的底邊，ADBC，AD=BC. 將此三角形紙片沿AD剪開，得到兩個(gè)三角

11、形，若把這兩個(gè)三角形拼成一個(gè)平面四邊形，則能拼出互不全等的四邊形的個(gè)數(shù)是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D.五折疊后得結(jié)論六折疊和剪切的應(yīng)用例15.在一張長(zhǎng)12cm、寬5cm的矩形紙片內(nèi)，要折出一個(gè)菱形.李穎同學(xué)按照取兩組對(duì)邊中點(diǎn)的方法折出菱形EFGH（見方案一），張豐同學(xué)沿矩形的對(duì)角線AC折出CAE=DAC，ACF=ACB的方法得到菱形AECF（見方案二），請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算，比較李穎同學(xué)和張豐同學(xué)的折法中，哪種菱形面積較大？ 七以折疊為背景的存在性問(wèn)題例16. 已知矩形紙片OABC的長(zhǎng)為4，寬為3，以長(zhǎng)OA所在的直線為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)建 立平面直角坐標(biāo)系；點(diǎn)P是OA邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)O、A

12、不重合），現(xiàn)將POC沿PC翻折 得到PEC，再在AB邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)D，將PAD沿PD翻折，得到PFD，使得 直線PE、PF重合 （1）若點(diǎn)E落在BC邊上，如圖，求點(diǎn)P、C、D的坐標(biāo)，并求過(guò)此三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)關(guān)系式； （2）若點(diǎn)E落在矩形紙片OABC的內(nèi)部，如圖，設(shè)OPx，ADy，當(dāng)x為何值時(shí)，y取得最大值？ （3）在（1）的情況下，過(guò)點(diǎn)P、C、D三點(diǎn)的拋物線上是否存在點(diǎn)Q使PDQ是以PD為直角邊的直角三角形？若不存在，說(shuō)明理由；若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)八以折疊為背景的探索題例17.已知：矩形紙片ABCD中，AB26cm，BC18.5cm，點(diǎn)E在AD上，且AE6cm，點(diǎn)P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，按如

13、下操作： 步驟一，折疊紙片，使點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，展開紙片得折痕MN（如圖（1）所示）； 步驟二，過(guò)點(diǎn)P作PTAB交MN所在的直線于點(diǎn)Q，連結(jié)QE（如圖（2）所示）； （1）無(wú)論點(diǎn)P在AB邊上任何位置，都有PQ QE（填“”、“=”、“”號(hào) ） （2）如圖（3）所示，將矩形紙片ABCD放在直角坐標(biāo)系中，按上述步驟一、二進(jìn)行操作： 當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)時(shí)，PT與MN交于點(diǎn)Q1， Q1點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ， ）； 當(dāng)PA6cm時(shí)，PT與MN交于點(diǎn)Q2，Q2點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ， ）； 當(dāng)PA12cm時(shí)，在圖（3）中畫出MN，PT（不要求寫畫法）并求出MN與PT的交點(diǎn)Q3的坐標(biāo)； （3）點(diǎn)P在在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PT與MN形成一系列的交點(diǎn)Q1，Q2，Q3觀察，猜想：眾多的交點(diǎn)形成的圖象是什么？并直接寫出該圖象的函數(shù)表達(dá)式解：、過(guò)點(diǎn)N作NRAB，垂足為R，連接BB交MN于點(diǎn)Q則由折疊知，MBQ與MBQ關(guān)于直線MN對(duì)稱，MQBB在RNM和ABB中，A=MRN=90，ABB+BMQ=RNM+BM