必修一函數(shù)及其表示講義

1、函數(shù)與其表示一、映射根據(jù)題意填空。X2+123434(1)(2)(3)(4)映射概念：一般地，設(shè) A , B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素 x,在集合B中都有唯一確定的元素 y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱 對(duì)應(yīng)f: At B是集合A到集合B的映射。如上圖：是映射。象與原象：給定一個(gè)集合 A到集合B的映射，且a A , b B，如果元素a和元素 b對(duì)應(yīng)，那么我們把元素 b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象。注意：(1)集合A、B、對(duì)應(yīng)關(guān)系是一個(gè)整體；(2)對(duì)應(yīng)關(guān)系有“方向，強(qiáng)調(diào)從A到 B; ( 3)集合A中元素在集合B中都有象并且是唯一的， 這個(gè)唯一性是構(gòu)

2、成映射的核心；(4) 集合A中不同的元素，在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)，集合 B中元素對(duì)應(yīng)集合 A中的 元素可能不止一個(gè)。對(duì)應(yīng)可以為“ 一對(duì)一或“多對(duì)一，但不能是“ 一對(duì)多；(5)集 合b中的元素在a中不一定有原象。(6)如果a有m個(gè)元素,，b有n個(gè)元素，那么從 集合A中到集合B的映射(不加限制).有_2個(gè)。例1:設(shè)集合A = N + , B = N +,對(duì)應(yīng)關(guān)系f: xty = 2x,貝U(1) 集合A中元素2所對(duì)應(yīng)的象是。(2) 集合B中元素2所對(duì)對(duì)應(yīng)的原象是 ?！窘馕觥浚?1) 4 ( 2) 1變式練習(xí)：設(shè)f: AtB是從集合A到集合B的映射，A = B = (x , y) | x R

3、, y R，假設(shè) f: (x, y) t( x y, x+ y)(1) 求集合A中元素(一1, 2)在集合B中對(duì)應(yīng)的元素 。(2) 求集合B中元素(一1, 2)在集合A中對(duì)應(yīng)的元素 。1 3【解析】：(1) ( 3, 1)(2)(丄,)2 2二、函數(shù)(一)、函數(shù)的概念： 設(shè)A、B是非空的數(shù).集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系 f，使 對(duì)于集合 A中的任意一個(gè)數(shù) X,在集合.B中都有唯一確定的數(shù).f(x).和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f: At b為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)。記作：y = f(x) , x A。其中，x叫做自變量，x的取值X圍A叫做函數(shù)的定義域(集合)；與x的值相對(duì)應(yīng)的 y值叫做函數(shù)值，函數(shù)

4、值的集合 f(x) | x A 叫做函數(shù)的值域(集合)。定義域、值域與對(duì)應(yīng)關(guān)系f統(tǒng)稱為函數(shù)的三要素?！窘馕觥浚築變式練習(xí)：設(shè) A = xI 0< x w 2, B = y1 w yw 2，如以下圖，能表示從集合A到集合【解析】：D(二)區(qū)間的概念：設(shè)a , b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且a v b我們規(guī)定：(1)滿足不等式a wxw b的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為a , b; (2)滿足不等式a vxv b的實(shí)數(shù)x 的集合叫做開(kāi)區(qū)間，表示為 (a , b)； (3)滿足不等式awxv b或a vxw b的實(shí)數(shù)x的集 合叫做半開(kāi)半閉區(qū)間，分別表示為左閉右開(kāi) a,b和左開(kāi)右定義名稱符號(hào)數(shù)軸表示x |

5、 a x b閉區(qū)間a,bKabx | a x b開(kāi)區(qū)間(a,b)abx | a x b左閉右開(kāi)區(qū)間a,b)huabx | a x b左開(kāi)右閉區(qū)間(a,b1Ik.ab "閉a,b區(qū)間。定義符號(hào)x|x(,)x|x aa,)x|x a(a,)x|x b(,bx|x b(,b)(三)、函數(shù)的定義域：自變量x的取值X圍1、簡(jiǎn)單函數(shù)定義域的類型與求法：(1) 分式函數(shù)中分母不等于零；(2) 偶次根式函數(shù)被開(kāi)方式大于或等于0;(3 )一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域?yàn)?R;(4) y = a (a > 0 且 a 豐 1), y = sin x, y= cos x，定義域均為 R;(5) y =

6、tan x 的定義域?yàn)閤 | x R 且 xm k + , k Z;2(6 )對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域是真數(shù)大于0;(7)函數(shù)f(x)= xa的定義域與指數(shù)a的關(guān)系，對(duì)于不同的a值，定義域不同。(8 )由實(shí)際問(wèn)題建立的函數(shù)，還要符合實(shí)際問(wèn)題的要求。2、對(duì)于抽象函數(shù)定義域的求法：(1) 假設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閍 , b ,那么復(fù)合函數(shù)fg(x)的定義域由不等式 a < g(x) w b 求出；(2) 假設(shè)函數(shù)fg(x)的定義域?yàn)閍 , b，那么f(x)的定義域?yàn)間(x)在a , b上的值域。例3：求以下函數(shù)的定義域。(1) f(x) = , 2x 5(2) f(x)=1 x3 5x(3) f(

7、x) = + . x 13 x2(4) f(x) = x 5x 62(6) f(x) = ln( x 3x 4)55【解析】：(1) x>-( 2) xm - (3) x>- 1 且 xm 323(4) x >- 2 或 xw 3-( 5)- 4v xv 1變式練習(xí) 1:設(shè) A = x I y= log2( x2 5x 4) , B = x | y= . x2 5x 6，那么 A n B?！窘馕觥浚?,23,4變式練習(xí)2：函數(shù)f(x) = log 05(cosx 一)的定義域?yàn)椤?22【解析】：(2k-, 2k +), k Z3 3變式練習(xí) 3：設(shè) A = x I y= Ps

8、inx , B = x I y= J x2 x 12 ，那么 A n B =【解析】：A = (2k , 2k + ), B= - 4, 3,那么 A n B =4,3,例4：等腰三角形的周長(zhǎng)為20,請(qǐng)將底邊y表示為腰x的函數(shù)，并寫出x的取值X亂【解析】y= 20 - 2x, 5 v x v 10x0x0x0y0202x0x105v x v 102xy2x202xx5例5: (1 )函數(shù)f(x)的定義域?yàn)? , 4,那么f (x + 2)的定義域?yàn)?。(2) 函數(shù)f(2x + 1)的定義域?yàn)?一1 , 0),貝U f(x)的定義域?yàn)??！窘馕觥?1)T 1 < x+ 2W 4,.一Kx

9、W 2(2) 1v x v 0 , 2 v 2x v 0 , 1 v 2x+ 1 v 1 變式練習(xí)：(1 )函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?, 5,那么f (3 2x)的定義域?yàn)?。(2)函數(shù)f(x + 1)的定義域?yàn)?, 3,貝U f(x2)的定義域?yàn)??！窘馕觥?1) 1, 4, (2) 0< x< 3, 1 w x+ 1 w 4, 1W x2< 4,那么一2W x< 1 或 1W x w 2例6:以下說(shuō)法中正確的選項(xiàng)是()A : y= f(x)與y= f(t)表示同一個(gè)函數(shù)B: y = f(x)與y= f(x + 1)不可能是同一函數(shù)C: f(x) = 1與f(x) =

10、x0表示同一函數(shù)D :定義域和值域都相同的兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)【解析】A變式練習(xí)：判斷以下各組函數(shù)，哪些是是同一函數(shù)(1)f(x) = x 與 g (x) = ( . x)2(2)f(x) = x與 g(x) = ' x2(3)f(x) =1 x 丨與 g(x) = . x2(4)f(x) = x2與 g (x) = (x + 1)2(5)f(x) = x 與 g(x) = Vx3(6) f(2 x ：x)=1與 g (x) = x 1x1(7)f(x) = x2 2x + 1與 g(t) = t22t + 1例7:函數(shù)f(x) = x2 2x 3,求(1)f(1) , f(2)(2)

11、f(a), f(a + 1)(3)f( 1), ff( 1), f f( 2)(4)假設(shè) g(x) = 2，那么求 fg(x)和 gf(x)2變式練習(xí)1 :函數(shù)f(x)=二 ，求X211(1) 計(jì)算：f (1), f ，f ()2 11111(2) 計(jì)算：f (1) + f + f () + f + f () + f + f () + f + f () + f + f ()23456變式練習(xí)2:定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy ( x、y R),且f(1) = 2, 那么 f( 3)=()A: 2 B: 3 C: 6【解析】：f(1) = f

12、(1 + 0) = f(1) + f(0) + 0,得 f(0) = 0 f(0) = f( 1 + 1)= f( 1) + f(1) 2,得 f( 1) = 0f( 2) = f( 1 1) = f( 1) + f( 1) + 2，得 f( 2)= 2 f( 3) = f( 1 2) = f( 1) + f( 2) + 4，得 f( 3)= 6【解析】：cx2x 3cx2x 3220 2c 6c x (2c 6)x 9x 得 2c= 3 Bc2 9變式練習(xí)3:函數(shù)f(x)cx,(x滿足ffx x那么常數(shù)c等于2x 32A : 3B :3C:3或3D: 5 或 3三、函數(shù)的值域一、值域：函數(shù)y

13、 f x，x的值域。A，我們把函數(shù)值的集合 f (x) / x A稱為函數(shù)二、根本函數(shù)的值域:1、一次函數(shù)y kx b a0的值域?yàn)镽;2、2二次函數(shù)y ax bx c (a0)；x R的值域4ac b20時(shí)，值域是暉R，4a)；a0時(shí)，值域是4ac4a$x4、指數(shù)函數(shù)y = a a >0且a豐1的值域?yàn)?,+ 5、對(duì)數(shù)函數(shù)y= loga x a >0且a豐1的值域?yàn)镽；6、正弦y= sin x，余弦函數(shù) y= cos x的值域1, 1;7、 正切函數(shù)y = tan x的值域?yàn)镽;8、函數(shù)fx = xa的值域與指數(shù)a的關(guān)系，對(duì)于不同的 a值，值域不同。三求值域的具體方法1、觀察法直

14、接法：例&求函數(shù)fx = 2x + 1, x 1 , 2, 3, 4, 5【解析】：y 3 , 5, 7, 9, 11f(x)=變式練習(xí)：求函數(shù)的值域：1 fx =、. x + 1【解析】：1 y> 1 2 y工02、配方法：利用二次函數(shù) 求值域【二次函數(shù)的對(duì)稱軸 x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)(一,4ac b )】；2a2a 4a例9:求函數(shù)f(x) = x2 6x 7, x R的值域解：f(x) = x2 6x 7 = (x 3)2 16> 16,所以函數(shù)的值域y I y> 16或 16,。變式練習(xí)：求函數(shù)的值域(1) f(x) = x2 4x 3, x R(2) f(x) =

15、x2 6x + 7 x R(3) f(x) = x2 4x 3, x 1, 3(4) f(x) = x2 6x + 7, x1, 3(5 )設(shè)、是方程 4x2 4mx + m + 2 ( x R)的兩實(shí)根，當(dāng) m為何值時(shí)，2+2有最小值？求出這個(gè)最小值。22,、2小21( )2mm 1【解析】：16m2 16(m2)0,m2或m1,A2當(dāng)m1 時(shí),(22)min12k3、 別離常數(shù)法：【形如反比例函數(shù)的值域y = - (kz 0),x2x 1例10:求函數(shù)f(x)=的值域。x 12x 12(x 1) 33【解析】：f(x) = 2yz 3x 1x 1x 15x 1 變式練習(xí)：求函數(shù)f(x)=的

16、值域。x 29【解析】：f(x) = 5 +yz 5x 24、單調(diào)法： 先判斷函數(shù)f(x)的區(qū)間上的單調(diào)性，再代入端點(diǎn)求值域的方法。2例11：函數(shù)f(x) = (x 2,6)，求函數(shù)的最大值和最小值。x 1【解析】：函數(shù)f(x)在2 , 6上是減函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上的兩個(gè)端點(diǎn)分別取得最大值與最 小值，當(dāng)x= 2函數(shù)取最大值2,當(dāng)x = 6函數(shù)取最小值0.4。3x變式練習(xí)1:求函數(shù)f(x) =(x 4,6)的值域。x 3【解析】：9, 121 f(x) = (?)2x2 2x 5變式練習(xí)2：求以下函數(shù)的值域(1)f(x) = 2 2x5【解析】：(1) f(x) = 2(x 1)2 4(2)

17、f(x)=(丄)"F 625、換元法例 12：求函數(shù) f(x) = x+ 2x 1變式練習(xí)1：分別求以下函數(shù)的值域(1) f(x) = 2x + . 2x 3(2) f(x) = 2x 3x 1變式練習(xí)2：分別求以下函數(shù)的值域xx2(1) f(x) = 4 + 6X 2 3(2) f(x) = sin x+ 2cosx 36、根本不等式法【根本不等式章節(jié)重點(diǎn)講解】3例13:求函數(shù)f(x) = x + (x > 1)的最小值x 13例14：求函數(shù)f(x) = xx (3 2x)(Ovxv )的最大值 27、三角函數(shù)法【三角函數(shù)章節(jié)重點(diǎn)講解】8、導(dǎo)數(shù)法【導(dǎo)數(shù)章節(jié)重點(diǎn)講解】9、三角代

18、換法(參數(shù)法)【極坐標(biāo)與參數(shù)方程章節(jié)重點(diǎn)講解】四、函數(shù)的表示法(一) 表示函數(shù)的方法有 ：有解析法、列表法和圖象法三種。(1 )、解析法： 如果函數(shù)y= f(x) (x A)中，f(x)是用代數(shù)式(或解析式)來(lái)表達(dá)的，那么 這種表達(dá)函數(shù)的方法叫做解析法(公式法)。(2) 列表法：通過(guò)列出自變量與對(duì)應(yīng)函數(shù)值的表格來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做列表法。(3) 、圖象法：用函數(shù)圖象表示兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系的方法，叫做圖像法。(二) 求函數(shù)解析式1、拼湊法：fg(x)的解析式，要求f(x)的解析式,從fg(x)的解析式中拼湊出g(x) ,兩邊用“ X代替“ g(x) 即可得到1例 13：假設(shè) f()=-x

19、 1f(x)的解析式。篤，求f(2)x1【解析】 f ()xx1 x2X(丄)2x變式練習(xí)：(1 )f (x + -)= x2 +xx2f(2)=豕 1，求xf (x)(2) f ( X + 1) = x + 2 _ x，求 f (x)【解析】：(1) f(x) = x2 2(2) f (x) = x2 12、換元法:函數(shù)f g(x)的解析式，令g(x) = t，求f(t)的解析式，用x代替兩邊所有的t，即可。例 14:函數(shù) f (2x + 1) = x2 2x，求 f (1)【解析】令2x + 1 = t，貝U x =2f (t ) = (t 片2-2 x2t2 6t 542 x f (x)

20、=6x 5f (1)變式練習(xí):(1) f ( . x + 1) = x + 2 X，求 f (x)1 x1(2) g(x) = 1 2x, f g(x) = (x豐 0)，求 f (-)x2(3) f (e*) = x+ e，貝V f(1) =o(4) f(3x) = 4xx log23 + 233,那么 f(2) + f(4) + f(8) + + f(28)的值等于 2 1【解析】：(1) f (x) = x2 1(2) f () = 15(3) f(1) = 12x8(4) 令 3 = t，那么 x= log3t，那么 f (t) = 4log2 t + 233,故 f(2) + f(4

21、) + f(8) + f(2 )=4+ 8 + 12+ 32 + 233 X 8= 20213、方程組法：f(x)與fg(x)滿足的關(guān)系式，要求f(x)時(shí)，用g(x)代替兩邊所有的x, 得到關(guān)于f(x) , fg(x)的方程組，解方程組得f(x) o1例15:函數(shù)f (x)滿足，f(x) 2 f () = 3x + 2,求f (x)的解析式。x111【解析】：用一代替x得：f () 2 f (x) = 3X+ 2xxx1f(x) 2f( ) 3x 2x1二解之得：f (x) = x 2f()2f(x)-2xxx變式練習(xí)：函數(shù)f(x)滿足：f (x) + 2 f ( x) = x2+ x，求函數(shù)

22、f(x)的解析式?！窘馕觥浚篺(x)=2cx 3x34、待定系數(shù)法：(1 )、初中所學(xué)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)解析式的求法。k一次函數(shù)：f(x) = kx + b (k豐0); 反比例函數(shù)：f (x) = (k工0),xf(x)2 axbx c二次函數(shù)：f(x)a(xh)2 k (a 0)f(x)a(xxj(x X2)(2)假設(shè)f(x)函數(shù)的類型，求f(x)的解析式，可根據(jù)類型設(shè)其解析式，然后確定其系數(shù)即可。例16：一次函數(shù)f(x)滿足ff(x) = 4x + 3,求f (x)的解析式?！窘馕觥吭O(shè)：f(x) = kx + b (k豐0) ff(x)= f (kx + b) = k(kx

23、+ b) + b = k2x + kb+ b = 4x + 3k24k2k2-解之得或kbb3b1b3 f (x) = 2x+ 1 或 f (x) =- 2x 3例17:函數(shù)fx 是一 -次函數(shù)，且2 f (1) + 3 f =3, 2 f ( 1) 3 f (0) = 1，求 f (x)的解析式。【解析】設(shè)：fx = kx + b k豐0，由題意得2(k b) 3(2k b) 32( k b) 3(0 b) 1解之得: f (x) = 4x 199變式練習(xí)：(1) 一次函數(shù)f(x)滿足ff(x) = 9x+ 8，求f (x)的解析式。(2) 一次函數(shù) f(x)滿足：3f(x + 1) 2f(

24、x 1) = 2x + 17,求f (x)的解析式?！窘馕觥?1) f (x) = 3x + 2 或 f (x) = 3x 4(2) f (x) = 2x+ 7四、分段函數(shù) :在定義域內(nèi)，對(duì)于自變量 x的不同取值 不同，這樣函數(shù)通常稱為分段函數(shù)。由此可知，作分段函數(shù)的 圖像時(shí)，應(yīng)根據(jù)不同定義域上的不同解析式分別作出。注意：1分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)；2在分段時(shí)端點(diǎn)不重也不 漏；3分段函數(shù)的定義域?yàn)槊慷?X圍的并集，值域也是每個(gè) 區(qū)域內(nèi)值域的并集。一分段函數(shù)的圖象例18:作出函數(shù)fx =| x |的圖象?！窘馕?f(x) =| x | =x, x 0x,x 0變式練習(xí)：作出分段函數(shù)y |x 1 x 2

25、的圖像(二)分段函數(shù)的求值。1x, x 22例 19:函數(shù) f(x) =,2x2 求：(1) f (3)(2) f f (3) f f f 2x 4x, x 22【解析】：( 1) 3> 2 , f =32-4X 3 =- 3;1 3(2 ) 3v 2,. f f (3) = f ( 3)= X ( 3)=-2 233(3) 2v v 2,. ff(3) = f ()=22x 2, x 1 變式練習(xí)1:函數(shù)f(x) = 2x,1 x 2,1 2x , x 22(1 )求 f f ( 1) (2)假設(shè) f( a)= 3，求 a 的值。3 【解析】：(1) f f ( 1) = 2(2) a

26、 = 或 a = . 624log2( x), x 0變式練習(xí)2：設(shè)a工0,函數(shù)f(x) =2，假設(shè)f(f( 2 ) = 4，那么f(a)等于()x ax , x 0A : 8 B: 4 C： 2 D: 1【解析】A課后綜合練習(xí)1、如以下圖(1) (2) (3) ( 4)四個(gè)圖象各表示兩個(gè)變量 x, y的對(duì)應(yīng)關(guān)系，其中表示 y是x 的函數(shù)關(guān)系的有?！窘馕?(2) (3)2、函數(shù)y= f(x)的圖象與直線x= a的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A :必有1個(gè) B : 1個(gè)或2個(gè) C:至多1個(gè) D:可能2個(gè)以上【解析】：C 23、假設(shè)函數(shù)f(x)=寸ax 2x 1的定義域?yàn)镽，那么實(shí)數(shù)a的取值X圍是【解析】：a > 04、f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x + y) = f(x) + f(y) + xy，且f(1) = 1,求f【解析】：f (5) = 155、集合 A = x | OW xw 4 , B = y | 0< yW 2，以下不表示從 A到B的函數(shù)是()1 12LA