2012年數(shù)學真題及解析卷

1、學苑教育2012 年 GCT 數(shù)學及（B 卷）第二部分 數(shù)學基礎(chǔ)能力測試（25 題，每題 4 分，共 100 分）條對稱軸.1.在平面上，正方形共有（A.1B.2C.3D.4【】 選D兩對對邊的平分線，和兩條對角線所在直線都是正方形的對稱軸，共有 4 條.2.若 a, b, c 分別為DABC 的三邊之長，則 a - b - c + b - c - a - c - a - b= （）.A. a + b - cC. 3a - b - cB. b + c - aD. 3c - a - b【】 選D由三角形的性質(zhì)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊可得a - b - c < 0,b -

2、 c - a < 0, c - a - b < 0則 a - b - c + b - c - a - c故選 D.3.邊長分別為 8 厘米和 6 厘米的兩個正方形 ABCD與 BEFG 并排放在一起，直線 EG 交 DC于 P ， AC 交 PG 于 K ，則三角形 AEK 的面積是（）.A.48B.49C.50D.51【】 選B過點 K 作垂線段 KH 交 BC 于點 H , 由 題 意 可 得 CG = BC - BG = 2 ，故 DAEK的高為 ：62510602學苑教育BH = BG + GH = 7 ，所以三角形 AEK 的面積是 1 ´ AE ´

3、BH = 1 ´(8 + 6) ´ 7 =。224.要建一座小型水庫，若單獨投資，甲村缺資金 92 萬元，缺資金 88 萬元。而兩村合作投資仍需20 萬元，則建該水庫需要資金（）萬元.A.100B.120C.140D.160【】 選D設(shè)建該水庫需要資金 x 萬元，則由題意可得：92 + x - 88 = x - 20 Þ x = 160故選 D.æ a11a13 ö的數(shù)陣中，每行、每列的三個數(shù)均成等比數(shù)列.如果數(shù)陣中所a12225.ç a÷aaç23 ÷211ç a÷有數(shù)的乘積等于，那

4、么 a22 = （）.aaè 3133 ø512321814A.B.12C.D.1【】 選C由題意可得數(shù)陣中所有數(shù)的乘積為(a11= a12)22 32= (a a)3 a312 3222= (a2)3 a32222=921512= 12Þ a22故選 C.：62510602學苑教育為 周 期 的 偶 函 數(shù) ， 且 g(p ) = p是以 2pf (x)g(x)6. 若是以 3 為 周 期 的 奇 函 數(shù) ，則 2sin( f (2012) + f (-2) + p ) 6 = （）.cos(g(3p ) + 2g(-p ) + p )33232A. -B.33

5、D. 3C.【】選C由題意可得sin( f (2012) + f (-2cos(g(3p ) + 2g(-p故選 C.，矩形 ABCD 的對角線 BD 過坐標7.原點O ，矩形的邊分別平行于坐標軸，點C 在反比例函數(shù) y = 3k +1 的圖像上，若 A 點的坐x標為(-2, -2) ，則 k = （）.A.2B.1C.0D.-1【】 選B由題意可知 A(-2, -2), C(4,1) ，則3k +1 = 4 Þ k = 1，故選 B.8.若 n 是大于 100 的正整數(shù)，且 M =+ 2 + 3 + n -1, 則 M 所在的區(qū)間是（1）.2!3!4!n!：62510602學苑教育

6、A. (0,1)B. (1, 2)C. (2, 3)D. (3, 4)【】選An -1由題意可知=n - 11- 1=，n!n!n!(n -1)!n!所以 M =+ 2 + 3 + + n2!3!4!1故選 A.9.盒中有十張卡片，分別寫有數(shù)碼 1,2,3,4,5,6,7，8，9，10.若從中3 張，則其中恰有一張卡片寫的是質(zhì)數(shù)的概率為（）.12512A.B.1102140C.D.【】 選A1,2,3,4,5,6,7，8，9，10 中的質(zhì)數(shù)為 2,3,5,7，則由題意可得恰有一張卡片寫的是質(zhì)數(shù)的概率為：C1C24´151 4 6 =，故選 A.210´ 9´8C3

7、10 610.若復數(shù) z = i + 2 + 3 + 4 , 則= （z）.i2i3iB. 3 2A.6D. 34C.3【】 選B由題意可得 z = i + 2 + 3 + 4 = i - 2i - 3 + 4i = 3i - 3i2i3i：62510602學苑教育= 3 2z故11.若三角形 ABC 中，角 A, B, C 的對邊分別為 a, b, c 則表達式abc(cos A + cos B + cos C ) 的值為（）.a2 + b2 + c2abc1223A.B.32C.1D.【】 選Ab2 + c2 - a2由余弦定理可得cos A =, cos B，則：2bcabc( cos

8、A + cos B + coa2 + b2 + c2abb2 + c2 - a2a2abc=+a2 + b2 + c2 (2abc1=(b2 + c2 - a2 +2(a2 + b2 + c2 )a2 + b2 + c2=2(a2 + b2 + c2 )= 12故選 A.12.一次有四個候選人甲、乙、丙、丁，若投票的結(jié)果是，丁得票比，甲、乙得票之和超過丙、丁得票之和，甲、丙得票之和與乙、丁得票之和相等，則四人得票數(shù)由高到低的排列次序是（）.A.甲、丁、丙、乙B.丁、乙、甲、丙C.丁、甲、乙、丙D.甲、丁、乙、丙【】 選DA 選項甲、丙得票之和大于乙、丁得票之和，B 選項甲、丙得票之和小于乙、丁

9、得票之和，C 選項甲、丙得票之和小于乙、丁得票之和，D 選項符合題意.：62510602學苑教育13.二次函數(shù) y = ax2 + bx + c 的圖像與 x 軸有兩個交點 A 和 B ，頂點為C .如果ÐACB = 60 .那么b2 - 4ac的值是（）.A.4B.8C.10D.12【】選D由拋物線的對稱性可得， DABC 為正三角形，則由題意可得頂點到 x 軸的距離與底邊（兩解之間距離）的關(guān)系為4ac - b2cb2 - 4ac23b=( ) - 4=24aaaaÞb2 - 4ac = 2 3,b2 - 4ac = 12故選 D.14.一個棱長為 4 分米的密封的正方體

10、盒子里（壁厚忽略不計）放有一個半徑為 1 分米的球，若盒子隨意翻動，則該盒子的內(nèi)表面接觸不到球的那部分面積是（）平方分米.A.24B.60C.72D.96【】 選C對于每一個面上球體能接觸到的面積為以 2 為邊長的正方形，故可以接觸的面積為 4，則可接觸的總面積為4´ 6 = 24 ，不可接觸的面積為6´ 42 - 24 = 72x2y215. 橢圓+= 1(a > 0, b > 0)a2b2， 其中 F1 是左焦點. 若ÐFB A = 90 , 則該橢圓的離心率 c = （）.1 1 2a-1+-1+711A.B.22-1 +-1 +35C.D.22

11、：62510602學苑教育【】 選C由題意可得= b2 + c2 + a2 + b2= c2 + a2 + 2(a2 - c2 )= 3a2 - c2Þ c2 + ac - a2 = 0ccÞ ( )+-1 = 02aa= -1±5Þ e = ca2由于離心率是正的那么e =5 -1 ，故選 C.2f 2 (x) - 2=8 ，則 f (2) = （,16.若 f (x) 是非負連續(xù)函數(shù)，且lim）.x2 - 4x®2A.4B.2D.2C.1【】 選Af 2 (x) - 2=8 可知，當 x ® 2 時， x - 4 ® 0

12、 ，則 f (x) - 2 ® 0 ，由 f (x) 是非負連續(xù)函數(shù)可得22由limx2 - 4x®2f (2) =2 ，則f 2 (x) - 2limx - 42x®2= lim ( f (x) +2)( f (x) -2)(x + 2)(x - 2)x®2= lim ( f (x) +2) × f (x) - f (2)(x + 2)x - 2x®22 +2=f , (2)48f , (2) = 4Þ：62510602學苑教育故選 A.17.在直徑為 D 的大圓內(nèi)作兩兩外切的 n 個小圓.小圓的圓心都在大圓的同一直徑上，

13、兩端的小圓又分別內(nèi)切于大圓（如圖是 n = 4 的情形）.若第 k 個小nlk ，則 lim ålk （圓的）n®+¥ k =1A.等于p DC.等于 DB.等于2DD.不存在【】 選Al為 knnlkpååD = lim=由題意可知第 k 個小圓的直徑 D，則 lim，故選 A.kpkn®+¥n®+¥k =1k =1x18.已知 f (x -1) = ln.若 f (g(x) = ln x, 則 g(x) = （）.x - 2x +1x -1A.B.x -1x +11- x1+ xC.D.1+ x1-

14、x【】選A由題意可設(shè)t = x -1，則 x = t +1， f (t) = ln t +1 ，t -1由 f (g(x) = ln x ，可得f (g(x) = ln g(x) +1 = ln xg(x) -1Þ g(x) +1 = xg(x) -1Þ g(x) = x +1x -1故選 A.：62510602學苑教育19.若函數(shù) y(x) = ex - e-lx 有正的極值點，則參數(shù)l 的取值范圍是（）.A. (-¥, -e)B. (-e, 0)D. (e, +¥)C. (0, e)【】 選By, (x) = e + le-lx = 0Þ

15、e-l x-1 = - 1 Þ el x+1 = -llÞ l x +1 = ln(-l) Þ x = ln(-l) -1 > 0lì-l > 0可得Þ -e < l < 0 ，故選 B.íln(-l) -1 < 0îìt2 sinuïx = ò1dudyu20.若函數(shù) y = （f (x) 由參數(shù)方程í確定，則）.dx t =pït2 cosuïî y = òdu3u13322A.B.32C.D.【】 選Adyt2

16、cos× (2t)dtt =pdyt=3 =由題意可得，故選 A.dxdtdx t =pt 2sint =× (2t)3p3tt =pò導數(shù)連續(xù)，且滿足 f (x) - f (x) = x, 則f (x) cos xdx = （,21.若函數(shù) f (x) 的）.-pf , (p ) - f , (-p )A. f (p ) - f (-p ),B. -2D. - f (p ) - f (-p )C. f (p ) - f (-p )2【】 選B：62510602學苑教育ò-ppò= f , (-p ) - f (p ) -cos,-pp

17、2;= f , (-p ) - fp ) -cos,(-ppò2f (x) cos xdx = f , (-p )-pf , (-ppòÞf (x) cos xdx =-p故選 B.-x301x2-4 000320x，則 f , (0) = （22.若 f (x) =）.6xA.2B.4C.8D.16【】 選C30x) -f (12xÞÞÞf , (x) = 8x - 60f , (x) = 8f , (0) = 8故選 C.æ 0- 12- 120ö÷0çç÷矩陣）.若 B

18、 = ç 10 ÷ , 則矩陣 A - E 的第23.設(shè) 3 階可逆矩陣 A 滿足2A-1B = 2B + E （ E 是ç 2÷ç3 ÷-÷2ç 0èø二行是（）.A.（-1-10）B.（-110）62510602：學苑教育C.（1-10）D.（110）【】 選C由題意可得 AA-12B = A(2B) + A Þ 2Bö-1÷-1-1 0-1æ 00 öæ 10ç即為 10 ÷ç 100ç&#

19、247;ç÷ç 0-3÷ç 00-2 ÷èøèø-1 00æ 10 ö0 10 0-200ç 110 ÷ ®ç÷ç 01 ÷0èø即æö÷÷öç-1-1 0æ 00011000 ÷ç -1A = ç 1÷ç÷çç 0-3÷

20、1;1 ÷èøç-÷00è2 ø可得第二行為（1,0,0），則矩陣 A - E 的第二行為（1，-1,0），故選 C.24.設(shè)向量a1 = （101 ) ， a = （1T2a-1 )T ，a = （ a311 )T .如果b = （2-2 )T 不能用a ,a ,a 線性表示，那么 a =（123a2）.A.-2B.-1C.1D.2【】選B設(shè) b = k1a1 + k2a2 + k3a3ìk1 + k2 + ak3 = 2ï則有 ak + k = a2í23ïk- k + k = -

21、2î123：62510602學苑教育æ 1a ö1則系數(shù)矩陣為ç 0a1 ÷ ，ç÷ç 11 ÷-1èø110a1-1a11= 2 + a - a2 = (2 - a)(a +1) = 0Þ a = -1, a = 2æ 1-1ö-1 21-1-1æ 11-1-1ö當 a = -1 時ç 01 ÷ 與增廣矩陣ç 01 1 ÷ 的秩不同，故無解；ç÷ç÷ç