2023年九年級中考數(shù)學(xué)高頻考點突破-圓的切線的證明【含答案】

——2023年九年級中考數(shù)學(xué)高頻考點突破——圓的切線的證明1．如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，AE⊥OC于點D，交BC于F，與過點B的直線交于點E，且BE＝EF．（1）求證：BE是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為10，OD＝6，求BE的長．2．如圖1，在⊙O中，AC為直徑，D在上，B為中點，過B作BF⊥AD于F．（1）求證：BF為⊙O的切線；（2）如圖2，連接DO并延長交AB于G，交⊙O于E，連接BE，若AG＝AD＝1，求DF．3．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，弦BC平分∠PBD，且BD⊥PD于點D．（1）求證：PD是⊙O的切線．（2）若AB＝8cm，BD＝6cm，求弧AC的長．4．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，點D為邊AB的中點，點O在邊BC上，以點O為圓心的圓過頂點C，與邊AB交于點D．（1）求證：直線AB是⊙O的切線；（2）若AC＝，求圖中陰影部分的面積．5．如圖，在⊙O中，OE⊥BC于點F，D為⊙O上一點，連接DE，交AC于點G，AG＝AD．（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）若∠A＝60°，OE＝8，求DE的長．6．如圖，四邊形ABCD是正方形，點A，點B在⊙O上，邊DA的延長線交⊙O于點E，對角線DB的延長線交⊙O于點F，連接EF并延長至點G，使∠FBG＝∠FAB．（1）求證：BG與⊙O相切；（2）若⊙O的半徑為1，求AF的長．7．如圖，已知四邊形APBC中，∠ACB＝∠APB＝60°，過A，B，C三點的⊙O與PA相切．（1）求證：PB是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑長為4cm，求圖中陰影部分的面積．8．如圖，AB為⊙O的直徑，過圓上一點D作⊙O的切線CD交BA的延長線于點C，過點O作OE∥AD交CD于點E，連接BE．（1）直線BE與⊙O相切嗎？并說明理由；（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的長．9．如圖，在△ABC中，AB＞AC，∠BAC＝90°，在CB上截取CD＝CA，過點D作DE⊥AB于點E，連接AD，以點A為圓心、AE的長為半徑作⊙A．（1）求證：BC是⊙A的切線；（2）若AC＝5，BD＝3，求DE的長．10．如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上兩點，，連接AC，BC，AD，BD，過點D作DE∥AB交CB的延長線于點E．（1）求證：直線DE是⊙O的切線；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD，BE的長．11．如圖，在△ABC中，點O是BC中點，以O(shè)為圓心，BC為直徑作圓剛好經(jīng)過A點，延長BC于點D，連接AD．已知∠CAD＝∠B．（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）若BD＝8，tanB＝，求⊙O的半徑．12．如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，過圓O外一點D作DG∥BC，DG交線段AC于點G，交線段AB于點E，交圓O于點F，連接CF，∠A＝∠D．（1）求證：BD與圓O相切；（2）若AE＝OE，CF平分∠ACB，BD＝12，DE的長為．13．如圖，AB為⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，點E在AB的延長線上，連接OC、AD，CD∥AB，CO∥DE，∠A＝22.5°．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）當(dāng)CD＝2時，圖中陰影部分的周長為（直接填空）．14．如圖，已知A、B、C、D、E是⊙O上五點，⊙O的直徑BE＝2，∠BCD＝120°，A為的中點，延長BA到點P，使BA＝AP，連接PE．（1）求線段BD的長；（2）求證：直線PE是⊙O的切線；（3）連接OP，求tan∠BPO的值．15．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，O為AB上一點，經(jīng)過點A、D的⊙O分別交邊AB、AC于點E、F．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若BE＝4，，求陰影部分的面積．16．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，過⊙O外一點D作DG∥BC，DG交線段AC于點G，交AB于點E，交⊙O于點F，連接DB，CF，∠A＝∠D．（1）求證：BD與⊙O相切；（2）若AE＝OE，CF平分∠ACB，BD＝6，求DE的長．17．已知AB是圓O的直徑，點C是圓O上一點，點P為圓O外一點，且OP∥BC，∠P＝∠BAC．（1）求證：PA為圓O的切線；（2）如果OP＝AB＝2，求AC的長．18．如圖，△ABC是以AB為直徑的⊙O的內(nèi)接三角形，BD與⊙O相切于點B，與AC的延長線交于點D，E是BD的中點，CE交BA的延長線于點F．（1）求證：FC是⊙O的切線；（2）若BD＝4，2EF＝3BE．求BF的長和⊙O的半徑．19．如圖，AB為直徑，弦BC平分∠DBA，BD與⊙O交于點E，過點C作BD的垂線于D．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）如果cos∠ABD＝，OA＝2，求DE的長．20．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC為直徑，延長AC到點E，使得CE＝BC，連接BE，且∠BAE＝∠E．（1）求證：BE與⊙O相切．（2）如圖2，過點C作CD⊥BE于點D，連接AD，若AB＝4，∠BAE＝30°，求tan∠BAD．參考答案：1．【解答】（1）證明：∵BE＝EF，∴∠EFB＝∠EBF，∵∠CFD＝∠EFB，∴∠EBF＝∠CFD，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵AE⊥OC，∴∠OCB+∠CFD＝90°，∴∠OBC+∠EBF＝90°，即∠EBA＝90°，∵AB是直徑，∴BE是⊙O的切線；（2）解：∵⊙O的半徑為10，∴OA＝10，AB＝20，∵AE⊥OC，OD＝6，∴AD＝＝＝8，∵∠ADO＝∠EBA＝90°，∠DAO＝∠BAE，∴△DAO∽△BAE，∴，即，∴BE＝15．2．【解答】（1）證明：連接OB，∴OB＝OA，∴∠2＝∠3，∵B為CD中點，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∵AF∥OB，∴∠OBF+∠F＝180°，∵BF⊥AD，∴∠F＝90°，∴∠OBF＝90°，∵半徑OB⊥BF于B，∴BF為⊙O切線；（2）連接AE，延長BO交AE于H，∵DE為直徑，∴∠DAE＝∠DBE＝90°，∵AF∥BO，∴∠BHA＝180°﹣∠DAH＝90°，∴四邊形AFBH為矩形，∴AH＝BF，AF＝BH，設(shè)DF＝x，∴BH＝AF＝x+1，∵OH⊥AE于H∴AH＝EH，∵DO＝EO∴OH為△ADE中位線，∴OH＝AD＝，∴OB＝BH﹣OH＝x+，∵AF∥OB，∴∠4＝∠7，∵AD＝AG＝1，∴∠4＝∠5，∴∠5＝∠6，∠6＝∠7，∴BG＝OB＝OA＝x+，∴AB＝BG+AG＝x+，在Rt△AOH中，根據(jù)勾股定理得：AH2＝AO2﹣OH2＝x2+x∴BF2＝AH2＝x2+x，在Rt△AFB中，根據(jù)勾股定理得：AF2+BF2＝AB2，即（x+1）2+（x2+x）＝（x+）2，解得：DF＝x＝．3．【解答】（1）證明：連接OC，如圖，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC．∵弦BC平分∠PBD，∴∠OBC＝∠DBC，∴∠OCB＝∠DBC．∴OC∥BD，∵BD⊥PD，∴OC⊥PD．∵OC為⊙O的半徑，∴PD是⊙O的切線；（2）解：連接OC，如圖，由（1）知：OC∥BD，∴△PCO∽△PDB，∴，∴，∴PA＝4．∴PO＝PA+OA＝8．在Rt△OCP中，∵cos∠COP＝，∴∠COP＝60°．∴弧AC的長＝＝．4．【解答】（1）證明：連接OD，CD，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AC＝AB，∠A＝90°﹣∠B＝60°，∵D為AB的中點，∴BD＝AD＝AB，∴AD＝AC，∴△ADC是等邊三角形，∴∠ADC＝∠ACD＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠DCO＝90°﹣60°＝30°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠DCO＝30°，∴∠ADO＝∠ADC+∠ODC＝60°+30°＝90°，即OD⊥AB，∵OD過圓心O，∴直線AB是⊙O的切線；（2）解：由（1）可知：AC＝AD＝BD＝AB，又∵AC＝，∴BD＝AC＝，∵∠B＝30°，∠BDO＝∠ADO＝90°，∴∠BOD＝60°，BO＝2DO，由勾股定理得：BO2＝OD2+BD2，即（2OD）2＝OD2+（）2，解得：OD＝1（負數(shù)舍去），所以陰影部分的面積S＝S△BDO﹣S扇形DOE＝﹣＝﹣．5．【解答】（1）證明：連接OD，如圖，∵OE⊥BC于點F，∴∠E+∠FGE＝90°．∵∠FGE＝∠AGD，∴∠E+∠AGD＝90°．∵AG＝AD，∴∠AGD＝∠ADG．∴∠E+∠ADG＝90°．∵OD＝OE，∴∠E＝∠ODE，∴∠ODE+∠ADG＝90°．即∠ODA＝90°，∴OD⊥AD，∵OD為⊙O的半徑，∴AD是⊙O的切線；（2）解：過點O作OH⊥ED于點H，如圖，則DE＝2DH．∵AG＝AD，∠A＝60°，∴△AGD為等邊三角形，∴∠ADE＝60°．∵∠ODA＝90°，∴∠ODE＝30°．在Rt△OHD中，∵cos∠ODH＝，∴DH＝OD?cos30°＝8×＝4．∴DE＝2DH＝8．6．【解答】解：（1）連接BE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAE＝90°，∴BE是圓O的直徑，∵∠BAF+∠EAF＝90°，∠EAF＝∠EBF，∠FBG＝∠FAB，∴∠FBG+∠EBF＝90°，∴∠OBG＝90°，故BG是圓O的切線；（2）如圖，連接OA，OF，∵四邊形ABCD是正方形，BE是圓的直徑，∴∠EFD＝90°，∠FDE＝45°，∴∠FED＝45°，∴∠AOF＝90°，∵OA＝OF＝1，∴AF2＝AO2+FO2＝1+1＝2，∴AF＝，AF＝﹣（舍去）．7．【解答】（1）證明：連接OA，OB，OP，∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，∵PA與⊙O相切于點A，∴∠OAP＝90°，∵∠APB＝60°，∴∠OBP＝360°﹣∠AOB﹣∠OAP﹣∠APB＝90°，∵OB是⊙O的半徑，∴PB是⊙O的切線；（2）解：∵∠OAP＝∠OBP＝90°，OA＝OB，OP＝OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），∴∠AOP＝∠BOP＝∠AOB＝60°，∴AP＝OA?tan60°＝4（cm），∴陰影部分的面積＝2△OAP的面積﹣扇形AOB的面積＝2×AO?AP﹣＝2××4×4﹣π＝16﹣π，∴陰影部分的面積為16﹣π．8．【解答】解：（1）直線BE與⊙O相切，理由：連接OD，∵CD與⊙O相切于點D，∴∠ODE＝90°，∵AD∥OE，∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB，∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO，∴∠DOE＝∠EOB，∵OD＝OB，OE＝OE，∴△DOE≌△BOE（SAS），∴∠OBE＝∠ODE＝90°，∵OB是⊙O的半徑，∴直線BE與⊙O相切；（2）解法一：設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△ODC中，OD2+DC2＝OC2，∴r2+42＝（r+2）2，∴r＝3，∴AB＝2r＝6，∴BC＝AC+AB＝2+6＝8，由（1）得：△DOE≌△BOE，∴DE＝BE，在Rt△BCE中，BC2+BE2＝CE2，∴82+BE2＝（4+DE）2，∴64+DE2＝（4+DE）2，∴DE＝6；解法二：設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△ODC中，OD2+DC2＝OC2，∴r2+42＝（r+2）2，∴r＝3，∴OA＝3，∵AD∥OE，∴＝，∴＝，∴DE＝6，∴DE的長為6．9．【解答】（1）證明：過點A作AF⊥CD于點F，如圖，∵CD＝CA，∴∠CAD＝∠CDA，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠BAD+∠CDA＝90°．∵DE⊥AB，∴∠BAD+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠CDA．∵AE⊥DE，AF⊥CD，∴AE＝AF，即AF為⊙A的半徑，這樣，直線BC經(jīng)過半圓AF的外端F，且垂直于半徑AF，∴BC是⊙A的切線；（2）解：∵CD＝CA，AC＝5，∴CD＝5，∴BC＝BD+CD＝8．∵DE⊥AB，AC⊥AB，∴DE∥AC，∴，∴，∴DE＝．10．【解答】（1）證明：連接OD，∵，∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝90°，∵AB∥DE，∴∠AOD＝∠ODE＝90°，∵OD是⊙O的半徑，∴直線DE是⊙O的切線；（2）解：連接CD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝＝8，∵，∴AD＝BD＝＝5，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∴∠ACD＝∠ABD＝45°，∵AB∥DE，∴∠ABD＝∠BDE＝45°，∴∠BDE＝∠ACD，∵四邊形ADBC是圓內(nèi)接四邊形，∴∠CAD+∠CBD＝180°，∵∠CBD+∠EBD＝180°，∴∠EBD＝∠CAD，∴△BDE∽△ACD，∴＝，∴＝，∴BE＝，∴AD的長為5，BE的長為．11．【解答】（1）證明：連接AO，∵BC是直徑，∴∠BAC＝90°，∴∠B+∠ACO＝90°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC，∵∠CAD＝∠B．∴∠DAO＝∠CAD+∠CAO＝90°，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切線；（2）解：∵∠CAD＝∠B，∠ADC＝∠BDA，∴△ACD∽△BAD，∴＝＝＝，∵BD＝8，∴＝，∴AD＝4，∴CD＝AD＝×4＝2，∴BC＝BD﹣CD＝8﹣2＝6，∴⊙O的半徑為3．12．【解答】（1）證明：如圖1，延長DB至H，∵DG∥BC，∴∠CBH＝∠D，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠CBH，∵AB是⊙O的直徑∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∴∠CBH+∠ABC＝90°，∴∠ABD＝90°，∴BD與⊙O相切；（2）解：解法一：如圖2，連接OF，∵CF平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF，∴＝，∴OF⊥AB，∵BD⊥AB，∴OF∥BD，∴△EFO∽△EDB，∴＝，∵AE＝OE，∴＝，∴＝，∴OF＝4，∴BE＝OE+OB＝2+4＝6，∴DE＝＝＝6．解法二：如圖2，連接OF，∵AE＝OE，∴OA＝OF＝2OE，Rt△OEF中，tan∠OEF＝＝2，Rt△BED中，tan∠OEF＝＝＝2，∴BE＝6，由勾股定理得：DE＝＝＝6．故答案為：6．13．【解答】（1）證明：連接OD，∵∠A＝22.5°，∴∠BOD＝2∠A＝45°，∵CD∥AB，∴∠CDO＝∠BOD＝45°，∵OC＝OD，∴∠DCO＝∠CDO＝45°，∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∵CO∥DE，∴∠ODE＝∠COD＝90°，∴OD⊥EE，∵OD是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：∵CD∥AB，CO∥DE，∴四邊形CDEO是平行四邊形，OE＝CD＝2，∵DE是⊙O的切線，∴OD⊥EE，∴∠ODE＝90°，∵∠DOE＝45°，∴∠DEO＝90°﹣45°＝∠DOE，∴OD＝DE，在Rt△ODE中，OD2+DE2＝OE2＝（2）2，∴OD＝DE＝2，∴OB＝2，∴BE＝OE﹣OB＝2﹣2，∴的長度＝＝，∴陰影部分的周長＝2+2﹣2+＝2+，故答案為：2+．14．【解答】（1）解：連接DE，如圖，∵∠BCD+∠DEB＝180°，∠BCD＝120°，∴∠DEB＝180°﹣120°＝60°，∵BE為直徑，∴∠BDE＝90°，∴∠DBE＝30°，在Rt△BDE中，BE＝2，DE＝BE＝×2＝，BD＝DE＝×＝3；（2）證明：連接EA，如圖，∵BE為⊙O的直徑，∴∠BAE＝90°，∵A為的中點，∴∠ABE＝45°，∵BA＝AP，而EA⊥BA，∴△BEP為等腰直角三角形，∴∠PEB＝90°，∴PE⊥BE，∵BE是⊙O的直徑，∴直線PE是⊙O的切線；（3）解：過點O作OM⊥AB于點M，則AM＝AB，∵∵BE為⊙O的直徑，∴∠BAE＝90°，∴AE⊥AB，∵A為的中點，∴AB＝AE，∴BE＝AB，∵BE＝2，∴AB＝AE＝，∴AM＝AB＝，∵AE⊥AB，OM⊥AB，∴OM∥AE，∵OB＝OE，∴OM＝AE＝，∵BA＝AP，∴AP＝，∴PM＝AP+AM＝，∴tan∠BPO＝＝＝．15．【解答】解：（1）如圖，連接OD，則OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∵點D在⊙O上，∴BC是⊙O的切線；（2）∵∠BDO＝90°，∴sinB＝＝＝＝，∴OD＝4，∠B＝30°，∴∠DOE＝60°，∵tan∠B＝，∴BD＝＝4，∴S陰影＝S△BOD﹣S扇形ODE＝×4×4﹣＝8﹣．16．【解答】（1）證明：如圖1，延長DB至H，∵DG∥BC，∴∠CBH＝∠D，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠CBH，∵AB是⊙O的直徑∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∴∠CBH+∠ABC＝90°，∴∠ABD＝90°，∴BD與⊙O相切；（2）解：解法一：如圖2，連接OF，∵CF平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF，∴＝，∴OF⊥AB，∵BD⊥AB，∴OF∥BD，∴△EFO∽△EDB，∴＝，∵AE＝OE，∴＝，∴＝，∴OF＝2，∴BE＝OE+OB＝1+2＝3，∴DE＝＝＝3．解法二：如圖2，連接OF，∵AE＝OE，∴OA＝OF＝2OE，Rt△OEF中，tan∠OEF＝＝2，Rt△BED中，tan∠OEF＝＝＝2，∴BE＝3，由勾股定理得：DE＝＝＝3．17．【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，又∵OP∥BC，∴∠AOP＝∠B，∴∠BAC+∠AOP＝90°，∵∠P＝∠BAC，∴∠P+∠AOP＝90°，∴∠PAO＝90°，∴PA⊥OA，又∵OA是⊙O的半徑，∴PA為⊙O的切線；（2）解：由（1）得：∠PAO＝∠ACB＝90°，又∵∠P＝∠BAC，OP＝BA，∴△OAP≌△BCA（AAS），∴，∴．18．【解答】（1）證明：連接OC，∵BD與⊙O相切于點B，∴∠ABD＝90°，∴∠CBE+∠OBC＝90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠BCD＝90°，∵E是BD中點，∴BE＝CE，∴∠BCE＝∠CBE，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠BCE+∠OCB＝90°，∴∠OCE＝90°，∵OC是⊙O的半徑，∴FC是