偏微分方程數(shù)值解法2014.10.24

1、偏微分方程數(shù)值解法（第二講）2014年10月22日星期三 1） 相容性：相容性： 方程趨近方程趨近 當(dāng)差分方程中當(dāng)差分方程中 ，時間與空間步長均趨近于，時間與空間步長均趨近于0 時，差分方程的時，差分方程的截斷誤差截斷誤差也趨近于也趨近于0，則稱差分方程與原微分方程是，則稱差分方程與原微分方程是相容相容的。的。2）收斂性：）收斂性： 解趨近（更強）解趨近（更強）0lim0,uuhtx2 當(dāng)時間與空間步長均趨近于當(dāng)時間與空間步長均趨近于0 時，差分方程的時，差分方程的解解趨近于微分方程的解，趨近于微分方程的解，則稱差分方程的解則稱差分方程的解收斂收斂于原微分方程的解。于原微分方程的解。注意！注意

2、！ 方程互相趨近方程互相趨近 解互相趨近解互相趨近 （根據(jù)（根據(jù)Lax等價定理，只有穩(wěn)定性條件滿足的情況下，方程趨近才能保證解趨近）等價定理，只有穩(wěn)定性條件滿足的情況下，方程趨近才能保證解趨近）)(),(xuxuh分別為差分方程和微分方程的解分別為差分方程和微分方程的解1. 復(fù)習(xí)：相容性、收斂性，穩(wěn)定性復(fù)習(xí)：相容性、收斂性，穩(wěn)定性xt 和xt 和0021,exp,txuttcctxuhnnh定義：稱差分方程的初值問題是穩(wěn)定的，如果當(dāng)定義：稱差分方程的初值問題是穩(wěn)定的，如果當(dāng) 做夠小時，存在于做夠小時，存在于 無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù)C1和和C2使得使得:含義：含義： 在差分方程的求解過程中，如果引

3、入的誤差隨時間的增長有界，在差分方程的求解過程中，如果引入的誤差隨時間的增長有界，則稱差分方程是穩(wěn)定的。則稱差分方程是穩(wěn)定的。34） Lax 等價定理等價定理 如果微分方程的初邊問題是適定的，差分方程是相容的，則差分如果微分方程的初邊問題是適定的，差分方程是相容的，則差分方程解的方程解的收斂性收斂性與與穩(wěn)定性穩(wěn)定性是等價的。是等價的。含義：含義： 如果微分方程不出問題（適定），差分方程性質(zhì)好（穩(wěn)定），如果微分方程不出問題（適定），差分方程性質(zhì)好（穩(wěn)定），則則方程逼近方程逼近就可保證就可保證解逼近解逼近。 如果方程逼近就可以導(dǎo)致解逼近，則差分方程的性質(zhì)肯定好（穩(wěn)定）如果方程逼近就可以導(dǎo)致解逼近，

4、則差分方程的性質(zhì)肯定好（穩(wěn)定）3）穩(wěn)定性）穩(wěn)定性2. Fourier變換變換FourierFourier積分公式，是指定義在積分公式，是指定義在 上的函數(shù)上的函數(shù) 的一個關(guān)系式。的一個關(guān)系式。設(shè)設(shè) 有關(guān)系式有關(guān)系式 FourierFourier積分公式，積分公式，令令則有則有 稱為稱為 的的FourierFourier變換，變換， 稱為稱為 的逆變換。的逆變換。 ),()(xvdxxv2)( ddevxvxi)()(21)(dxexvvxi)(21)(dxexvxvxi)(21)()(v)(xv)(xv)(v 對流方程的初值問題對流方程的初值問題有差分格式有差分格式上述差分格式中的解及其初值僅

5、在網(wǎng)格點上有定義，為了應(yīng)用上述差分格式中的解及其初值僅在網(wǎng)格點上有定義，為了應(yīng)用FourierFourier方方法分析穩(wěn)定性，必須擴充這些函數(shù)的定義域，使得它們在整個實軸上有定法分析穩(wěn)定性，必須擴充這些函數(shù)的定義域，使得它們在整個實軸上有定義。義。3 3. Fourier. Fourier分析法分析法 RxxgxutRxxuatu),()0 ,(0, 0jjnjnjnjnjguhuuauu0110令令于是于是對上式兩邊用對上式兩邊用Fourier積分來表示，可以得到積分來表示，可以得到 22),()(22,),(hxxhxxgxhxxhxutxUjjjjjnjn),(),(),(),(1nnn

6、nthxUtxUatxUtxUdketkUdketkUikxnikxn),(21),(211dkeeatkUdketkUdketkUaikxikhnhxiknikxn)1 (1),(21),(21),(21()(重新記為重新記為這里這里 稱為增長因子。稱為增長因子。推廣到一般形式的差分格式（限于常系數(shù)情形）推廣到一般形式的差分格式（限于常系數(shù)情形）由于由于 不依賴于時間層不依賴于時間層n，可以得到，可以得到)1 (1),(),(1ikhnneatkUtkU)1 (1),(),(),(),(1ikhnneakGtkUkGtkU01,jnhnjnjhnjuLuuLu),(kG),(),(),(0t

7、kUkGtkUnn設(shè)設(shè) 的任意次冪一致有界，界為的任意次冪一致有界，界為K K，則有則有由由ParsevalParseval等式等式),(kG,),(KkGndvdxxv22)()(dxtxutUnn22),()(.,dktkUn2),(20220220)()(),(),(tUktUkdktkUkGn由定義可知由定義可知結(jié)結(jié) 論：常系數(shù)差分格式穩(wěn)定的充分必要條件是存在常數(shù)論：常系數(shù)差分格式穩(wěn)定的充分必要條件是存在常數(shù) 使得當(dāng)使得當(dāng) 時有時有 判別準則（判別準則（Von NeumannVon Neumann條件）：條件）： 差分格式差分格式 穩(wěn)定的必要條件是當(dāng)穩(wěn)定的必要條件是當(dāng) 時，對任何時，對

8、任何 有有充分必要條件充分必要條件: :正規(guī)矩陣，實對稱矩陣，酉矩陣，正規(guī)矩陣，實對稱矩陣，酉矩陣，HermiteHermite矩陣矩陣hhnuKu0, 0, 00kRKTn,0KkGn),(njhnjuLu1Tn ,0RK pjMkGj, 2 , 1,1),(4. 差分方程的修正方程差分方程的修正方程修正方程修正方程 差分方程準確逼近（無誤差逼近）的方程差分方程準確逼近（無誤差逼近）的方程0 xuatu011xuuatuunjnjnjnjtttttnjnjnjututtuutu6221.62622211tttttxxxxxnjnjnjnjututuxuxxuuatuuxuatu差分方程截斷誤

9、差10.6221xxxxxnjnjnjuxuxxuuxu微分方程微分方程=差分方程差分方程+截斷誤差截斷誤差.62622211tttttxxxxxxtnjnjnjnjututuxauxuauxuuatuu 差分方程差分方程 = 微分方程微分方程-截斷誤差截斷誤差 新的微分方程（修正方程）新的微分方程（修正方程）011xuuatuunjnjnjnj等價于0.626222tttttxxxxxxtututuxuxuau修正方程0.662222xxxtttxxttxtuxutuxcutuau11通常要求：通常要求： 修正方程中不出現(xiàn)時間的高價導(dǎo)數(shù)項修正方程中不出現(xiàn)時間的高價導(dǎo)數(shù)項 （便于進行空（便于進

10、行空間分析）間分析）),(),(32xtOucuxtOucuxxxtttxxtt,) 132(612322322ttxtxxOuxcuxccuuxxxxxxtxtc修正方程：修正方程：主導(dǎo)項：主導(dǎo)項： 1階；階； 耗散型耗散型12xtc作作 業(yè)業(yè) 已知擴散方程已知擴散方程 的一種差分格式如下，的一種差分格式如下，求截斷誤差并推導(dǎo)其修正方程求截斷誤差并推導(dǎo)其修正方程 。 022111huuuauunjnjnjnjnj0,22tRxxuaxu第四章 雙曲型方程的差分方法 1. 1. 常系數(shù)雙曲型方程數(shù)值解法常系數(shù)雙曲型方程數(shù)值解法典型方程：典型方程：a a 對流方程（對流方程（Advection

11、equationAdvection equation）),()0 ,(, 10),(xxuxtxfauuxt. 0),(), 1 (, 0),(), 0(atgtuoratgturl第四章 雙曲型方程的差分方法 b.b.二階線性波動方程（二階線性波動方程（Second order linear wave equations)Second order linear wave equations),()0 ,(, 10),(xxuxtxfauuxxtt),(), 1 (),(), 0(tgtutgturlc.c.一階線性雙曲型方程組一階線性雙曲型方程組（Linear first order hyperbolic system)Linear first order hyperbolic system) 這里，這里，u u 和和f f都是向量，都是向量，A A的特征值是實的并且的特征值是實的并且A A是可對角化的，則上述方是可對角化的，則上述方 程組稱為雙曲型方程組程組稱為雙曲型方程組),(txfAuuxt第四章 雙曲型方程的差分方法 d.Burgersd.Burgers方程（方程（Burgers equation) Burgers equation) 非線性方程非線性方程)()0 ,(, 10