圓錐曲線練習試題與詳細答案

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上圓錐曲線歸納總結for Yuri第部分：知識儲備1. 直線方程的形式（1）直線方程的形式有五件：點斜式、兩點式、斜截式、截距式、一般式。（2）與直線相關的重要內容傾斜角與斜率點到直線的距離 夾角公式：（3）弦長公式直線上兩點間的距離： 或（4）兩條直線的位置關系=-1 2、圓錐曲線方程及性質(1) 橢圓的方程的形式有幾種？（三種形式） 標準方程： 距離式方程： 參數方程：(2) 雙曲線的方程的形式有兩種 標準方程： 距離式方程：(3) 三種圓錐曲線的通徑 橢圓：；雙曲線：；拋物線：(4) 圓錐曲線的定義 黃楚雅，分別回憶第一定義和第二定義！(5) 焦點三角形面積公式：

2、在橢圓上時，在雙曲線上時，（其中）(6) 記住焦半徑公式：橢圓焦點在時為，焦點在軸上時為 雙曲線焦點在軸上時為拋物線焦點在軸上時為，焦點在軸上時33333華麗的分割線第部分：三道核心例題例1橢圓長軸端點為,為橢圓中心，為橢圓的右焦點，且，。（1）求橢圓的標準方程；（2）記橢圓的上頂點為，直線交橢圓于兩點，問：是否存在直線，使點恰為的垂心？若存在，求出直線的方程;若不存在，請說明理由。分析：第一問比較容易，第二問關鍵是垂心（小黃同學，你還記得三角形的“四心”嗎？）的處理。由待定系數法建立方程求解。解（1）建立坐標系，設橢圓方程為,由得又即 ， 易得，故橢圓方程為 （2）假設存在直線交橢圓于兩點，

3、且恰為的垂心， 設，故，于是設直線為 ，由得， 又得 即 由韋達定理得 解得或（舍） 經檢驗符合條件。例2已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，長軸長是短軸長的2倍且經過點，平行于的直線在軸上的截距為，交橢圓于、兩個不同點。 （1）求橢圓的方程； （2）求的取值范圍； （3）求證直線、與軸始終圍成一個等腰三角形。分析：小黃同學，直線、與軸始終圍成一個等腰三角形這個怎么理解，怎么處理？關鍵是把它轉化成。解：（1）設橢圓方程為則 橢圓方程為（2）直線平行于，且在軸上的截距為又 由直線l與橢圓交于A、B兩個不同點， （3）設直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可設 則由 而故直

4、線、與軸始終圍成一個等腰三角形。例3已知三角形ABC的三個頂點均在橢圓上，且點A是橢圓短軸的一個端點（點A在y軸正半軸上）.（1）若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點，試求直線BC的方程;（2）若角A為，AD垂直BC于D，試求點D的軌跡方程.分析：第一問抓住“重心”（小黃同學，你還記得三角形的“四心”嗎？），利用點差法及重心坐標公式可求出中點弦BC的斜率，從而寫出直線BC的方程。第二問抓住角A為可得出ABAC，從而得，然后利用聯(lián)立消元法及交軌法求出點D的軌跡方程。解：（1）設B(,)，C(,)，BC中點為()，焦點為F(2,0)，則有兩式作差有 ，整理得 （其中為點弦BC的斜率） (1)又F(2

5、,0)為三角形重心，所以由，得由 得，代入（1）得 ，從而得到直線BC的方程為（2）由ABAC得 （2）設直線BC方程為，得又由韋達定理有 ， 與直線方程結合，易得 代入（2）式得 ，解得或直線過定點（0，設D（x,y），則，即所以所求點D的軌跡方程是。優(yōu)雅的分割線第部分：七種常見題型1、中點弦問題具有斜率的弦中點問題，常用設而不求法（點差法）：設曲線上兩點為、，代入方程，然后兩方程相減，再應用中點關系及斜率公式（當然在這里也要注意斜率不存在的情況），消去參數。例如：設、，為橢圓的弦中點則有，；兩式相減得=歸納：（1）橢圓與直線相交于A、B，設弦AB中點為，則有。 （2）雙曲線與直線相交于A、

6、B，設弦AB中點為，則有。（3）拋物線與直線相交于A、B，設弦AB中點為，則有，即。典型例題 給定雙曲線，過的直線與雙曲線交于兩點 及，求線段的中點的軌跡方程。2、焦點三角形問題 橢圓或雙曲線上一點P，與兩個焦點、構成的三角形問題，常用正、余弦定理搭橋。 典型例題 設為橢圓上任一點，為焦點，。 （1）求證離心率； （2）求的最值。3、直線與圓錐曲線位置關系問題 直線與圓錐曲線的位置關系的基本方法是解方程組，進而轉化為一元二次方程后利用判別式、根與系數的關系、求根公式等來處理，應特別注意數形結合的思想，通過圖形的直觀性幫助分析解決問題，如果直線過橢圓的焦點，結合三大曲線的定義去解。典型例題 拋物

7、線方程，直線與軸的交點在拋物線的右邊。 （1）求證：直線與拋物線總有兩個不同交點（2）設直線與拋物線的交點為A、B，且OAOB，求關于的函數的表達式。4、圓錐曲線的相關最值（范圍）問題圓錐曲線中的有關最值（范圍）問題，常用代數法和幾何法解決。 1）若命題的條件和結論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質來解決。2）若命題的條件和結論體現明確的函數關系式，則可建立目標函數（通常利用二次函數，三角函數，均值不等式）求最值。處理思路1、建立目標函數。用坐標表示距離，用方程消參轉化為一元二次函數的最值問題，關鍵是求方程求x、y的范圍；2、數形結合，用化曲為直的轉化思想；3、利用判別式，對于二次函數求最值

8、，往往由條件建立二次方程，用判別式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例題 已知拋物線)，過且斜率為1的直線與拋物線交于不同的兩點，。（1） 求的取值范圍；（2） 若線段AB的垂直平分線交軸于點N，求NAB面積的最大值。5、求曲線的方程問題（1）曲線的形狀已知這類問題一般可用待定系數法解決典型例題已知直線已知直線過原點，拋物線的頂點在原點，焦點在軸正半軸上。若點和點關于的對稱點都在上，求直線和拋物線的方程。MNQO（2）曲線的形狀未知-求軌跡方程典型例題已知直角坐標平面上點Q（2，0）和圓C：x2+y2=1，動點M到圓C的切線長|MN|與|MQ|的比等于常數(>0)，求動點M的軌跡方程，并說明它是什么曲線。6、存在兩點關于直線對稱問題 在曲線上兩點關于某直線對稱問題，可以按如下方式分三步解決：求兩點所在的直線，求這兩直線的交點，使這交點在圓錐曲線形內。（當然也可以利用韋達定理并結合判別式來解決）典型例題 已知橢圓的方程，試確定的取值范圍，使得對于直線，橢圓上有不同兩點關于