矩形的性質(zhì)和判定

1、初中數(shù)學(xué)!矩形的性質(zhì)和判定1編稿老師鞏建兵一校黃楠i一校楊雪審核木樹慶II|11|1：!：|j1：|【考點(diǎn)精講】【典例精析】例題1如圖，在ABC中，AB=6,AC=8,BC=10,P為邊BC上一動點(diǎn)(且點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合)，PE±AB于點(diǎn)E,PF，AC于點(diǎn)F,M為EF中點(diǎn)。設(shè)AM的長為x,試求x的最小值。思路導(dǎo)航：根據(jù)勾股定理的逆定理求出ABC是直角三角形，得出四邊形一一，11AEPF是矩形，所以AM=EF=2AP,在RtAABC中利用AP求出x的最小值。答案：解：連接AP,AB=6,AC=8,BC=10,.AB2+AC2=36+64=100,BC2=100,.AB2+AC2=BC

2、2,./BAC=90°,vPE±AB,PF±AC,./AEP=/AFP=/BAC=90°,.四邊形AEPF是矩形，.AP=EF,/BAC、，11一一.一.=90,M為EF中點(diǎn)，.AM=EF=AP,當(dāng)APBC時(shí)，AP值最小，止匕時(shí)S11BAC=2>6X8=2X10"P，AP=4.8,即x的最小值為24點(diǎn)評：本題考查了垂線段最短，三角形面積，勾股定理的逆定理，矩形的判定等的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出AP的最小值和得出AM與AP的數(shù)量關(guān)系。例題2請看下面小明同學(xué)完成的一道證明題的思路：如圖1,已知ABC中，AB=AC,CDLAB,垂足是D,P是BC邊上任

3、意一點(diǎn)，PEXAB,PFXAC,垂足分別是E、F。求證：PE+PF=CD。證明思路：如圖2,過點(diǎn)P作PG/AB交CD于點(diǎn)G,則四邊形PGDE為矩形，PE=GD；又可證PGCzXCFP,貝UPF=CG；所以PE+PF=DG+GC=DC。如圖3,若P是BC延長線上任意一點(diǎn)，其他條件不變，則PE、PF與CD有何關(guān)系？請你寫出結(jié)論并完成證明過程。思路導(dǎo)航：采用與題目相同的思路，過點(diǎn)C作CGLPE,利用矩形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)確定PE、PF、CD之間的關(guān)系。答案：結(jié)論：PE-PF=CD。證明：過點(diǎn)C作CGLPE于點(diǎn)G,vPEXAB,CDXAB,./CDE=/DEG=/EGC=90°。.四邊

4、形CGED為矩形。.CD=GE,GC/AB。/GCP=/Bo.AB=AC,./B=/ACB。./FCP=/ACB=/B=/GCP。在PFC和APGC中，/F=/CGP=90°,/FCP=/GCP,CP=CP,/.APFCAPGC(AAS)。.PF=PG。.PEPF=PEPG=GE=CD。點(diǎn)評：本題通過構(gòu)造矩形和三角形全等，利用矩形和全等三角形的判定和性質(zhì)求解。解答這類閱讀理解問題，讀懂題目提供的解題思路是解題關(guān)鍵。例題3如圖，已知ABC中，AB=AC,/BAD=/CAD,F為BA延長線上的一點(diǎn)，AE平分/FAC,DE/AB交AE于點(diǎn)E。(1)求證：AE/BC；(2)求證：四邊形AEC

5、D是矩形；(3)BC=6cm,Saecd=12cm2,求AB的長。思路導(dǎo)航：（1）先根據(jù)已知條件求出ADXBC,再根據(jù)AE平分/FAC,得出/EAD=900,從而證出AE/BC;（2）先判定四邊形AECD是平行四邊形，再根據(jù)/ADC=90°,證出四邊形AECD是矩形；（3）由BC=6cm,得出CD=3cm,再根據(jù)Saecd=12cm2,得出AD=4,利用勾股定理求出AC的長即可。答案：（1）證明：AB=AC,/BAD=/CAD,.AD,BC,./ADB=90°,.AE平分/FAC,/FAE+/EAC+ZCAD+/BAD=180°,/./EAC+/CAD=/EAD=

6、90°,.AE/BC；（2）證明：vDE/AB,AE/BC,一.四邊形ABDE是平行四邊形，AE=BD,BD=CD,.AEmCD,.四邊形AECD是平行四邊形，=/ADC=90°,四邊形AECD是矩形；（3）解：.BC=6cm,.CD=3cm,.SAECD=12cm2,.AD=4,.AB=AC=、32+42=5,AB的長是5cm。點(diǎn)評：此題考查了矩形的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，用到的知識點(diǎn)是平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理等，這類問題一股要綜合利用各種有關(guān)性質(zhì)，是中考命題的熱點(diǎn)?！究偨Y(jié)提升】1 .關(guān)于矩形的判定：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。

7、對角線相等的平行四邊形是矩形。有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。對角線相等且互相平分的四邊形是矩形。說明：長方形和正方形都是矩形。2 .關(guān)于矩形的性質(zhì)：矩形的4個(gè)內(nèi)角都是直角；矩形的對角線相等且互相平分；矩形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形（對稱軸是任何一組對邊中點(diǎn)的連線），它至少有兩條對稱軸。矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)。3 .矩形的對角線把自身分成若干個(gè)直角三角形和等腰三角形，因此很多矩形問題都可以轉(zhuǎn)化成直角三角形或等腰三角形的問題加以解決。直角三角形的重要性質(zhì)主要有：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；直角三角形兩銳角互余；勾股定理；直角三角形中300角所對的直角邊等于斜邊的一半。（答題時(shí)

8、間：20分鐘）一、選擇題1 .下列關(guān)于矩形的說法，正確的是（）A.對角線相等的四邊形是矩形B.對角線互相平分的四邊形是矩形C.矩形的對角線互相垂直且平分D.矩形的對角線相等且互相平分*2.如圖，在ABC中，AB=8,BC=6,AC=10,D為邊AC上一動點(diǎn)，DELAB于點(diǎn)E,DFBC于點(diǎn)F,則EF的最小值為（）A.2.4B.3C.4.8D.5*3.ABC中，AB=AC=5,BC=6,點(diǎn)D是BC上的一點(diǎn)，那么點(diǎn)D至UAB與AC的距離的和為（）24A.5B.6C.4D.5二、填空題4.如圖，在AABC中，AB=AC,AD±BC,垂足為D,E是AC的中點(diǎn)。若DE=5,則AB的長為。* 5.

9、如圖所示，ABC中，AC的垂直平分線分別交AC、AB于點(diǎn)D、F,BELDF交DF的延長線于點(diǎn)E,已知/A=30°,BC=2,AF=BF,則四邊形BCDE的面積是o三、解答題* 6.已知：如圖所示，D是4ABC中AB邊上的中點(diǎn)，ACE和BCF分別是以AC、BC為斜邊的等腰直角三角形，連接DE、DF。求證：DE=DF。* *7.如圖，。為4ABC內(nèi)一點(diǎn)，把AB、OB、OC、AC的中點(diǎn)D、E、F、G依次連接形成四邊形DEFGo(1)四邊形DEFG是什么四邊形，請說明理由；(2)若四邊形DEFG是矩形，點(diǎn)O所在位置應(yīng)滿足什么條件？說明理由。1. D解析：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對

10、角線相等的平行四邊形是矩形。2. C解析：如圖，連接BD。二在4ABC中，AB=8,BC=6,AC=10,AB2+BC2=AC2,即/ABC=90°。又DEAB于點(diǎn)E,DFBC于點(diǎn)F,四邊形EDFB是矩形，.EFmBD。=BD的最小值為直角三角形ABC斜邊上的高，112ACBD=2ABAC,.BD=4.8,.EF的最小值為4.8,故選C。3. D解析：作ABC的高CQ,AH,過C作CZXDE,交ED的延長線于點(diǎn)Z,AB=AC=5,BC=6,AH±BC,.BH=CH=3,根據(jù)勾股定理得：AH11一.一=4,根據(jù)二角形的面積公式得：2BC?AH=AB?CQ,即：6M=5CQ,解

11、得：24_,，一一0CQ=W，vCQXAB,DELAB,CZXDE,./CQE=/QEZ=/Z=90,5四邊形QEZC是矩形，.二CQ=ZE。再證明ZCDAFCD,得DF=DZ,DE+DF=CQ=24。54. 10解析：二在AABC中，AD±BC,垂足為D,ADC是直角三角形；1.E是AC的中點(diǎn)。.DE=2AC(直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半)；又DE=5,AB=AC,.AB=10。5. 2s解析：AF=BF,即F為AB的中點(diǎn)，又DE垂直平分AC,即D為1一AC的中點(diǎn)，.二DF為二角形ABC的中位線，.DE/BC,DF=)BC,又/ADF=90°,C=/ADF=90

12、°,又BELDE,/E=90°,四邊形BCDE為矩形，.BC=2,.DF=1bC=1,在RtADF中，/A=30°,DF=1,/.AD=3,.CD=AD=V3,則矩形BCDE的面積S=CD?BC=2/3。6. 證明：分別取AC、BC中點(diǎn)M、N,連接MD、ND,再連接EM、FN,v11D為AB中點(diǎn)，/AEC=90,/BFC=90,.EM=DN=2AC,FN=MD=BC,DN/CM且DN=CM,.四邊形MDNC為平行四邊形，./CMD=/CND。:/EMC=/FNC=90°,./EMC+/CMD=/FNC+/CND,即/EMD=/FND,EMDADNF(SAS)。.DE=DF。7. (1)四邊形DEFG是平行四邊形。理由如下：;D、G分別是AB、AC的1中點(diǎn)，DG是4ABC的中位線；.DG/BC,且DG=B