福建省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)

1、20頁CA.-1B.C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件7. （5分）已知函數(shù)f (x)=y2+l y0二，則下列結(jié)論正確的是（COSX , K40A. f （x）是偶函數(shù)B. f （x）是增函數(shù)2014年福建省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每個(gè)題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1. （5分）復(fù)數(shù)z=（3-2i）i的共腕復(fù)數(shù)工等于A.-2-3iB,-2+3iC.2-3iD.2+3i2. （5分）某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是（A,圓柱B,圓錐C.四面體D.三棱柱3. （5分）等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為若ai=2,&=12,則

2、a6等于A.8B,10C.12D.144. （5分）若函數(shù)y=logax（a0,且a*1）的圖象如圖所示，則下列函數(shù)圖象正確的是（）D.5. （5分）閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的S的值等于（）A.18B.20C.21D.406. (5分)直線l:y=kx+1與圓O：x2+y2=1相交于A,B兩點(diǎn)，則“k=1AOAB的面積為5”的（A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.f(x)是周期函數(shù)D.f(x)的值域?yàn)?1,+oo)8. (5分)在下列向量組中，可以把向量a=(3,2)表示出來的是()A.=(0,0),同二(1,2)B.3=(T，2),=(5,-2)Ce=(3，5)，

3、匕2=(6，10)D-q=(2，一3),巴？=(2，3)29. (5分)設(shè)P,Q分別為圓x2+(y-6)2=2和橢圓缶+y2=1上的點(diǎn)，則P,Q兩點(diǎn)間的最大距離是()A.5丁B.丁+丁C.7+1D.6丁10. (5分)用a代表紅球，b代表藍(lán)球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球中取出若干個(gè)球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展開式1+a+b+ab表示出來，如：“1表示一個(gè)球都不取、“熊示取出一個(gè)紅球，而“ab”則表示把紅球和藍(lán)球都取出來.以此類推，下列各式中，其展開式可用來表示從5個(gè)無區(qū)別的紅球、5個(gè)無區(qū)別的藍(lán)球、5個(gè)有區(qū)別的黑球中取出若干個(gè)球，且所有的藍(lán)球都取出或都不取

4、出的所有取法的是()A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+C2+c?+c4+c5)二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置11. (4分)若變量x,y滿足約束條件，x+2y-g0,則z=3x+y的最小值為.Lx)012. (4分)在ABC中，A=60,AC=4,BC=2際，則ABC的面積等于.13. (4分)要制作一個(gè)容器為4m3,高為1m的無蓋長方形容器，已知該容器的底面造

5、價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是(單位：元)14. (4分)如圖，在邊長為e(e為自然對數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為.15. (4分)若集合a,b,c,d=1,2,3,4,且下列四個(gè)關(guān)系：a=1;bw1;c=2；dw4有且只有一個(gè)是正確的，則符合條件的有序數(shù)組(a,b,c,d)的個(gè)數(shù)是.三、解答題：本大題共4小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟16. (13分)已知函數(shù)f(x)=cosx(sinx+cosx)吉.(1)若0Va0,b0)的兩條漸近線分別為11：aby=2x,匕：y=-2x.(1)求雙曲線E的離

6、心率；(2)如圖，。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線l分別交直線1i,l2于A,B兩點(diǎn)(A,B分別在第一、第四象限)，且4OAB的面積包為8,試探究：是否存在總與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E?若存在，求出雙曲線E的方程，若不存在，說明理由.在21-23題中考生任選2題作答，滿分21分.如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分.作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)題號右邊的方框涂黑，并將所選題號填入括號中.選彳4-2:矩陣與變換20. (14分)已知函數(shù)f(x)=ex-ax(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點(diǎn)A,曲線y=f(x)在點(diǎn)A處的切線斜率為-1.(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值；(2)證明：當(dāng)x0時(shí)

7、，x2ex；(3)證明：對任意給定的正數(shù)c,總存在xo,使得當(dāng)x(刈，+8)時(shí)，包有x23.2014年福建省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每個(gè)題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1. (5分)復(fù)數(shù)z=(3-2i)i的共腕復(fù)數(shù)；等于()A.-2-3iB.-2+3iC.2-3iD.2+3i【分析】直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡z,則其共腕可求.【解答】解：Vz=(3-2i)i=2+3i,工二2-3i.故選：C.【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.2. （5分）某空間幾何體的正視圖是三角形，則

8、該幾何體不可能是（）A.圓柱B.圓錐C.四面體D.三棱柱【分析】直接從幾何體的三視圖：正視圖和側(cè)視圖或俯視圖判斷幾何體的形狀，即可.【解答】解：圓柱的正視圖為矩形，故選：A.【點(diǎn)評】本題考查簡單幾何體的三視圖，考查邏輯推理能力和空間想象力，是基礎(chǔ)題.3. （5分）等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為若a二2,&=12,則a6等于（）A.8B.10C.12D.14【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)和已知可得a2,進(jìn)而可得公差，可得a6【解答】解：由題意可得S3=a1+a2+a3=3&=12,解得a2=4,.公差d=a2-a1=4-2=2,.%=a1+5d=2+5X2=12,故選：C.【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

9、和求和公式，屬基礎(chǔ)題.4.（5分）若函數(shù)y=logax（a0,且a*1）的圖象如圖所示，則下列函數(shù)圖象D.【分析】由題意可得a=3,由基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證即可.【解答】解：由題意可知圖象過（3,1）,故有1=loga3,解得a=3,選項(xiàng)A,y=ax=3x=（,）x單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)B,y=x3,由幕函數(shù)的知識可知正確；選項(xiàng)C,y=（-x）3=-x3,其圖象應(yīng)與B關(guān)于x軸對稱，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)D,y=loga（-x）=log3（-x）,當(dāng)x=-3時(shí)，y=1,但圖象明顯當(dāng)x=-3時(shí)，y=-1,故錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)評】本題考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及幕函數(shù)的圖象，屬基礎(chǔ)題.5.

10、（5分）閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的S的值等于（）A.18B.20C.21D.40【分析】算法的功能是求S=21+22+-+2n+1+2+-+n的值，計(jì)算滿足條件的S值，可得答案.【解答】解：由程序框圖知：算法的功能是求S=21+22+2n+1+2+-+n的值，vS=2+22+1+2=2+4+1+2=9AOAB的面積為，”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件【分析】根據(jù)直線和圓相交的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論.【解答】解：若直線l:y=kx+1與圓O:x2+y2=1相交于A,B兩點(diǎn),則圓心到直線距離

11、d=J,|AB|=2/i-d2=21一,41+/vi+k2Vi+k2若k=1,則|AB戶/區(qū)3，d=-=走,則AOAB的面積為工xgx返達(dá)成飛2V1+122V22=X 2 X 根 - I、I =L1十/ 21+k2 1+k2 2立，即充分性成立.若4OAB的面積為工，則S=X,1X22Vii?即k2+1=2|k|,即k22|k|+1=0,貝(J(|k|-1)2=0,即|k|二1,解得k=1,則k=1不成立，即必要性不成立.故k二促AOAB的面積為工”的充分不必要條件.2故選：A.【點(diǎn)評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用三角形的面積公式，以及半徑半弦之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.7+1Y

12、0二，則下列結(jié)論正確的是()COSK,K0A.f(x)是偶函數(shù)B.f(x)是增函數(shù)C.f(x)是周期函數(shù)D.f(x)的值域?yàn)?1,+oo)【分析】由三角函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，分別對各個(gè)選項(xiàng)判斷即可.【解答】解：由解析式可知當(dāng)x0時(shí)，f(x)=x2+1,為二次函數(shù)的一部分，故f(x)不是單調(diào)函數(shù)，不是周期函數(shù)，也不具備奇偶性，故可排除A、B、C,對于D,當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?1,+8),故函數(shù)f(x)的值域?yàn)?1,+00),故正確.故選：D.【點(diǎn)評】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)，涉及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.8. （5分）在下列向量組中，可以把向量a=（3,2）表示出來的是（）A.=（0,0）,同二

13、（1,2）B.砥=（T，2）,=（5,-2）C已（3，5）,匕2=（6，10）D）.已（2，3）,巴2=（2，3）【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，；二入3+以弓，計(jì)算判別即可.【解答】解：根據(jù)；二入耳+在二選項(xiàng)A:（3,2）=入（0,0）+?。?,2）,貝U3=%2=2必?zé)o解，故選項(xiàng)A不能；選項(xiàng)B:（3,2）=入（-1,2）+仙（5,-2）,貝U3=-葉552=2X-2%解得，入二211=1故選項(xiàng)B能.選項(xiàng)C:（3,2）二入（3,5）+小（6,10）,貝U3=3葉6%2=5葉10%無解，故選項(xiàng)C不能.選項(xiàng)D:（3,2）二入（2,3）+?。?,3）,則3=2入2%2=-3入+35無解，故選項(xiàng)D不能.

14、故選：B.【點(diǎn)評】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)；二八式+四,列出方程解方程是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.9. （5分）設(shè)P,Q分別為圓x2+（y-6）2=2和橢圓+y2=1上的點(diǎn)，則P,Q兩點(diǎn)間的最大距離是（）A.5工B.”十二C.7+二D.6三【分析】求出橢圓上的點(diǎn)與圓心的最大距離，加上半徑，即可得出P,Q兩點(diǎn)問的最大距離.【解答】解：設(shè)橢圓上的點(diǎn)為（x,y）,則.圓x2+（y-6）2=2的圓心為（0,6）,半徑為近，橢圓上的點(diǎn)（x,y）到圓心（0,6）的距離為J八十（y-6）2=雨0（1-，）+（廠6）2=卜（/）2+5005&,.P,Q兩點(diǎn)間的最大距離是5萬+&=6/2故選：D.【點(diǎn)評】本題

15、考查橢圓、圓的方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.10. (5分)用a代表紅球，b代表藍(lán)球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球中取出若干個(gè)球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展開式1+a+b+ab表示出來，如：“1表示一個(gè)球都不取、“熊示取出一個(gè)紅球，而“ab”則表示把紅球和藍(lán)球都取出來.以此類推，下列各式中，其展開式可用來表示從5個(gè)無區(qū)別的紅球、5個(gè)無區(qū)別的藍(lán)球、5個(gè)有區(qū)別的黑球中取出若干個(gè)球，且所有的藍(lán)球都取出或都不取出的所有取法的是()A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)

16、5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+C2+c?+c4+c5)【分析】根據(jù)“+a+b+ab表示出來，如：”1表示一個(gè)球都不取、”旗示取出一個(gè)紅球，而“abM表示把紅球和藍(lán)球都取出來”，分別取紅球藍(lán)球黑球，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，分三步，每一步取一種球，問題得以解決.【解答】解：從5個(gè)無區(qū)別的紅球中取出若干個(gè)球，可以1個(gè)球都不取、或取1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)球，共6種情況，則其所有取法為1+a+a2+a3+a4+a5;從5個(gè)無區(qū)別的藍(lán)球中取出若干個(gè)球，由所有的藍(lán)球都取出或都不取出，得其所有取法為1+b5;從5個(gè)有區(qū)別的黑球中取出若干個(gè)

17、球，可以1個(gè)球都不取、或取1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)球，共6種情況，則其所有取法為1+clc+c|c2+cic3+cl!c4+CeC5=(1+c)5,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得，適合要求的所有取法是(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5故選：A.【點(diǎn)評】本題主要考查了分步計(jì)數(shù)原理和歸納推理，合理的利用題目中所給的實(shí)例，要遵循其規(guī)律，屬于中檔題.二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置-y+l=C011. (4分)若變量x,y滿足約束條件,x+2y-80【分析】作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求z的最小值.【解答】解

18、：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，由z=3x+y,得y=-3x+z,平移直線y=-3x+z,由圖象可知當(dāng)直線y=-3x+z,經(jīng)過點(diǎn)A(0,1)時(shí)，直線y=-3x+z的截距最小，此時(shí)z最小.止匕時(shí)z的最小值為z=0x3+1=1,故答案為：1【點(diǎn)評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法.12. (4分)在ABC中，A=60,AC=4,BC=2,則ABC的面積等于2匹.【分析】利用三角形中的正弦定理求出角B,再利用三角形的面積公式求出ABC的面積.【解答】解：.ABC中，A=60,AC=4,BC=2/s,由正弦定理得：呼二區(qū)，sinAsinB.2sin60sinB解得s

19、inB=1,.B=90,C=30,人38勺面積4式030二蓊故答案為：一三.【點(diǎn)評】本題著重考查了給出三角形的兩邊和其中一邊的對角，求它的面積.正余弦定理、解直角三角形、三角形的面積公式等知識，屬于基礎(chǔ)題.13. (4分)要制作一個(gè)容器為4m3,高為1m的無蓋長方形容器，已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是一160(單位：元)【分析】此題首先需要由實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，設(shè)池底長和寬分別為a,b,成本為y,建立函數(shù)關(guān)系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求.【解答】解：設(shè)池底長和寬分別為a,b,成本為y,則.長方形容器的容器為4m3,高為1

20、m,故底面面積S=ab=4,y=20S+102(a+b)=20(a+b)+80,a+b127&b=4,故當(dāng)a=b=2時(shí)，y取最小值160,即該容器的最低總造價(jià)是160元，故答案為：160【點(diǎn)評】本題以棱柱的體積為載體，考查了基本不等式，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.14. (4分)如圖，在邊長為e(e為自然對數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為菖一e【分析】利用定積分計(jì)算陰影部分的面積，利用幾何概型的概率公式求出概率.【解答】解：由題意，丫二皿乂與y=ex關(guān)于y=x對稱，一陰影部分的面積為2jj(e-ex)dx=2(ex-ex)|J=2,邊長為e(e為自然對數(shù)的底數(shù))的正方形的

21、面積為e2,落到陰影部分的概率為與e故答案為：4-e【點(diǎn)評】本題考查幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長度、面積、和體積的比值得到.15. (4分)若集合a,b,c,d=1,2,3,4,且下列四個(gè)關(guān)系：a=1;bw1;c=2；dw4有且只有一個(gè)是正確的，則符合條件的有序數(shù)組(a,b,c,d)的個(gè)數(shù)是6.【分析】利用集合的相等關(guān)系，結(jié)合a=1;b*1;c=2；d*4有且只有一個(gè)是正確的，即可得出結(jié)論.【解答】解：由題意，a=2時(shí)，b=1,c=4,d=3;b=3,c=1,d=4;a=3時(shí)，b=1,c=4,d=2;b=1,c=2,d=4;b=2,c=1,d=4;a=4時(shí)，b=1,c=3,d=2;符合

22、條件的有序數(shù)組(a,b,c,d)的個(gè)數(shù)是6個(gè).【點(diǎn)評】本題考查集合的相等關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確分類是關(guān)鍵.三、解答題：本大題共4小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟16. (13分)已知函數(shù)f(x)=cosx(sinx+cosx)-.2(1)若0Va2L,且sina返，求f(a)的值；22(2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.【分析】(1)根據(jù)題意，利用sin冰出cosa的值，再計(jì)算f(a)的值;(2)化簡函數(shù)f(x),求出f(x)的最小正周期與單調(diào)增區(qū)間即可.【解答】解：(1).-0a,且sin2.cosa姿，2.f(a)=cosa(sin+cos&-

23、工2=&(亞忠)工2222工2，(2).函數(shù)f(x)=cosx(sinx+cosx)一2=sinxcos)+cos2x-2-sin2x+1+cos2x-222=-y(sin2x+cos2x)sin(2x4),- f (x)的最小正周期為T=2令2k：t工&2x+工&2k：i+工,kCZ,242解得k九一WE_&x&k#2L,kez；8,f(x)的單調(diào)增區(qū)間為l吩，k舊kCZ-【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)的化簡以及圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.17.(13分)在平面四邊形ABCD中，AB=BD=CD=1ABBD,CDBD,將AABD沿BD折起，使得平面ABD面BCR如圖.(1)求證：ABCD;

24、(2)若M為AD中點(diǎn)，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值.【分析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理即可得出；(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)直線AD與平面MBC所成角為9,利用線面角的計(jì)算公式sin8Ros1=3皿即可得出.In|AD|【解答】(1)證明：二.平面ABDXT面BCR平面ABDA平面BCD=BDAB?平面ABD,ABXBD,.AB,平面BCD,又CD?平面BCRAB，CD.(2)解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.VAB=BD=CD=1ABXBD,CD!BD,.B(0,0,0),C(1,1,0),A(0,0,1),D(0,1,0),M孤第聶.w乙元=(0,1,-1),BC=(1

25、,1,0),前二(0,u乙nBC=x+y=O設(shè)平面BCM的法向量G=(x,y,z),則1,n.BH令y=1,貝Ux=1,z=1.二=(1,1,1).設(shè)直線AD與平面MBC所成角為9.則 sin 8 HosV23【點(diǎn)評】本題綜合考查了面面垂直的性質(zhì)定理、線面角的計(jì)算公式sin 81Posl =I nAD IIn I I AD I考查了推理能力和空間想象能力,屬于中檔題.18. (13分)為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎(jiǎng)的方式對1000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球,球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額.(1)若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面

26、值為50元，其余3個(gè)均為10元，求：顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率;顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)商場對獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對均衡，請對袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說明理由.【分析】(1)根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率，依題意得X得所有可能取值為20,60,分別求出P(X=60),P(X=20),畫出顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列求出數(shù)學(xué)期望；(2)先討論，尋找期望為60元

27、的方案，找至I(10,10,50,50),(20,20,40,40)兩種方案，分別求出數(shù)學(xué)期望和方差，然后做比較，問題得以解決.【解答】解：(1)設(shè)顧客所獲取的獎(jiǎng)勵(lì)額為X,cScl1依題意，得P(X=60)=，蕓,Cz也即顧客所獲得獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率為上，2依題意得X得所有可能取值為20,60,1 31P(X=60)4,P(X=20)T二22 C；2所以這位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的數(shù)學(xué)期望為E(X)=20x1+60x1=4022(2)根據(jù)商場的預(yù)算，每個(gè)顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為60元，所以先尋找期望為60元的可能方案.對于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10,10,10,50)的方案，因?yàn)?0

28、元是面值之和的最大值，所以數(shù)學(xué)期望不可能為60元，如果選擇(50,50,50,10)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最小值，所以數(shù)學(xué)期望也不可能為60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)記為方案1,對于面值由20元和40元的組成的情況，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40),記為方案2,以下是對這兩個(gè)方案的分析：對于方案1,即方案(10,10,50,50)設(shè)顧客所獲取的獎(jiǎng)勵(lì)額為Xi,則Xi的分布列為Xi6020100X的數(shù)學(xué)期望為E(X=20Xy+60X-1+100X-x6o-X1的方差D(X1)=(20GO)

29、?X%(60-6。)之然,+(100-60)2X；=，6363對于方案2,即方案(20,20,40,40)設(shè)顧客所獲取的獎(jiǎng)勵(lì)額為X2,則X2的分布列為X240P6080X2的數(shù)學(xué)期望為E(X2)=40乂/+60X導(dǎo)200,b0)的兩條漸近線分別為11：/b2y=2x,I2：y=-2x.(1)求雙曲線E的離心率；(2)如圖，。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線l分別交直線h12于A,B兩點(diǎn)(A,B分別在第一、第四象限)，且4OAB的面積包為8,試探究：是否存在總與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E?若存在，求出雙曲線E的方程，若不存在，說明理由.【分析】(1)依題意，可知=2,易知c=/5a,從而可求雙曲線E

30、的離心率；22（2）由（1）知，雙曲線E的方程為三-三=1,設(shè)直線1與x軸相交于點(diǎn)C,/4a22分l，x軸與直線l不與x軸垂直討論，當(dāng)l，x軸時(shí)，易求雙曲線E的方程為工-42=1.當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m,與雙曲線E的方16程聯(lián)立，利用由Saoab二L|Oq?|y1-y2|=8可證得：雙曲線E的方程為-=12416從而可得答案.【解答】解：（1）因?yàn)殡p曲線E的漸近線分別為li：y=2x,12：y二-2x,所以二2.a所以_=2.a故c二a,從而雙曲線E的離心率e=立.a22（2）由（1）知，雙曲線E的方程為-j=1.z4a*設(shè)直線l與x軸相交于點(diǎn)C,當(dāng)1，x軸時(shí)，若

31、直線1與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則|OC=a,|AB|二4a,所以1|OC?|AB|=8,i22因此獷4a=8,解得a=2,此時(shí)雙曲線E的方程為臺二1.16=1也滿足條件.2以下證明：當(dāng)直線1不與x軸垂直時(shí),雙曲線E的方程為亍-設(shè)直線1的方程為y=kx+m,依題意，得k2或k-2；則C（一黑0）,記A（七，y”,B（x2,y2）,k產(chǎn)kx+m陽2m日工田砥2m由，辦行y1二tt，同理得y2Fr，產(chǎn)2x2-k2+k由SOAB=y|OC?|y1y2|得：建1|一也|?|一|=8,即m2=4|4k2|=4(k24).2k2-k2+kf 2由.V得：(4 k2) x2-2kmx- m2 - 16=

32、0,y=kx4-ip因?yàn)?-k20時(shí)，x2ex；(3)證明：對任意給定的正數(shù)c,總存在小，使得當(dāng)x(xo,+8)時(shí)，包有x2cex.【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得a,再利用導(dǎo)數(shù)的符號變化可求得函數(shù)的極值；(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=ex-x2,求出導(dǎo)數(shù)，利用(1)問結(jié)論可得到函數(shù)的符號，從而判斷g(x)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論；(3)首先可將要證明的不等式變形為x2a時(shí)，工x22x3,ccc3因此問題轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)x(0,+OO)時(shí)，包有,ex.【解答】解：(1)由f(x)=exax,彳#f(x)=ex-a.又f(0)=1-a=-1,解得a=2,.f(x)=ex-2x,f(x)=ex-2.由f(

33、x)=0,彳#x=ln2,當(dāng)xln2時(shí)，f(x)ln2時(shí)，f(x)0,f(x)單調(diào)遞增；二當(dāng)x二ln2時(shí)，f(x)有極小值為f(ln2)=eln2-21n2=2-ln4.f(x)無極大值.(2)令g(x)=ex-x2,貝Ug(x)=ex-2x,由(1)得，g(x)=f(x)f(1n2)=e1n221n2=21n40,即g(x)0,.二當(dāng)x0時(shí)，g(x)g(0)0,即x2ex；(3)首先證明當(dāng)x(0,+oo)時(shí)，包有x30時(shí)，x2ex,從而h(x)0,h(x)在(0,+00)單調(diào)遞減，所以h(x)h(0)=-10,即x3x0時(shí)，有工x2Lx3ex.cc3因此，對任意給定的正數(shù)c,總存在x0,當(dāng)xC(x0,+00)時(shí)，包有x2cex.【點(diǎn)評】該題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)