(完整word版)乘法公式的復(fù)習(xí)總結(jié)(題型擴(kuò)展),推薦文檔

1、乘法公式的復(fù)習(xí)總結(jié)(題型擴(kuò)展 )乘法公式的復(fù)習(xí)一、復(fù)習(xí) :(a+b)(a-b)=a 2-b 2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b3(a-b)(a2+ab+b2)=a 3 b3歸納小結(jié)公式的變式，準(zhǔn)確靈活運(yùn)用公式： 位置變化， xyy xx2y22 y2x 2y2 符號(hào)變化，xyxyx 指數(shù)變化， x2y2x2y2x4y4 系數(shù)變化， 2a b2a b224ab 換式變化， xyzmxyzmxy22z mx2y2z m z mx2y2z2zm zm2y222xz2zm m 增項(xiàng)變化， x yzxy z2mx22yzz2

2、xy x yx2xyxyy 2z222xyy22xzx2 y2 連用公式變化， xyxyx22x22yyx4y4 逆用公式變化， xyz 2xy z 2x y z x y z x y z x y zxyz2224xy4xz例 1已知 ab2 ， ab1，求 a 2b2的值。解： (a b) 2a 22abb2 a 2b 2 = (ab) 22ab a b 2， ab 1 a2b 2 = 222 1 2例 2已知 ab8 ， ab2 ，求 ( ab) 2 的值。解： ( a b) 2a 22abb2(ab)2a 22abb 2 (a b) 2(a b)24ab ( ab)24ab= (a b)

3、2 a b 8， ab 2 (a b)28242562例 3：計(jì)算 1999 -2000 × 1998解析此題中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。解： 19992-2000 × 1998=1999 2- （1999+1）×（ 1999-1 ）=19992- （ 19992 -1 2） =19992-1999 2+1 =1例 4：已知 a+b=2，ab=1，求 a2+b2 和 (a-b) 2 的值。1/16乘法公式的復(fù)習(xí)總結(jié)(題型擴(kuò)展 )解析此題可用完全平方公式的變形得解。222解： a +b =(a+b) -2ab=4-2=2（a

4、-b) 2=(a+b) 2-4ab=4-4=0例 5：已知 x-y=2 ，y-z=2 ， x+z=14。求 x2-z 2 的值。解析此題若想根據(jù)現(xiàn)有條件求出 x、y、z 的值，比較麻煩，考慮到 x2-z 2 是由x+z 和 x-z 的積得來的，所以只要求出x-z 的值即可。解：因?yàn)?x-y=2 ，y-z=2 ，將兩式相加得x-z=4 ，所以 x2 -z 2=（x+z）(x-z)=14 ×4=56。例 6：判斷（ 2+1）（22+1）（ 24+1）（ 22048+1）+1 的個(gè)位數(shù)字是幾？解析此題直接計(jì)算是不可能計(jì)算出一個(gè)數(shù)字的答案，故有一定的規(guī)律可循。觀察到 1=（2-1 ）和上式可

5、構(gòu)成循環(huán)平方差。242048解：（2+1）（2 +1）（2 +1）（ 2+1） +1=2=1640961024因?yàn)楫?dāng)一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字是6 的時(shí)候，這個(gè)數(shù)的任意正整數(shù)冪的個(gè)位數(shù)字都是6，所以上式的個(gè)位數(shù)字必為 6。例 7運(yùn)用公式簡(jiǎn)便計(jì)算（1）1032（ 2） 1982222210000 600 910609解：（1）103100 3100210033（2）1982200 222002220022240000 800 439204例 8計(jì)算（ ） a4b c a b c（ 2）3x yx y2134 32 3解：（ ）原式a3c4bacbac222213434ba6ac 9c（2）原式x yxyx

6、2y24y 4 9x2y24y 432 32 9例 9解下列各式（1）已知a22，求2 ， a b 2 的值。b13ab 6a b（2）已知a b 2，2，求22，ab的值。7a b4ab216b（3）已知 a a1a222ab 的值。b2，求 a b2（4）已知 x13 ，求 x414 的值。x222x22分析：在公式 a b和 ab 分別看作是一個(gè)整體，ab2ab 中，如果把 a b， ab則公式中有三個(gè)未知數(shù)，知道了兩個(gè)就可以求出第三個(gè)。解：（ 1）a22，b13ab 6a b 2 a2b2 2ab 13 2 6 25a b 2a2b2 2ab 13 2 6 1（ ） a b27， a

7、b242a227222ab ba2ab b 4 得2a22，即 a2b211b112 得 4 ab 3，即 ab342/16乘法公式的復(fù)習(xí)總結(jié)(題型擴(kuò)展 )（3）由 a a 1a2 b 2得 a b 2221 a2b22ab1a b122a bab222222（ 4）由 x1，得 x19即 x212 9x213x22 11xxxx21121即 x4 12121x41119x2x4x4例 10四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積加上1，一定是平方數(shù)嗎？為什么？分析：由于 12 3 4212552 34511211123 4561361192得猜想：任意四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積加上1，都是平方數(shù)。解：設(shè)n， n1，n

8、，n3是四個(gè)連續(xù)自然數(shù)2222則 n n 1 n 2n 3 1n n 3 n 1n 2 1n3n 2 n 3n 1 n 是整數(shù)，n2 3n n2 3n 2 1n2 3n 1 2n 2， 3n 都是整數(shù)n 231一定是整數(shù)n2n3n 1 是一個(gè)平方數(shù)四個(gè)連續(xù)整數(shù)的積與1 的和必是一個(gè)完全平方數(shù)。例 11計(jì)算（1） x2x 12（2） 3m n p 2解：（1） x2x1 2x22x 2122 x 2x2 x2 1 2x 1 x4x2 1 2x3 2x2 2x4233221xxxx（ ）m n p 23m22p22 3mn 2 3mp2 n2226mn 6mp 2np2 3np 9m n p分析：

9、兩數(shù)和的平方的推廣a b c2a bc2a b22 a2222ac2bc2b c ca2ab bca2 b2 c2 2ab 2bc 2ac即 a b c 2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac幾個(gè)數(shù)的和的平方，等于它們的平方和加上每?jī)蓚€(gè)數(shù)的積的2 倍。二、乘法公式的用法( 一) 、套用 : 這是最初的公式運(yùn)用階段，在這個(gè)環(huán)節(jié)中，應(yīng)弄清乘法公式的來龍去脈，準(zhǔn)確地掌握其特征，為辨認(rèn)和運(yùn)用公式打下基礎(chǔ)，同時(shí)能提高學(xué)生的觀察能力。22例 1.計(jì)算：5x 23y 25x 23y 2解：原式5x 23y225x 49 y4( 二) 、連用 : 連續(xù)使用同一公式或連用兩個(gè)以上公式解題。例 2. 計(jì)算：

10、1a a1 a21 a41解：原式 1a21a2 1a 41 a4 1 a41 a8例 3. 計(jì)算： 3x 2y 5z 1 3x 2y 5z 13/16乘法公式的復(fù)習(xí)總結(jié)(題型擴(kuò)展 )解：原式2y5z3x 12 y5z3x 12 y23x25z14 y29x225z220 yz6x1三、逆用 : 學(xué)習(xí)公式不能只會(huì)正向運(yùn)用，有時(shí)還需要將公式左、右兩邊交換位置，得出公式的逆向形式，并運(yùn)用其解決問題。例 4.計(jì)算： 57825782abcabc解：原式5a7b8c5a7b8c5a7b8c5a7b8c10a 14b16c140ab160ac四、變用 : 題目變形后運(yùn)用公式解題。例 5.計(jì)算： xy2z

11、xy6z解：原式xy2z4zxy2z4zxy222z4zx2y212z22xy4xz4yz五、活用 : 把公式本身適當(dāng)變形后再用于解題。這里以完全平方公式為例，經(jīng)過變形或重新組合，可得如下幾個(gè)比較有用的派生公式：1. a22aba 2b2b2.a22aba2b2b3.a2a22 a2b2bb4.a2a24abbb靈活運(yùn)用這些公式， 往往可以處理一些特殊的計(jì)算問題，培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。例 6. 已知 ab4， ab5，求 a2b2 的值。解： a2b2ab2ab4225262例 7.計(jì)算： abcd 2bc da 2解：原式bca2bc2da d2b2a2cd2a22b22c22d 24bc

12、4ad例 8.已知實(shí)數(shù) x、 y、 z 滿足 xy5， z2xyy9 ，那么 x2y3z（）4/16乘法公式的復(fù)習(xí)總結(jié)(題型擴(kuò)展 )解：由兩個(gè)完全平方公式得：122aba ba b4從而 z2 152x2y 9y41 5252 yy9244y26y9y26y9y23 z2y 320 z 0，y 3 x 2 x2 y3z22308三、學(xué)習(xí)乘法公式應(yīng)注意的問題（一）、注意掌握公式的特征，認(rèn)清公式中的“兩數(shù)”例 1 計(jì)算 (-2 x2-5)(2 x2-5)分析：本題兩個(gè)因式中“-5 ”相同，“ 2x2”符號(hào)相反，因而“ -5 ”是公式 ( a+b)( a- b)= a2- b2 中的 a，而“ 2x

13、2”則是公式中的 b解：原式 =(-5-2 x2)(-5+2 x2)=(-5)2-(2 x2) 2=25-4 x4例 2 計(jì)算 (- a2+4b) 2分析：運(yùn)用公式 ( a+b) 2 =a2+2ab+b2 時(shí)，“ - a2”就是公式中的a，“ 4b”就是公式中的 b；若將題目變形為 (4 b- a2) 2 時(shí)，則“4b”是公式中的 a，而“a2”就是公式中的 b（解略）（二）、注意為使用公式創(chuàng)造條件例 3 計(jì)算 (2 x+y- z+5)(2 x- y+z+5) 分析：粗看不能運(yùn)用公式計(jì)算，但注意觀察，兩個(gè)因式中的“2x”、“ 5”兩項(xiàng)同號(hào)，“ y”、“z”兩項(xiàng)異號(hào)，因而，可運(yùn)用添括號(hào)的技巧使原

14、式變形為符合平方差公式的形式解：原式 =(2 x+5)+( y- z) (2 x+5)-( y- z) =(2x+5) 2-( y- z) 2=4x2+20x+25- y+2yz - z2例 4 計(jì)算 ( a-1) 2( a2+a+1) 2( a6+a3 +1) 2分析：若先用完全平方公式展開，運(yùn)算十分繁冗，但注意逆用冪的運(yùn)算法則，則可利用乘法公式，使運(yùn)算簡(jiǎn)便解：原式 =( a-1)( a2+a+1)( a6+a3+1) 2=(a3-1)(a6 a32+ +1)=(a9-1) 2 =a18-2 a9+15/16乘法公式的復(fù)習(xí)總結(jié)(題型擴(kuò)展 )例 5 計(jì)算 (2+1)(2 2+1)(2 4+1)

15、(2 8 +1) 分析：此題乍看無公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一項(xiàng)（2-1 ），則可運(yùn)用公式，使問題化繁為簡(jiǎn)2+1)(2 4 +1)(2 8+1)解：原式 =(2-1)(2+1)(2=(22-1)(22+1)(24+1)(2 8+1)=(24-1)(24+1)(28+1)= （28-1 ）（ 28+1） =216-1（三）、注意公式的推廣計(jì)算多項(xiàng)式的平方，由( a+b) 2=a2+2ab+b2，可推廣得到：( a+b+c) 2=a2+b2 +c2+2ab+2ac+2bc可敘述為：多項(xiàng)式的平方，等于各項(xiàng)的平方和，加上每?jī)身?xiàng)乘積的2 倍例 6 計(jì)算 (2 x+y-3) 2解：原式 =(2x2

16、y22 · x ·y· x·y(-3) + +(-3)+2 2+2 2 (-3)+2=4x2+y2+9+4xy-12 x-6 y（四）、注意公式的變換，靈活運(yùn)用變形公式例 7 (1) 已知 x+y=10， x3+y3=100，求 x2+y2 的值；(2) 已知： x+2y=7， xy=6，求 ( x-2 y) 2 的值分析：粗看似乎無從下手，但注意到乘法公式的下列變形：x2+y2 =( x+y) 2-2 xy ，x3 y3x y 3-3xyxy，xy2x-y2xy，問題則十分簡(jiǎn)單+=(+)x( + )(+)-(x) =4xy· ，解： (1)

17、3y3xy3-3xy(y，將已知條件代入得3+=(+ )+ )100=10 -310xy=30故 x2y2x y2-2xy2×+=(+ )=10 -230=40(2)(x-2y2xy2-8xy2×)=(+2)=7 -86=1例 8 計(jì)算 ( a+b+c) 2+( a+b- c) 2+( a- b+c)+( b- a+c) 2分析：直接展開，運(yùn)算較繁，但注意到由和及差的完全平方公式可變換出( a+b) 2+( a- b) 2=2( a2+b2) ，因而問題容易解決解：原式=(a bc2+(a bc2ca b2+c-(a b2+ )+)-+(-)- )=2(a b)2c2+2c

18、2a b2+( -) =2(a b)2+(a b2+4c2+- )=4a2b2c2+4+4（五）、注意乘法公式的逆運(yùn)用例 9 計(jì)算 ( a-2 b+3c) 2-( a+2b-3 c) 2 分析：若按完全平方公式展開，再相減，運(yùn)算繁雜，但逆用平方差公式，則能使運(yùn)算簡(jiǎn)便得多解：原式 =( a-2 b+3c)+( a+2b-3 c)(a-2 b+3c)-( a+2b-3 c)=2ab cab ac(-4+6 )=-8+12例 10 計(jì)算 (2 a+3b) 2-2(2 a+3b)(5 b-4 a)+(4 a-5 b) 2分析：此題可以利用乘法公式和多項(xiàng)式的乘法展開后計(jì)算，但逆用完全平方公式，則運(yùn)算更為

19、簡(jiǎn)便解：原式 =(2 a+3b) 2 +2(2a+3b)(4 a-5 b)+(4 a-5 b) 2=(2 a+3b)+(4 a-5 b) 2=(6 a-2 b) 2 =36a2-24 ab+4b26/16乘法公式的復(fù)習(xí)總結(jié)(題型擴(kuò)展 )四、怎樣熟練運(yùn)用公式：（一）、明確公式的結(jié)構(gòu)特征這是正確運(yùn)用公式的前提， 如平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是： 符號(hào)左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，且在這四項(xiàng)中有兩項(xiàng)完全相同，另兩項(xiàng)是互為相反數(shù)； 等號(hào)右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差，且是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方 明確了公式的結(jié)構(gòu)特征就能在各種情況下正確運(yùn)用公式（二）、理解字母的廣泛含義乘法公式中的字母a、 b 可以是具體的數(shù)，也可以

20、是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式理解了字母含義的廣泛性， 就能在更廣泛的范圍內(nèi)正確運(yùn)用公式 如計(jì)算（x+2y3z）2，若視 x+2y 為公式中的 a，3z 為 b，則就可用（ a b）2=a22ab+b2 來解了。（三）、熟悉常見的幾種變化有些題目往往與公式的標(biāo)準(zhǔn)形式不相一致或不能直接用公式計(jì)算， 此時(shí)要根據(jù)公式特征，合理調(diào)整變化，使其滿足公式特點(diǎn)常見的幾種變化是：x y）（y x）交換x 和y 的位置后即可用平方差公式計(jì)1、位置變化 如（3+55335算了2、符號(hào)變化 如（ 2m 7n）（2m 7n）變?yōu)椋?2m+7n）（ 2m7n）后就可用平方差公式求解了（思考：不變或不這樣變，可以嗎？）3、數(shù)字變化如

21、98×102，992，912 等分別變?yōu)椋?002）（100+2），（1001）2，（90+1）2 后就能夠用乘法公式加以解答了4、系數(shù)變化m n）（2mn）變?yōu)?2（ 2m n）（ 2mn）后即可用平方差公如（4 +4+424式進(jìn)行計(jì)算了x y z）（xy z）變?yōu)椋?xy zz）（x y z z）后5、項(xiàng)數(shù)變化如（ +3 +23 +6+3 +423+4+2再適當(dāng)分組就可以用乘法公式來解了（四）、注意公式的靈活運(yùn)用有些題目往往可用不同的公式來解， 此時(shí)要選擇最恰當(dāng)?shù)墓揭允褂?jì)算更簡(jiǎn)便 如計(jì)算（ a2+1） 2·（ a21）2，若分別展開后再相乘，則比較繁瑣，若逆用積的乘方

22、法則后再進(jìn)一步計(jì)算，則非常簡(jiǎn)便即原式 = （a2+1）（a2 1） 2=（ a41）2=a82a4+1對(duì)數(shù)學(xué)公式只會(huì)順向（從左到右）運(yùn)用是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還要注意逆向（從右到左）運(yùn)用如計(jì)算（ 1 12）（1 12）（1 12）（ 1 12 ）（112 ），若分別算出各因式234910的值后再行相乘，不僅計(jì)算繁難，而且容易出錯(cuò)若注意到各因式均為平方差的形式而逆用平方差公式，則可巧解本題即原式=（ 1 1 ）（1+1）（11）（1+ 1 ）×× （11）（1+ 1）22331010= 1× 3× 2× 4×× 9 ×11=

23、 1× 11= 112233101021020有時(shí)有些問題不能直接用乘法公式解決， 而要用到乘法公式的變式， 乘法公式的變式主要有： a2 +b2=（a+b） 22ab， a2+b2=（ab）2+2ab 等用這些變式解有關(guān)問題常能收到事半功倍之效如已知 m n ， mn 2222，求 mn ， mmnn 的值+=7=18+7/16乘法公式的復(fù)習(xí)總結(jié)(題型擴(kuò)展 )面對(duì)這樣的問題就可用上述變式來解，2222×（），即m n（m n） mn+=+2=7218=49+36=85222mn2×（）m mn n=（ m n）+3=7318=103下列各題，難不倒你吧？！、若

24、a1，求（ ）a2+1，（ ）（a1 ）2的值1+a=51a22a2481632642、求（ 2+1）（2 +1）（ 2 +1）（2 +1）（2 +1）（2 +1）（ 2 +1） +1 的末位數(shù)字五、乘法公式應(yīng)用的五個(gè)層次乘法公式： (a b)(a b)=a 2b2， (a ±b)=a 2± 2abb2，(a ±b)(a 2±abb2)=a 3± b3第一層次正用即根據(jù)所求式的特征，模仿公式進(jìn)行直接、簡(jiǎn)單的套用例 1計(jì)算(2)(2x y)(2x y) (2) 原式 =( y) 2x( y) 2x=y 24x2第二層次逆用，即將這些公式反過來進(jìn)行

25、逆向使用例 2計(jì)算(1)1998 2 1998·399419972 ；解(1) 原式 =19982 2· 1998· 1997 19972 =(1998 1997) 2=1第三層次活用 ：根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征，探尋規(guī)律，連續(xù)反復(fù)使用乘法公式；有時(shí)根據(jù)需要?jiǎng)?chuàng)造條件，靈活應(yīng)用公式8/16乘法公式的復(fù)習(xí)總結(jié)(題型擴(kuò)展 )例 3 化簡(jiǎn)： (2 1)(2 21)(2 4 1)(2 8 1) 1分析直接計(jì)算繁瑣易錯(cuò)， 注意到這四個(gè)因式很有規(guī)律， 如果再增添一個(gè)因式 “ 21”便可連續(xù)應(yīng)用平方差公式，從而問題迎刃而解解原式 =(2 1)(2 1)(2 21)(2 4 1)(2

26、8 1) 1=(2 21)(2 2 1)(2 4 1)(2 81) 1=216例 4 計(jì)算： (2x 3y1)( 2x3y5)分析仔細(xì)觀察，易見兩個(gè)因式的字母部分與平方差公式相近，但常數(shù)不符于是可創(chuàng)造條件“拆”數(shù)： 1=23，5=23，使用公式巧解解原式 =(2x 3y 32)( 2x3y 32)=(2 3y) (2x 3)(23y) (2x 3)=(2 3y) 2 (2x 3) 2 =9y2 4x2 12x12y 5第四層次變用：解某些問題時(shí)， 若能熟練地掌握乘法公式的一些恒等變形式，如 a2 b2=(a b) 22ab， a3b3=(a b) 33ab(a b) 等，則求解十分簡(jiǎn)單、明快例

27、 5 已知 ab=9， ab=14，求 2a2 2b2 和 a3 b3 的值解：ab=9， ab=14， 2a2 2b2=2(a b) 2 2ab=2(9 2 2· 14)=106，a3b3=(a b) 33ab(a b)=9 33·14·9=351第五層次綜合后用 ：將 (a b) 2 =a22ab b2 和(a b) 2 =a22abb2 綜合，可得 (a b) 2 (a b) 2=2(a 2b2) ；(a b) 2 (a b) 2=4ab；等，合理地利用這些公式處理某些問題顯得新穎、簡(jiǎn)捷例 6 計(jì)算： (2x y z 5)(2x yz 5) 解：原式 = 1

28、(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)2- 1(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)244=(2x 5) 2 (y z) 2=4x2 20x25 y2 2yzz2六、正確認(rèn)識(shí)和使用乘法公式1、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想認(rèn)識(shí)乘法公式：對(duì)于學(xué)習(xí)的兩種（三個(gè)）乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b 2、完全平方公式： (a+b) 2=a2+2ab+b2； (a-b) 2=a2-2ab+b 2，可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法來區(qū)分它們。假設(shè) a、 b 都是正數(shù)，那么可以用以下圖形所示意的面積來認(rèn)識(shí)乘法公式。如圖 1，兩個(gè)矩形的面積之和（即陰影部分的面積）為(a+b)(a-b)，通過左右兩

29、圖9/16乘法公式的復(fù)習(xí)總結(jié)(題型擴(kuò)展 )的對(duì)照，即可得到平方差公式 (a+b)(a-b)=a 2 -b 2；圖 2 中的兩個(gè)圖陰影部分面積分別為 (a+b) 2 與 (a-b) 2，通過面積的計(jì)算方法，即可得到兩個(gè)完全平方公式： (a+b) 2=a2 +2ab+b2與 (a-b) 2=a2-2ab+b2。2、乘法公式的使用技巧：提出負(fù)號(hào)：對(duì)于含負(fù)號(hào)較多的因式， 通常先提出負(fù)號(hào)， 以避免負(fù)號(hào)多帶來的麻煩。例1、 運(yùn)用乘法公式計(jì)算：（ 1）(-1+3x)(-1-3x)；（ 2） (-2m-1) 22-(3x) 2=1-9x 2 .解：（1）(-1+3x)(-1-3x)=-(1-3x)-(1+3x

30、)=(1-3x)(1+3x)=1（2） (-2m-1) 2 =-(2m+1)2 =(2m+1)2 = 4m2 +4m+1.改變順序：運(yùn)用交換律、結(jié)合律，調(diào)整因式或因式中各項(xiàng)的排列順序，可以使公式的特征更加明顯 .例2、 運(yùn)用乘法公式計(jì)算：1 11a2（ 1）( 3a- 4b )(-4b - 3 );（2）(x-1/2)(x+1/4)(x+1/2)1 11a1111解：（1）( 3a- 4b )(-4b - 3 )=(-4b+ 3a )(-4b - 3a )111112121212=( 4b-3a )(4b + 3a )=( 4b)- (3a)=16b -9a(2) (x-1/2)(x2+1/4

31、)(x+1/2)= (x-1/2) )(x+1/2)(x2+1/4)=(x 2 -1/4) (x2+1/4)= x2 -1/16.逆用公式a2-b 2將冪的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得= (a+b)(a-b) ，10/16乘法公式的復(fù)習(xí)總結(jié)(題型擴(kuò)展 )逆用積的乘方公式，得anbn=(ab) n, 等等，在解題時(shí)常會(huì)收到事半功倍的效果。例3、 計(jì)算：（1）(x/2+5) 2-(x/2-5)2 ;（ 2）(a-1/2)2 (a 2+1/4) 2 (a+1/2) 2解：（1）(x/2+5) 2-(x/2-5)2=(x/2+5)+(x/2-5) (x/2+5)-(x/2-5)=(

32、x/2+5+x/2-5)( x/2+5-x/2+5)=x· 10=10x.（2） (a-1/2)2(a 2+1/4) 2 (a+1/2) 2=(a-1/2)(a2 +1/4) (a+1/2)2=(a-1/2) (a+1/2) (a2+1/4)2=(a 2-1/4 ) (a 2 +1/4)2=(a 4-1/16 ) 2 =a8-a 4/8+1/256.合理分組：對(duì)于只有符號(hào)不同的兩個(gè)三項(xiàng)式相乘， 一般先將完全相同的項(xiàng)調(diào)到各因式的前面，視為一組；符號(hào)相反的項(xiàng)放在后面，視為另一組；再依次用平方差公式與完全平方公式進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算：（1）(x+y+1)(1-x-y);（ 2）(2x+y-z+5

33、)(2x-y+z+5).2-(x+y) 2解：（1） (x+y+1)(1-x-y)=(1+x+y)(1-x-y)= 1+(x+y)1-(x+y)=1=1-(x 2+2xy+y2)= 1-x 2-2xy-y 2.（ 2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z)= (2x+5)+(y-z)(2x+5)-(y-z)= (2x+5) 2-(y-z)2 =(4x 2+20x+25)-(y 2 -2yz+z 2)= 4x2 +20x+25-y 2+2yz-z 2 = 4x2-y 2-z 2 +2yz +20x+25 .七、巧用公式做整式乘法整式乘法是初中數(shù)學(xué)的重要

34、內(nèi)容，是今后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，應(yīng)用極為廣泛。尤其多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，運(yùn)算過程復(fù)雜，在解答中，要仔細(xì)觀察，認(rèn)真分析題目中各多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)特征，將其適當(dāng)變化，找出規(guī)律，用乘法公式將其展開，運(yùn)算就顯得簡(jiǎn)便易行。一.先分組，再用公式例 1.計(jì)算： (abc d)( a b c d )簡(jiǎn)析：本題若以多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的方法展開，則顯得非常繁雜。通過觀察，將整式(a b c d ) 運(yùn) 用加 法交 換律 和結(jié) 合律 變形 為 ( bd ) ( a c) ； 將另 一個(gè) 整式( a bc d ) 變形為 ( bd )(ac) ，則從其中找出了特點(diǎn)，從而利用平方差公式即可將其展開。解：原式 (bd )( ac)b da c(

35、bd) 2(ac)2b22bdd 2a 22acc2二.先提公因式，再用公式例 2.計(jì)算：y4 xy8x42簡(jiǎn)析：通過觀察、比較，不難發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)多項(xiàng)式中的x 的系數(shù)成倍數(shù)， y 的系數(shù)也成倍數(shù)，而且存在相同的倍數(shù)關(guān)系，若將第一個(gè)多項(xiàng)式中各項(xiàng)提公因數(shù)2 出來，變?yōu)? 4xy，則可利用乘法公式。411/16乘法公式的復(fù)習(xí)總結(jié)(題型擴(kuò)展 )解：原式y(tǒng)y2 4x4x4422 y24x432 x 2y28三 .先分項(xiàng)，再用公式例 3.計(jì)算： 2 x3y 2 2 x 3y 6簡(jiǎn)析：兩個(gè)多項(xiàng)中似乎沒多大聯(lián)系， 但先從相同未知數(shù)的系數(shù)著手觀察， 不難發(fā)現(xiàn)， x 的系數(shù)相同， y 的系數(shù)互為相反數(shù)，符合乘法公式。進(jìn)而分析如何將常數(shù)進(jìn)行變化。若將 2 分解成 4 與2 的和，將 6 分解成 4 與 2 的和，再分組，則可應(yīng)用公式展開。解：原式 = ( 2x4) (2 3y) 2x 42 3y(2x4)2223y4x 216 x 12 1