節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣及潮流計(jì)算

1、目錄摘要21任務(wù)及題目要求22原理介紹32.1節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣32.2牛頓-拉夫遜法4牛頓-拉夫遜法基本原理4牛頓-拉夫遜法潮流求解過(guò)程介紹63分析計(jì)算114結(jié)果分析155總結(jié)16參考資料17節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣及潮流計(jì)算摘要電力網(wǎng)的運(yùn)行狀態(tài)可用節(jié)點(diǎn)方程或回路方程來(lái)描述。節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣是以系統(tǒng)元件的等值導(dǎo)納為基礎(chǔ)所建立的、描述電力網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點(diǎn)電壓和注入電流之間關(guān)系的線性方程。潮流計(jì)算是電力系統(tǒng)分析中的一種最基本的計(jì)算，它的任務(wù)是對(duì)給定的運(yùn)行條件確定系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)，如各母線上的電壓（幅值及相角）、網(wǎng)絡(luò)中的功率分布及功率損耗等。本文就節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣和潮流進(jìn)行分析和計(jì)算。1任務(wù)及題目要求題目初始條件：如圖所示電網(wǎng)。o

2、1Ð001Ð0.51.02+j1j1.123y13y23y12 其元件導(dǎo)納參數(shù)為：y12=0.5-j3, y23=0.8-j4, y13任務(wù)及要求:1）根據(jù)給定的運(yùn)行條件，確定圖2所示電力系統(tǒng)潮流計(jì)算時(shí)各節(jié)點(diǎn)的類(lèi)型和待求量；2）求節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣Y；3）給出潮流方程或功率方程的表達(dá)式；4）當(dāng)用牛頓-拉夫遜法計(jì)算潮流時(shí)，給出修正方程和迭代收斂條件。2原理介紹2.1節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣既可根據(jù)自導(dǎo)納和互導(dǎo)納的定義直接求取，也可根據(jù)電路知識(shí)中找出改網(wǎng)絡(luò)的關(guān)聯(lián)矩陣，在節(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式進(jìn)行求解。本章節(jié)我們主要討論的是直接求解導(dǎo)納矩陣。根據(jù)節(jié)點(diǎn)電壓方程章節(jié)我們知道，在利用電子數(shù)字

3、計(jì)算機(jī)計(jì)算電力系統(tǒng)運(yùn)行情況時(shí)，多采用IYV形式的節(jié)點(diǎn)方程式。其中階數(shù)等于電力網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)。從而可以得到n個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣方程組： （2-1） 由此可以得到n個(gè)節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣：  （2-2）它反映了網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)及接線情況，因此導(dǎo)納矩陣可以看成是對(duì)電力網(wǎng)絡(luò)電氣特性的一種數(shù)學(xué)抽象。由導(dǎo)納短陣所聯(lián)系的節(jié)點(diǎn)方程式是電力網(wǎng)絡(luò)廣泛應(yīng)用的一種數(shù)學(xué)模型。 通過(guò)上面的討論，可以看出節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的有以下特點(diǎn)： （1）導(dǎo)納矩陣的元素很容易根據(jù)網(wǎng)絡(luò)接線圖和支路參數(shù)直觀地求得，形成節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的程序比較簡(jiǎn)單。 （2）導(dǎo)納矩陣為對(duì)稱(chēng)矩陣。由網(wǎng)絡(luò)的互易特性易知。 （3）導(dǎo)納

4、矩陣是稀疏矩陣。它的對(duì)角線元素一般不為零，但在非對(duì)角線元素中則存在不少零元素。在電力系統(tǒng)的接線圖中，一般每個(gè)節(jié)點(diǎn)與平均不超過(guò)34個(gè)其他節(jié)點(diǎn)有直接的支路連接。因此，在導(dǎo)納矩陣的非對(duì)角線元素中每行僅有34個(gè)非零元素，其余的都是零元素，而且網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模越大，這種現(xiàn)象越顯著。節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的形式可歸納如下： （1）導(dǎo)納矩陣的階數(shù)等于電力網(wǎng)絡(luò) （2）導(dǎo)納矩陣各行非對(duì)角元素中非零元素的個(gè)數(shù)等于對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)所連得不接地支路數(shù)。 （3）導(dǎo)納矩陣各對(duì)角元素，即節(jié)點(diǎn)的自導(dǎo)納等于相應(yīng)節(jié)點(diǎn)之間的支路導(dǎo)納之和。 （4）導(dǎo)納矩陣非對(duì)角元素，即節(jié)點(diǎn)之間的互導(dǎo)納等于相應(yīng)節(jié)點(diǎn)之間的支路導(dǎo)納的負(fù)值

5、。 2.2牛頓-拉夫遜法牛頓-拉夫遜法基本原理牛頓-拉夫遜法(簡(jiǎn)稱(chēng)牛頓法)在數(shù)學(xué)上是求解非線性代數(shù)方程式的有效方法。其要點(diǎn)是把非線性方程式的求解過(guò)程變成反復(fù)地對(duì)相應(yīng)的線性方程式進(jìn)行求解的過(guò)程。即通常所稱(chēng)的逐次線性化過(guò)程。對(duì)于非線性代數(shù)方程組： 即 (2-3)在待求量x的某一個(gè)初始估計(jì)值附近，將上式展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)并略去二階及以上的高階項(xiàng)，得到如下的經(jīng)線性化的方程組： (2-4)上式稱(chēng)之為牛頓法的修正方程式。由此可以求得第一次迭代的修正量 (2-5)將和相加，得到變量的第一次改進(jìn)值。接著就從出發(fā)，重復(fù)上述計(jì)算過(guò)程。因此從一定的初值出發(fā)，應(yīng)用牛頓法求解的迭代格式為： (2-6) (2-7)

6、上兩式中：是函數(shù)對(duì)于變量x的一階偏導(dǎo)數(shù)矩陣，即雅可比矩陣J；k為迭代次數(shù)。由上式可見(jiàn)，牛頓法的核心便是反復(fù)形式并求解修正方程式。牛頓法當(dāng)初始估計(jì)值和方程的精確解足夠接近時(shí)，收斂速度非?？?，具有平方收斂特性。牛頓潮流算法突出的優(yōu)點(diǎn)是收斂速度快，若選擇到一個(gè)較好的初值，算法將具有平方收斂特性，一般迭代45次便可以收斂到一個(gè)非常精確的解。而且其迭代次數(shù)與所計(jì)算網(wǎng)絡(luò)的規(guī)?；緹o(wú)關(guān)。牛頓法也具有良好的收斂可靠性，對(duì)于對(duì)以節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣為基礎(chǔ)的高斯法呈病態(tài)的系統(tǒng)，牛頓法也能可靠收斂。牛頓法所需的內(nèi)存量及每次迭代所需時(shí)間均較高斯法多。牛頓法的可靠收斂取決于有一個(gè)良好的啟動(dòng)初值。如果初值選擇不當(dāng)，算法有可能根本

7、不收斂或收斂到一個(gè)無(wú)法運(yùn)行的節(jié)點(diǎn)上。對(duì)于正常運(yùn)行的系統(tǒng)，各節(jié)點(diǎn)電壓一般均在額定值附近，偏移不會(huì)太大，并且各節(jié)點(diǎn)間的相位角差也不大，所以對(duì)各節(jié)點(diǎn)可以采用統(tǒng)一的電壓初值(也稱(chēng)為平直電壓)，如假定： 或 (2-8) 這樣一般能得到滿意的結(jié)果。但若系統(tǒng)因無(wú)功緊張或其它原因?qū)е码妷嘿|(zhì)量很差或有重載線路而節(jié)點(diǎn)間角差很大時(shí)，仍用上述初始電壓就有可能出現(xiàn)問(wèn)題。解決這個(gè)問(wèn)題的辦法可以用高斯法迭代12次，以此迭代結(jié)果作為牛頓法的初值。也可以先用直流法潮流求解一次以求得一個(gè)較好的角度初值，然后轉(zhuǎn)入牛頓法迭代。2.2.2牛頓-拉夫遜法潮流求解過(guò)程介紹以下討論的是用直角坐標(biāo)形式的牛頓拉夫遜法潮流的求解過(guò)程。當(dāng)采用直角坐

8、標(biāo)時(shí)，潮流問(wèn)題的待求量為各節(jié)點(diǎn)電壓的實(shí)部和虛部?jī)蓚€(gè)分量由于平衡節(jié)點(diǎn)的電壓向量是給定的，因此待求兩共2(n-1)需要2(n-1)個(gè)方程式。事實(shí)上，除了平衡節(jié)點(diǎn)的功率方程式在迭代過(guò)程中沒(méi)有約束作用以外，其余每個(gè)節(jié)點(diǎn)都可以列出兩個(gè)方程式。對(duì)PQ節(jié)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，和是給定的，因而可以寫(xiě)出 （2-9）對(duì)PV節(jié)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，給定量是，因此可以列出 （2-10）求解過(guò)程大致可以分為以下步驟：（1）形成節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣；（2）將各節(jié)點(diǎn)電壓設(shè)初值U（3）將節(jié)點(diǎn)初值代入相關(guān)求式，求出修正方程式的常數(shù)項(xiàng)向量；（4）將節(jié)點(diǎn)電壓初值代入求式，求出雅可比矩陣元素；（5）求解修正方程，求修正向量；（6）求取節(jié)點(diǎn)電壓的新值；（7）檢查是否收斂

9、，如不收斂，則以各節(jié)點(diǎn)電壓的新值作為初值自第3步重新開(kāi)始進(jìn)行狹義次迭代，否則轉(zhuǎn)入下一步；（8）計(jì)算支路功率分布，PV節(jié)點(diǎn)無(wú)功功率和平衡節(jié)點(diǎn)注入功率。以直角坐標(biāo)系形式表示：迭代推算式采用直角坐標(biāo)時(shí),節(jié)點(diǎn)電壓相量及復(fù)數(shù)導(dǎo)納可表示為: (2-11)將以上二關(guān)系式代入上式中,展開(kāi)并分開(kāi)實(shí)部和虛部;假定系統(tǒng)中的第1,2,m號(hào)為PQ節(jié)點(diǎn),第m+1,m+2,n-1為PV節(jié)點(diǎn),根據(jù)節(jié)點(diǎn)性質(zhì)的不同,得到如下迭代推算式:1 于PQ節(jié)點(diǎn) (2-12)2 對(duì)于PV節(jié)點(diǎn) (2-13) 對(duì)于平衡節(jié)點(diǎn)平衡節(jié)點(diǎn)只設(shè)一個(gè),電壓為已知,不參見(jiàn)迭代,其電壓為: (2-14)修正方程兩組迭代式中包括2(n-1)個(gè)方程.選定電壓初值及

10、變量修正量符號(hào)之后代入,并將其按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi),略去二次方程及以后各項(xiàng),得到修正方程如下: (2-15)其中，； (2-16)雅可比矩陣各元素的算式式(2-12)中, 雅可比矩陣中的各元素可通過(guò)對(duì)式(2-8)和(2-9)進(jìn)行偏導(dǎo)而求得.當(dāng)時(shí), 雅可比矩陣中非對(duì)角元素為 (2-17)當(dāng)時(shí),雅可比矩陣中對(duì)角元素為: (2-18)由式(2-13)和(2-18)看出,雅可比矩陣的特點(diǎn)：矩陣中各元素是節(jié)點(diǎn)電壓的函數(shù),在迭代過(guò)程中,這些元素隨著節(jié)點(diǎn)電壓的變化而變化；導(dǎo)納矩陣中的某些非對(duì)角元素為零時(shí),雅可比矩陣中對(duì)應(yīng)的元素也是為零.若,則必有；雅可比矩陣不是對(duì)稱(chēng)矩陣;雅可比矩陣各元素的表示如下： （2-19）

11、 （2-20） （2-21） （2-22） （2-23）3分析計(jì)算1. 根據(jù)給定的運(yùn)行條件，確定圖中所示電力系統(tǒng)潮流計(jì)算時(shí)各節(jié)點(diǎn)的類(lèi)型和待求量根據(jù)圖中可以看出各節(jié)點(diǎn)的類(lèi)型和待求量分別為：節(jié)點(diǎn)1：節(jié)點(diǎn) 待求量：節(jié)點(diǎn)2：節(jié)點(diǎn) 待求量：節(jié)點(diǎn)3：平衡節(jié)點(diǎn) 待求量： 2.求節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣Y所以節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣為：3. 潮流方程或功率方程的表達(dá)式因?yàn)閷?duì)n個(gè)節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)，電力系統(tǒng)的潮流方程一般形式是： （i=1,2，n）其中Pi = PGi - PLdi, Qi = QGi - QLdi ,即PQ分別為節(jié)點(diǎn)的有功功率無(wú)功功率。所以代入得潮流方程：=(1.25-j5.5)·+(0.5-j3)·+(

12、0.75-j2.5)°=(0.5-j3)·+(1.3-j7)·+(0.8-j4)·°=(0.75-j2.5)·+(0.8-j4)·+(1.55-j6.5)·°4用牛頓-拉夫遜法計(jì)算潮流時(shí)，給出修正方程和迭代收斂條件（1）修正方程計(jì)算1、2節(jié)點(diǎn)的不平衡量節(jié)點(diǎn)3是平衡節(jié)點(diǎn)，其電壓是給定的，故不參加迭代。根據(jù)給定的容許誤差，按收斂判據(jù)進(jìn)行校驗(yàn)，以上節(jié)點(diǎn)1、2的不平衡量都未滿足收斂條件，于是繼續(xù)以下計(jì)算。修正方程式為 (n=3) 以上雅可比矩陣J中的各元素值是通過(guò)求偏導(dǎo)數(shù)獲得的，對(duì)PQ節(jié)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，是給定的，因而可以

13、寫(xiě)出 對(duì)PV節(jié)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，給定量是，因此可以列出當(dāng)時(shí), 雅可比矩陣中非對(duì)角元素為 當(dāng)時(shí),雅可比矩陣中對(duì)角元素為:代入數(shù)值后的修正方程為求解修正方程得（2）收斂條件一輪迭代結(jié)束，根據(jù)收斂條件收斂判據(jù)，若等式成立，結(jié)果收斂，迭代結(jié)束，計(jì)算平衡節(jié)點(diǎn)的功率和線路潮流計(jì)算，否則繼續(xù)計(jì)算雅可比矩陣，解修正方程，直到滿足收斂判據(jù)。4結(jié)果分析給定節(jié)點(diǎn)電壓初值,經(jīng)過(guò)四次筆算迭代過(guò)程后，得到節(jié)點(diǎn)電壓和不平衡功率的變化情況分別于表4.1和表4.2所示（?。旱?jì)數(shù)k節(jié)點(diǎn)電壓11-j0.10151213141表4.1 迭代過(guò)程中節(jié)點(diǎn)電壓變化情況迭代計(jì)數(shù)k節(jié)點(diǎn)不平衡量0-2-10.501-0.1482-0.9769-0.

14、0726-0.01032-0.0902-0.6071-0.0480-0.00223-0.6272-4.3251-0.3610-0.01714-0.1816-1.2510-0.1042-0.0049表4.2迭代過(guò)程中節(jié)點(diǎn)不平衡量變化情況結(jié)果值與我的小組同學(xué)基本一樣，也在預(yù)期之內(nèi)。得到了基本一致的結(jié)果。并且確定牛頓法具有很好的二次收斂性，是求解多元非線性方程的正確算法。5總結(jié)這次的電力系統(tǒng)分析課程設(shè)計(jì)讓我對(duì)平時(shí)所學(xué)的專(zhuān)業(yè)知識(shí)有了更深刻更具體的了解，明白了理論知識(shí)必須與實(shí)踐相結(jié)合才能更好的發(fā)揮作用。在不停的翻書(shū)上網(wǎng)查資料的過(guò)程中，我積累了大量的導(dǎo)納矩陣和潮流計(jì)算以及電力系統(tǒng)的知識(shí)，全面透徹的了解了相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用。使自己的知識(shí)更加牢固，并且有了更深