離心率的五種求法

1、離心率的五種求法離心率是圓錐曲線中的一個(gè)重要的幾何性質(zhì)，在高考中頻繁出現(xiàn)橢圓的離心率0e1,雙曲線的離心率e1,拋物線的離心率e1.一、直接求出ac,求解e已知標(biāo)準(zhǔn)方程或ac易求時(shí)，可利用離心率公式c來求解。e-a2例1.過雙曲線C: x2兩條漸近線分別相交于點(diǎn)yy1(b0)的左頂點(diǎn)A作斜率為1的直線1,若l與雙曲線M的b2B、C,且|AB|=|BC|,則雙曲線M的離心率是()A. ,10B. 5 C.號(hào) D. T分析：這里的a 1,cJb2 1,故關(guān)鍵是求出b2,即可利用定義求解。9解：易知A(-1,0),則直線1的方程為yx1。直線與兩條漸近線ybx和ybx的交點(diǎn)分別為B(,-b-)、C(

2、,b-),又|AB|=|BC|,可解得b29,則b1b1b1b1c，1'10故有e-d0,從而選A。ca整體求出ea二、變用公式e£Jb.(雙曲線)，ea.a例2.已知雙曲線的離心率為(2x2a)21y2 1(ab0,b0)的一條漸近線方程為y - xA. 5 B. 433C. 54分析：本題已知b 4,不能直接求出a、c,可用整體代入套用公式。a 34解：因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為y x,所以b3ae c卜(4)25,從而選Aoa 、334,則3221.設(shè)雙曲線與一a b離心率等于(C)1 (a>0,b>0)的漸近線與拋物線yx2 1相切，則該雙曲線的a. 3

3、B.2C.D.,6解：由題雙曲線y2bx4=1 a>0, b>0的一條漸近線方程為 y bx , ba代入拋物線方bx a 0,因漸近線與拋物線相切，所以b2 4a2 0,2,即）程整理得ax24,5.222.過雙曲線二y-i（a0,b0）的右頂點(diǎn)A作斜率為1的直線，該直線與雙曲線的a2b2兩條漸近線的交點(diǎn)分別為b,c.若aBbC，則雙曲線的離心率是（）2A.72B.33C.后D.Vic答案：C【解析】對于 A a,0 ,則直線方程為x ya2ab a2ab、3B,C(,)BC a b a b a b a b因此 2AB bC, 4a2 b2,即 b2 4, a2 23 .過橢圓x

4、24 1( a b 0)的左焦點(diǎn)a2 b2若 F1PF2 60：,則橢圓的離心率為()a 0 ,直線與兩漸近線的交點(diǎn)為B, C,2a2b2a2b""4 ab ab(-2 r-2， - 2 r-21AB， ra b a ba b a bF1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P , F2為右焦點(diǎn),P(b2_33F1PF260：有生 a2a,即S 2從而可得a23【解析】因?yàn)閏,a1 2故選B三、構(gòu)造a、c的齊次式，解出e根據(jù)題設(shè)條件，借助a、b、c之間的關(guān)系，構(gòu)造a、c的關(guān)系（特別是齊二次式），進(jìn)而得到關(guān)于e的一元方程，從而解得離心率2y例3.已知橢圓彳1（ab0）的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A

5、,點(diǎn)B在橢圓上，且bBF x 軸,直線AB交y軸于點(diǎn)P .若iP,則橢圓的離心率是（A. -321【解析】對于橢圓，因?yàn)?AP 2PB ,則OA2OF, a 2c,221.設(shè)F1和F2為雙曲線35 1( aa b0,b0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，若 F1, F2,P(0,2 b)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率為A.32【解析】由tan 一6c2b4b2 4(c2B.2.雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為 M,兩個(gè)焦點(diǎn)為Fi、F2,F1MF2120°,則雙曲線的離心率為（解：如圖所示,不妨設(shè)M 0,b，F(xiàn)1F2MF1|MF2Jc2b2 ,又"1F22c,在F1MF2中,由余弦定理，得cosF

6、1MF2.33|MFMF2F1F22MFiMF222222c b c b 4cO 2 I 22 c bb2 b22 c2 cb2c2a2,2c2_62故選B3.設(shè)4ABC是等腰三角形,ABC120則以A,B為焦點(diǎn)且過點(diǎn)C的雙曲線的離心率為（B）13B.24.設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F,虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B,如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直,那么此雙曲線的離心率為(A.,2B.sC.*D.'.512解析：選D.不妨設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)其方程為:1(a0,b0),則一個(gè)焦點(diǎn)為F(c,0),B(0,b)一條漸近線斜率為：b,a直線FB的斜率為:b(一)cb2acc2a2ac0,解得e5

7、.設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為Fi、F2,F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P,若F1PF2為等腰直角三角形,則橢圓的離心率是C.2D.21.,pf2解：由2b22c2aca化為齊次式2e226.雙曲線二/ab直線交雙曲線右支于1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2，過F1作傾斜角為30的A.67.設(shè)F1,且AF1M點(diǎn)，若MF2垂直于X軸，則雙曲線的離心率為(B)2F2分別是雙曲線Wa24的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)b23AF2,則雙曲線的離心率為(10B.p15C.F1AF290D.5A ,3B . 5F2 AB是等邊6.解析：連接 AFi, /AF2Fi=30°,|AFi|二c|A

8、F2|二J3c, ： 2a 他1)c ，AF1-AF22AF22a._2c_10222nae(AF1)2(AF2)2二(2c)21%，102228.如圖，F(xiàn)i和F2分別是雙曲線勺與1（a0,b0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，A和B是ab以。為圓心，以O(shè)R為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且三角形，則雙曲線的離心率為（,52雙曲線的離心率為1J3,選D。2 X9.設(shè)匕、F2分別是橢圓-2 a2 匕 b11 (a0)的左、右焦點(diǎn)，P是其右準(zhǔn)線上縱坐標(biāo)為 3c（c為半焦距）的點(diǎn)，且F1F2F2P ,則橢圓的離心率是（）,2D22 X10.設(shè)雙曲線三 a2 y b21 (0b）的半焦距為c,直線L過a,0 , 0,

9、b兩點(diǎn).已知原點(diǎn)到直線的距離為3_4 '則雙曲線的離心率為A. 2B.D.233解：由已知，直線L的方程為bx ay ab 0 ,由點(diǎn)到直線的距離公式，得ab a2b23c4又c2 3e42a16e2b2,162 _., 一、:4ab v3c，兩邊平萬,0,得 16a23c4 ,整理得得e244,又03b2-2 a與 2, ：e2 4, a2,故選A11.知FF2是雙曲線2 x 2 a（a 0,b 0）的兩焦點(diǎn)，以線段 F1F2為邊作正三角形MF1F2,若邊MF的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（A. 4 2.3 B. . 3 1C.? D. 3 1解：如圖，設(shè)MF1的中點(diǎn)為P,OF

10、1P 600,PF1 c,xpc2,yp3c,gpp（ £,逸）22 2把P點(diǎn)坐標(biāo)代人雙曲線方程，有2c4 a2至二1, 4b2化簡得e4 8e2 4 0解得e 1疵或e 1-x/3（舍），故選De是動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離 與相應(yīng)四、第二定義法由圓錐曲線的統(tǒng)一定義（或稱第二定義）知離心率準(zhǔn)線的距離比，特別適用于條件含有焦半徑的圓錐曲線問題22rA_J1心.例4：設(shè)橢圓二冬1（a0,b0）的右焦點(diǎn)為弓，右準(zhǔn)線為l若過目且垂直ab于x軸的弦的長等于點(diǎn)F1到I1的距離，則橢圓的離心率是解：如圖所示，AB是過Fi且垂直于x軸的弦,AD11于D,：AD為到準(zhǔn)線11的距離，根據(jù)橢圓的第二定義,AF1-

11、|abAD AD1.在給定橢圓中，過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為 橢圓的離心率為（）近,焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1 ,則該A .2解：eB 2B2AF2I2 2AD 11C - 2_2 22.在給定雙曲線中，過焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的弦長為22 ,焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為則該雙曲線的離心率為（）五、構(gòu)建關(guān)于e的不等式，求e的取值范圍221.已知雙曲線1（a0,b0）的右焦點(diǎn)為F,若過點(diǎn)F且傾斜角為600ab的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是（A1,2B1,2C2,D2,222.橢圓t2r1（ab0）的焦點(diǎn)為'、F2,兩條準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)分別為abM、N,若MN2F1F2,則該橢圓離心率的取值范圍是（）A.0,1B.o£C.1,1222_2221.雙曲線一2 丫2 1(aa2 b2DT10,b0）的右焦點(diǎn)為F,若過點(diǎn)F且傾斜角為60o的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率b>73,離心率 a22_ Ce =2aa2b2>4a：e>2,選Cb 0）的焦點(diǎn)為F1F2,兩條準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)分別為222.橢圓=41(aa2b22 a2一, | F1F2 | 2c, c2，a一一、MN<